STATYSTYKA MATEMATYCZNA
WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKA´ZNIKU STRUKTURY.
TEST ISTOTNO´SCI DLA WSKA´ZNIKA STRUKTURY.
Badana cecha X ma rozk lad dwupunktowy (zero-jedynkowy), tzn. P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p.
Zak ladamy, ˙ze badana pr´oba losowa ma du˙z¸a liczno´s´c (n ≥ 100).
Weryfikacja hipotezy H0 : p = p0 na poziomie istotno´sci α.
Zn-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n-elementowej pr´obie Obliczamy warto´s´c statystyki
U =
Zn
n − p0
qp0(1−p0) n
(statystyka U ma asymptotyczny rozk lad N(0, 1)).
Hipotez¸e H0 odrzucamy (H1 przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru kryty- cznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
W = (−∞, −u1−α2) ∪ (u1−α2, +∞), gdy H1 : p 6= p0
W = (u1−α, +∞), gdy H1 : p > p0
W = (−∞, −u1−α), gdy H1 : p < p0.
TEST ISTOTNO´SCI DLA DW ´OCH WSKA´ZNIK ´OW STRUKTURY.
Badana cecha X ma w dw´och populacjach rozk lad dwupunktowy (zero-jedynkowy). W populacji I:
P (X = 1) = p1, P (X = 0) = 1 − p1, a w populacji II: P (X = 1) = p2, P (X = 0) = 1 − p2. Zak ladamy, ˙ze badana pr´oby losowa maj¸a du˙ze liczno´sci (n1 ≥ 100, n2 ≥ 100).
Weryfikacja hipotezy H0 : p1 = p2 na poziomie istotno´sci α.
Zn1-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n1-elementowej pr´obie wylosowanej z populacji I Zn2-liczba element´ow wyr´o˙znionych w n2-elementowej pr´obie wylosowanej z populacji II Obliczamy warto´s´c statystyki
U =
Zn1 n1 −Znn2
r 2
Zn1+Zn2
n1+n2 (1 −Zn1n +Zn2
1+n2 ) ·nn1+n2
1·n2
(statystyka U ma asymptotyczny rozk lad N(0, 1)).
Hipotez¸e H0 odrzucamy (H1 przyjmujemy) gdy obliczona warto´s´c statystyki U nale˙zy do zbioru kryty- cznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
W = (−∞, −u1−α2) ∪ (u1−α2, +∞), gdy H1 : p1 6= p2 W = (u1−α, +∞), gdy H1 : p1 > p2
W = (−∞, −u1−α), gdy H1 : p1 < p2. Opis danych:
n - liczno´s´c pr´obki;
n1, n2 - liczno´s´c pr´obek pobranych odpowiednio z populacji I i II;
x1, x2 - ´srednia z pr´oby dla populacji I i II;
α - poziom istotno´sci;
uα - kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0, 1);
Krzysztof Bry´s 1999-2006c 1
