Stabilność stochastyczna ciągłych układów dynamicznych

ANDRZEJ TYLIKOWSKI

STABILNOŚĆ STOCHASTYCZNA CIĄGŁYCH OKŁADÓW DYNAMICZNYCH

P O L I T E C H N I K A Ś L Ą S K A

ZESZYT NAUKOW Y Nr 330 - GLIWICE 1972

A. A U TOM A TYK A B. BUDOW NICTW O Ch. CHEMIA

E. ELEK TRYK A En. ENERGETYKA

G. GÓRNICTWO H HUTNICTW O

IS. INŻYNIERIA SA N IT A R N A JO. JĘZYKI OBCE

MF. M A TE M A TY K A -FIZ Y K A M. M ECHANIKA

NS. N A U K I SPO ŁECZNE

ZESZYTY N AUK O W E POLITECHNIKI ŚLĄSK IEJ ukazują się w n astęp u jących seriach:

D otych czas u kazały się n astęp u jące zeszy ty serii A.:

A utom atyka z. 1, 1961 r., s. 200, zł 13,85 A utom atyka z. 2, 1962 r., s. 138, zł 10,70 A u tom atyk a z. 3, 1963 r., s. 90, zł 9, A utom atyka z. 4, 1963 r., s. 108, z ł 5,70 A u tom atyk a z. 5, 1964 r., s. 114, zł 6,85 A u tom atyk a z. 6, 1965 r., s. 184, z ł 9,40 A u tom atyk a z. 7, 1966 r., s. 224, zł 12, A utom atyka z. 8, 1967 r., s. 154, zł 9, A u tom atyk a z. P, 1968 r., s. 257, zł 9, A u tom atyk a z 10, 1968 r., s. 92, zł 6, A u tom atyk a z. 11, 1969 r , s 61, z ł 4, A u tom atyk a z. 12. 1969 r., s. 122, z ł 7, A u tom atyk a z. 13. 1969 r., s. 91, zł 5, A u tom atyk a z, 14, 1969 r., s. 380, zł 24, A u tom atyk a z. 15, 1970 r., s. 133, zł 9,50 A utom atyka z. 16, 1970 r„ s. 123, zł 8,50 A u tom atyk a z. 17, 1971 r., s. 89, zł 6, A utom atyka z. 18, 1971 r., s. 86, zł 6, A utom atyka z. 19, 1972 r., s. 122, zł 8,

"O rf

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

ZESZYTY NAUKOWE Nr 330

ANDRZEJ TYLIKOW SKI

P . W ⁱ U

l . il l t f " t i

STABILNOŚĆ STOCHASTYCZNA CIĄGŁYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

PRACA HABILITACYJNA Nr 114

D ata otm arcia p rzem od u h a b ilita cy jn eg o 25. I. 1971 r.

G L I W I C E 1 9 7 2

R ED A K T O R N A C ZELNY ZESZYTÓ W N A U K O W YC H PO L IT E C H N IK I ŚL Ą SK IE J

Iwo Polio

REDAKTOR DZIAŁU

Stanisław Malzacher

SEK R ETA R Z R ED A K C JI

Witold Gużkowski

(

Dział W ydawnictw Politechniki Śląskiej G liwice, ul. Kujawska 2

N a k ł. 50+170 A r k . w y d . 2,25 A r k . d r u k . 3,25 P a p ie r o f f s e t o w y k l .I I I , 70x100, 80 g O d d a n o d o d r u k u 7. 2. 1972 P o a p i s . d o d r u k u 17. 4. 1972 D r u k u k o ń c z , w m aju l9 7 2

Z a m . 215 3. 2. 1972 R-23 C e n a z l 4,—

Skład, fotok op ie, druk i opraw ę

w yk on an o w Z akładzie G raficzn ym P o lite c h n ik i Ś lą sk iej w G liw icach

SPIS TREŚCI

S t r .

Wet ... 5

1 . D e f i n i c j e ... 7

2 . M etody b a d a n ia s t a b i l n o ś c i ... 12

3 . L ok aln a s t a b i l n o ś ć s t o c h a s t y c z n a . . . 15

4 . S t a b i l n o ś ć ś r e d n ia z p - t ą p o t ę g ą ... 34

5 . S t a b i l n o ś ć p r z y s t a l e d z i a ł a j ą c y c h z a b u r z e n ia c h lo s o w y c h ... 36

6 . T ec h n ic z n a s t a b i l n o ś ć s t o c h a s t y c z n a . . . 40

7 . Uw agi końcow e ... 50

Wykaz l i t e r a t u r y c y to w a n e j ... 51

3

ffst gp

S t a b i l n o ś ć c i ą g ł y c h (o s t a ł y c h r o z ło ż o n y c h ) układów d y n a m iczn y ch , ja k o d z i a ł j a k o ś c io w e j t e o r i i układów d y n a m iczn y ch , j e s t nowym i m ało r o z w i­

n ię t y m k ie r u n k ie m badan naukowych* T r u d n o śc i j a k i e s p o ty k a s i ę w a n a l i z i e , spowodowane s ą m ię d z y in n y m i brakam i j a k o ś c io w e j t e o r i i równań r ó ż n ic z k o ­ wych o p o ch od n ych c z ą s t k o w y c h , b ęd ą cy ch c z ę s t o m atem atycznym modelem u k ła ­ dów d y n a m iczn y ch . Tak w ię c do d n ia d z i s i e j s z e g o n i e ma t w ie r d z e ń o i s t ­ n i e n i u i j e d n o z n a c z n o ś c i r o z w ią z a ń n ie l i n i o w y c h równań c z ą s tk o w y c h (n aw et z d e te r m in o w a n y c h ), t a k i c h ja k na p r z y k ła d rów nania NAVIERa - STOKESa dy­

n a m ik i c i e c z y . P odstaw y s t a b i l n o ś c i zd eterm in o w a n y ch układów c i ą g ł y c h zbu- .dow ał MÓWCZA." [ 2 6 ] , u o g ó l n i a j ą c id e e b e z p o ś r e d n ie j m etody LAPUNOWa. Tema­

t y k ę s t o c h a s t y c z n y c h równań o p e r a to r o w y c h p o d j ę l i BENS0USSA1T [3 ] , BHARU- CHA-REID [ 4 ] , SOBCZYK [21] o r a z KAMPE de FERIET [1 0 , 2 5 ] , k tó r y sw o je ba­

d a n ia o g r a n ic z y ł do s t o c h a s t y c z n y c h równań o poch od n ych c z ą s tk o w y c h o p i­

s u j ą c y c h dynam ikę ośrodków c i ą g ł y c h . P róbę zbudow ania t e o r i i s t o c h a s t y c z ­ n y c h równań c z ą stk o w y c h ty p u ITO u c z y n i ł KUSHNER [1 3 , 1 4 ] .

P ie r w s z e p o d e j ś c ia do a n a l i z y s t a b i l n o ś c i r o z w ią z a ń s to c h a s ty c z n y c h rów­

n ań c z ą s tk o w y c h b y ły p o c z y n io n e w p r a c a c h ARIARATNAMA [1] , LEPORE i SHAHa [ 1 5 ] , NIKOŁAJEHKO i SZTOLa [ 2 7 ] , SKAŁMIERSKIego i a u to r a n i n i e j s z e j r o z ­ prawy [ 2 0 ] . P ra ce t e z w ią z a n e b y ły g łó w n ie ze s t o c h a s ty c z n y m w a ria n tem dy­

n a m ic z n e j u t r a t y s t a b i l n o ś c i c i ą g ł y c h układów m e c h a n iczn y ch (p ro b lem EU- LERa o r a z d rg a ń p a r a m e t r y c z n y c h ), o p i e r a ł y s i ę na p r z y b li ż o n e j m e to d z ie d y s k r e t y z a c j i i w y k o r z y s ty w a ły znane t w ie r d z e n i a o s t a b i l n o ś c i r o z w ią z a ń u kładów d yn am iczn ych o s k o ń c z o n e j l i c z b i e s t o p n i sw obody [29] . ś c i s ł ą me­

t o d ę a n a l i z y s t a b i l n o ś c i r o z w ią z a ń pew nej o g r a n ic z o n e j k l a s y s t o c h a s t y c z ­ n y c h równań li n io w y c h c z ą s tk o w y c h zap rop on ow ał WANG [23] , p o s łu g u j ą c s i ę w ła s n o ś c ia m i p ółgrupow ym i r o z w ią z a ń [9 ] , n ie r ó w n o ś c ią GRONWALLa-BELLMANa P I o r a z z a ło ż e n ie m e r g o d y c z n o ś c i i s t a c j o n a m o s c i p r o c e s ó w . M etodę b e z ­ p o ś r e d n i ą , jed n a k p ozb aw ion ą p e łn e g o u z a s a d n ie n ia m a te m a ty c z n e g o , o p a r tą na w y k o r z y s ta n iu w ł a s n o ś c i fu n k c jo n a łó w i i c h p o ch o d n y ch , u m o ż liw ia ją c ą a n a l i z ę s t a b i l n o ś c i ruch u s z e r o k i e j k l a s y li n io w y c h s t o c h a s t y c z n y c h u k ła ­ dów d yn am iczn ych z a p r o p o n o w a li PLAUT o r a z IKPAJJTE [18] . M etodę z a p o c z ą t ­ kowaną p r z e z WANGa r o z s z e r z y ł a u t o r [2 2 , 19] na u k ła d y s t o c h a s t y c z n i e n i e ­ s t a c j o n a r n e .

