Podstawy Automatyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

(2)

Wstęp

Stabilność

O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie) o ograniczonej wartości jest ograniczona.

O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu rów- nowagi (rozpatrywanego punktu pracy P) powraca do niej (do pewnego stanu K ) po ustaniu działania czynników (zakłóceń z), które go z tego stanu wytrąciły.

W przypadku układów liniowych, zachowanie się układu po zaniku od- działywania, które wytrąciło go ze stanu równowagi, jest cechą charaktery- styczną danego układu i nie zależy od przebiegu oddziaływania przed jego zanikiem. (łatwa analiza)

W przypadku układów nieliniowych, ich zachowanie pod wpływem wy- muszeń i po ich zaniku może zależeć od punktu pracy układu oraz od rodzaju i wielkości wymuszeń. (trudna analiza)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

(3)

Stabilność

Możliwe są trzy rodzaje zachowań układów po wytrąceniu ze stanu rów- nowagi:

1 Układ nie osiąga stanu równowagi - układ niestabilny; szczególnym przypadkiem takiego zachowania jest wykonywanie przez układ oscylacji o stałej amplitudzie - układ na granicy stabilności.

2 Układ powraca do stanu równowagi w punkcie pracy zajmowanym przed wytrąceniem go ze stanu równowagi - układ stabilny asymptotycznie,

3 Układ osiąga stan równowagi w innym punkcie pracy niż początkowy - układ stabilny nieasymptotycznie,

(4)

Stabilność

Rysunek 1:Układ a) niestabilny, b) stabilny asymptotycznie, c) stabilny nieasymptotycznie

(5)

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe

Wymuszenie impulsowe jest najprostszym przypadkiem wymuszenia, po- zwalającego określić stabilność liniowego układu dynamicznego.

Impuls - Delta Diraca

x (t) = δ(t) =

0 dla t 6= 0

∞ dla t = 0 (1)

x (s) = 1 (2)

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe wyznacza się korzystając z zależności y (t)|_u(t)=δ= L⁻¹{G (s)x(s)} −−−−−−→

dla x (s)=1 y (t) = L⁻¹{G (s)} (3)

(6)

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe

Wybrane orginały trasformat Laplace’a po wymuszeniu impulsowym, przydatne do analizy:

L⁻¹ 1 s

= 1(t) (4)

L⁻¹ 1 s²

= t (5)

L⁻¹

1

s ± α

= e^∓αt (6)

L⁻¹

1

(s ± α)²

= te^∓αt (7)

L⁻¹

As + B s²+ Cs + D

= Ae^C²^tcos t r

D −C² 4

! +

+ 2B − AC

√

4D + C²e^C²^tsin t r

D −C² 4

! (8)

jeżeli: C²− 4D < 0 (nie ma pierwiastków rzeczywistych).

(7)

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe

Rysunek 2:Przykładowe odpowiedzi impulsowe układów: 1, 2 – stabilnych nieasymptotycznie, 3, 4 - stabilnych asymptotycznie, 5, 6 – niestabilnych, 7 – układ na granicy stabilności (drgania niegasnące)

(8)

Stabilność

Równanie ruchu liniowego, stacjonarnego układu dynamicznego

an

d⁽ⁿ⁾y (t)

dt⁽ⁿ⁾ + · · · + a1

dy (t)

dt + a0= bm

d^(m)u(t)

dt^(m) + · · · + b1

du(t)

dt + b0 (9) Transmitancja operatorowa

G (s) = Y (s)

U(s) =bms^m+ · · · + b2s²+ b1s + b0

a_nsⁿ+ · · · + a₂s²+ a₁s + a₀ (10) Odpowiedź impulsowa

y (t)|_u(t)=δ= g (t) = L⁻¹{G (s)} (11) Równanie charakterystyczne - mianownik transmitancji operatorowej

(9)

Stabilność asymptotyczna

Przypadek 1: Równanie charakterystyczne ma tylko ujemne, pojedyncze pierwiastki rzeczywiste.

G (s) = L(s)

an(s − s1)(s − s2) . . . (s − sn) (12) Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C1

s − s₁ + C2

s − s₂ + · · · + Cn

s − s_n (13)

y (t) = L⁻¹{G (s)} = C1e^s¹^t+ C2e^s²^t+ ... + Cne^sⁿ^t (14)

t→∞lim y (t) = 0 jeżeli s1, . . . , sn< 0 (15) Układ jest stabilny asymptotycznie.

