Wybrane własności korelacji w mechanice kwantowej i ogólnych teoriach probabilistycznych

Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

Wydział Fizyki

Rozprawa doktorska

Wybrane własno´sci korelacji w

mechanice kwantowej i ogólnych

teoriach probabilistycznych

Waldemar Kłobus

Promotor:

prof. UAM dr hab. Andrzej Grudka

Wydział Fizyki UAM

Promotor pomocniczy:

dr Karol Horodecki

Instytut Informatyki UG

O ´S W I A D C Z E N I E

Ja, ni˙zej podpisany

Waldemar Kłobus,

słuchacz studiów doktoranckich na Wydziale Fizyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu o´swiadczam, ˙ze przedkładan ˛a rozpraw˛e doktorsk ˛a pt.:

Wybrane własno´sci korelacji w mechanice kwantowej i ogólnych teoriach probabilistycznych

napisałem samodzielnie. Oznacza to, ˙ze przy pisaniu pracy, poza niezb˛ednymi konsul-tacjami, nie korzystałem z pomocy innych osób, a w szczególno´sci nie zlecałem opra-cowania rozprawy lub jej cz˛e´sci innym osobom, ani nie odpisywałem tej rozprawy lub jej cz˛e´sci od innych osób.

O´swiadczam równie˙z, ˙ze egzemplarz rozprawy doktorskiej w formie wydruku komputerowego jest zgodny z egzemplarzem rozprawy doktorskiej w formie elek-tronicznej.

Jednocze´snie przyjmuj˛e do wiadomo´sci, ˙ze gdyby powy˙zsze o´swiadczenie okazało si˛e nieprawdziwe, decyzja o wydaniu mi dyplomu zostanie cofni˛eta.

... Waldemar Kłobus

Składam serdeczne podzi˛ekowania za granty, które przyczyniły si˛e do powstania niniejszej pracy:

• European Research Council Advanced Grant: QOLAPS (jednostka kieruj ˛aca: Uniwersytet Gda´nski, partner: Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Pozna-niu);

• grant Narodowego Centrum Nauki: Maestro DEC-2011/02/A/ST2/00305 (jed-nostka kieruj ˛aca: Uniwersytet Gda´nski);

• grant Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wy˙zszego: IdP2011 000361 (jednostka kieruj ˛aca: Uniwersytet Gda´nski).

Jednocze´snie pragn˛e zło˙zy´c podzi˛ekowania za przyznane mi Stypendium Fundacji UAM na rok akademicki 2013/14.

Serdecznie dzi˛ekuj˛e Panu Prof. UAM dr. hab. Andrzejowi Grudce za wszelakie meryto-ryczne i pozamerytomeryto-ryczne wsparcie, którego mogłem do´swiadczy´c przez ostatnie cztery lata, a czego nie sposób szczegółowo wymieni´c na tej˙ze skromnych rozmiarów stronnicy, by nie pomin ˛a´c niczego, co nale˙załoby przy tej sposobno´sci uczyni´c.

Serdeczne podzi˛ekowania kieruj˛e równie˙z pod adresem dra Karola Horodeckiego, w szczególno´sci za´s za jego niestrudzon ˛a ch˛e´c pomocy przy wyja´snianiu nawet najdrobniej-szych zawiło´sci podczas pracy naukowej.

Pragn˛e równie˙z podzi˛ekowa´c wszystkim, dzi˛eki którym mo˙zliwe było napisanie tej˙ze pracy oraz tym, którzy nawet bezwiednie udzielali mi wsparcia, nie wył ˛aczaj ˛ac rodziny, przyjaciół i osób jedynie mnie samemu wiadomych.

Streszczenie

Rozprawa doktorska jest po´swi˛econa analizie pewnych własno´sci korelacji w me-chanice kwantowej oraz ogólnych teoriach probabilistycznych.

Pierwsza cz˛e´s´c rozprawy dotyczy aktywacji łamania nierówno´sci CHSH za pomoc ˛a wymiany spl ˛atania. Pokazano, ˙ze wykorzystuj ˛ac wiele odpowiednio dobranych sta-nów niełami ˛acych nierówno´sci CHSH mo˙zna, w wyniku wykonywania wielokrotnej wymiany spl ˛atania, otrzyma´c stan kwantowy łami ˛acy t˛e nierówno´s´c.

W drugiej cz˛e´sci rozprawy wprowadzono miary kontekstualno´sci: wzajemn ˛a in-formacj˛e kontekstualno´scioraz wzgl˛edn ˛a entropi˛e kontekstualno´sci. Pokazano, ˙ze obie miary s ˛a sobie równowa˙zne. Ponadto wyznaczono warto´sci wzgl˛ednej entropii kon-tekstualno´sci mi˛edzy innymi dla nast˛epuj ˛acych układów: kwadratu Peresa-Mermina, gwiazdy Mermina oraz układu Popescu-Rohrlicha.

Kolejna cz˛e´s´c rozprawy dotyczy ogranicze´n na ilo´s´c korelacji mi˛edzy wynikami pomiarów wykonywanych przez dwie osoby na współdzielonym stanie kwantowym. Zaproponowano i udowodniono dla szerokich klas stanów kwantowych nowe zasady wykluczania informacji. Pierwsza z nich ogranicza sum˛e wzajemnych informacji w przypadku, gdy jedna osoba mierzy jedn ˛a obserwabl˛e, a druga osoba mierzy jedn ˛a z dwóch obserwabli. Druga zasada ogranicza sum˛e wzajemnych informacji w przy-padku, gdy obie osoby mierz ˛a po jednej z dwóch obserwabli.

W ostatniej cz˛e´sci rozprawy zbadano relacje mi˛edzy kodami swobodnego dost˛epu a układami (nie-)sygnalizuj ˛acymi. Zdefiniowano układ zwi ˛azany z kodem swobodnego dost˛epu(uKS D), który wraz z wykorzystaniem dodatkowego bitu informacji funkcjo-nuje jak kod swobodnego dost˛epu. Wykazano, ˙ze niesygnalizuj ˛acy uKSDjest równo-wa˙zny układowi Popescu-Rohrlicha. Dodatkowo sformułowano nierówno´sci wi ˛a˙z ˛ace mo˙zliwo´sci wykorzystania tych zasobów oraz pokazano, ˙ze w niektórych przypadkach zasoby sygnalizuj ˛ace mog ˛a by´c mniej u˙zyteczne ni˙z niesygnalizuj ˛ace.

Abstract

The matter of the dissertation covers the topic of correlations in quantum mecha-nics and in generalized probabilistic theories.

The first section of the dissertation concerns the activation of violation of CHSH inequality using entanglement swapping. It was shown that by performing multiple entanglement swappings on a number of states which do not violate CHSH inequality it is possible to obtain a state which violates this inequality.

In the second section two measures of contextuality are introduced: mutual

infor-mation of contextualityand relative entropy of contextuality. It was shown that the two measures are equal. The relative entropy of contextuality was calculated for some par-ticular boxes including among others Peres-Mermin square, Mermin star and Popescu-Rohrlich box.

The next section analyzes bounds on correlations between outputs of measure-ments performed by two parties on a shared quantum state. The new information exclusion relations are postulated and proved for a vast class of quantum states. The first relation bounds the sum of two mutual informations when one party measures a single observable and the other party measures one of two observables. The second relation bounds the sum of two mutual informations when each party measures one of two observables.

In the last section the relation between random access codes and (non-)signalling boxes is analyzed. A new box called racbox is defined, which if supplied with one bit of communication offers random access code. It was shown that nonsignalling

racbox is equivalent to Popescu-Rohrlich box. Additionally, the resource inequality is formulated and it was shown that in some cases signalling resources can be less efficient than nonsignalling ones.

Spis tre´sci

Spis rysunków

iii

1 Wst ˛ep

1

2 Podstawowe wiadomo´sci teoretyczne

3

2.1 Nielokalno´s´c. . . 3

2.1.1 Korelacje lokalne. . . 3

2.1.2 Nierówno´s´c CHSH . . . 4

2.1.3 Korelacje kwantowe i łamanie nierówno´sci CHSH . . . 6

2.1.4 Inne nierówno´sci Bella . . . 9

2.1.5 Korelacje w teoriach niesygnalizuj ˛acych . . . 10

2.1.6 Nielokalno´s´c a kody swobodnego dost˛epu . . . 11

2.2 Zasady nieoznaczono´sci . . . 13

2.2.1 Pierwotne zasady nieoznaczono´sci . . . 13

2.2.2 Entropowe zasady nieoznaczono´sci . . . 14

2.2.3 Zasady wykluczania informacji . . . 16

2.3 Kontekstualno´s´c . . . 18

3 Aktywacja nielokalnych korelacji kwantowych

25

3.2 Ła´ncuch stanów . . . 25

3.3 Wymiana spl ˛atania w ła´ncuchu stanów. . . 27

3.4 Aktywacja nielokalno´sci w ła´ncuchu stanów. . . 29

3.5 Przypadki nieprowadz ˛ace do aktywacji nielokalno´sci . . . 30

3.5.1 Stany|Φ±〉 jako wyniki pomiarów Bella . . . 32

3.5.2 U˙zycie tylko jednej klasy stanów . . . 32

3.5.3 Niesymetryczny ła´ncuch stanów . . . 34

4 Miary kontekstualno´sci

36

4.2 Wprowadzenie miar kontekstualno´sci . . . 36

4.2.1 Podstawowe poj˛ecia . . . 36

4.2.2 Wzajemna informacja kontekstualno´sci . . . 43

SPIS TREŚCI ii

4.3 Własno´sci miar kontekstualno´sci . . . 48

4.3.1 Równo´s´c I_max oraz X_max . . . 48

4.3.2 Relacja mi˛edzy Xmax oraz Xu . . . 52

4.4 Warto´sci Xmax dla wybranych układów . . . 56

4.4.1 Symetryzacja i układy izotropowe. . . 57

4.4.2 Zbiory automorfizmów dla wybranych układów . . . 60

4.4.3 Wyznaczenie miary Xu dla wybranych układów . . . 63

4.4.4 Zestawienie wyników. . . 75

5 Zasady wykluczania informacji

78

5.2 Relacja wykluczania informacji w przypadku 1:2 obserwabli . . . 78

5.2.1 Ogólny dowód relacji (5.8) przedstawiony w pracy[20] . . . 85

5.3 Relacja wzajemnej nieoznaczono´sci dla dwóch par obserwabli . . . . 87

6 Równowa˙zno´s ´c układów PR i kodów swobodnego dost ˛epu

95

6.2 Podstawowe poj˛ecia . . . 95

6.3 Równowa˙zno´s´c układu PR i niesygnalizuj ˛acego uKS D . . . .100

6.4 Nierówno´s´c wi ˛a˙z ˛aca zasoby PR i uKS D . . . .102

7 Podsumowanie

118

Spis rysunków

2.1 6 podzbiorów współmierzalnych obserwabli Ai (6 kontekstów) tworz ˛a

3 rz˛edy oraz 3 kolumny. . . 20

2.2 5 podzbiorów współmierzalnych obserwabli (5 kontekstów) tworzo-nych jest przez 5 grup współliniowych obserwabli Ai. . . 21

