Równania różniczkowe cząstkowe Funkcje harmoniczne
1. 1. Wykaż, że funkcje (a) u(x, y) = xy (b) u(x, y) = x2− y2
(c) u(x, y) =x2+yy 2
(d) u(x, y) = (x + 1)(y − 1) spełniają równanie Laplace’a.
2. Wykaż, że u(x, y) = lnp
x2+ y2jest harmoniczna w R2\ {(0, 0)}.
3. Zakładając, że funkcja zespolona f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jest holomor- ficzna w obszarze Ω.
(a) Wykaż, że część rzeczywista u(x, y) i część urojona v(x, y) tej funkcji są harmoniczne w obszarze Ω.
(b) Znajdź v(x, y) i f (z) jeśli u(x, y) = x +x2+yx 2. (c) Znajdź v(x, y) i f (z) jeśli ux= excos y.
4. Wykaż, że operator Laplace’a ∆ = ∂x∂22 + ∂y∂22 w R2 we współrzędnych biegunowych x = r cos α, y = r sin α przyjmuje postać:
∆ = ∂2
∂r2 +1 r
∂
∂r + 1 r2
∂2
∂α2 (1)
5. Sprawdź, czy funkcje un(r, α) = rncos nα i vn(r, α) = rnsin nα dla n ∈ N są harmoniczne.