(10)

Stabliność asymptotyczna

Rysunek 3:Położenie pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznie liczb zespolonych s

(11)

Stabilność asymptotyczna

Przypadek 2: Równanie charakterystyczne ma jeden podwójny, ujemny, pierwiastek rzeczywisty, a pozostałe pierwiastki są pojedyncze, ujemne, rzeczywiste.

G (s) = L(s)

an(s − s1)²(s − s3) . . . (s − sn) (16) Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C₁ s − s1

+ C₂

(s − s1)²+ C₃ s − s3

+ · · · + C_n s − sn

(17)

y (t) = L⁻¹{G (s)} = C1e^s¹^t+ C2te^s¹^t+ C3e^s³^t+ ... + Cne^sⁿ^t (18)

t→∞lim y (t) = 0 jeżeli s1, . . . , sn< 0 (19) ponieważ funkcja wykładnicza e^s¹^t|s₁<0−−−−−→

dla t→∞ 0.

Układ jest stabilny asymptotycznie.

(12)

Stabliność asymptotyczna

(13)

Stabilność nieasymptotyczna

Przypadek 3: Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek zerowy a pozostałe pierwiastki pojedyncze ujemne rzeczywiste

G (s) = L(s)

an(s)(s − s2) . . . (s − sn) (20) Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C₁ s + C₂

s − s2

+ · · · + C_n s − sn

(21) y (t) = L⁻¹{G (s)} = C₁+ C₂e^s²^t+ ... + C_ne^sⁿ^t (22)

t→∞lim y (t) = C₁jeżeli s₂, . . . , s_n< 0 (23) Układ jest stabilny nieasymptotycznie.

(14)

Stabliność nieasymptotyczna

(15)

Brak stabilności

Przypadek 4: Równanie charakterystyczne ma dwa (lub więcej) pierwiastki zerowe a pozostałe pierwiastki pojedyncze ujemne rzeczywiste.

G (s) = L(s)

a_n(s)²(s − s₃) . . . (s − s_n) (24) Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C1

s + C2

(s)² + C3

s − s3

+ · · · + Cn

s − sn

(25)

y (t) = L⁻¹{G (s)} = C₁+ C₂t + C₃e^s³^t+ ... + C_ne^sⁿ^t (26)

t→∞lim y (t) = ∞ ponieważ C2t → ∞ (27) Układ jest niestabilny.

(16)

Brak stabilności

(17)

Stabilność asymptotyczna (oscylacje)

Przypadek 5: Równanie charakterystyczne ma niezerowe pojedyncze pier- wiastki rzeczywiste i pierwiastki zespolone sprzężone - o ujemnych czę- ściach rzeczywistych

s₁= a + jb, s₂= a − jb (28)

G (s) = L(s)

an(s²− 2as + a²+ b²)(s − s3) . . . (s − sn) (29) po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C₁s + C₂

(s²− 2as + a²+ b²)+ C₃ s − s3

+ · · · + C_n s − sn

(30)

y (t) = L⁻¹{G (s)} = C₁e^atcos(bt)+C2+ aC1

b e^atsin(bt)+C₃e^s³^t+...+C_ne^sⁿ^t (31)

t→∞lim y (t) = 0 jeżeli a < 0, i Re(s3), . . . , Re(sn) < 0 (32) Układ jest stabilny asymptotycznie, z gasnącymi oscylacjami (czynnik eks-

(18)

Stabilność asymptotyczna (oscylacje)

(19)

Brak stabilności (granica stabliności)

Przypadek 6: Równanie charakterystyczne ma niezerowe pojedyncze pier- wiastki rzeczywiste i pierwiastki zespolone sprzężone o zerowych częściach rzeczywistych

x₁= jb, x₂= −jb (33)

G (s) = L(s)

(s²+ b²)(s − s3) . . . (s − sn) (34) po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C₁s + C₂ (s²+ b²)+ C₃

s − s3

+ · · · + C_n s − sn

(35)

y (t) = L⁻¹{G (s)} = C₁cos(bt) +C₂

b sin(bt) + C₃e^s³^t+ ... + C_ne^sⁿ^t (36) Jeżeli s₃, . . . , s_n< 0, to układ jest na granicy stabilności, w którym ustalają się drgania niegasnące (funkcje okresowe nie mają czynnika ekspotencjal- nego).

(20)

Brak stabilności (granica stabliności)

(21)

Stabilność

Podsumowując:

Układ jest stabilny asymptotycznie, jeżeli jego równanie

charakterystyczne układu ma pierwiastki rzeczywiste ujemne lub zespolone o ujemnych częściach rzeczywistych.