D e f i n i c j e s t a b i l n o ś c i p r z y t o c z o n e w r o z d z i a l e 1 s ą a n a lo g i c z n e do ty c h , j a k i e fo r m u łu je s i ę d la d y s k r e t n y c h s t o c h a s t y c z n y c h u kładów d yn am iczn ych : CHAŚMINSKIJ [ 2 9 ] , BOGUSZ [ 5 } . Omówiono t e r o d z a j e s t a b i l n o ś c i , k t ó r e w d a ls z y c h r o z d z i a ł a c h b ęd ą e f e k t y w n ie b a d a n e . Praca z a w ie r a z a s a d n ic z o ory­

g i n a l n e w y n ik i a u t o r a , t r a k t u j ą c e o s t a b i l n o s c i s t o c h a s t y c z n y c h układów

5

c i ą g ł y c h z d e t e r m in is t y c z n y m i warunkami b rzegow ym i. P rezen to w a n e t w i e r ­ d z e n ia s ą u o g ó ln ie n ie m m etody za p o c z ą tk o w a n e j p r z e z WANGa [23] , p r z e n ie ­ s i e n ie m na g r u n t t e o r i i s t o c h a s t y c z n e j i d e i MOWCZANa - LAPUHOWa s t a b i l ­ n o ś c i w zględem dwu norm , r o z s z e r z e n ie m p o j ę c i a i m etody b a d a n ia t e c h n i c z ­ n e j s t a b i l n o ś c i s t o c h a s t y c z n e j na u k ła d y c i ą g ł e za pomocą fu n k c j o n a łó w , sk o n stru o w a n y ch m ięd zy in n ym i m etod ą PEYSERa - PARKSa - PRITCHARDa [17, 1 6 ] . T w ie r d z e n ia t e b y ły ju ż c z ę ś c io w o w c z e ś n ie j r e fe r o w a n e [22] i p u b l i­

kowane [1 9 , 20] .

6-

1 . D e f i n i c j e

P rzed m iotem n a s z y c h ro zw a ża ń b ęd ą pewne j a k o ś c io w e w ł a s n o ś c i układów d yn am iczn ych o p is a n y c h s t o c h a s t y c z n y m i rów naniam i r ó ż n ic z k o w y m i o p och od ­ n y ch c z ą stk o w y c h z d e t e r m in is t y c z n y m i warunkam i b rzeg o w y m i.

Z akładam y, ż e u k ła d d yn am iczn y p o s ia d a n a s t ę p u j ą c e w ł a s n o ś c i :

( i ) U kład z a jm u je p e w ie n o b s z a r DH c RH (N -w ym iarow ej p r z e s t r z e n i Eu­

k l i d e s a ) z b r z e g ie m ^ s ©D , x = £ x , . . . , x J 6 R . ^

( i i ) U k ład o p is a n y j e s t z b io rem M f u n k c j i u ( x , t ) = £u ( x , t ) , . . . , u ( x , t ) J , n a le ż ą c y c h do p ew nej p r z e s t r z e n i f u n k c y j n e j U(T5N) ( p r z e s t r z e n i f a ­

z o w e ), t e { t:0 < t < t } ■ A , s p e ł n ia j ą c y c h u k ła d s t o c h a s t y c z n y c h rów nań r ó ż n ic z k o w y c h c z ą s tk o w y c h

= Pi (aj, u1 ...uM, X 1 ...x N, t ) ( 1 )

w o b s z a r z e CN+1 - DN x A c RN+1, g d z ie P1 j e s t o p era to rem r ó ż ­ niczkow ym w zględ em w s p ó łr z ę d n y c h p r z e s t r z e n n y c h x , t*> j e s t e l e ­ mentem p r z e s t r z e n i p r o b a b i l i s t y c z n e j (Q , P ) . P r z e s t r z e n i ą U fu n ­ k c j i u ( x , t ) może b yć z b i ó r r ó ż n o r a k ic h param etrów c h a r a k t e r y z u j ą ­ c y c h s t a n u k ła d u m a t e r ia ln e g o (m e c h a n ic z n e g o , e l e k t r y c z n e g o , c h e ­ m ic z n e g o i t p . ) .

( i i i ) P r o c e s y z a c h o d z ą c e w u k ł a d z i e p r z y jm u ją zad an e ( d e t e r m i n i s t y c z n e ) w a r t o ś c i

u Q = u Q( x , 0 ) e U0 (T5H) = U ( # ) ( 2 )

w p ł a s z c z y ź n i e D N x { t = o } c RK+1 (w a ru n k i p o c z ą tk o w e ),

u , = u . , ( x , t ) e U.,(T3N) s U t f ) ( 3 )

na b r z e g u B15- 1 x A c r h + 1 (w a ru n k i b r z e g o w e ).

( i v ) I s t n i e j e i j e s t je d n o z n a c z n e r o z w ią z a n ie z a g a d n ie n ia o p is a n e ­ go rów naniem ( 1 ) o r a z warunkam i (2 ) , ( 3 ) r e p r e ze n to w a n e t r a j e k t o r i ą fa z o w ą u = u ( x , t ) w p r z e s t r z e n i U. Krzywa t a w y c h o d z i w c h w i l i t = 0 z pu n k tu u0 i j e s t o k r e ś lo n a d la k a ż d e j w a r t o ś c i t 6 4 . Warto p o d k r e ś l i ć , ż e ( 1 ) n i e j e s t p ojed yn czym układem rów nań, l e c z i c h zb io r e m generow anym p r z e z o p e r a to r y praw ych s t r o n F , n a l e ź ą -

7

c y c h do z a d a n e j p r z e s t r z e n i f u n k c y j n e j , na k t ó r e j p o d z b io r a c h o k r e s- la n e J e s t p ra w d o p o d o b ień stw o .

Cceny r o z w ią z a ń b ęd ziem y dokonywać w o p a r c iu o p o j e c i e n o m y f g , 2 4 ] .

Ze w zg lęd u na t c , ż e p r z e s t r z e ń fa so w a p r o c e só w z a c h o d z ą c y c h w c ią g ł y c h u k ła d a c h d yn am iczn ych n i e n o ż e ju ż być p o d zb io rem s k o ń c z e n ie w ym iarow ej p r z e s t r z e n i E u k li d e s a , l e c z J e s t p od zb iorem p r z e s t r z e n i .fu n k c y jn e j U wy­

b ó r normy n i e j e s t o b o j ę t n y i rausi t y ć podyktow any s t r o n ą f i z y c z n ą zagad ­ n i e n i a . t! o d r ó ż n ie n iu od p r z e s t r z e n i s k o ń c z e n ie w ym iarow ych, z b ie ż n o ś ć w zg lsd ess j e d n e j n o r a y n i e j e s t tu równoważna z b i e ż n o ś c i w zględem i n n e j .

C z ę s to b ęd ziem y k o r z y s t a ć z normy w p r z e s t r z e n i 'n~ o b u d ow ie:

M 2 \

BU,1 ⁼ (E ^J luJ(x»t>J dx) • (4)

j=1 DK

k t ó r e j pierw ow zorem j e s t p ie r w i a s t e k z e n e r g i i u k ła d u ( p o d o b n ie ja k w u - k ła ć a c h d y s k r e t n y c h [20] ) . In n e p o s t a c i e n o m y k o n s t r u u j e s i ę k o r z y s t a j ą c

z p och od n ych f u n k c j i u ( x , t ) ; na p r z y k ła d

= < £ E ) u‘ (x,t)] 2dx) ^*

1 = 1 j = i a r L , c , x 1

1

c?)