2.3 5 podzbiorów ortogonalnych operatorów rzutowych (5 kontekstów) tworzonych jest przez 5 parΠi,Πi+1mod5.. . . 23

3.1 Ła´ncuch stanów wykorzystywanych w niniejszej procedurze. Ka˙zda para u˙zytkowników P_−i−1, P_−i współdzieli stanρ_L, podczas gdy pary u˙zyt-kowników P_i, P_i+1 (1 ¶ i ¶ N − 1) współdziel ˛a stanρ_R. Centralny stan

ρ1 jest współdzielony przez u˙zytkowników P−1 oraz P1. Ka˙zdy

u˙zyt-kownik dokonuje pomiaru w bazie Bella na qubitach pochodz ˛acych z dwóch s ˛asiednich stanów. ´Zródło:[13]. . . 25

3.2 Parametry stanów ρR i ρL nie pozwalaj ˛ace na złamanie nierówno´sci

CHSH (zacieniony obszar). ´Zródło:[13]. . . 27

3.3 StanyρL orazρR, które pozwalaj ˛a na złamanie nierówno´sci CHSH po

dokonaniu n wymian spl ˛atania, w przypadku gdy wszystkie pomiary Bella daj ˛a wynik|Ψ±_{〉 dla n = 2, 4, ..., 20 i n → ∞ (odpowiednie}

zacie-nione obszary w kierunku malej ˛acych warto´sciα) przy p1= 0, 01. . . . 30

3.4 Krytyczna liczba pomiarów Bella n_c z wynikami |Ψ±〉 konieczna do aktywacji nielokalno´sci dla wybranych stanów pocz ˛atkowych ρ_L i ρ_R (p=0,75) z α = 20

25π (linia ci ˛agła), α = 21

25π (linia przerywana) oraz

α = 22

25π (linia kropkowana). ´Zródło: [13]. . . 31

3.5 Zakres stanów, dla których wynik pomiaru |Φ±_{〉 prowadzi do}

powsta-nia stanu separowalnego ρ_RRΦ± (odpowiednio ρΦ_1R±), w przypadku gdy pomiar dokonywany jest na stanie ρ_R ⊗ ρR (ρ1 ⊗ ρR), przedstawia

obszar poni˙zej linii kropkowanej (kropkowano-przerywanej). W przy-padkuρ_1RΦ± wykorzystano stan ρ1 z p1¶

1 p

2. ´Zródło:[13]. . . 33

4.1 Hipergraf GPR dla układu PR. Kraw˛edzie ci ˛agłe przedstawiaj ˛a

kontek-sty posiadaj ˛ace równoprawdopodobne ci ˛agi wyników z parzysto´sci ˛a 0, natomiast kraw˛ed´z przerywana przedstawia kontekst posiadaj ˛acy rów-noprawdopodobne ci ˛agi wyników z parzysto´sci ˛a 1. . . 42

4.2 Przykładowy hipergraf G_{C H(n)} (n= 6) dla układu ła´ncuchowego CH_(n). 42

4.3 Hipergraf G_{P M} dla układu P M . . . . 42

SPIS RYSUNKÓW iv

4.5 Hipergraf GC H₍₅₎ dla układu K. Kraw˛edzie przedstawiaj ˛a relacje

ortogo-nalno´sci projektorów uto˙zsamianych z w˛ezłami grafu. . . 43

4.6 Schematyczne przedstawienie układu kontekstualnego dla obserwabli

A₁, ..., A₅ (konteksty tworz ˛a pary s ˛asiednich obserwabli): a) Statystyka układu opisana jest przed pi˛e´c niezale˙znych ł ˛acznych rozkładów, z któ-rych ka˙zdy opisuje statystyk˛e wybranego kontekstu; b) Nie istnieje na-tomiast jeden ł ˛aczny rozkład prawdopodobie´nstwa dla wszystkich ob-serwabli; c) Mo˙zliwy opis statystyki układu z u˙zyciem dwóch ró˙znych ł ˛acznych rozkładów prawdopodobie´nstwa, ka˙zdy z nich nie oddaje po-prawnie statystyki pewnego kontekstu: lewy A₁A₅, prawy A₃A₄. ´ Zró-dło:[14]. . . 44

4.7 Schemat gry „zgadnij kontekst”: Alicja ogłasza wybrany przez siebie kontekst c, Czarek przygotowuje Ac o odpowiednim rozkładzie,

Bo-lek znaj ˛ac rozkłady układu wyj´sciowego wnioskuje wybrany przez ni ˛a kontekst. ´Zródło:[14]. . . 45

4.8 Wykres zale˙zno´sci miary Xu postaci (4.107) od parametru α dla

ró˙z-nych izotropowych układów ła´ncuchowych: C H_α(4)(linia ci ˛agła), C H(5)_α (linia przerywana), C H_α(6) (linia przerywano-kropkowana) oraz C H(7)_α (linia kropkowana).. . . 71

4.9 Orbity powstałe przez zsymetryzowanie punktów ekstremalnych roz-kładu p(λ) b˛ed ˛acych niezmiennikami działania grupy D5, w

parame-tryzacji prawdopodobie´nstw rozkładu dla pojedynczego kontekstu. Zbiór zsymetryzowanych niekontekstualnych rozkładów prawdopodobie´nstwa zgodnych z układem K jest równowa˙zny uwypukleniu zbioru rozkła-dów ˜p1(λ_c1), ˜p4(λ_c1), ˜p6(λ_c1) oraz ˜p8(λ_c1) (zacieniony obszar). . . 75

4.10 Warto´s´c miary Xmax dla układów ła´ncuchowych w zale˙zno´sci od liczby

kontekstów n. Górne punkty odpowiadaj ˛a warto´sciom miary dla mak-symalnie kontekstualnych układów (α = 1), dolne punkty odpowiadaj ˛a warto´sciom miary dla maksymalnie kontekstualnych układów kwanto-wych. ´Zródło:[14]. . . 76

5.1 Wektory bazowe obserwabli (5.12) (przerywane) oraz (5.13) (kropko-wane) w przypadku d = 3. Wspólny wektor bazowy |0〉 przedstawiony został lini ˛a ci ˛agł ˛a. . . 81

5.2 Wektory bazowe obserwabli (5.34) oraz (5.35) (ci ˛agłe) oraz (5.36) (przerywane). Wektor |b1(1)〉 le˙zy w płaszczy´znie rozpi˛etej przez

wek-tory |b(2)2 〉 oraz |b (2)

3 〉. Podobnie, wektor |b (2)

1 〉 le˙zy w płaszczy´znie

roz-pi˛etej przez wektory|b2(1)〉 oraz |b (1)

3 〉.. . . 85

5.3 Wzajemna informacja I(A : B) dla pomiarów w bazach (5.82) i (5.83) liczona na stanie|Φ〉AB(a) = a|0〉 ⊗ |0〉 +

p

1− a2_{|1〉 ⊗ |1〉 w zale˙zno´sci}

SPIS RYSUNKÓW v

6.1 Schematyczne przedstawienie układu PR maj ˛acego dwa wej´scia x, y oraz dwa wyj´scia X , Y . Dla układu PR spełniony jest warunek X ⊕ Y =

x y. ´Zródło:[21]. . . 97

6.2 Schematyczne przedstawienie kodu swobodnego dost˛epu (KS D) ma-j ˛acego dwa wej´scia po stronie Alicji a0, a1, natomiast po stronie Boba

jedno wej´scie b oraz jedno wyj´scie B. Dla KS D spełniony jest warunek

p(B = a_b|b) = 1. ´Zródło: [21]. . . 97

6.3 Schematyczne przedstawienie układu zwi ˛azanego z kodem swobod-nego dost˛epu (uKS D) maj ˛acego dwa wej´scia po stronie Alicji a0, a1,

dwa wej´scia po stronie Bolka b, A0oraz po jednym wyj´sciu po obu stro-nach, odpowiednio A i B. uKS D działa jak KS D, o ile wej´scie A0 jest równe wyj´sciu A. W szczególno´sci, je´sli Alicja prze´sle Bolkowi jeden bit informacji (A), to w przypadku gdy Bolek u˙zyje A jako wej´scie A0, otrzymamy B= a_b. ´Zródło:[21]. . . 98

6.4 Niesygnalizuj ˛acy uKS D spełnia warunek B = a_b⊕ A ⊕ A0_{: dla A = A}0

działa jak KS D, natomiast dla A 6= A0 działa jak ant y-KS D. ´Zródło: [21]. . . 100

6.5 Symulacja niesygnalizuj ˛acego uKS D przez układ PR. Symbol „⊗” ozna-cza tutaj wykonanie operacji kontrolowanej negacji odpowiedniego bitu (C-NOT). ´Zródło:[21]. . . 101

6.6 Symulacja układu PR przez niesygnalizuj ˛acy uKS D. Odpowiednie wej-´scia i wyjwej-´scia uKS D zostały dobrane w taki sposób (a0= 0, a1= x, b =

y, A0= 0), by spełniony był warunek PR-korelacji w postaci (6.3). ´Zró-dło:[21]. . . 102

6.7 Protokół kodowania wykorzystany do wykazania nierówno´sci zasobo-wej (6.28). Bit informacji, który ma by´c przesłany od Alicji do Bolka oznaczony jest jako z. Kanał E jest kanałem wymazuj ˛acym z prawdo-podobie´nstwem wymazywania" = p(y = 1): z prawdopodobie´nstwem

" wiadomo´s´c z jest tracona, natomiast z prawdopodobie´nstwem 1 − "

wiadomo´s´c z jest dostarczana niezmieniona, przy czym odbiorca (Bo-lek) wie która sytuacja zaszła. Wej´scia x, y oraz wyj´scia X , Y spełniaj ˛a warunek PR-korelacji X⊕ Y = x y. ´Zródło: [21]. . . 104

6.8 Przykład sygnalizuj ˛acego uKS D∗ _{u˙zytego do wykazania nierówno´sci}

zasobowej (6.31). Symbol „„” oznacza generacj˛e losowego bitu, na-tomiast bramka z symbolami „×” jest bramk ˛a kontrolowanej wymiany odpowiednich bitów. W przypadku gdy A= A0, wymiana bitów nie na-st˛epuje i wyj´sciem z układu po stronie Bolka jest wyj´scie KS D, tym samym przedstawiony uKS D∗ działa jak KS D. Je´sli natomiast A6= A0_,

Rozdział 1

Wst ˛ep

Niniejsza rozprawa jest po´swi˛econa zbadaniu wybranych własno´sci korelacji w mechanice kwantowej i ogólnych teoriach probabilistycznych w ró˙znych ich aspek-tach. Struktura pracy przedstawia si˛e nast˛epuj ˛aco:

W Rozdziale2omówimy podstawowe poj˛ecia wykorzystane w dalszej cz˛e´sci pracy. Zdefiniujemy tu poj˛ecie korelacji lokalnych, wyprowadzimy nierówno´s´c CHSH [1]

oraz poka˙zemy w jaki sposób jest ona łamana przez pewne szczególne układy kwan-towe. Dalej omówimy warunki niesygnalizowania oraz zdefiniujemy układ Popescu-Rohrlicha [2,3] łami ˛acy maksymalnie nierówno´s´c CHSH. Omówimy kody swobod-nego dost˛epu, po czym rozpatrzymy mo˙zliwo´sci jego symulowania wykorzystuj ˛ac układy kwantowe lub układ Popescu-Rohrlicha. W dalszej cz˛e´sci przypomnimy znane w literaturze zasady nieoznaczono´sci ze szczególnym uwzgl˛ednieniem entropowych zasad nieoznaczono´sci. Nast˛epnie omówimy relacj˛e wykluczania informacji Halla[4],

która wynika bezpo´srednio z entropowej zasady nieoznaczono´sci Maassena-Uffinka [5]. W ostatniej cz˛e´sci wprowadzimy poj˛ecie kontekstualno´sci. Przytoczymy tutaj

równie˙z przykłady układów kontekstualnych realizowanych w ramach mechaniki kwan-towej: kwadrat Peresa-Mermina, gwiazda Mermina[6–8] oraz układ KCBS [9].