Układ ten jest stabilny nieasymptotycznie jeżeli jego równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków rzeczywistych ujemnych lub o ujemnych częściach rzeczywistych ma jeden pierwiastek zerowy.

Układ ten jest niestabilny jeżeli jego równanie charakterystyczne ma więcej niż jeden pierwiastek zerowy lub pierwiastki rzeczywiste dodatnie lub zespolone o dodatnich częściach rzeczywistych.

Układ jest na granicy stabilności (generuje drgania niegasnące) jeżeli równanie charakterystyczne układu nie ma więcej niż jednego pierwiastka zerowego i nie ma pierwiastków rzeczywistych dodatnich lub zespolonych o dodatnich częściach rzeczywistych, natomiast ma pierwiastki zespolone o zerowych częściach rzeczywistych.

(22)

Stabilność - kryteria stabilności

Do oceny stabilności układów liniowych wystarczy znajomość roz- kładu pierwiastków równania charakterystycznego układu na płasz- czyźnie zmiennej zespolonej s.

Problemy, które się pojawiają przy tej metodzie

obliczanie pierwiastków równań wyższych rzędów nie jest łatwe, nie zawsze znane jest równanie charakterystyczne układu.

Inne metody określania stabilności – tzw. kryteria stabilności, które nie wymagają wyznaczania wartości pierwiastków równania charakterystycznego:

kryteria analityczne (Hurwitza, Routha),

kryteria graficzne (kryterium Michajłowa, metoda Evansa), kryteria graficzno–analityczne (kryterium Nyquista, rozkład D).

(23)

Kryterium Hurwitza

Kryterium Hurwitza umożliwia sprawdzenie, czy równanie algebraiczne do- wolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki o częściach rzeczywistych ujemnych. Zastosowanie jego ograniczone jest do stacjonarnych liniowych ukła- dów o parametrach skupionych (LTI) i transmitancji danej w postaci ana- litycznej.

Równanie algebraiczne stopnia n o stałych rzeczywistych współczynnikach

an

d⁽ⁿ⁾y (t) dt⁽ⁿ⁾ + an−1

d⁽ⁿ⁻¹⁾y (t)

dt⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a1

dy (t)

dt + a0 (37) ma wszystkie pierwiastki ujemne, lub o ujemnych częściach rzeczywistych, jeżeli są spełnione dwa warunki, zwane warunkami Hurwitza.

1 WARUNEK I: Wszystkie współczynniki a0, a1, . . . , an, tego równania są różne od zera i są jednakowego znaku,

2 WARUNEK II: Wszystkie wyznaczniki minorów głównych tzw.

(24)

Kryterium Hurwitza

Macierz Hurwitza

Macierz Hurwitza ma następującą postać

∆_n=

an−1 an 0 − 0 0 0

a_n−3 a_n−2 a_n−1 − 0 0 0 a_n−5 a_n−4 a_n−3 − 0 0 0

− − − − − − −

0 0 0 − a₂ a₃ a₄

0 0 0 − a₀ a₁ a₂

0 0 0 − 0 0 a0

_n×n

(38)

Dla warunku II, wystarczy policzyć wyznczniki minorów 2, . . . , n − 1.

(25)

Kryterium Hurwitza- przykład 1

Wyznaczyć macierz Hurwitza dla równania czwartego stopnia

a₄s⁴+ a₃s³+ a₂s²+ a₁s + a₀= 0 (39)

∆₄=

a₃ a₄ 0 0 a1 a2 a3 a4

0 a0 a1 a2

0 0 0 a0

(40)

Jego podwyznacznikami głównymi są:

∆₂=

a3 a1

a4 a2

(41)

∆₃=

a₃ a₁ 0 a₄ a₂ a₀

0 a₃ a₁

(42)

(26)

Kryterium Hurwitza - przykład 2

Wyznaczyć zakres wartości wzmocnienia kp, zapewniający stabilną pracę układu.

Gs =

1 (Ts+1)⁴

1 +_(Ts+1)¹ 4kp

= 1

(Ts + 1)⁴+ k_p (43)

Równanie charakterystyczne układu:

(Ts + 1)⁴+ kp= 0 (44)

(27)

Kryterium Hurwitza

Uwagi do kryterium Hurwitz a

UWAGA 1: Możliwość wystąpienia stabilności nieasymptotycznej za- chodzi gdy w równaniu charakterystycznym stopnia n współczynnik a0= 0 (równanie ma jeden pierwiastek zerowy), natomiast pozostałe współczyn- niki są większe od zera.