H Ii

(6⁾

««i

³

= sug E E t ó ul(x-ł)

_U i= 1 j* 1 l v x

O prócz n o r a , k tó r y c h p r z y k ła d y podano w zoram i ( 4 ) , ( 5 ) , ( 6 ) możne wprowa­

d z i ć o g ó l n i e j s z e p o j ę c i e normy b ęd ą ce jaw ną fu n k c j ą c z a s u | u , t | . Ze w z g lą ­ du na w y k o r z y s ta n ie w d e f i n i c j a c h s t a b i l n o ś c i r o z w ią z a ń wprowadźmy d la p a r y ( u , t ) dw ie normy | u , t | 0 o r a z | u , t | | o n a s t ę p u j ą c y c h w ła s n o ś c ia c h : ( i ) | u , t | o r a z | u , t | s ą n ieu jertn y m i li c z b a m i r z e c z y w i s t y n i , p r z y czym

z a c h o d z i

| 0 , t | o = o , II 0 , t I = 0 , t e ń , ( ? )

. s l z i e O = [O, . . . , 0] j e s t zerowym elem en tem p r z e s t r z e n i U.

H i ) § u , t | j e s t s t o c h a s t y c z n i e c i ą g ł a w zględ em g u , t | v; p u n k c ie t - 0 , t c .•jiaezy

A A V l u(**0)* v lo< {ws °5 >£)<<5

* > 0 a > C r>L:

(8)

R ozw ażania n a s z e o g r a n ic z y m y d o -p r z y p a d k u , gdy w arunki b rzeg o w e (3 ) Są u s t a l o n e , a j e d y n i e b ęd ziem y b a d a li e f e k t y zm ian warunków p o c z ą tk o w y c h . Wie z m n i e j s z a j ą c o g ó l n o ś c i a n a l i z y , b ęd ziem y z a k ł a d a l i , ż e f 1 ) z warunkami ( 2 ) o r a z ( J ) p o s ia d a r o z w ią z a n ie t r y w i a l n e u ( x ,t - ; * j (p od ob ­ n i e ja k w u icł,id ach d y s k r e t n y c h [2 0 , 2 9 ] ) . -Wprowadzanie dwu nor;-; [2 f ] do b a d a n ia s t a b i l n o ś c i z w ią z a n e j e s t z ró żn y m i c h a r a k te r y s ty k a m i p r o c e só w z a c h o d z ą c y c h w u k ła d a c h d y n a m iczn y ch na p o c z ą tk u i w c z a s i e tr w a n ia ru ch u . 7 a r t o p o d k r e ś l i ć , ż e t a k i e p o d e j ś c i e j e s t b l i ż s z a p ierw otn ym id eo w LAHI- IfO.‘/a .

D e f i n i c j a 1

R o z w ią z a n ie t r y w i a l n e u ( x , t ) •» 0 ró w n a n ia ( 1 ) j e s t l o k a l n i e s t a b i l n e s t o c h a s t y c z n i e w zględ em dwu norm | . f . | , j e ż e l i praw dziw e j e s t z d a n ie l o g i c z n e

A A V | n(x*0)*

° | o < r “*- / \ p { w : | u ( x , t ) , t|> £ }< « 5 (9)

e > o

<$>o r>0 t > 0

D e f i n i c j a 2

R o z w ią z a n ie u ( x , t ) a 0 j e s t a s y m p t o t y c z n ie l o k a l n i e s t a b i l n e s t o c b e - s t y c z n i e , j e ż e l i o p r ó c z ( 9 ) z a c h o d z i

A

A

lll(x»0)*

° « o <

r “*' lin ! 8U(X**). t| } = 0. (10)

£ > 0 r > 0 t — ° ’

D e f i n i c j a 3

R o z w ią z a n ie u ( x , t ) ■ 0 j e s t ś r e d n i o s t a b i l n e z p - t ą p o t ę g ą w zglądem dwu norm , j e ż e l i

A V lu ( x *0 ) * ° l o < r / \ 3 k * t ł ) . t | p < e ( 1 1 )

£ > 0 r > 0 t > 0

P rzyp ad ek p = 1 nazyw ać b ęd ziem y s t a b i l n o ś c i ą w e d łu g ś r e d n i e j . D e f i n i c j a 4

R o z w ią z a n ie u ( x , t ) a 0 j e s t a s y m p t o t y c z n ie s t a b i l n e z p - t ą p o t g g ą , j e ż e l i z a c h o d z i ( 1 1 ) o r a z

\

J

u ( x , 0 ) , C l < r =*> lim 2 | u ( x , t ) , t l ? = 0 . (1 ? )

r > 0 * —

D e f i n i c j a 5

R o z w ią z a n ie u ( x , t ) * 0 j e s t z u p e łn i e s t a b i l n e s t o c h a s t y c z n i e .K d y z e —

c h o d z i ( 9 ) , a p o n a d to

A A ^A V ^A p{ " ' ^: ^ ><5h H3)

u ( x , 0 ) s > o <5> 0 T>0 +>I

A n a lo g ic z n i e o k r e ś l a s i ę z u p e łn ą s t a b i l n o ś ć z p - t ą p o t ę g ą , a sy m p to ty c z n ą s t a b i l n o ś ć s t o c h a s t y c z n ą o r a z a sy m p to ty c z n ą s t a b i l n o ś ć z p - t ą p o t ę g ą .

D e f i n i c j a 6

R o z w ią z a n ie u ( x , t ) s 0 j e s t s t a b i l n e z p raw dopodobieństw em 1 (p r a w ie na pewno s t a b i l n e ) w tym lu b innym s e n s i e , j e ż e l i w s z y s t k i e t r a j e k t o r i e , b yć może z w y ją tk ie m z d a r z e ń o p r a w d o p o d o b ie ń stw ie równym 0 , s ą s t a b i l n e w odpow iednim s e n s i e .

O prócz rów n an ia ( 1 ) b ęd ziem y r o z p a t r y w a li u k ła d y dynam iczne o p is a n e rów n an iam i

= u1 uM» *1» xN» t) + X1... A *')»

( 1 4 )

g d z i e R^" j e s t sk ła d o w ą z a b u r z a ją c ą ró w n a n ie ( 1 ) . Można a n a liz o w a ć s t a ­ b i l n o ś ć r o z w ią z a n ia u ( x , t ) » 0 rów n an ia ( 1 ) p r z y s t a l e d z ia ła j ą c y c h , za­

b u r z e n ia c h R o p is a n y c h rów naniem ( 1 4 ) z tym , ż e u ( x , t ) ■ 0 może n ie

1 N

b y c r o z w ią z a n ie m ( 1 4 ) R(w* 0 , . . . , 0 , x , . . . , x , t ) £ 0 . D e f i n i c j a 7

R o z w ią z a n ie t r y w ia l n e u ( x , t ) s 0 ró w n a n ia ( 1 ) j e s t s t a b i l n e s t o c h a ­ s t y c z n i e p r z y s t a l e d z i a ł a j ą c y c h z a b u r z e n ia c h lo s o w y c h R (^ , u , x , t ) , j e ­ ż e l i s ł u s z n e j e s t z d a n ie l o g i c z n e

A A V °|o+ sup fE»R»i+ cdiiri ..)^l

£ > 0 Ć > 0 r> 0 y t ^ °

/\ p ] w s | u ( x , t ) , t{><5 t > 0 '

< r

< « (1 5 )

g d z i e D ( . ) j e s t w a r ia n c j ą , £ • ||-| pewną normą z a b u r z e ń .

M ając na uw adze r z e c z y w i s t e o k o l i c z n o ś c i w j a k i c h p r a c u ją u k ła d y dyna­

m ic z n e , k t ó r y c h popraw ne fu n k c jo n o w a n ie uwarunkowane j e s t o gran iczon ym o d c h y le n ie m od punktu p r a c y w p r z e d z i a l e c z a s u A (sk oń czon ym lu b n i e ) , będącym w y n ik iem zad an ych z g ó r y warunków p o c z ą tk o w y c h , ja k i o g r a n ic z o ­ n y c h z a b u r z e ń , wprowadzim y nowe o k r e ś l e n i e : t e c h n i c z n e j s t a b i l n o ś c i s t o ­

c h a s t y c z n e j wprowadzone do układów d y s k r e t n y c h p r z e z BOGUSZa f5] . D e f i n i c j a 8

R o z w ią z a n ie u ( x , t ) * 0 j e s t t e c h n i c z n i e s t a b i l n e w ed łu g prawdopodo­

b ie ń s tw a 1 - £q w zględem obszarów

D,; ■ | u ( x , 0 ) : | j u ( x , 0 ) , 0 g0 < 6 1 (warunków p o c z ą tk o w y c h ),

|R s |R(<*>, u , x , t ) J < h } (m o ż liw y c h z a b u r z e ń ),

Dh i

Dg s j u ( x , t ) : | u ( x , t ) , t | < f j ( d o p u s z c z a ln y c h r o z w ią z a ń ) ,

10

j e ż e l i

ą / \ p{uj i u (x,t) e d£} > 1 - e 0. (16)

u ( x , 0 ) € Dj R e

J e ż e l i w d e f i n i c j a c h 1 - 8 p r z y jm ie s i ę | * » * | 0 = | -»«■ | » 1:0 można o s t a b i l n o ś c i w zględ em j e d n e j norm y. M iędzy w ym ienionym i r o d z a ja m i s t a b i l ­ n o ś c i z a c h o d z ą z w ią z k i a n a lo g i c z n e do t y c h , j a k i e i s t n i e j ą p om ięd zy d e f i ­ n ic j a m i s t a b i l n o ś c i w u k ła d a c h d y s k r e t n y c h [2 9 ]..