W Rozdziale3omówimy aktywacj˛e łamania nierówno´sci CHSH z wykorzystaniem wielokrotnej wymiany spl ˛atania kwantowego dokonan ˛a w ła´ncuchu stanów dwuqu-bitowych[10–13]. W pierwszej kolejno´sci scharakteryzujemy wykorzystywane stany

kwantowe oraz okre´slimy przedziały parametrów, dla których nie łami ˛a one nierów-no´sci CHSH. Poka˙zemy, ˙ze w przypadku otrzymywania pewnych okre´slonych wyni-ków pomiaru Bella po dostatecznie du˙zej liczbie wymian spl ˛atania, z pocz ˛atkowych stanów niełami ˛acych nierówno´sci CHSH mo˙zna uzyska´c stan ko´ncowy łami ˛acy t˛e nie-równo´s´c. Nast˛epnie rozwa˙zymy przypadki, które dla okre´slonych parametrów pocz ˛ at-kowych stanów kwantowych nie prowadz ˛a do aktywacji łamania nierówno´sci CHSH. Rozdział4po´swi˛econy jest miarom korelacji kontekstualnych[14]. W

szczególno-´sci wprowadzimy poj˛ecie dwóch miar: pierwsza z nich (wzajemna informacja

kontek-stualno´sci) okre´sla ilo´s´c korelacji mi˛edzy zmienn ˛a losow ˛a okre´slaj ˛ac ˛a kontekst pomia-rowy a wynikami pomiarów dokonanych na danym układzie; druga miara

(wzgl˛ed-nej entropii kontekstualno´sci) okre´sla minimaln ˛a sum˛e odległo´sci rodzin rozkładów prawdopodobie´nstwa opisuj ˛acych poszczególne konteksty pomiarowe od rodzin roz-kładów prawdopodobie´nstwa pochodz ˛acych z ł ˛acznego niekontekstualnego rozkładu prawdopodobie´nstwa. W dalszej kolejno´sci wyka˙zemy równo´s´c obu miar kontekstu-alno´sci.Nast˛epnie przyst ˛apimy do wyznaczenia warto´sci wzgl˛ednej entropii kontek-stualno´sci dla nast˛epuj ˛acych układów: kwadratu Peresa-Mermina, gwiazdy Mermina

2

[6–8], układu Popescu-Rohrlicha [2,3] oraz najprostszego układu kontekstualnego

przedstawionego w pracy[9]. W tym celu skorzystamy z odpowiednich technik

syme-tryzacji [15–17] dla pewnych szczególnych rodzin rozkładów prawdopodobie´nstwa

okre´slanych dalej układami izotropowymi. Umo˙zliwi to okre´slenie warto´sci miary kontekstualno´sci dla dowolnych układów izotropowych, których szczególnymi repre-zentantami s ˛a wy˙zej wymienione układy. Nale˙zy wspomnie´c, ˙ze wcze´sniej u˙zyto w analogiczny sposób wzgl˛ednej entropii do opisu układów nielokalnych [18]: dla

roz-wa˙zanych tam układów wzgl˛edna entropia kontekstualno´sci redukuje si˛e do wpro-wadzonej tam˙ze miary statystycznej siły dowodów nielokalno´sci. Wielko´sci tej w[18]

nadano operacyjn ˛a interpretacj˛e zwi ˛azan ˛a z rozró˙znianiem układów lokalnych i nie-lokalnych. W Rozdziale 4wyka˙zemy, ˙ze mo˙zliwa jest równie˙z inna operacyjna inter-pretacja - oparta na symulacji układu kontekstualnego za pomoc ˛a układów niekon-tekstualnych.

W Rozdziale 5 wprowadzimy relacje wykluczania informacji [4] ograniczaj ˛ace sum˛e dwóch wzajemnych informacji dla odpowiednich par obserwabli mierzonych przez dwie odległe osoby [19]. Pierwsza relacja dotyczy przypadku dwóch

wzajem-nych informacji, gdzie na pierwszym podukładzie mierzona jest tylko jedna obserwa-bla, a na drugim podukładzie mierzona jest jedna z dwóch obserwabli. Poka˙zemy, ˙ze relacja ta w pewnych przypadkach jest znacznie silniejsza ni˙z relacja wykluczania in-formacji Halla [4]. Druga relacja dotyczy przypadku dwóch wzajemnych informacji,

gdzie na ka˙zdym podukładzie mo˙ze by´c mierzona jedna z dwóch obserwabli. Obie relacje udowodnimy dla pewnych klas stanów kwantowych. W rozdziale tym przy-wołamy równie˙z dowód pierwszej z nich dla dowolnych stanów przedstawiony jako jeden z wyników w pracy autorstwa Colesa i Pianiego[20].

W Rozdziale6zajmiemy si˛e porównaniem dwóch zasobów: układu Popescu-Rohrlicha z kodami swobodnego dost˛epu[21]. W tym celu zdefiniujemy dodatkowy układ (uKSD)

po czym okre´slimy jego własno´sci. Poka˙zemy, ˙ze niesygnalizuj ˛acy uKSD jest równo-wa˙zny układowi Popescu-Rohrlicha. W dalszej cz˛e´sci sformułujemy nierówno´s´c wi ˛ a-˙z ˛ac ˛a te zasoby. W szczególno´sci wyka˙zemy, ˙ze dysponuj ˛ac dowolnym uKSD (sygnali-zuj ˛acym b ˛ad´z niesygnalizuj ˛acym) mo˙zemy, z wykorzystaniem jednego bitu informacji oraz jednego bitu współdzielonej losowo´sci, zasymulowa´c układ Popescu-Rohrlicha a dodatkowo otrzyma´c kanał wymazuj ˛acy. Podamy równie˙z przykład sygnalizuj ˛acego uKSDnasycaj ˛acego t˛e nierówno´s´c.

Rozdział 2

Podstawowe wiadomo´sci

teoretyczne

2.1.

Nielokalno´s ´

c

Jedn ˛a z najistotniejszych własno´sci korelacji w mechanice kwantowej, fundamen-talnie odró˙zniaj ˛acych j ˛a od klasycznych korelacji, jest ich nielokalny charakter. W tym podrozdziale przytoczymy podstawowe poj˛ecia, za pomoc ˛a których mo˙zliwe jest ´scisłe zdefiniowane teorii lokalnych. Teorie te musz ˛a spełnia´c pewne ograniczenia zwane nierówno´sciami Bella[22]. Poka˙zemy równie˙z, ˙ze korelacje wynikaj ˛ace z me-chaniki kwantowej, b ˛ad´z ogólnych niesygnalizuj ˛acych teorii probabilistycznych mog ˛a nie spełnia´c tych nierówno´sci. ´Swiadczy to o nielokalnym charakterze korelacji kwan-towych i niesygnalizuj ˛acych[23].

2.1.1

Korelacje lokalne

Rozwa˙zmy nast˛epuj ˛acy eksperyment („eksperyment Bella”): dwa przestrzennie odseparowane układy, które w przeszło´sci mogły oddziaływa´c ze sob ˛a, poddane s ˛a pewnym pomiarom przez dwoje u˙zytkowników, Alicj˛e i Bolka (oznaczanych odpo-wiednio A i B). Osoby te wykonuj ˛a pomiary na ró˙znych układach. Alicja i Bolek mog ˛a w ogólno´sci dokona´c jednego z wielu ró˙znych pomiarów. Wybrany przez Alicj˛e pomiar oznaczymy przez x. Analogicznie, przez y oznaczymy pomiar wybrany przez Bolka. Po dokonanym pomiarze, zarówno Alicja jak i Bolek otrzymuj ˛a pewne wyniki pomia-rów. Przez a oznaczymy wynik pomiaru x otrzymany przez Alicj˛e, a przez b wynik pomiaru y otrzymany przez Bolka. Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze x, y, a, b mog ˛a przyjmowa´c dowolne warto´sci, poniewa˙z jest to całkowicie arbitralny zestaw liczb oznaczaj ˛acy pomiary i wyniki tych pomiarów.

Zauwa˙zmy, ˙ze wyniki a i b mog ˛a si˛e ró˙zni´c w ró˙znych seriach pomiarowych, nawet je´sli Alicja i Bolek wykonywali te same pomiary x i y. Innymi słowy, wyniki pomia-rów zale˙z ˛a w ogólno´sci od ł ˛acznego rozkładu prawdopodobie´nstwa dla wyników a i

b je´sli wykonywane były pomiary x oraz y: p(a, b|x, y). Dany rozkład prawdopodo-bie´nstwa p(a, b|x, y) mo˙zna z kolei szacowa´c powtarzaj ˛ac odpowiednio du˙z ˛a liczb˛e razy pomiary x oraz y, a nast˛epnie zlicza´c otrzymane wyniki a oraz b. Zauwa˙zmy, ˙ze w ogólno´sci wyniki pomiarów nie s ˛a całkowicie niezale˙zne od siebie:

2.1 Nielokalność 4

tzn. wyniki a oraz b mog ˛a by´c w pewien sposób skorelowane ze sob ˛a.