Po podzieleniu stron równania charakterystycznego przez s, otrzymuje się równanie stopnia n − 1, w odniesieniu do którego należy zastosować kry- terium Hurwitza w celu sprawdzenia znaku pozostałych pierwiastków.

Jeżeli równanie to spełni warunki Hurwitza to oznaczać będzie, że układ posiada jeden pierwiastek zerowy a pozostałe pierwiastki są ujemne lub mają części rzeczywiste ujemne i sprawdzany układ jest stabilny nieasymptotycznie.

UWAGA 2: Kryterium Hurwitza nie umożliwia badania stabilności układu z opóźnieniami.

(28)

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista umożliwia ocenę stabilności układu zamkniętego na podstawie charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego.

Transmitancja układu zamkniętego

GZ(s) = G1(s)

1 + G₁(s)G₂(s) (45)

Transmitancja układu otwartego

G0(s) = G1(s)G2(s) (46)

(29)

Uproszczone kryterium Nyquista

Uproszczone kryterium Nyquista

W przypadku kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o dodatnich częściach rzeczywistych (może mieć dowolna liczbę pierwiastów zerowych), układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego nie obej- muje punktu o współrzędnych {–1, j 0}.

’Nie obejmuje’ oznacza, że przy przesuwaniu się wzdłuż charakterystyki w kierunku wzrastających pulsacji, punkt {–1, j 0} pozostaje po lewej stronie charakterystyki

UWAGA: Uproszczone kryterium Nyquista nie obejmuje przypadków kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego, oprócz ujemnych lub zerowych, ma także pierwiastki dodatnie lub o dodatnich częściach rzeczywistych.

(30)

Kryterium Nyquista

Cechy kryterium Nyquista

charakterystyka częstotliwościowa układu otwartego, na podstawie której określana jest stabilność układu zamkniętego, może być łatwo wyznaczana analitycznie lub doświadczalnie,

kryterium umożliwia nie tylko stwierdzenie faktu stabilności, lecz także umożliwia projektowanie układu o określonych właściwościach dynamicznych,

kryterium umożliwia badanie stabilności układów zawierających elementy opóźniające.

(31)

Kryterium Nyquista

Rysunek 9:Charakterystyki aplitudowe-fazowe układu otwartego w przypadku 1) stabilnego układu zamkniętego, 2) niestabilnego układu zamkniętego

Warunki Nyquista

M(ω_−π) < 1; gdzie ω_−π : ϕ(ω_−π) = −π (47) ϕ(ω ) > −π; gdzie ω : M(ω ) = 1 (48)

(32)

Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk układów stabilnych

Rysunek 10:Przykłady charakterystyk amplitudowo – fazowych układów otwartych, odpowiadających: stabilnym układom zamkniętym - charakterystyka nie obejmuje punktu {−1, j 0}

(33)

Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk układów niestabilnych

Rysunek 11:Przykłady charakterystyk amplitudowo – fazowych układów otwartych, odpowiadających: niestabilnym układom zamkniętym - charakterystyka obejmuje punkt {−1, j 0}

(34)

Kryterium Nyquista

(35)

Kryterium Nyquista - charaktersytyki Bodego

Warunki Nyquista dla charakterystyk amplitudowej i fazowej

L(ω_−π) = 20 log M(ω_−π) < 0;

(49) ϕ(ωp) > −π; gdzie L(ωp) = 0 (50)

(36)

Kryterium Nyquista - zapas modułu i zapas fazy

Zapas modułu

∆M = 1

M(ω_−π) (51)

∆L = −20 log M(ω−π) (52) Zapas fazy

∆ϕ = π + ϕ(ωp) (53) Zapas modułu i fazy układu sta- bilnego ma wartości dodatnie.

PRAKTYKA PRZEMYSŁOWA 30 deg < ∆ϕ < 60 deg (54) 2 ¬ ∆M ¬ 4 → 6dB ¬ ∆L ¬ 12dB

(55)

(37)

Kryterium Nyquista - przykład 1

Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu

G0(s) = 1

s³+ 3s²+ s + 1 (56)

(38)

Kryterium Nyquista - przykład 2

Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu i wyznaczyć zapasy stabilności.

G₀(s) = 10

(0.1s + 1)(0.001s + 1) 1

0.3s (57)

(39)