11

2 . M etody b a d a n ia s t a b i l n o ś c i

2 . 1 . S p ro w a d zen ie do z a g a d n ie n ia d y s k r e t n e g o [ i , 1 5 , 2 7 , 20]

J e ż e l i u k ła d dynam iczny o p is a n y j e s t lin io w y m równaniem różniczkow ym cząstkow ym p r z e s t r z e n i ą fa z o w ą U może być p r z e s t r z e ń Banacha [ 9 , 24] . Co w i ę c e j , c z ę s t o można p r z y j ą ć , ż e p r z e s t r z e ń t a j e s t ośrod k ow a. T ak ie u k ła d y c i ą g ł e s ą n a j p r o s t s z y m i u o g ó ln ie n ia m i układów dynam icznych o sk oń ­ c z o n e j l i c z b i e s t o p n i swobody - p o s i a d a j ą p r z e l i c z a l n ą ic h l i c z b ę (a n i e k on tin u u m , ja k w przypadku p r z e s t r z e n i n ie o ś r o d n o w y c h ). Ośrodkowośó s p r a ­ w ia , ż e i s t n i e j e wzajemna je d n o z n a c z n o ś ć m ięd zy p r z e s t r z e n i ą U(T3xI) a pe­

wnym p o d zb io rem p r z e s t r z e n i R " , 17 t e n sp o s ó b w y jś c io w e rów n an ie ( 1 ) l i ­ n io w e j e s t równoważne n iesk o ń czo n em u u k ła d o w i równań r ó ż n ic z k o w y c h zwy­

c z a j n y c h (n a p r z y k ła d m etoda sz e r e g ó w F o u r ie r a [6 , 1 2 ] ) . O g r a n ic z a ją c s i ę w p r a k ty c e do i c h s k o ń c z o n e j l i c z b y , sprowadzam y p rob lem do b a d a n ia s t a - b i l n o s c i r o z w ią z a n ia u ( x , t ) « 0 do a n a l i z y s t a b i l n o ś c i rozwiązania f ( t ) s

= . . . = f ( t ) = 0 u k ła d u s t o c h a s t y c z n y c h równań z w y c z a jn y c h .

K o n s tr u k c je u k ła d u równań r ó ż n ic z k o w y c h z w y c z a jn y c h , rów noważnego w pewnym s t o p n iu rów n an iu cząstkow em u ( 1 ) (b y ć może n ie l in i o w e m u ) , można prze­

p ro w a d z ić za pomocą rieto d p r z y b liż o n y c h . v7 s z c z e g ó l n o ś c i ważną r o l ę od gry­

wa m etoda G a le r k in a , ż ą d a ją c a m i n im a l i z a c j i b łę d u kw adratow ego spowodowa­

n e g o t ą a p r o k sy m a c ją .

2 . 2 . Metoda p o ś r e d n ia o p a r ta n s w y k o r z y s ta n iu w ł a s n o ś c i półgrupow ycJi r o z w ią z a ń [ 2 3 , 2 2 , 20]

R ozpatrzm y k l a s ę lin io w y c h s t o c h a s t y c z n y c h równań c z ą stk o w y c h p o s t a c i

g a z ie i. i B s ą o p e r a to r a m i ró żn icz k o w y m i w zględem zm ien n ych p r z e - (1 7 )

t i O, >r € D",

s d e te r m in is ty c z n y m w arunkiem brzegowym

3 [u ( z , t )] = 0 , x C D Sf‘, (1 8 )

u ( x ( u,u$ j e s t i:aoic-r;ją, k t ó r e j n ie z e r o w e e le m e n ty s ą 'p r o c e s a m i s t o c h a - s t y c z n y n i c d o s t a t e c z n i e g ła d k i c h r e a l i z a c j a c h , aby i s t n i a ł o i b y ło j e d ­ n o zn a czn o r o z w ią z a n ie rów n an ia ( 1 7 ) .

Z w ł a s n o ś c i o p e r a to r a <p w y n ik a , a s ró w n a n ie ( 1 7 ) j e s t równoważne f o r - ir.ule c a łk o w e j

u ( x , t ) = 4 > ( t , 0 ) u ( x , 0 ) + | < | > ( t , s ) G (x,s,u > ) L ! ( x ,s ) d s , (1 9 )

b g d ą c e j punktem w yjściow ym o c e n y normy r o z w ią z a n ia . W yprow adzenie e f e k ­ tyw nych k r y t e r ió w s t a b i l n o s c i s t a j e s i ę m o żliw e po p r z y j ę c i u z a ło ż e ń od­

n o s z ą c y c h s i ę do normy o p e r a to r a $> o r a z w a r t o ś c i ś r e d n i e j normy m a c ie ­ r z y G.

Z a p o w ied zia n ą t u m etod? można s to s o w a ć do a n a l i z y s t a b i l n o ś c i r o z w ią ­ z a n ia rów n an ia n i e l i n i o w e g o

= [ Lo + 3 ( x , t , w ) J u ( x , t ) + i l ( x , u , t , w ) . (20)

w k tórym 1,Q i G s ą o k r e ś l o n e ta k aur.o ja k w rów n an iu ( 1 7 ) a ii ( x ,n ,t ,u ) ) j e s t n i e l i n i o w ą fu n k c ją u , p r z y czym i s t n i e j e p r o c e s B ( t ,w ) s p e ł n i a j ą c y warunek

supr

sup

- < * * * .“*. (2D

x e I) u c 11(1?')

2 . ? . Metoda b e z p o ś r e d n ia (fu n k c jo n a łó w LAFJHOY/a)

.Metoda t a j e s t p r z e n ie s ie n i e m na c i ą g ł e u k ła d y s t o c h a s t y c z n e t w ie r d z e ń LIO.YCK/JJa [26] o s t a b i l n o ś c i w zględ em dwu n o r a , ż ą d a ją c y c h i s t n i e n i a d o - d a t n i o o k r e ś lo n e g o n ie r o s n ą c e g o w zd łu ż t r a j e k t o r i i fa z o w e j fu n k c j o n a łu V.

A n a iiz a s t a b i l n o ś c i układów s t o c h a s t y c z n y c h o p ie r a ć 3 i ę b ę d z ie na n i e ­ r ó w n o ś c i

T T v « ( 2 2 )

.•r o c o s * (t,u>) 'lośr.a w y z n a c z y ć za pomocą rachunku w a r ia c y jn e g o [ i a j . Kry­

t e r i a s t a b i l n o ś c i s p r o w a d z a ją s i ę do o g r a n ic z e ń ś r e d n i e j c a ł k i p r o c e s u

Omówimy t a r a s e fe k t y w n ą k o n s t r u k c j e s t o c h a s t y c z n y c h fu n k c j o n a łó w , mo­

g ą cy ch s ł u ż y ć do b a d a n ia s t a b i l n o ś c i t e c h n i c z n e j rćw ueń li n i o w y c h , s a p r o - pcnow&ną do d e tr !.v r iin ls ty c z n y ch układów d y n a n ic z n y c h p r z e z 'fAłiKSa i PHI*

. Lii/w,. x-'a [ i G] « o p a r tą na n e t od z i e FEYSISRa [1 J buciowy c a łe k sn e r ^ e ty c z n y et:

h i p e r b o l i c z n y c h równań c z ą stk o w y c h [6 , 12] . M etodę t ę można fo r m a ln ie r o z ­ s z e r z y ć na rów n an ia p a r a b o l i c z n e . W tym c e l u sprowadźmy li n i o w y u k ła d rów­

nań (1 ) do p o s t a c i

I Ł(u ) = 0 , (2 3 )

g d z i e L ( . ) j e s t o p e r a to r e m r ó ż n ic z k o w a n ia c z ą s tk o w e g o w zględ em t o r a z X1 , z a w ie r a ją c y m pochodne w zględem c z a s u do r z ę d u r . N ie c h u ( x , t ) bę­

d z i e r o z w ią z a n ie m rów n an ia ( 2 3 ) w o b s z a r z e C^+ "*. Wprowadźmy r ó ż n ic z k o w y o p e r a t o r N („ ) r - 1 r z ę d u w zględ em c z a s u , otrzym an y z L p o p r z e z f o r ­ m alne z r ó ż n ic z k o w a n ie w zględ em 7^ .

O c z y w iś c ie

f

Ni (u )L i (u)dCN+1 = 0 , (2 4 )

~N+1

Gt

g d z ie C* * 1 = DK x.