W celu zdefiniowania poj˛ecia lokalno´sci załó˙zmy, ˙ze istnieje pewien zbiór czynni-ków maj ˛acych wpływ na otrzymywane wyniki pomiarów. Oznaczmy ten zbiór przez

λ. Zaznaczmy, ˙ze w ogólno´sci w tym zbiorze mog ˛a istnie´c pewne zmienne, których warto´sci nie jeste´smy w stanie pozna´c na drodze jakichkolwiek eksperymentów (tzw. „zmienne ukryte”). Zbiórλ oraz wybrane pomiary x i y determinuj ˛a mo˙zliwe wyniki pomiarów a i b zadaj ˛ac pewien ł ˛aczny rozkład prawdopodobie´nstwa p(a, b|x, y, λ). Jednak po odseparowaniu dwóch układów od siebie lokalne pomiary wykonywane na jednym układzie nie mog ˛a mie´c wpływu na drugi układ i vice versa, tj. statystyczny rozkład wyników a i b jest produktowy:

p(a, b|x, y, λ) = p(a|x, λ)p(b|y, λ). (2.2)

Sam czynnik λ mo˙ze jednak zmienia´c si˛e w ró˙znych seriach pomiarowych (z pew-nym rozkładem prawdopodobie´nstwa p(λ)). W celu oszacowania ł ˛acznego rozkładu prawdopodobie´nstwa p(a, b|x, y) po wielu seriach pomiarowych musimy uwzgl˛edni´c losowy charakter czynnikaλ:

p(a, b|x, y) =X

Λ

p(λ)p(a|x, λ)p(b|y, λ), (2.3)

je´sli zmiennaλ przyjmowała warto´sci dyskretne (gdzie Λ jest tutaj przestrzeni ˛a, na któr ˛a zmiennaλ jest zdefiniowana), lub

p(a, b|x, y) =

Z

Λ

dλ p(λ)p(a|x, λ)p(b|y, λ), (2.4)

je´sli zmiennaλ przyjmowała warto´sci ci ˛agłe. Wszystkie mo˙zliwe korelacje wyników opisane ł ˛acznym rozkładem prawdopodobie´nstwa p(a, b|x, y), które mo˙zna rozpisa´c w formie (2.3) lub (2.4) nazywamy lokalnymi. W przeciwnym przypadku b˛edziemy mówi´c o korelacjach nielokalnych, albo krótko: nielokalno´sci.

2.1.2

Nierówno´s ´

c CHSH

Poni˙zej wyprowadzimy nierówno´s´c CHSH (Clausera-Horna-Shimony’ego-Holta) [1], która jest najprostsz ˛a nierówno´sci ˛a Bella. W ogólno´sci, nierówno´sci Bella s ˛a rela-cjami wyra˙zonymi w postaci nierówno´sci, które musz ˛a by´c spełnione przez wszystkie lokalne korelacje (wszystkie lokalne rozkłady prawdopodobie´nstwa p(a, b|x, y)). Za-łó˙zmy, ˙ze dwoje u˙zytkowników, Alicja i Bolek, dokonuj ˛a jednego z dwóch pomiarów

x, y ∈ {0, 1} takich, ˙ze ka˙zdy pomiar mo˙ze da´c dwa ró˙zne wyniki a, b ∈ {−1, +1}. Oznaczmy przez〈axby〉 warto´s´c oczekiwan ˛a iloczynu a b przy pomiarach x i y:

〈axby〉 =

X

a,b

2.1 Nielokalność 5

Przez〈ax〉|λ oznaczmy warto´s´c oczekiwan ˛a wyniku a warunkowanego przezλ:

〈ax〉|λ= X a a p(a|x, λ), (2.6) i analogicznie 〈by〉|λ= X b b p(b|y, λ). (2.7)

Załó˙zmy, ˙ze korelacje zadane przez ł ˛aczny rozkład prawdopodobie´nstwa p(a, b|x, y) s ˛a lokalne. Mamy wtedy:

〈axby〉 = X a,b a b p(a, b|x, y) =X a,b a b Z Λ dλ p(λ)p(a|x, λ)p(b|y, λ) = Z Λ dλ p(λ)X a a p(a|x, λ)X a a p(b|y, λ) = Z Λ dλ p(λ) 〈ax〉|λ〈by〉|λ. (2.8)

Rozwa˙zmy sum˛e〈a0b0〉 + 〈a0b1〉 + 〈a1b0〉 − 〈a1b1〉. Mamy 〈a0b0〉 + 〈a0b1〉 + 〈a1b₀〉 − 〈a1b1〉

= Z

Λ

dλ 〈a0〉|λ〈b0〉|λ+ 〈a0〉|λ〈b1〉|λ+ 〈a1〉|λ〈b0〉|λ− 〈a1〉|λ〈b1〉|λ

= Z Λ dλ 〈a0〉|_λ(〈b0〉|_λ+ 〈b1〉|_λ) + 〈a1〉|_λ(〈b0〉|_λ− 〈b1〉|_λ
≤ Z Λ dλ€〈b0〉|_λ+ 〈b1〉|_λ  +  〈b0〉|_λ− 〈b1〉|_λ   Š , (2.9)

gdzie w ostatniej linijce skorzystali´smy z faktu, ˙ze warto´sci〈a0〉|_λ,〈a1〉|_λ mieszcz ˛a si˛e w przedziale liczbowym[−1, 1]. Bez straty ogólno´sci mo˙zemy dalej zało˙zy´c, ˙ze

0≤ 〈b1〉|λ≤ 〈b0〉|λ, (2.10) co w konsekwencji daje  〈b0〉|_λ+ 〈b1〉|_λ  +  〈b0〉|_λ− 〈b1〉|_λ  ≤ 2〈b0〉|_λ≤ 2, (2.11)

gdzie skorzystali´smy z faktu, ˙ze równie˙z warto´sci 〈b0〉|_λ,〈b1〉|_λ mieszcz ˛a si˛e w prze-dziale liczbowym[−1, 1]. Je´sli powy˙zsz ˛a nierówno´s´c scałkujemy po całej przestrzeni

2.1 Nielokalność 6

zmiennychΛ, to po wstawieniu do (2.9) otrzymamy nierówno´s´c CHSH:

〈a0b0〉 + 〈a0b1〉 + 〈a1b0〉 − 〈a1b1〉 ≤ 2, (2.12) która musi by´c spełniona przez wszystkie lokalne korelacje postaci (2.4) (w przy-padku dyskretnych warto´sci zmiennych λ analogicznie wyprowadzamy nierówno´s´c CHSH, która musi by´c spełniona przez wszystkie lokalne korelacje postaci (2.3)).

2.1.3

Korelacje kwantowe i łamanie nierówno´sci CHSH

Zgodnie z postulatami mechaniki kwantowej korelacje opisywane ł ˛acznym rozkła-dem prawdopodobie´nstwa p(a, b|x, y) dane s ˛a wyra˙zeniem

p(a, b|x, y) = Tr€M_a|x⊗ Mb| yρAB Š

, (2.13)

gdzie ρAB to macierz g˛esto´sci opisuj ˛aca stan kwantowy współdzielony przez dwoje u˙zytkowników, Alicj˛e i Bolka, którzy dokonuj ˛a pomiarów opisywanych operatorami pomiarowymi {Ma|x} oraz {Mb| y}. W przypadku, gdy Alicja i Bolek dokonuj ˛a kom-pletnych pomiarów von Neumanna {Πa|x} oraz {Πb| y} na stanie czystym |Ψ〉 ł ˛aczny rozkład prawdopodobie´nstwa (2.13) mo˙zna zapisa´c równowa˙znie jako

p(a, b|x, y) = 〈Ψ|Π_a|x⊗ Πb| y|Ψ〉. (2.14)

Niech teraz zbiory warto´sci wyników pomiarów{ax} oraz {by} reprezentuj ˛a warto´sci

własne obserwabli odpowiednio ˆAoraz ˆB:

ˆA = X ax Ma|x, (2.15)

ˆB = X byMb| y. (2.16)

Warto´sci oczekiwane〈ax〉, 〈by〉 i 〈axby〉 wyra˙zaj ˛a si˛e odpowiednio przez:

〈ax〉 = Tr ˆA⊗ idd×dρAB
, (2.17)

〈by〉 = Tr idd×d⊗ ˆBρAB
, (2.18)

〈axby〉 = Tr ˆA⊗ ˆBρAB
, (2.19)

(gdzie d jest wymiarem podprzestrzeni Hilberta podukładu). Analogicznie dla stanów czystych mamy

〈ax〉 = 〈Ψ| ˆA⊗ idd×d|Ψ〉, (2.20)

〈by〉 = 〈Ψ|idd×d⊗ ˆB|Ψ〉, (2.21)

2.1 Nielokalność 7

Przykład.Załó˙zmy, ˙ze Alicja i Bolek współdziel ˛a stan maksymalnie spl ˛atany |Ψ−〉 = p1

2(|01〉 − |10〉), (2.23)

na którym dokonuj ˛a pomiarów odpowiednio ~x · ~σ oraz ~y · ~σ, gdzie ~x, ~y to wektory jednostkowe, natomiast ~σ = (ˆσx,ˆσ_y,ˆσ_z) to wektor macierzy Pauliego. Warto´sci wy-ników pomiarów w tym przypadku nale˙z ˛a do zbioru {−1, +1}, natomiast warto´s´c oczekiwana iloczynu dana jest wyra˙zeniem

〈axby〉 ≡ 〈Ψ−|~x · ~σ ⊗ ~y · ~σ|Ψ−〉

= −~x · ~y. (2.24)

Niech teraz pomiary Alicji x ∈ {0, 1} odpowiadaj ˛a pomiarom operatorów ~x · ~σ wzdłu˙z dwóch dowolnych ortogonalnych kierunkówˆe0 iˆe1, natomiast pomiary Bolka

y ∈ {0, 1} odpowiadaj ˛a pomiarom operatorów~y · ~σ wzdłu˙z kierunków wyznaczanych przez −(ˆe_p0+ˆe1)

2 oraz −ˆe_p0+ˆe1

2 . W tym przypadku mamy

〈a0b0〉 = 〈a0b1〉 = 〈a1b0〉 = 1 p

2 (2.25)

〈a1b1〉 = −p1

2. (2.26)

Zauwa˙zmy, ˙ze zachodzi

〈a0b_{0〉 + 〈a0}b_{1〉 + 〈a1}b_{0〉 − 〈a1}b_{1〉 = 2}p2, (2.27) co łamie nierówno´s´c CHSH (2.12) prawdziw ˛a dla wszystkich korelacji lokalnych po-staci (2.4). Tym samym wnioskujemy, ˙ze w ogólno´sci korelacje kwantowe (2.13) nie s ˛a lokalne. Pozwala to mówi´c o nielokalnych własno´sciach korelacji w mechanice kwantowej.

W powy˙zszym przykładzie łamanie nierówno´sci CHSH było mo˙zliwe przy wyko-rzystaniu odpowiednio dobranych pomiarów, które wykonywane s ˛a na stanie kwanto-wym, b˛ed ˛acym stanem maksymalnie spl ˛atanym. Zauwa˙zmy, ˙ze wykorzystanie stanu spl ˛atanego jest warunkiem koniecznym do otrzymania korelacji nielokalnych [15].

