Statystyka matematyczna 7. Testy statystyczne
Ćw. 7.1 Według normy technicznej wykonanie obróbki mechanicznej jednego pierścienia stalowego powinno zajmować szlifierzowi 22 minuty. Wylosowano 16 stanowisk roboczych, dla których średni czas obróbki wynosił 24 minuty. Jednocześnie z przeprowadzonego badania generalnego wiadomo, że odchylenie standardowe σ czasu obróbki wynosi 4 minuty. Zakładając, że czas obróbki ma rozkład normalny, zweryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę H0 : a = 22 wobec hipotezy alternatywnej H1 : a 6= 22
Ćw. 7.2 Liczbę sprzedanych biletów MZK w Toruniu w kolejnych niedzielach maja i czerwca przed- stawia tabelka.
Numer niedzieli 1 2 3 4 5 6 7 8
Liczba sprzedanych biletów w tysiącach 2,9 3,3 3,2 3,2 3,2 3,0 2,9 3,1 Na podstawie tych danych, na poziomie istotności α = 0, 1, przetestuj hipotezę, że średnia liczba sprzedawanych biletów w niedziele jest równa 3, 2 tys. przeciw hipotezie, że średnia sprzedawanych biletów jest
(a) mniejsza niż 3, 2 tys., (b) różna od 3, 2 tys.,
jeżeli wiadomo, że liczba sprzedawanych biletów ma rozkład normalny.
Ćw. 7.3 Na pudełkach zapałek jest napisane „średnio 64 zapałki”. Wylosowano 1000 pudełek, dla których średnia liczba zapałek wyniosła 65 sztuk, a wariancja s2 wynosiła 625. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę H0 : a = 64 wobec hipotezy alternatywnej H1 : a > 64.
Ćw. 7.4 Producent płatków mydlanych wysunął hipotezę, że stopień wyprania tkaniny wełnianej płatkami mydlanymi jest wyższy od stopnia wyprania płynem do prania. W celu sprawdzenia tej hipotezy wykonano pomiary stopnia wyprania 10 wycinków tkaniny pranej płatkami, otrzy- mując w procentach wyniki
74, 4, 75, 1, 73, 0, 72, 8, 76, 2, 74, 6, 76, 0, 73, 4, 72, 9, 71, 6 oraz 7 wycinków pranych płynem do prania, otrzymując
56, 8, 57, 8, 54, 6, 59, 0, 57, 1, 58, 2, 57, 6.
Zakładając, że stopień wyprania tkaniny ma rozkład normalny i wiedząc, że test równości wariancji wykonany dla powyższych próbek nie pozwolił na odrzucenie hipotezy zerowej, na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę wysunietą przez producenta.
Ćw. 7.5 Średnia prędkość tramwaju (w km/h) obliczona na podstawie zmierzonych w środę pręd- kości 200 tramwajów była równa 15, 1, natomiast średnia prędkość obliczona dla 120 tramwajów w niedzielę wynosiła 16, 4. Wariancja prędkości wynosiła odpowiednio s21 = 6, 8, s22 = 4, 2. Na podstawie uzyskanych danych zweryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnia prędkość tramwajów w środę jest mniejsza niż w niedzielę.
1
Ćw. 7.6 Zmierzono ciśnienie tętnicze wśród losowo wybranej grupy chorych na pewną chorobę przed i po podaniu takiego samego leku każdemu z badanych pacjentów. Otrzymano następujące wyniki:
Nr pacjenta 1 2 3 4 5 6 7 8
Ciśnienie przed 210 180 260 270 190 250 180 200 Ciśnienie po 180 160 220 260 200 230 180 190
Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę, że stosowany lek nie powoduje zmiany ciśnienia u pacjentów, wobec hipotezy alternatywnej, że wartość przeciętna ciśnienia przed podaniem leku jest wyższa niż po jego podaniu, wiedząc, że ciśnienie tętnicze ma rozkład normalny.
Ćw. 7.7 W czasie sondażu przeprowadzonego przez pracownię badania opinii społecznej spośród 1100 ankietowanych dorosłych Polaków 1090 odpowiedziało, że w ubiegłym miesiącu nie przeczy- tali żadnej książki, a pozostali potwierdzili, że przeczytali przynajmniej jedna książkę. Na pod- stawie tych danych, na poziomie istotności 0, 01, przetestuj hipotezę, że odsetek dorosłych Po- laków, którzy nie przeczytali w ubiegłym miesiącu żadnej książki wynosi 99%, przeciw hipotezie, że odsetek ten jest inny. Użyj testu dla jednej średniej oraz testu chi-kwadrat zgodności.