C a łk u ją c ( 2 4 ) p r z e z ( 2 4 ) w f o r m ie sumy

1 1 : 0 < r < t } c CN+1.

c z ę ś c i i w y k o r z y s tu ją c w aru n k i b rzegow e p rzed sta w ia m y

I q (u )

«c?+1

d(«C N+1)

* / _

^{Q(u) dc:}

,N+1 = 0,

( 2 5 )

c ? + 1

g d z i e q (u ) o r a z Q (u) s ą form am i kw adratowym i w zględem p och od n ych u ; w tym p och od n ych czasow ych r zęd u n i ż s z e g o n i ż r . Zauważmy, ż e n a k ła d a ­ j ą c w aru n k i o k r e ś l o n o ś c i możemy w ybrać w c h a r a k t e r z e f u n k c j o n a łu V p i e r ­ w szy s k ła d n ik le w e j s t r o n y ( 2 5 )

1

V = I q (u ) d<«ClI+1) , (2 6 )

e c t

Pochodną fu n k c j o n a łu V w zd łu ż t r a j e k t o r i i rów n an ia ( 2 3 ) w yznacza s i ę b e z p o ś r e d n io z ( 2 5 ) .

14

3» L okalna s t a b iln o ś ć ^ T w ie r d z e n ie 1 [22]

J e ż e l i

(i) V _{0 0 />0} V |* < * 2 » V | <C exp [ - f ( t2-t 1>]> (27)

( i i ) p r o c e s |G ( x ,t ,u > ) § s p e ł n i a s ł a b e prawo w i e l k i c h l i c z b [29J f ( i i i ) z a c h o d z i n ie r ó w n o ś ć

su p E | o ( i , t |W) | < | , ( 2 8 )

t ^ 0 J

t o r o z w ią z a n ie t r y w i a l n e u ( x , t ) « 0 rów nnnia ( 1 7 ) j e e t z u p e ł n i e s t a b i l n e s t o c h a s t y c z n i e (w m y ś l d e f i n i c j i 5 ) w zględem | . | .

Dowód

K o r z y s t a j ą c z w ł a s n o ś c i normy o r a z z a ł o ż e n i a ( i ) n a p o d s t a w ie ( 1 9 ) . n a ­ p is z e m y d la t > 0

J u ( x , t ) | < C e x p ( - J t ) g u ( x , 0 ) j( + C

j

e x p [ - f ( t - s ) ] | G ( x f e , a O | | u ( x , s ) | d a .

0 ( 2 9 )

Z n ie r ó w n o ś c i GRONWALLa-BELLMANa [2] w y n ik a , ż e norma r o z w ią z a n ia p o sia d a m a jo r a n te d la t > 0

J u ( x , t ) J < c | u ( x , 0 ) | e x p ( - ^ t + |"j| G ( x ,s ,« u )J d a ) . ( 3 0 )

Na p o d s t a w ie z a ł o ż e n i a ( i i ) d la d ow oln ych d o d a tn ic h l i c z b £ o r a z <5 i s t n i e j e d o d a t n i c z a s T t a k i , ż e d la t > T z a c h o d z i

e

> > p-

_{{ Ws} T | I ®(x *s , " )j d s - | | E jG (x,a,< u) | da

j>

^&

15

t e a n t e ie j p raw dziw y j e s t c i ą g n ie r ó w n o ś c i

|g>: £ | | G ( z , s , o . ) | d s > $ | E |G ( x ,s ,< o ) | da + c?1

£ > P

i A \

> PI » * J | |G (x,s,(u) | d s > ^ su p o E || G (x ,s ,u > )| + ó -j j. (3 1 )

Sa m o c j w a ^ n k u o g r a n ic z o n o ś c i ( i i i ) i s t n i e j e t a k i e d , > 0 , ż e p ra w d zi­

w o ść ( 3 1 ) p o c ią g a za s o b ą w arunek:

£ > P |a>: ^ | S G (x ,s,u ))|| d s > | j .

t a k i e T > 0 , d la k t ó r e g o z a c h o d z i

e > p { w : C | | G ( x ,s ,a ) ) | d s > j t | . (3 3 )

0

i. ozzLsczzngr % ^ =

Zatem

Z = e x p ( ) T ) , g d z ie Z > 1 .

H e c * . | t i ( x t 0 ) | s p e ł n i a w arunek;

C ||u ( x , 0 ) || Z < 3

Ea p*od stsw ie ( 3 0 ) , ( 3 4 ) , ( 3 2 ) , ( 3 3 ) mamy

(3 4 )

P |w s || u ( x , t ) | > ó } <

< ? { * > - . 8 | u ( x , 0 ) l e x p [ c 4 | | 0 ( * , s , c o ) | d s - | ) t | > C | u ( x , 0 ) | z )

= C (^ j s G (X ,S,U ))| d s - | ) t > l n z j =

16

= p

£ d la t > T .

I '-08 4 1IG(;s*s »w)| d B > ^ P + ^ } <

< p(<*> : ■£ | |G ( x ,s ,u > ) | d s > <

!

| G ( x , s ,w )j d s > l n Z + f t j < ^{(3 5 )}

< p|<*> i C ^ |G ( x ,s ,u > ) | da > In z j < £ d la O < t < T.

W ięc d la d ow oln ych £ > 0 i <5>o i s t n i e j e ta k a l i c z b a r > 0

<r <

4

= expf f T rg)>

ż e z a c h o d z i

J u ( x ,0) | < r -► / \ P { u ) t | u ( x , t ) | > i j < £ , t > O

c o k o ń ca y dowód l o k a l n e j s t a b i l n o ś c i s t o c h a s t y c z n e j .

K o r z y s t a j ą c z n ie r ó w n o ś c i ( 3 0 ) d la d o w o ln y ch <5> O i u ( x , 0 ) można n a p is a ć

p j c o s j | u ( x , t ) | >

< p{w* ^ | |G (x ,s,u > )J d s > | + ^ ^ ( f l l i u ^ T Ó i r ^ ' t 3 6 )

Na mocy z a ł o ż e n i a ( i i i ) i s t n i e j e t a k a s ^ a ł a <?1 > O, ż e ( 3 6 ) m ożna o g r a ­ n i c z y ć z g ó r y p ra w d o p o d o b ie ń s tw e m

p { w : ^ | | G ( x , s , w ) | d s > ^sup^ E |G ( x , t , w ) J + < » ,). ( 3 7 )

17

P o s łu g u j ą c s i ę ( 3 1 ) na p o d s t a w ie ( 3 6 ) i ( 3 7 ) z a c h o d z i n ie r ó w n o ś ć

( 3 8 ) P oniew aż p r o c e s |G ( x ,t ,a > ) | s p e ł n i a prawo w i e l k i c h l i c z b , t o d la dow ol­

n y ch d o d a tn ic h l i c z b o r a z e i s t n i e j e t a k i c z a s T > 0 , że dla t > T

c o d ow od zi t e z y t w i e r d z e n i a . T w ie r d z e n ie 2

J e ż e l i s p e ł n i o n e s ą z a ł o ż e n i a ( i ) o r a z ( i i i ) t w ie r d z e n i a 1 , a p o n a d to ( i i * ) p r o c e s |G ( x ,t ,w ) || s p e ł n i a s i l n e prawo w i e l k i c h l i c z b , t o r o z w ią ­ z a n ie t r y w ia l n e rów n an ia ( 1 7 ) j e s t a s y m p to ty c z n ie s t o c h a s t y c z n i e s t a b i l n e z p raw dopodobieństw em 1 .

Dowód

P ie r w sz a c z e ś ć dowodu j e s t id e n t y c z n a z dowodem t w ie r d z e n i a 1 ,g d y ż s i l ­ n e prawo w i e l k i c h l i c z b p o c ią g a za so b ą s ł a b e . W y sta rczy zatem w y k a z a ć ,ż e

P {w : lim ||u ( x , t ) || =

o]

= 1 .

"fc 1 » ««■

K o r z y s ta ją c z n ie r ó w n o ś c i ( 3 0 ) n a p iszem y z a c h o d z i

H “* ! | T J l G(x »s »“')|l ds - 4

0 1

E |G ( x , s , « ) 5 d s | > < £>

lu b k o r z y s t a j ą c z ( 3 8 )

(3 9 )

Zatem na p o d s t a w ie ( i i * )

18

n ie r ó w n o ś c i ( 3 9 ) o r a z ( 2 8 ) z a c h o d z i

Wobec c z e g o z praw d op od obień stw em 1 otrzym u jem y rów n ość

k o ń c z ą c ą dowód.