Rzeczywi´scie, je´sli pomiary byłyby wykonywane na stanie separowalnym, który w ogólno´sci mo˙zemy zapisa´c w postaci

ρAB =X

`

p(`)ρ`_A⊗ ρ`_B, (2.28)

gdzie stanyρ_A`(ρ<sub>B</sub>`) s ˛a stanami warunkowymi generowanymi w zale˙zno´sci od klasycz-nej zmienklasycz-nej losowej `, to dokonuj ˛ac pomiarów opisywanych operatorami

pomiaro-2.1 Nielokalność 8

wymi{Ma|x} oraz {Mb| y}, otrzymywane korelacje p(a, b|x, y) b˛ed ˛a dane wyra˙zeniem

p(a, b|x, y) = Tr M_a|x⊗ Mb| y X ` p(`)ρ_A`⊗ ρ<sub>B</sub>` ! =X ` p(`) Tr(M_a|xρ`<sub>A</sub>) Tr(M<sub>b| y</sub>ρ`_B) =X ` p(`) p(a|x, `) p(b|y, `). (2.29)

Poniewa˙z wyra˙zenie to ma posta´c (2.3) wnioskujemy, ˙ze korelacje maj ˛a wył ˛acznie charakter lokalny.

Chocia˙z wykorzystanie kwantowych stanów spl ˛atanych jest konieczne do uzy-skania korelacji nielokalnych, w ogólno´sci nie jest łatwe stwierdzenie, czy wykorzy-stuj ˛ac pewien okre´slony stan spl ˛atany mo˙zna uzyska´c nielokalne korelacje (innymi słowy: czy dany stan kwantowy jest nielokalny). Istnieje natomiast kryterium jedno-znacznie stwierdzaj ˛ace, czy okre´slony dwuqubitowy stan kwantowy łamie nierówno´s´c CHSH[24]. Rozpatrzmy przypadek, w którym Alicja i Bolek wykonuj ˛a pomiary na sta-nie ρAB, którego podukłady A i B maj ˛a wymiar d = 2 („qubity”). Dwuqubitowy stan

ρAB łamie nierówno´s´c CHSH wtedy i tylko wtedy, gdy[24]:

pλi+ λj> 1, (2.30)

gdzie λi oraz λ_j s ˛a odpowiednio najwi˛eksz ˛a oraz drug ˛a co do wielko´sci warto´sci ˛a własn ˛a macierzy RT_{R, za´s macierz R jest zdefiniowana poprzez nast˛epuj ˛ace elementy}

macierzowe:

R_{i j}= Tr€(ˆσ_i⊗ ˆσj)ρAB

Š

, (2.31)

gdzie ˆσ_i to macierze Pauliego. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze powy˙zsze kryterium dotyczy wył ˛acznie nielokalno´sci stwierdzanej poprzez łamanie nierówno´sci CHSH. Jak wspo-mnimy pó´zniej istniej ˛a równie˙z stany nielokalne (łami ˛ace pewn ˛a nierówno´s´c Bella), które nie łami ˛a nierówno´sci CHSH[25].

Rozwa˙zmy raz jeszcze wyra˙zenie〈a0b0〉 + 〈a0b1〉 + 〈a1b0〉 − 〈a1b1〉. W mechanice kwantowej jest ono równowa˙zne warto´sci oczekiwanej operatora ˆBCHSH, zdefiniowa-nego przez

ˆ

BCHSH= ˆA1(ˆB1+ ˆB2) + ˆA2(ˆB1− ˆB2), (2.32)

gdzie ˆA_x ( ˆB_y) s ˛a operatorami o warto´sciach własnych a_x, b_y = ±1. W przedstawionym wcze´sniej przykładzie pokazali´smy, ˙ze dla pewnych okre´slonych pomiarów otrzymu-jemy 〈 ˆBCHSH〉 = 2p2. Powstaje naturalne pytanie, czy dla operatora ˆBCHSH mo˙zna uzyska´c wi˛eksz ˛a warto´s´c oczekiwan ˛a, a tym samym osi ˛agn ˛a´c jeszcze wi˛eksze łamanie nierówno´sci CHSH. Pytanie to jest w istocie równowa˙zne z pytaniem o najwi˛eksz ˛a

2.1 Nielokalność 9

warto´s´c własn ˛a operatora ˆBCHSH. Mo˙zna pokaza´c [26,27], ˙ze najwi˛eksza warto´s´c

własna operatora

ˆ

BCHSH2 = 4 + [ˆA1, ˆA2][ˆB1, ˆB2] (2.33) wynosi 8, a zatem warto´sci własne operatora ˆBCHSH s ˛a ograniczone przez 2p2. Tym samym uzyskujemy górne ograniczenie na łamanie nierówno´sci CHSH przez korelacje w mechanice kwantowej. Ograniczenie to nazywamy ograniczeniem Tsirelsona.

2.1.4

Inne nierówno´sci Bella

W poprzednim podrozdziale wyprowadzili´smy nierówno´s´c CHSH, która jest naj-prostsz ˛a nierówno´sci ˛a Bella, opart ˛a na zało˙zeniu, ˙ze mamy dwoje obserwatorów, z których ka˙zdy mo˙ze wykona´c jeden z dwóch pomiarów daj ˛acych dwa mo˙zliwe wyniki. W ogólno´sci jednak mo˙zna skonstruowa´c równie˙z inne nierówno´sci Bella[23], w

za-le˙zno´sci od ilo´sci obserwatorów, ilo´sci ró˙znych pomiarów oraz ilo´sci wyników pomia-rów [28–47]. Z reguły jest to zadanie wysoce nietrywialne. Wiele nierówno´sci Bella

(ograniczamy si˛e do dwóch obserwatorów) ma posta´c odpowiedniej kombinacji linio-wej prawdopodobie´nstw dla ł ˛acznego rozkładu prawdopodobie´nstwa p(a, b|x, y):

X

a,b,x, y

M_{x y}a bp(a, b|x, y) ≤ C (2.34)

gdzie M_{x y}a b to rzeczywiste współczynniki, natomiastC jest nietrywialnym ogranicze-niem dla wszystkich lokalnych rozkładów prawdopodobie´nstwa p(a, b|x, y). W przy-padku nierówno´sci CHSH mamy przykładowo:

M_{x y}a b= (−1)a+b+x y, (2.35)

C = 2, (2.36)

gdzie a, b, x, y∈ {0, 1}.

Dla pewnych współczynników Ma b

x y nierówno´sci Bella mog ˛a by´c zapisane w formie

nierówno´sci, które musz ˛a by´c spełniane przez odpowiedni ˛a sum˛e warto´sci oczekiwa-nych iloczynów wyników pomiarów (korelatorów), jak np. w postaci (2.12).

Poni˙zej przedstawimy przykład innej nierówno´sci Bella, która w odró˙znieniu od nierówno´sci CHSH zakłada wi˛eksz ˛a ilo´s´c pomiarów dla ka˙zdego z dwóch obserwato-rów.

Rozwa˙zmy przypadek, gdzie ka˙zdy z dwojga u˙zytkowników mo˙ze wykona´c N po-miarów, których binarne wyniki oznaczymy przez a_i dla pomiarów Alicji i b_j dla po-miarów Bolka (i, j ∈ {0, 1, ..., N − 1}). Dla dowolnych lokalnych rozkładów prawdo-podobie´nstwa zachodzi

2.1 Nielokalność 10

Nierówno´s´c t˛e nazywamy nierówno´sci ˛a Braunsteina-Cavesa[48]. Zauwa˙zmy, ˙ze

nie-równo´s´c CHSH jest szczególnym przypadkiem powy˙zszej nierówno´sci dla N = 2.

2.1.5

Korelacje w teoriach niesygnalizuj ˛

acych

Mechanika kwantowa spełnia zasad˛e niesygnalizowania. Zasada ta mówi, ˙ze sta-tystyka wyników pomiaru u pewnego obserwatora (Alicji) nie mo˙ze w ˙zaden sposób zale˙ze´c od wyboru pomiaru obserwatora b˛ed ˛acego przestrzennie od niego odseparo-wanego (Bolka). Mo˙zemy j ˛a zapisa´c w formie równa´n

∀a,x, y,x0 X b p(a, b|x, y) =X b p(a, b|x0, y), (2.38) ∀b,x, y, y0 X a p(a, b|x, y) =X a p(a, b|x, y0), (2.39) lub krócej: p(a|x) = p(a|x, y) =X b p(a, b|x, y), (2.40) p(b|y) = p(b|x, y) =X a p(a, b|x, y). (2.41)

Je´sli który´s z warunków (2.38) nie byłby spełniony, wtedy odpowiednie korelacje

p(a, b|x, y) byłyby w konflikcie ze szczególn ˛a teori ˛a wzgl˛edno´sci, a mianowicie dys-ponuj ˛ac wieloma kopiami układów jeden u˙zytkownik mógłby poprzez swój wybór obserwabli natychmiastowo zmienia´c obserwowaln ˛a statystyk˛e wyników u drugiego u˙zytkownika, co dawałoby mo˙zliwo´s´c natychmiastowej komunikacji. Dany układ okre-´sliliby´smy wtedy jako sygnalizuj ˛acy. Okazuje si˛e jednak, ˙ze zbiór teorii probabili-stycznych spełniaj ˛acych zasad˛e niesygnalizowania jest szerszy ni˙z mechanika kwan-towa[2,3,49–51]. Na poni˙zszym przykładzie poka˙zemy, ˙ze zasada niesygnalizowania

dopuszcza nielokalne korelacje, których nie dopuszcza mechanika kwantowa.

Przykład.Załó˙zmy, ˙ze Alicja i Bolek dysponuj ˛a pewnym układem, na którym ka˙zdy z nich mo˙ze wykonywa´c jeden z dwóch pomiarów x ∈ {0, 1} przez Alicj˛e i dwóch pomiarów y ∈ {0, 1} przez Bolka. Je´sli wyniki pomiarów uzyskiwanych przez Alicj˛e

a∈ {0, 1} i Bolka b ∈ {0, 1} maj ˛a rozkład prawdopodobie´nstwa taki, ˙ze

p(a, b|x, y) =    1 2 dla a⊕ b = x y, 0 w przeciwnym wypadku, (2.42)

to tak ˛a rodzin˛e rozkładów prawdopodobie´nstwa b˛edziemy nazywa´c układem

Popescu-Rohrlicha [2,3] i oznacza´c skrótem PR (wi˛ecej o układzie PR p. Rozdz. 4 oraz 6). Wypisuj ˛ac jawnie wszystkie 4 ł ˛aczne rozkłady prawdopodobie´nstwa łatwo pokaza´c, ˙ze układ PR spełnia warunki (2.38), a zatem jest niesygnalizuj ˛acy.