Ćw. 7.8 Tabela przedstawia dane dotyczące liczby roślin ostu na poletkach doświadczalnych.
Liczba roślin ostu 0 1 2 3 4 5 6 i więcej Liczba poletek 22 57 65 35 10 6 3
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że rozkład ten jest rozkładem Poissona.
Ćw. 7.9 Generator liczb losowych wygenerował 20 liczb z rozkładu wykładniczego E(2). Liczby są uporządkowane niemalejąco:
0, 02 0, 03 0, 04 0, 04 0, 06 0, 11 0, 11 0, 18 0, 22 0, 26 0, 27 0, 44 0, 46 0, 60 0, 65 0, 80 0, 85 0, 95 1, 20 2, 00
Za pomocą testu χ2 oraz testu Kołmogorowa na poziomie istotności 0,05 przetestuj zgodność tych danych z rozkładem E(2).
Ćw. 7.10 Z populacji pobrano 1000 elementową próbkę. Wyniki jej badania ze względu na cechę X przedstawia tabelka
Przedział [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8)
Liczność 120 273 280 192 92 34 7 2
Na poziomie istotności 0,01 testem Kołmogorowa zweryfikować hipotezę, że cecha X ma rozkład o dystrybuancie
F (x) =
(0, x ≤ 0,
1 − e−x2/2, x > 0.
2
Ćw. 7.11 Wybrano losowo 780 mieszkańców Torunia, których zapytano o najchętniej oglądany rodzaj seriali. Poniższa tabela przedstawia wyniki sondażu. Za pomocą testu chi-kwadrat niezależności, przyjmując poziom istotności 0,05, zbadaj czy płeć telewidza i rodzaj seriali przez niego oglądanych są niezależne.
Rodzaj seriali
Płeć telenowele seriale kryminalne seriale komediowe Razem
Kobieta 210 90 160 460
Mężczyzna 50 150 120 320
Razem 260 240 280 780
Ćw. 7.12 Spytano 1000 respondentów o średni dzienny czas spędzany przed telewizorem. Na pod- stawie wyników przedstawionych w poniższej tabeli kontyngencji, przetestuj na poziomie istot- ności 0,025 niezależność liczby godzin spędzanych dziennie przed telewizorem od wykształcenia telewidzów.
Wykształcenie
Liczba h podstawowe zas. zawodowe średnie wyższe
0-2 65 57 63 55
2-4 68 70 62 60
4-6 78 82 68 72
powyżej 6 53 60 43 44
Ćw. 7.13 Dziewięciu pacjentów ze zdiagnozowaną depresją poddano terapii lekiem uspokajającym T . Dane w tabeli poniżej dotyczą wartości tzw. czynnika Hamiltona u pacjentów. Wartości Xi zostały uzyskane podczas pierwszej wizyty pacjenta po rozpoczęciu terapii, natomiast wartości Yi zostały uzyskane podczas drugiej wizyty.
Pacjent (i) Xi Yi
1 1,83 0,878
2 0,50 0,647
3 1,62 0,598
4 2,48 2,05
5 1,68 1,06
6 1,88 1,29
7 1,55 1,06
8 3,06 3,14
9 1,30 1,29
Polepszeniu stanu pacjenta odpowiada obniżenie wartości czynnika Hamiltona. Stosując test znakowanych rang Wilcoxona, na poziomie istotności α = 0, 049 przetestuj hipotezę, że efekt terapii jest zerowy, przeciwko hipotezie, że lek T przynosi pozytywne efekty. Wyznacz p-wartość zbudowanego testu.
Ćw. 7.14 W celu zbadania, czy płace w sektorze publicznym są współmierne do płac w sektorze prywatnym, wybrani pracownicy z obu grup zostali połączeni w pary (na podstawie typu pracy, wykształcenia, lat doświadczenia itp.). W tabeli poniżej podane zostały wysokości zarobków rocznych (w dolarach) dla 12 utworzonych w ten sposób par.
3
Nr pary Sektor prywatny Sektor rządowy
1 12500 11750
2 22300 20900
3 14500 14800
4 32300 32300
5 20800 21500
6 19200 18400
7 15800 14500
8 17500 17900
9 23300 21400
10 42100 43200
11 16800 15200
12 14500 14200
Za pomocą testu znakowanych rang Wilcoxona przetestuj hipotezę, że nie ma różnic między zarobkami w obu sektorach, przeciwko hipotezie, że pracownicy sektora prywatnego zarabiają więcej niż odpowiadający im pracownicy w sektorze publicznym. Wyznacz p-wartość zbu- dowanego testu.
4