Uwaga

T w ie r d z e n ia 1 1 2 mogą b yć r o z s z e r z o n e na n i e l i n i o w e u k ła d y dynam iczne o p is a n e rów naniem ( 2 0 ) s p e ł n i a j ą c e w arunek ( 2 1 ) , w tym c e l u w odpow ied­

n i c h z a ło ż e n i a c h |G ( x ,t ,'w ) | n a l e ż y z a s t ą p i ć p r z e z |G ( x , t , w ) | + B ( t ,c o ) . P r z y k ła d 1

R ozpatrzm y s t a b i l n o ś ć r o z w ią z a n ia t r y w ia l n e g o c z ą s tk o w e g o rów n an ia r ó ż ­ n ic z k o w e g o p o s t a c i

Równanie ( a ) o p is y w a ć może m ałe d r g a n ia p o p r z e c z n e (p r o b le m g e o m e t r y c z n ie i f i z y c z n i e l i n i o w y ) membrany je d n o r o d n e j o g ę s t o ś c i ę , g r u b o ś c i h pod­

d a n e j s t a łe m u n a c ią g o w i NQ na j e d n o s t k ę d ł u g o ś c i b r z e g u , w o śro d k u o przypadkow ych p a r a m e tr a c h : w s p ó łc z y n n ik u t ł u m i e n i a (ł ( w ,r ) o r a z s p r ę ż y s t o ­ ś c i k ^ , * ) . z j e s t p r z e m ie s z c z e n ie m p o p rzeczn y m , T c z a se m , i układem w s p ó łr z ę d n y c h p r o s t o k ą t n y c h ( r y s . 1 ) .

( a )

R y s. 1

19

P rzyjm ijm y p o n a d to w aru n k i b rzegow e

z ( 0 , y , T ) = z ( l 1 , | 7 , t ) = z ( 4 , 0 , t ) = z ( 4 , l 2 , r ) = 0 .

W prowadzając w s p ó łr z ę d n e bezwym iarowe

£ £ z + _ 't ,"o>

T-* y = r;* u = T7 > * - 17 w

p r z e k s z t a łc i m y ( a ) do p o s t a c i

4>u _ ,r

m v*

g d z ie

S s = + f - 2n v - « .( < d ,t ) u - 2 n ( c o ,t ) v ,

Ąs. © y

1 1

■j 5

n 1 = n 0 + n ( w , t ) = e > ( w , t l 1 ( | £ ) .

< X (« ,t) = k

U kład ( d ) p o s ia d a budowę ( 1 7 ) z

+ f - 2n

©y*

0 0

-* (a > ,t) - 2n(u > ,t)

O p era to r p ółgru p ow y <t> r o z w ią z a n ia rów n an ia

©w G<t,o>)

te

^{= V}

•

* = [ : ] •

(ł>)

(o)

(d)

<*)

(f)

( g )

20

w y zn a czy ć można k la s y c z n ą m etod ą F o u r ie r a . P rzy z a ł o ż e n i u m ałego t ł u m i e ­ n ia (Jt2 (1 + f ) > n 2 ) ip p o s ia d a budowę

w ( x , y , t ) = $ ( t , 0 ) w ( x , y , 0 ) = 0 ( t ) w ( x , y , 0 ) 1. X

e x p ( - n Qt ) I . ] s i n ( i S x ) s i n ( i * x 0 ) s i n ( j * y ) s i n ( j J t y 0 ) i , j = 1 O 0

—i— s i n to. . t + c o s w. .t

a)i j U iJ

_ s i n WjLjt

2 r,2

^ i.i + n o s i n c o s j t

i j s i n

w(xo'yo*0)(b!:odyo*

00

g d z ie

" i j = (w 2 ( i 2 + f j 2 ) - n 2~)

U z u p e łn ia j ą c w e k to r w sk ład ow ym i tw orzym y nowy

w e k to r

( x , y , t ) U V

Q\1 Vx

<9u

(i)

a r o z w ią z a n ie b ęd ziem y o c e n ia ć za pomocą normy z d e f i n io w a n e j ja k n a s t ę p u ­ j e

[V

( X , y , t ) | = j | | [ u 2 ( x , y , t ) + V2 ( x , y , t ) + ( M o s u l i ) '

ff l u ( x . y . t ) >

' ©y ;

2] te

J dx d y I . ( j )

O zn a c z a ją c p r z e z SSi j ( u ) , CSi ; . ( u ) t S C ^ f u ) w s p ó łc z y n n i k i r o z w in ię c ia f o u r ie r o w s k ie g o f u n k c j i u ( x , y ) ( l i t e r a S r e p r e z e n t u j e rozw in iecie w z g lę ­ dem s in u s ó w , C w zględ em c o s in u s ó w , na p ierw szy m m ie j s c u z a z n a c z o n y j e s t

21

r o d z a j r o z w i n i ę c i a w zg ląd em z m ie n n e j x , n a d ru g im w zg lęd em z m ie n n e j y ) o r a z w y k o r z y s t u j ą c t w i e r d z e n i e P a r s e v a l a n a p o d s t a w i e ( i ) n a p is z e m y

e x p ( - n0t )

E j

i . d-1

SSi j ( u > + SSi j < v ) + c s i j ^ > + SCi j ^ j y

O-»

n l ( ^

iT P i L «

i n w ^ t + c o s .,( u n )+

sinc*^ ^t

Wij

^■SSi j < v o>

f u>?1+»o n 2

+ L" - S I J - 8±a"iJt SSld(«0)+(cos«i;)t - ^2- 8in«i;Jt)SSi;)(v0)J +

[

ⁿ s i n « , . t 2

! * ( _ _ s i n * i ; j t + c o s o ^ ^ S S ^ ( u 0 ) + i r — ^ L . SS1;J( v 0 )J +

r n o s in o ), t -|2l i

+r (zTi

+ °OB,iijt )ssij<wo ) + ssij^vo>Jj* • W ykonując d z i a ł a n i a m ożna s t w i e r d z i ć , ż e z a c h o d z i c i ą g n i e r ó w n o ś c i

I ( x , y , t ) | « f e x p ( - n t ) j 2

E [ « %

i , j =1L Ł3

2 2

s in a ^ t + c o s a ^ t) SS^(uQ) +

s i n a;. , t2 _{i i * 2 ' “ M i} ss

T

h

(v«) +

“i 3

# 2 , 2%2

(lu-l -i + n0) 2 2

s i n ^ i j t SS‘ j ( u 0 ) +

i j

( c o s ^ t - sin«*^ j t ) 2 S S ^ Y , , ) + «-2 ( i 2 + 32 ) ( ( ~ « i n ^ j t +

,2 „ 2 SS2

+ O O S ^ j t ) S S JjC Uj, ) + ---

^ł)

i> 0 » ]

< e x p ( - n c t ) f 2 + D 2 S S ^ C u ^ + t - ^ - + ( J Ł - + 1 )2)S S2 ( v 0 ) +

l i , j«1 13 “ i j 13

+ *2( i2+ j2) ( 2 ( ^ § - s i n ^ t + c o s2« i3t ) SS2j ( u 0 ) + B-l n g l -1t SS2J ( v 0 ) ) j ?-

id “i j ^|k)

P r z y j m u ją c o z n a c z e n i a

£ » max

<? = m in

22

otrzym ujem y w a ru n k i:

2

‘" ’■t ; ° ° ) . *2 a 2 * f s 2)« * 2* d 2 * i 2) .

i j x * ( i ‘ + f j * ) - n;

i 2 ■+ J g

iJ

i * + f j * ( i * + j ‘ ) J

n a p o d s t a w ie k t ó r y c h norma ( j ) r o z w ią z a n ia s p e ł n i a o s z a c o w a n ie

X ’ r n_ 2

| T f ( x , y , t ) | < e x p ( - n 0 t )

i , j-1 L i;)

) SSjj(u0) +

+ ( " 4 " + 7 + (ZT7 + 1 ) > s s i j < V + “ J2 SSi j ( u o ) +

2n

id "id

+ (2 + O

3T2

( i2 + j 2 )

s s | 3(u0)j ' i

< C e x p ( - n 0t )

E K ^ o K * + ssh < Sri ^*•

i . j - i *

g d z ie

{ 2 f e + 1 ) 2 + i r ] ’ 2 [ ( 4 t + 1 ) + i + * ] * 2 < 2 + e > } *

C = m a x |2

Zatem norma r o z w ią z a n ia na p o d s t a w ie t w ie r d z e n i a P a r s e v a la p o s ia d a ma­

j o r a n t e o budow ie

|ptf(xty , t ) j < C e x p ( - n Qt ) f W ( x , y , 0 ) | , c z y l i s p e ł n i o n e j e s t z a ł o ż e n i e ( i ) t w ie r d z e n i a 1 .