2.1 Nielokalność 11

Zauwa˙zmy, ˙ze warunek

a⊕ b = x y (2.43)

dla wyników a, b∈ {0, 1} jest równowa˙zny warunkowi 1

2(1 − ab) = x y (2.44)

dla wyników a, b∈ {−1, +1} (0 dla wyników takich samych, 1 dla wyników przeciw-nych). Tak dobrane przenumerowanie wyników nie zmieni oczywi´scie rozkładu ich statystyk. Wyznaczmy teraz warto´s´c oczekiwan ˛a iloczynu〈axby〉 =

P

a,ba bp(a, b|x, y) wykorzystuj ˛ac statystyki układu PR i relacj˛e (2.44):

〈axby〉 =    p(+1, +1|x, y) + p(−1, −1|x, y) = 1 dla x y = 0, −p(−1, +1|x, y) − p(+1, −1|x, y) = −1 dla x y = 1. (2.45) Dla układu PR otrzymujemy zatem

〈a0b0〉 + 〈a0b1〉 + 〈a1b0〉 − 〈a1b1〉 = 4, (2.46) co równocze´snie jest maksymaln ˛a algebraiczn ˛a warto´sci ˛a dla tego wyra˙zenia. Wi-dzimy, ˙ze łami ˛ac ograniczenie Tsirelsona 2p2 układ PR nie mo˙ze by´c zrealizowany z wykorzystaniem korelacji w ramach mechaniki kwantowej, a tym bardziej z wykorzy-staniem korelacji lokalnych postaci (2.4).

2.1.6

Nielokalno´s ´

c a kody swobodnego dost ˛

epu

Rozpatrzmy teraz sytuacj˛e, w której zadanie pewnego u˙zytkownika (Bolka) po-lega na odgadni˛eciu bitów informacji x1, ..., xn posiadanych przez innego

u˙zytkow-nika (Alicj˛e). Kodem swobodnego dost˛epu(n, p) nazywamy funkcjonalno´s´c, dzi˛eki któ-rej Bolek mo˙ze pozna´c warto´s´c dowolnego z n bitów Alicji z prawdopodobie´nstwem równym przynajmniej p. W niniejszej pracy b˛edziemy zajmowa´c sie wył ˛acznie kodami (2, p), w szczególno´sci za´s skrótem KSD oznacza´c b˛edziemy kod (2, 1), tj. funkcjonal-no´s´c, dzi˛eki której Bolek mo˙ze z pewno´sci ˛a pozna´c warto´s´c jednego, ale dowolnego, z dwóch posiadanych przez ni ˛a bitów.

Jak poka˙zemy poni˙zej, istnieje protokół[52–54] pozwalaj ˛acy na otrzymanie KS D (2, 1) przy wykorzystaniu układu PR i przesłaniu jednego bitu informacji. Załó˙zmy, ˙ze Alicja dysponuje dwoma bitami x0 oraz x1, z kolei zadaniem Bolka jest wygenerowa-nie za pomoc ˛a zasobów jemu dost˛epnych warto´sci xy, gdzie indeks y = 0, 1 sygnuje

wybór bitu Alicji, który chce pozna´c. Zauwa˙zmy, ˙ze sam układ PR działa jak funkcjo-nalno´s´c, której jednobitowe wej´scia x, y i wyj´scia a, b spełniaj ˛a warunek a⊕ b = x y.

2.1 Nielokalność 12

Niech wej´sciem Alicji b˛edzie suma binarna x0 i x1:

x= x0⊕ x1. (2.47)

Wtedy mamy oczywi´scie

a⊕ b = (x0⊕ x1)y. (2.48)

Je´sli do powy˙zszego równania obustronnie dodamy x0, to otrzymujemy warto´s´c równ ˛a warto´sci xy:

b⊕ a ⊕ x0= x0⊕ y(x0⊕ x1) ≡ xy. (2.49)

Widzimy zatem, ˙ze Bolek chc ˛ac pozna´c warto´s´c dowolnego bitu xy, musi jedynie

do swojego wyniku z układu PR b doda´c binarnie warto´s´c m = a ⊕ x0, która jest warto´sci ˛a bitu przesłanego mu przez Alicj˛e. Tym samym KS D mo˙zna symulowa´c za pomoc ˛a układu PR przy dodatkowym przesłaniu jednego bitu informacji.

W powy˙zszym protokole zało˙zyli´smy, ˙ze Alicja i Bolek dysponuj ˛a układem PR, którego nie da si˛e zrealizowa´c w ramach mechaniki kwantowej. Naturalnym jest za-tem pytanie, czy mo˙zna zasymulowa´c KS D korzystaj ˛ac wył ˛acznie z zasobów kwan-towych (plus przesłanie jednego bitu informacji). Jak poka˙zemy poni˙zej, optymalny protokół[55] wykorzystuj ˛acy odpowiednio dobrane pomiary wykonywane na stanie maksymalnie spl ˛atanym pozwala osi ˛agn ˛a´c kod swobodnego dost˛epu(2, pC), gdzie

p_C =1 2  1+p1 2  ≈ 0, 8536. (2.50)

Niech Alicja i Bolek współdziel ˛a stan maksymalnie spl ˛atany (2.23), na którym doko-nuj ˛a pomiarów odpowiednio~x · ~σ oraz ~y · ~σ, gdzie pomiary Alicji (Bolka) sygnowane

x ∈ {0, 1} ( y ∈ {0, 1}) odpowiadaj ˛a pomiarom operatorów zdefiniowanych identycz-nie jak w przykładzie z Podrozdz.2.1.3. Teraz, z definicji warto´sci oczekiwanej〈axby〉

oraz (2.24), mamy:

p(a = b|x, y) =1− ~x · ~y

2 . (2.51)

Je´sli dodatkowo oznaczymy wyniki pomiarów −1, +1 przez odpowiednio 0, 1 (por. warunek (2.44)), to dla wybranych ustawie´n pomiarów wynik (2.51) mo˙zemy zapisa´c jako p(a ⊕ b = x y|x, y) =1 2  1+p1 2  , (2.52)

(dla układu PR p(a⊕b = x y|x, y) = 1). Wykorzystuj ˛ac nast˛epnie identyczny protokół kodowania wej´s´c x, y oraz przesyłanej informacji m jak w przypadku wykorzystania

2.2 Zasady nieoznaczoności 13

układu PR, widzimy, ˙ze warunek

x_y = b ⊕ m (2.53)

zachodzi z prawdopodobie´nstwem równym 1 2

 1+p1

2 

. Tym samym, prawdopodo-bie´nstwo odgadni˛ecia przez Bolka jednego ale dowolnego z dwóch bitów Alicji przy wykorzystaniu zasobów kwantowych jest równe w przybli˙zeniu 0, 8536.

2.2.

Zasady nieoznaczono´sci

Jedn ˛a z fundamentalnych cech kwantowomechanicznego opisu ´swiata jest tzw. zasada nieoznaczono´sci, która mówi, ˙ze w ogólno´sci nie jest mo˙zliwe dokładne po-znanie dwóch ró˙znych wielko´sci opisuj ˛acych dany układ fizyczny. W tym podrozdziale przytoczymy relacje nieoznaczono´sci, zarówno w powszechnie znanej formie danej przez Robertsona [56], jak równie˙z w formie tzw. nierówno´sci entropowych [57].

Wska˙zemy te˙z na zwi ˛azek zasad nieoznaczono´sci z tzw. zasadami wykluczania infor-macji[4].

2.2.1

Pierwotne zasady nieoznaczono´sci

Ju˙z przy samych narodzinach mechaniki kwantowej zdawano sobie spraw˛e na fundamentalne ró˙znice mi˛edzy kwantowym i klasycznym opisem ´swiata. Jednym z pierwszych przykładów była słynna zasada nieoznaczono´sci Heisenberga [58] dla

dwóch (niekomutuj ˛acych ze sob ˛a) obserwabli poło˙zenia i p˛edu, ˆx i ˆp, wyra˙zona w formie

∆ˆx∆ˆp ≥ 1

2ħh, (2.54)

gdzie∆ ˆO jest odchyleniem standardowym obserwabli O otrzymywanym przy pomia-rze na stanie kwantowym|Ψ〉:

∆ ˆO =p〈Ψ|O2_{|Ψ〉 − 〈Ψ|O|Ψ〉}2_{. (2.55)}

Tak uj˛eta zasada nieoznaczono´sci została nast˛epnie uogólniona przez Robertsona [56] na przypadek dwóch dowolnych obserwabli ˆX i ˆY:

∆ ˆX∆ ˆY ≥1

2|〈Ψ|[ ˆX, ˆY]|Ψ〉|. (2.56)

Powy˙zsza nierówno´s´c mówi, ˙ze nie jest mo˙zliwe jednoczesne okre´slenie dwóch wiel-ko´sci fizycznych z dowoln ˛a dokładno´sci ˛a, je´sli obserwable opisuj ˛ace te wielko´sci nie komutuj ˛a ze sob ˛a. Im dokładniej znamy jedn ˛a warto´s´c, tym wi˛eksza niepewno´s´c przy-pisana jest drugiej wielko´sci i vice versa. Nale˙zy jednak zauwa˙zy´c, ˙ze powy˙zsza

nie-2.2 Zasady nieoznaczoności 14

równo´s´c posiada pewne cechy, ´swiadcz ˛ace o tym, ˙ze tak uj˛eta relacja nieoznaczono´sci nie jest zadowalaj ˛aca. Po pierwsze, zale˙zy ona bezpo´srednio od postaci stanu kwanto-wego, na którym wykonywane s ˛a pomiary. Po drugie, dla pewnych obserwabli mo˙zna uzyska´c nierówno´s´c trywialn ˛a (warto´s´c oczekiwana komutatora równa zeru), cho´c odchylenia standardowe obu obserwabli s ˛a niezerowe.

2.2.2

Entropowe zasady nieoznaczono´sci

Rozwa˙zmy entropi˛e Shannona [59] rozkładu prawdopodobie´nstwa dla pewnej

obserwabli X , zdefiniowan ˛a jako

H(X )_ρ= − d

X

i=1

p_i(X , ρ) log2p_i(X , ρ), (2.57)

gdzie p_i(X , ρ) to prawdopodobie´nstwo otrzymania i-tego wyniku wyniku pomiaru obserwabli X je´sli pomiar wykonujemy na stanie kwantowym ρ o wymiarze d. W dalszej cz˛e´sci, o ile nie zostanie zaznaczone inaczej, przez wielko´s´c H(A )_ρ (gdzie A oznacza pomiar w bazie {|ai〉} z odpowiadaj ˛acymi im jej operatorami rzutowymi P_i = |a_i〉〈ai|) rozumie´c b˛edziemy entropi˛e dla rozkładu prawdopodobie´nstwa {pi},

gdzie

p_i = Tr(P_iρ). (2.58)

Okre´sliwszy miar˛e niepewno´sci dla dowolnej obserwabli, powstaje naturalne py-tanie, czy istnieje zasada nieoznaczono´sci dla dwóch obserwabli w postaci

H(A )_ρ+ H(B)_ρ≥ C(A , B), (2.59)

gdzie C(A , B) to w ogólno´sci pewne nietrywialne ograniczenie zale˙zne tylko od pomiarówA i B. Istotnie, pierwsza entropowa zasada nieoznaczono´sci dla operato-rów poło˙zenia i p˛edu została zaproponowana w [60] i ulepszona nast˛epnie w [61]

oraz[62,63], gdzie pokazano, ˙ze zasada nieoznaczono´sci Heisenberga wynika z

en-tropowej zasady nieoznaczono´sci. Tym samym pokazano, ˙ze nierówno´sci entropowe stanowi ˛a ogólniejsz ˛a form˛e zasad nieoznaczono´sci.

Wa˙znym wkładem do entropowych zasad nieoznaczono´sci była relacja nieozna-czono´sci dla dowolnych pomiarówA i B zaproponowana w pracy Deutscha [64]:

H(A )_ρ+ H(B)_ρ≥ −2 log2‚ 1+ p c 2 Œ , (2.60)

gdzie współczynnik c jest definiowany jako

c= max

i, j |〈ai|bj〉|

2.2 Zasady nieoznaczoności 15

przy czym

1

d ≤ c ≤ 1. (2.62)

Kraus[65] zaproponował ulepszon ˛a zasad˛e nieoznaczono´sci, udowodnion ˛a pó´z-niej przez Maassena i Uffinka[5], w formie nierówno´sci

H(A )_ρ+ H(B)_ρ≥ − log2c. (2.63)

Zwró´cmy jednak uwag˛e, ˙ze w przypadku, gdy bazy pomiarów A i B współdziel ˛a cho´cby jeden wspólny wektor, natychmiast dostajemy c= 1, co jest zgodne z tym, ˙ze istnieje stan, dla którego mo˙zemy przewidzie´c wyniki pomiarów obserwabliA i B.

Wa˙znym rozszerzeniem entropowych zasad nieoznaczono´sci s ˛a zasady nieozna-czono´sci z pami˛eci ˛a kwantow ˛a [66–70]. Nim je przedstawimy, rozwa˙zmy najpierw

nast˛epuj ˛ac ˛a gr˛e mi˛edzy dwoma u˙zytkownikami Alicj ˛a i Bolkiem. Niech Alicja przygo-tuje pewien stan kwantowy, po czym wy´sle go lub jego cz˛e´s´c do Bolka. Bolek wyko-nuje jeden z dwóch pomiarówB(1) lubB(2), po czym informuje Alicj˛e o wybranym przez siebie pomiarze. Jej zadaniem jest przewidzie´c z najmniejsz ˛a mo˙zliw ˛a niepew-no´sci ˛a wynik pomiaru Bolka. Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli Alicja prze´sle cały układ do Bolka, jej niepewno´s´c jest zawsze ograniczona, gdy˙z

H(B(1)) + H(B(2)) ≥ − log2c. (2.64)

Okazuje si˛e jednak, ˙ze Alicja mo˙ze pokona´c to ograniczenie w przypadku, gdy po-siada pami˛e´c kwantow ˛a w postaci podukładu, który jest spl ˛atany z układem przeka-zywanym Bolkowi. W tym przypadku, relacja nieoznaczono´sci z pami˛eci ˛a kwantow ˛a przyjmuje posta´c

S(B(1)|A) + S(B(2)|A) ≥ − log2c+ S(B|A), (2.65) gdzie A i B oznaczaj ˛a podukłady odpowiednio Alicji i Bolka, natomiast S(B(s)|A) i

S(B|A) to warunkowe entropie von Neumanna. Zauwa˙zmy, ˙ze w przypadku gdy

po-dukłady Alicji i Bolka s ˛a spl ˛atane, to S(B|A) < 0 i tym samym niepewno´s´c wyniku pomiaru w wy˙zej wspomnianej grze mo˙ze mie´c warto´s´c mniejsz ˛a ni˙z− log2c.

Przytoczymy przy tym trzy interesuj ˛ace przypadki zasady nieoznaczono´sci z pa-mi˛eci ˛a kwantow ˛a[66].

• Je´sli podukład B jest maksymalnie spl ˛atany z podukładem A, to S(B|A) = − log2d

i wtedy ze wzgl˛edu na fakt, ˙ze− log2c≤ − log2d otrzymujemy trywialne ogra-niczenie

S(B(1)_{|A) + S(B}(2)_{|A) ≥ 0.} (2.66)

2.2 Zasady nieoznaczoności 16

Bolka.

• Je´sli układ B nie jest spl ˛atany z A, to S(B|A) ≥ 0. Je´sli dodatkowo we´zmiemy pod uwag˛e, ˙ze warunkowanie zmniejsza entropi˛e H(B(s)|A) ≤ S(B(s)), to z relacji nieoznaczono´sci (2.65) otrzymujemy relacj˛e Maassena-Uffinka (2.63). • W przypadku braku pami˛eci kwantowej relacja (2.65) redukuje si˛e do

H(B(1)) + H(B(2)) ≥ − log2c+ S(B). (2.67)

Je´sli teraz stan układu B jest czysty, to powy˙zsza relacja ponownie redukuje si˛e do relacji Maassena-Uffinka (2.63). Je´sli natomiast stan układu B jest stanem mieszanym, wtedy S(B) > 0 i powy˙zsza relacja jest silniejszym ograniczeniem ni˙z (2.63). Widzimy jednak, ˙ze mówimy tutaj o relacji zale˙znej od stanu, na-tomiast relacja (2.63) jest zasad ˛a nieoznaczono´sci, która nie zale˙zy od stanu układu.

2.2.3

Zasady wykluczania informacji

We wcze´sniejszych rozwa˙zaniach mówili´smy o nieoznaczono´sci wyra˙zonej jako suma niepewno´sci wyników pomiarów ró˙znych wielko´sci fizycznych. W tym kontek-´scie nale˙zy zauwa˙zy´c, ˙ze je˙zeli suma niepewno´sci jest zawsze ograniczona z dołu, to w przypadku, kiedy mieliby´smy pełn ˛a informacj˛e o wyniku jednego pomiaru, nie mogliby´smy jednocze´snie posiada´c pełnej informacji o wyniku innego pomiaru. Owo stwierdzenie wyrazi´c mo˙zna w postaci zasady wykluczania informacji [4,71], która

ogranicza z góry sum˛e dost˛epnych informacji o wynikach ró˙znych pomiarów. W dal-szej cz˛e´sci przytoczymy wyprowadzenie relacji wykluczania informacji przedstawio-nej w pracy[4] w postaci:

I(B(1)|E ) + I(B(2)|E ) ≤ 2 log2d+ log2c, (2.68) gdzie I(B|E) jest dost˛epn ˛a informacj ˛auzyskiwan ˛a przy pomiarzeB

I(B|E) = H(B)_ρ E − X i p_iH(B)_ρ i (2.69)

na zespole stanówE danym przez E = {ρi, pi}, gdzie ρE =

X

i

piρi. (2.70)

Zauwa˙zmy przy tym, ˙ze przygotowanie zespołu stanów powy˙zszej postaci w natu-ralny sposób odpowiada sytuacji, gdy zostaje wykonany pomiar na jednym układzie dwuukładowego stanu kwantowegoρAB. Istotnie, je´sli przykładowo Alicja dokona

po-2.2 Zasady nieoznaczoności 17

miaruA w bazie {Pi}, to stan całego układu po pomiarze ma posta´c ρ0 AB = X i p_iρ_ABi , (2.71) gdzie p_i= Tr(P_{i⊗ idd×d}ρAB) (2.72)

to prawdopodobie´nstwo otrzymania i-tego wyniku pomiaru, natomiast ρi

AB to stany postaci ρi AB = P_i⊗ idd×dρABPi⊗ idd×d Tr(P_i⊗ idd×dρAB) . (2.73)

Zgodnie z definicj ˛a entropii warunkowej mamy

H(B|A )_ρ AB = X i p_iH(B)_ρi B, (2.74) gdzie H(B)_ρi

B liczone s ˛a na stanach warunkowych podukładu Bolka ρ

i

B = TrAρ i AB.

Tym samym wiedz ˛ac, ˙ze wzajemna informacja pomiarówA i B

I(A : B)_ρ

AB = H(B)ρB− H(B|A )ρAB, (2.75)

mo˙zemy zasad˛e wykluczania informacji Halla (2.68) przepisa´c w postaci

I(A : B(1))_ρ

AB + I(A : B (2)₎

ρAB ≤ 2 log2d+ log2c, (2.76) która w tej formie bezpo´srednio nabiera znaczenia jako nierówno´s´c ograniczaj ˛aca ko-relacje wyników pomiarów uzyskiwanych przez dwóch obserwatorów dokonuj ˛acych okre´slone pomiary.

Dowód relacji (2.76) wynika bezpo´srednio z zasady nieoznaczono´sci Maassena-Uffinka [5], co poka˙zemy poni˙zej. Zgodnie z tym co zostało powiedziane powy˙zej,

suma dwóch wzajemnych informacji jest równa

I(A : B(1))_ρAB+ I(A : B(2))_ρAB = H(B(1)₎ ρB+ H(B (2)₎ ρB− H(B (1)_{|A )} ρAB− H(B (2)_{|A )} ρAB = H(B(1)₎ ρB+ H(B (2)₎ ρB− X i p_i€H(B(1))_ρi B+ H(B (2)₎ ρi B Š , (2.77)

(w dalszej cz˛e´sci, je´sli b˛edzie wynika´c to z kontekstu, b˛edziemy pomija´c oznaczenie stanu, na którym liczone s ˛a warto´sci entropii i wzajemnych informacji). Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze dla ka˙zdego i zgodnie z zasad ˛a nieoznaczono´sci Maassena-Uffinka mamy:

H(B(1))_ρi

B+ H(B (2)₎

ρi

2.3 Kontekstualność 18

przy czym współczynnik c zale˙zy wył ˛acznie od wektorów własnych obserwabliB(1) iB(2). Tym samym ograniczenie na sum˛e dwóch wzajemnych informacji wyra˙za si˛e przez

I(A : B(1)) + I(A : B(2)) ≤ H(B(1)) + H(B(2)) +X i

p_ilog2c

≤ 2 log2d+ log2c, (2.79)

gdzie w ostatniej linii wykorzystali´smy fakt, ˙ze

H(B) ≤ log2d. (2.80)

2.3.

Kontekstualno´s ´

c

Rozwa˙zmy raz jeszcze zasad˛e nieoznaczono´sci w postaci podanej przez Robert-sona (2.56). Załó˙zmy, ˙ze chcemy dokona´c pomiaru dwóch niekomutuj ˛acych ze sob ˛a obserwabli na pewnym stanie kwantowym. Zasada nieoznaczono´sci mówi, ˙ze w naj-lepszym wypadku nie mo˙zna wygenerowa´c zespołu statystycznego opisanego pew-nym stanem kwantowym, który z prawdopodobie´nstwem równym 1 (a wi˛ec z od-chyleniem standardowym równym 0) zwracałby zawsze te same wyniki pomiarów dla obu obserwabli jednocze´snie. O ile takie rozumowanie mo˙zna jeszcze przeprowa-dzi´c rozpatruj ˛ac stan kwantowy w kategoriach zespołu statystycznego, to nie mo˙zna jeszcze na tej podstawie wnioskowa´c, czy przykładowo pojedynczy obiekt mo˙ze by´c opisany w kategoriach zmiennych ukrytych, które determinuj ˛a wyniki pomiarów, któ-rym jest poddany. Zamiast jednak rozpatrywa´c dwie niewspółmierzalne obserwable, zastanówmy si˛e do jakich wniosków mo˙zna doj´s´c rozpatruj ˛ac wi˛eksz ˛a ilo´s´c obserwa-bli, z których przynajmniej niektóre s ˛a współmierzalne.