J e ż e l i p r o c e s y n (a > ,t ) i <A (< o ,t) s p e ł n i a j ą s ł a b e prawo w i e l k i c h U czb o r a z

(1)

t o r o z w ią z a n ie t r y w i a l n e rów n an ia ( a ) j e s t z u p e łn i e s t a b i l n e s t o c h a s t y c z ­ n i e ( d e f i n i c j a 5 ) w zględ em normy ( i ) , a warunek s t a b i l n o ś c i ( 1 ) p r z y b ie r a

o s t a t e c z n i e p o s t a ć

23

BUP t > O

TT no

^(m)

Innym i (jednow ym iarow ym i) u k ła d a m i d y n a m iczn y m i, k tó r y c h m od ele matema­

t y c z n e s ą podobne do rów n an ia ( a ) s ą : l i n i a d łu g a o p rzyp ad k ow ej oporno­

ś c i i u p ły w n o ś c i o r a z s t r u n a ( a n a l o g m e c h a n ic z n y ) [20] . T w ie r d z e n ie 3

J e ż e l i

( i ) i s t n i e j e f u n k c j o n a ł V ( u , t ) d o d a tn io o k r e ś lo n y w zględem normy

|ju, tH , t o z n a c z y

V ( u , t ) i 0 A / \ \ / / \ lu »t I > f = =*- V ( u , t ) > f

£ > 0 j > 0 t > 0

( i i ) V ( u , t ) j e s t c i ą g ł y w zględem | u , t| 0 w p u n k c ie t = 0 , t o z n a czy

A V lu*°«o <r ^ n*,ox&

e »

o r > o

( i i i ) V A V ( u , t ) < X ( t , w ) V ( u , t ) f (4 0 )

^ (t,o > ) t> 0

t

( i v ) [ e x p ( | x ( s , ) d s ) ] < 1 , (4 1 )

t o r o z w ią z a n ie t r y w ia l n e rów nania (1 ) j e s t l o k a l n i e s t a b i l n e s t o ­ c h a s t y c z n i e w zględem dwu norm ( d e f i n i c j a 1 ) .

Dowód

Z z a ło ż e n i a ( i i i ) w y n ik a , że

E [ V ( u ,t ) ] < V (u o , 0 )

fcj[exp(j

* (s ,u > )d s)] . (4 2 )

P rzy jm u ją c d la d ow oln ych £ > 0 , <5>0

(ł= <5 i n f V ( u , t ) (4 3 )

( u , t ) e | u j | u , t | > e | x { t ; t >

o}

24

d o d a tn ie na p o d s t a w ie warunku ( i ) , z z a ł o ż e n i a c i ą g ł o ś c i ( i i ) w id z im y , ż e

V | u , 0 | o < r = * - V ( u , 0 ) « ł r > 0

c o p r z y w y k o r z y s ta n iu n ie r ó w n o ś c i ( 4 2 ) o r a z z a ł o ż e n i a ( i v ) p o c ią g a za s o - ' bą warunek

P o s łu g u j ą c s i ę n i e r ó w n o ś c i ą CZEBYSZEWa [8 , 29] o r a z ( 4 4 ) n a p is z e m y

W idzimy z a te m , ż e d la d o w o ln y ch •£ > 0 , i > 0 i s t n i e j e na mocy warunku c i ą g ł o ś c i fu n k c j o n a łu V ( u ,0 ) w zględ em j u ,0 |j o t a k i e r > 0 , ż e | u o , 0 | o< r im p li k u j e ( 4 5 ) d la t > 0 . U w z g lę d n ie n ie warunku s t o c h a s t y c z n e j c i ą g ł o ś c i ( 8 ) k o ń c z y dowód.

T w ie r d z e n ie 4

J e ż e l i s p e ł n io n e s ą z a ło ż e n i a , t w ie r d z e n i a 3 , a p o n a d to

J io r o z w ią z a n ie u ( x , t ) ■ 0 j e s t a s y m p t o t y c z n ie l o k a l n i e s t a b i l n e ( d e f i ­ n i c j a 2 ) .

T eza t w i e r d z e n i a w yn ik a b e z p o ś r e d n io z ( 4 2 ) , ( 4 5 ) i ( 4 6 ) .

( 4 4 )

( 4 5 )

(v) ^{( 4 6 )}

Uwaga

W p rzyp ad k u p r o c e só w n o rm a ln y ch SZUR [29] w y k a z a ł, ż e z a c h o d z i o s z a c o ­ w a n ie

g d z ie

2 c2

k = c 0 + Ci + ■£-, Je X ( t , w ) | < c 0 ,

( 4 8 )

o

25

J e ś l i zatem

* (t,«*>) = - K 0 + J<1 ( t , w ) , ( 4 9 )

g d z i e pt .j(t,c«>) j e s t p ro cesem norm alnym , t o z a ł o ż e n i a ( i v ) t w ie r d z e n i a 3 o r a z ( v ) t w ie r d z e n i a 4 r e d u k u ją s i ę do n ie r ó w n o ś c i

" * o + ° o + c? + TT < 0 - ( 4 1 ’ >

P r z y k ła d 2

R ozpatrzm y z a g a d n ie n ie s t a b i l n o ś c i d rg a ń p ł a t a n o ś n e g o ( p a n e lu ) p r z y ponaddźwiękowym o p ły w ie aerodynam icznym z p r ę d k o ś c i ą w b ęd ą cą p ro cesem losow ym (p r o b le m f l a t e r u ) . Z a k ła d a ją c , ż e p ł a t o s z t y w n o ś c i z g in a n ia

Eh3 *

D = 1 1 1 ^ą , g r u b o ś c i h , g ę s t o ś c i m a t e r ia ł u e , m odule Younga E, l i c z - 12( 1—y )

b i e P o is s o n a yJ j e s t m a ło w y n io s łą pow łok ą c y li n d r y c z n ą r o z c ią g a n ą równo­

le ż n ik o w o lo so w y m i s i ł a m i o in t e n s y w n o ś c i q r o z ło ż o n y m i w z d łu ż k r a w ę d z i,

p ro b lem można tr a k to w a ć jednow ym iarow o ( r y s . 2 ) . P r z y jm u ją c , ż e s i ł a a e r o ­ d ynam iczna s p e ł n i a h i p o t e z ę ILJUG Z lila £28] ( t e o r i a tło k o w a ) ró w n a n ie drgań p o p r z e c z n y c h ma n a s t ę p u j ą c ą budowę:

g d z i e j e s t g ę s t o ś c i ą p o w ie t r z a ,' p r ę d k o ś c i ą d źw ięk u .

P on ad to przyjm ujem y p rzegubow e zam ocow anie b r z e g ó w , t o j e s t w arunki b rzegow e

y ( o , r ) = y ( l , r ) = O,

(b)

d= o

o.

4=1

26

Y/prowadzając w s p ó łr z ę d n e bezw ym iarowe

- i . « = j .

^{t = ( o)}

ró w n a n ie ( a ) sprowadzam y do u k ła d u równań p ie r w s z e g o r zęd u w zględ em c z a s u t

W

= v

v»

g + k 2 (t,a > ) iL § + k 3 + k 4v ,

( d )

g d z ie

k 2 (t,o > ) = ~ J q(o>,t | — ) ,

* a i h.Q a~

^(e)

k 3

D

1 hę

ffaru n k i b rzegow e r e d u k u ją s i e do p o s t a c i

„2.

u ( 0 , t ) = u ( 1 , t )

t o x=0 <9x x=1

(f).

Zajmiemy s i e w y zn a czen iem k r y t e r ió w l o k a l n e j s t a b i l n o ś c i s t o c h a s t y c z ­ n e j r o z w ią z a n ia u = v = 0 u k ła d u ( d ) . XI tym c e l u p rzyjm iem y za PLAUTem i IlWAUTEm [18] n a s t ę p u j ą c ą budowę fu n k c j o n a łu

- U '

2 "i

k ,( - 2 - * ) + v 2 + buv + c u 2 d x ,

J <0x 1

^{( g )}

g d z ie d o d a t n ie s t a ł e b o r a z c bedą w y zn aczon e d a l e j . K o r z y s t a j ą c z e k s tr e m a ln y c h w ła sn

gowe ( f ) n a p is z e m y

e k s tr e m a ln y c h w ł a s n o ś c i m in im a ln e j w a r t o ś c i w ła s n e j Xn z a g a d n ie n ia b rze-

■i ^{k3(^} ) dx * - *m

^{} I k^ u 2 d x ,} ( - k , > 0 ) . ( h ) 2-7

Zatem f u n k c j o n a ł V j e s t i s t o t n i e d o d a tn io o k r e ś lo n y j e ż e l i

4 ( - k j X4 + c ) > b4 . ( i )

A n a liz ę s t a b i l n o ś c i b ęd ziem y p r o w a d z ić w o p a r c iu o dw ie n a s t ę p u j ą c o z d e fin io w a n e normys

1

|uln = V5.