Rozwa˙zmy pewien dowolny stan kwantowy, na którym mo˙zemy wykonywa´c po-miary obserwabli ze zbioru V = {A1, A2, A3, ...}, przy czym przez ckb˛edziemy oznacza´c

podzbiory obserwabli współmierzalnych, które b˛edziemy dalej nazywa´c kontekstami.

Załó˙zmy, ˙ze ka˙zdej obserwabli A_i w sposób jednoznaczny (niezale˙zny od wyboru kontekstu) mo˙zemy przypisa´c pewn ˛a okre´slon ˛a warto´s´c wyniku pomiaru a_i tak, aby przy ka˙zdorazowym pomiarze obserwabli Ai z okre´slonego kontekstu ck wynikiem

pomiaru była ta konkretna warto´s´c (w przypadku mechaniki kwantowej ai mo˙ze by´c

jedn ˛a ze zbioru warto´sci własnych obserwabli Ai). Rozpatrzmy teraz pewien dowolny

zwi ˛azek mi˛edzy obserwablami

f_k(A1, A2, ..., An) = 0, (2.81)

gdzie obserwable Ai ∈ ck (i ∈ {1, ..., n}). Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli wszystkie powy˙zsze

2.3 Kontekstualność 19

obserwabli b˛ed ˛a spełniały powy˙zszy zwi ˛azek[7,8], tzn.

f_k(a1, a2, ..., an) = 0. (2.82)

Rozwa˙zanymi obserwablami w szczególnym przypadku mog ˛a by´c równie˙z ope-ratory rzutowe rz˛edu 1 Π_i, którym w sposób jednoznaczny przypisujemy warto´s´cπi (πi ∈ {1, 0}). Tym samym, je´sli przez d oznaczymy wymiar układu, to dla dowolnego kontekstu zawieraj ˛acego d operatorów rzutowych musimy mie´c nast˛epuj ˛acy zwi ˛azek mi˛edzy obserwablami

d

X

i=1

Πi = idd×d, (2.83)

a tym samym, zgodnie z przypisaniem (2.82) spełniony b˛edzie analogiczny zwi ˛azek dla ich warto´sci własnych

d

X

i=1

πi = 1. (2.84)

Okazuje si˛e jednak, zgodnie z rezultatem Kochena i Speckera[72] oraz Bella [73],

˙ze dla d ≥ 3 istniej ˛a takie zbiory obserwabli Πi, ˙ze nie istnieje takie przypisanie

Πi 7→ πi, dla którego spełnione b˛ed ˛a relacje (2.84) (zbiory obserwabli Πi maj ˛ace t˛e

własno´s´c nazywamy zbiorami KS). Tym samym, nie istnieje jednoznaczne przypisanie wyników wszystkim obserwablom, które mogłyby by´c w zgodzie ze statystycznymi przewidywaniami mechaniki kwantowej, b ˛ad´z te˙z ka˙zde takie przypisanie musiałoby koniecznie zale˙ze´c od wyboru kontekstu, w ramach którego wykonujemy pomiary, co nazywamy kontekstualno´sci ˛a. Oryginalny dowód Kochena i Speckera wymagał u˙zycia [72] 117 obserwabli Πi w przestrzeni d = 3, z czasem jednak znaleziono znacznie

mniejsze zbiory KS[74–78]. Dodajmy jednak, ˙ze kontekstualno´s´c mo˙ze si˛e ujawnia´c

równie˙z poprzez łamanie pewnych nierówno´sci[9,79–83]. W tym kontek´scie warto

równie˙z wspomnie´c o entropowych testach kontekstualno´sci[84–88].

Poni˙zej przedstawimy przykłady układów kontekstualnych, które mo˙zna zrealizo-wa´c na gruncie mechaniki kwantowej.

Przykład 1, „kwadrat Peresa-Mermina”.

2.3 Kontekstualność 20

Rys. 2.1: 6 podzbiorów współmierzalnych obserwabliAi (6 kontekstów) tworzą 3 rzędy oraz

3 kolumny. obserwabli[6–8]: A1 = ˆσx⊗ id2×2, A₂ = id2_×2⊗ ˆσx, A₃ = ˆσ_{x⊗ ˆ}σx, A4 = id2×2⊗ ˆσy, A₅ = ˆσ_y ⊗ id2_×2, A₆ = ˆσ_{y ⊗ ˆ}σ_y, A7 = ˆσx⊗ ˆσy, A₈ = ˆσ_y ⊗ ˆσx, A₉ = ˆσ_z⊗ ˆσz, (2.85)

z których ka˙zda ma dwie warto´sci własne+1 oraz −1. Je´sli teraz rozmie´scimy powy˙z-sze obserwable zgodnie ze schematem przedstawionym na Rys.2.1, to 6 podzbiorów współmierzalnych obserwabli (6 kontekstów) tworz ˛a 3 rz˛edy oraz 3 kolumny. Za-uwa˙zmy, ˙ze dla wszystkich kontekstów mamy

A_iA_jA_k= id4_×4, (2.86)

z wyj ˛atkiem

A3A6A9= −id4×4. (2.87)

Okazuje si˛e, ˙ze nie jest mo˙zliwe jednoznaczne przypisanie ka˙zdej obserwabli Ai

usta-lonego wyniku ai, w taki sposób, aby spełnione były relacje:

a_ia_ja_k= 1, (2.88)

dla wszystkich kontekstów, z wyj ˛atkiem

2.3 Kontekstualność 21

Rys. 2.2: 5 podzbiorów współmierzalnych obserwabli (5 kontekstów) tworzonych jest przez

5 grup współliniowych obserwabli Ai.

Rzeczywi´scie, zgodnie z powy˙zszymi relacjami, iloczyn wszystkich 9 warto´sci a_i wy-nosi 1 je´sli mno˙zyliby´smy warto´sci otrzymane dla trzech rz˛edów, b ˛ad´z te˙z -1 je´sli mno˙zyliby´smy warto´sci otrzymane dla trzech kolumn. Tym samym dowolne przy-porz ˛adkowanie warto´sci ai = ±1 obserwablom Ai zachowuj ˛ace reguły (2.88) oraz

(2.89) musiałoby by´c kontekstualne.

Przykład 2, „gwiazda Mermina”.

Rozwa˙zmy dowolny stan układu trzech spinów 1

2 (d= 8), oraz nast˛epuj ˛acy zbiór obserwabli[7,8]: A₁= ˆσ_y ⊗ id2_×2⊗ id2_×2, A₂= ˆσ_{x⊗ ˆ}σy _{⊗ ˆ}σy, A3= id2×2⊗ ˆσx ⊗ id2×2, A₄= id2×2⊗ ˆσy⊗ id2×2, A₅= ˆσ_{x⊗ ˆ}σx_{⊗ ˆ}σx, A6= ˆσy ⊗ ˆσy⊗ ˆσx, A₇= ˆσ_y ⊗ ˆσx ⊗ ˆσy,

A₈= id2_×2⊗ id2_×2⊗ ˆσy,

A9= ˆσx⊗ id2×2⊗ id2×2,

A₁₀= id2×2⊗ id2×2⊗ ˆσx,

(2.90)

z których ka˙zda ma dwie warto´sci własne+1 oraz −1. Je´sli teraz rozmie´scimy powy˙z-sze obserwable zgodnie ze schematem przedstawionym na Rys.2.2, to 5 podzbiorów współmierzalnych obserwabli (5 kontekstów) tworzonych jest przez 5 grup

współli-2.3 Kontekstualność 22

niowych obserwabli. Zauwa˙zmy, ˙ze dla wszystkich kontekstów mamy

A_iA_jA_kA_l = id8_×8, (2.91)

z wyj ˛atkiem

A2A5A6A8 = −id8×8. (2.92)

Okazuje si˛e, ˙ze nie jest mo˙zliwe jednoznaczne przypisanie ka˙zdej obserwabli Ai

usta-lonego wyniku ai, w taki sposób, aby spełnione były relacje:

a_ia_ja_ka_l = 1, (2.93)

dla wszystkich kontekstów, z wyj ˛atkiem

a₂a₅a₆a₈= −1. (2.94)

Rzeczywi´scie, zgodnie z powy˙zszymi relacjami, mno˙z ˛ac warto´sci otrzymane dla wszyst-kich 5 kraw˛edzi otrzymaliby´smy warto´s´c -1, co jednak musiałoby odpowiada´c pomno-˙zeniu kwadratów wszystkich 10 wyników przez siebie (ka˙zda obserwabla wyst˛epuje w dwóch ró˙znych kontekstach) daj ˛ac tym samym wynik 1. Wobec tego dowolne przy-porz ˛adkowanie warto´sci a_i = ±1 obserwablom A_i zachowuj ˛ace reguły (2.93) oraz (2.94) musiałoby by´c kontekstualne.

Warto zauwa˙zy´c, ˙ze w przeciwie´nstwie do kwadratu Peresa-Mermina, mo˙zna zna-le´z´c przypisanie warto´sci a_i obserwablom A_i, które spełniaj ˛a przeciwne reguły w sto-sunku do reguł (2.93) oraz (2.94):

a_ia_ja_ka_l = −1, (2.95)

dla wszystkich kontekstów, z wyj ˛atkiem

a₂a₅a₆a₈= 1. (2.96)

Reguły te b˛ed ˛a zachowane, je´sli tylko a3= a4= −1, z kolei pozostałe ai= 1.

W powy˙zszych przykładach mogli´smy zauwa˙zy´c, ˙ze wiele z relacji współmierzal-no´sci obserwabli A_i wynikała z prostego faktu, ˙ze dwa operatory, np. ˆσ_x oraz ˆσ_y dzia-łały na ró˙znych podprzestrzeniach przestrzeni Hilberta (ˆσ_x ⊗ id2×2 oraz id2×2⊗ ˆσy). Z tym samym mieli´smy do czynienia rozwa˙zaj ˛ac dwie pary niewspółmierzalnych ob-serwabli A0, A1oraz B0, B1 w nierówno´sciach CHSH. W tym kontek´scie mo˙zna powie-dzie´c, ˙ze lokalne zmienne ukryte uzasadniaj ˛ace nierówno´sci Bella mo˙zna uwa˙za´c za

niekontekstualne zmienne ukryteprzy uwzgl˛ednieniu kontekstów wynikaj ˛acych z prze-strzennego odseparowania dwóch podukładów, na którym wykonywane s ˛a pomiary. Z