■5

1

|U| = ( I (U

2

+ Y

2

)d x ) ( j )

D la d o d a tn ie g o <X s p e ł n i a j ą c e g o n ie r ó w n o ś ć

<X(u2 + v 2 ) ^ ( - k ^ K 4 + c ) u 2 + buv + v 2 , (k )

z a c h o d z i

| u | 2 = V > rt Kuj2 ,

t o z n a c z y s p e ł n io n e s ą z a ło ż e n i a ( i ) o r a z ( i i ) t w ie r d z e n i a 3 . ct w y zn a czo n e na p o d s ta w ie n ie r ó w n o ś c i (k ) j e s t równe

<ti= min

. . . 4 . - k 3 X 4 + c + 1 - [ ( - k , X 4+c + 1) - 4 ( - k 3 ^ +c ) +b2]

3 m + “>• --- 2--- --- --- --- --- --- (

1

)

Ze zw iązk u ( g ) pochodna fu n k c j o n a łu w y r a z i s i ę wzorem

* = 1 2k 3 § + 2 v + b u ^ + b v ^ + 2 c u W d x * (m)

a j e j w a r to ś ć w zd łu ż t r a j e k t o r i i ru chu rów nania ( d ) , u zy sk a n a p r z e z pod­

s t a w i e n i e ( d ) do (m) o r a z c a łk o w a n ie p r z e z c z ę ś c i j e s t równa

28

u ^ “T + ( 2 v + bu ) (-k .. ( t ,a>) jjr- - k 2 ( t ,a ) ) ■2-iy) +

J <9x4 1 wx * №

+ (-2 k ^ - b ) v 2 + (-b k ^ - 2 c )u v j d x . (m1)

Tworzymy nowy f u n k c j o n a ł

1‘ „2 2

V - X ( t , u ) V = - | [ - k 3 (b + + v 2 ( - 2 k 4 - b + * ) +

2 + u v ( - b k , - 2c + * b ) + n c u 2 - k 2 ( t , “ ) ( 2 v + b u ) +

<8x

- 2 k ^ ( t ,w ) v |ł ± j dx ( n )

i o b lic z a m y j e g o w a r ia c j e o d p o w ia d a ją c ą w a r ia c jo m <5u = < 5 u (x ,t ) o r a z cfv =

= < ! v ( x ,t )

<3(V - * (t ,u ))V ) = - j f - 2 k , ( b + t ) + 2vcf v ( - 2 k . - b + ><) +

£ J e x * <dxd 4

2. ł ( u i v + v c f u ) ( - b k 4 - 2 c + ?<b) + 2c )< u <J u - k g ( t f u>) (2<fv + b<fu)

©X

- k 2 ( t , o . ) ( 2 v + bu) - 2 k 1 ( t ,w ) ( r f v $ £ + v ^ H ) J d x . ( o )

F u n k cje d u i d v s p e ł n i a j ą w aru n k i brzegow e t e j sam ej p o s t a c i c o fu n ­ k c j e u i v . C a łk u ją c p r z e z c z ę ś c i i w y k o r z y s tu ją c w aru n k i b rzegow e ( f ) o trzym ujem y

V - t (t,u ))V = -

J

[<p(u,v,t,<o)< !u + V ( u ,v ,t ,i* ) ) J v ] d x ,

0

(P )

g d z ie

$ ( u , v , t , w ) = - 2 k ,( b + p ) -2 - j + v ( - b k . - 2 c + ^ b ) + 2c H u+

J <dxą ą

+ 2k 1 ( t , u ) f i - 2k2 ( t , « ) ( Ą + b Ą ) , (p 1 )

V ( u , v , t , u ) ) = 2 v ( - 2 k 4 - b + f) + u ( - b k 4 - 2 o + ?< b ) +

2

-2k2(t,w) A “

_ 2 k .C t.co )

"Jg.

( P2 )

^ o x

K ład ąc <5 ( V - ?t ( t , « ) V) = 0 ze w zg lęd u na n i e z a l e ż n o ś ć i5u i S v o t r z y ­ mujemy

9 ( u , v , t , t o ) = 0 ,

(Q)

V (u ,V ,t,a > ) = 0 .

O b l ic z a j ą c v z d r u g ie g o rów nania (q )

v = ■7 [ - U (- bk4 - 2c + 2k2 ^ ' “ ) + 2k 1 ^ * “ > S i ]

i p o d s t a w ia j ą c do p ie r w s z e g o d o sta je m y je d n o ró w n a n ie r ó ż n ic z k o w e w z g lę ­ dem u s

Ą 2

2-% [-k3(b + *)(-2k4 -b + X ) - k2(t,a))J + J-k2(t,w)(2c-bk4 -b2) +

+ k 2 (t,u i)J + ujjcc ( - 2k4 - b + K ) - ( - — ^ - c + —*5)^] = 0 . ( r )

Ze w z g lę d u na w arunki b rzegow e ( f ) fu n k c j a u p o s ia d a budowę

u = A s i n n * x ,

30

d la k t ó r e j ró w n a n ie ( r ) m u si b yć to ż s a m o ś c io w o s p e ł n i o n e , c o o k r e ś l a fu n ­ k c j ę

= k4 +

n 4Jt4k g (t,a > ) + acnk 2 ( t ,a ) ) + (*n + n 2* 2k 2 (t,o > ) -k ^ n 4 sr4 + c -

( S )

g d z ie

* n = n 2 * 2 ( 2 c - bk4 - b2 ) ,

= ~ k3 n4*4(k4 + b>2 + k4(k4 + b)° + °2’

W c h a r a k t e r z e f u n k c j i 7t ( t , w ) w y s t ę p u j ą c e j w z a ł o ż e n i u ( i i i ) t w i e r ­ d z e n ia 3 przyjm ujem y

?i= max ?<n ( t , c o ) . n

Ze w z g lę d u na d o w o ln o ść s t a ł y c h b i c w y s tę p u ją c y c h w f u n k c j o n a le V, za łó żm y <*n = 0 , t o j e s t

b ( k , + b)

o 2“ •

^{( t)}

P on ad to b ęd ziem y p r z y jm o w a li, ż e b z m ie n ia s i ę w p r z e d z i a l e ( 0 , - 2 k 4 ), co pow oduje

c - •£- < 0 .

D z i e l ą c l i c z n i k i m ianow nik w y r a ż e n ia p o d p ie r w ia s tk o w e g o ( s ) p r z e z ( n r ) 4 zauważam y, ż e X n p r z y jm u je sw o je maksimum d la n = 1 , t o z n a c z y :

* (t,u > ) = k 4 +

g4 k 2 (t,o > ) + ft, 4 X 2 k 2 (t,< o ) 4 bk4 , b2

T " + T

31

lu b

jc4 k 2 ( t , o . ) + x2 k 2 (t,cu)

+ T

+ (b + k 4 ) ‘ ( B i)

Z w ię k sz a ją c prawą s t r o n g ( s 1 ) n a p isz e m y

y k 2 (t,u>) + x2 k 2 (t,<*0

, A bk4

— k^ Jfy + ' ■ b 2 + 'T -

?>(t,M) < k 4 + |b + k 4 | +

W prowadzając w e k to r lo s o w y o sk ła d o w y ch

? ( t , i o ) S ( 7 1 ( t , « ) ) t ? 2 (t ,< o ))

= (-

x k 2 (t,<o)

nr*

S k ^ t.o i)

T>.

[- ^ ^ [- “ Z * ^ <■ r ] *

( s 2 ) p r z y b i e r z e p o s t a ć

* ( t ,u > ) < k 4 + |b + k 4j + ! ? ( t , U))|| .

Z a ł o ż e n i e ( i i i ) t w i e r d z e n i a 3 wymaga aż eby

e x p ( k 4 + jb + k 4 | ) E Jexp | Jf>(s,w)|j d s j < 1.

( s 2 )

(u )

(S 3 )

(v)

P r z y jm u ją c , ż e p r o c e s y o b c ią ż e n ia q o r a z p r ę d k o ś c i opływ u w p o s i a ­ d a ją r o z k ła d y n orm aln e o r a z s t o s u j ą c t w i e r d z e n i e SZURa ( 4 7 ) , w arunkiem do­

s t a te c z n y m s t a b i l n o ś c i l o k a l n e j j e s t s p e ł n i e n i e n ie r ó w n o ś c i:

•X Cp

k 4 + l b +

k

4

l

+

°o + °1 +

7 " < 0 * (w)

32

g d z i e

o .0 t > Osup E

f

5>?(t,«u) + '? f ( t ,u > ) V ,

» O L

•i =

sup

Fk C"t, "t) + Kr, „ ,

1 t > O L ?1 ?1 2 '2 J

° 2 ~ t S> P0 / tK?1 ?1 f t ’U> + K?2?2 ( t ’ U) + 2 K?1 ?2

du.

33