Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice
http://kk.us.edu.pl
Badając ruch cząstki w jednym wymiarze w potencjale
symetrycznym względem osi Oy pokazaliśmy, że funkcja falowa musi być albo parzysta albo nieparzysta.
Przypomnijmy, że dla cząstki w prostokątnej studni potencjału o skończonej wysokości
x V(x)
V0
−a 0 a
V(x) =
( 0, dla |x| < a, V0, dla |x| > a.
znaleźliśmy dwie klasy rozwiązań.
Badając ruch cząstki w jednym wymiarze w potencjale
symetrycznym względem osi Oy pokazaliśmy, że funkcja falowa musi być albo parzysta albo nieparzysta.
Przypomnijmy, że dla cząstki w prostokątnej studni potencjału o skończonej wysokości
x V(x)
V0
−a 0 a
V(x) =
( 0, dla |x| < a, V0, dla |x| > a.
znaleźliśmy dwie klasy rozwiązań.
Rozwiązanie należące doI klasymiało postać
u(x) =
Ceβx, dla x <−a, Bcos(αx), dla |x| < a, Ce−βx, dla x > a.
a rozwiązanie należące doII klasymiało postać
u(x) =
Deβx, dla x <−a, Asin(αx), dla |x| < a,
−De−βx, dla x > a.
Rozwiązanie należące doI klasymiało postać
u(x) =
Ceβx, dla x <−a, Bcos(αx), dla |x| < a, Ce−βx, dla x > a.
a rozwiązanie należące doII klasymiało postać
u(x) =
Deβx, dla x <−a, Asin(αx), dla |x| < a,
−De−βx, dla x > a.
Widać, żefunkcje falowe I klasy są parzyste, tzn. u(−x) = u(x),
Rozwiązanie należące doI klasymiało postać
u(x) =
Ceβx, dla x <−a, Bcos(αx), dla |x| < a, Ce−βx, dla x > a.
a rozwiązanie należące doII klasymiało postać
u(x) =
Deβx, dla x <−a, Asin(αx), dla |x| < a,
−De−βx, dla x > a.
Widać, żefunkcje falowe I klasy są parzyste, tzn. u(−x) = u(x), a funkcje II klasy są nieparzyste, u(−x) = −u(x).
Rozwiązanie należące doI klasymiało postać
u(x) =
Ceβx, dla x <−a, Bcos(αx), dla |x| < a, Ce−βx, dla x > a.
a rozwiązanie należące doII klasymiało postać
u(x) =
Deβx, dla x <−a, Asin(αx), dla |x| < a,
−De−βx, dla x > a.
Widać, żefunkcje falowe I klasy są parzyste, tzn. u(−x) = u(x), a funkcje II klasy są nieparzyste, u(−x) = −u(x).
Taki podział funkcji własnych naparzysteinieparzyste wynika z symetrii potencjału
V(x) =
V0, dla x <−a,
0, dla |x| < a, ⇒ V(−x) = V (x).
V0, dla x > a,
Napiszmy równanie falowe z potencjałem V (x)
−~2 2m
d2u(x)
dx2 + V (x)u(x) = Eu(x) i dokonajmy zamiany zmiennejx → −x.
Taki podział funkcji własnych naparzysteinieparzyste wynika z symetrii potencjału
V(x) =
V0, dla x <−a,
0, dla |x| < a, ⇒ V(−x) = V (x).
V0, dla x > a,
Napiszmy równanie falowe z potencjałem V (x)
−~2 2m
d2u(x)
dx2 + V (x)u(x) = Eu(x) i dokonajmy zamiany zmiennejx → −x.
Przy zamianiex→ −x V(x) → V (−x) = V (x),
d2
dx2 → d2
d(−x)2 = d d(−x)
d d(−x) =
− d dx
− d dx
= d2 dx2 Dlatego otrzymujemy równanie
−~2 2m
d2u(−x)
dx2 + V (x)u(−x) = Eu(−x).
Przy zamianiex→ −x V(x) → V (−x) = V (x),
d2
dx2 → d2
d(−x)2 = d d(−x)
d d(−x) =
− d dx
− d dx
= d2 dx2 Dlatego otrzymujemy równanie
−~2 2m
d2u(−x)
dx2 + V (x)u(−x) = Eu(−x).
Widzimy, żeu(x)iu(−x) spełaniają dokładnie takie samo równanie falowe, z taką samą wartością własnąE.
Przy zamianiex→ −x V(x) → V (−x) = V (x),
d2
dx2 → d2
d(−x)2 = d d(−x)
d d(−x) =
− d dx
− d dx
= d2 dx2 Dlatego otrzymujemy równanie
−~2 2m
d2u(−x)
dx2 + V (x)u(−x) = Eu(−x).
Widzimy, żeu(x)iu(−x) spełaniają dokładnie takie samo równanie falowe, z taką samą wartością własnąE.
Załóżmy, żeenergii Eodpowiada tylkojedna niezależna funkcja falowa u(x), tzn.nie ma degeneracji.
Wtedy funkcjau(−x) musi być liniowo zależna odu(x), a więc istnieje stałaεtaka, że
u(−x) = εu(x).
Załóżmy, żeenergii Eodpowiada tylkojedna niezależna funkcja falowa u(x), tzn.nie ma degeneracji.
Wtedy funkcjau(−x) musi być liniowo zależna odu(x), a więc istnieje stałaεtaka, że
u(−x) = εu(x).
Dokonajmy zamiany zmiennejx → −x. u(x) = εu(−x).
Załóżmy, żeenergii Eodpowiada tylkojedna niezależna funkcja falowa u(x), tzn.nie ma degeneracji.
Wtedy funkcjau(−x) musi być liniowo zależna odu(x), a więc istnieje stałaεtaka, że
u(−x) = εu(x).
Dokonajmy zamiany zmiennejx → −x. u(x) = εu(−x).
Wstawiając u(−x) z pierwszego równania otrzymamy u(x) = εu(−x)
Załóżmy, żeenergii Eodpowiada tylkojedna niezależna funkcja falowa u(x), tzn.nie ma degeneracji.
Wtedy funkcjau(−x) musi być liniowo zależna odu(x), a więc istnieje stałaεtaka, że
u(−x) = εu(x).
Dokonajmy zamiany zmiennejx → −x. u(x) = εu(−x).
Wstawiając u(−x) z pierwszego równania otrzymamy u(x) = εu(−x)= ε2u(x)
Załóżmy, żeenergii Eodpowiada tylkojedna niezależna funkcja falowa u(x), tzn.nie ma degeneracji.
Wtedy funkcjau(−x) musi być liniowo zależna odu(x), a więc istnieje stałaεtaka, że
u(−x) = εu(x).
Dokonajmy zamiany zmiennejx → −x. u(x) = εu(−x).
Wstawiając u(−x) z pierwszego równania otrzymamy u(x) = εu(−x) = ε2u(x) ⇔ ε2= 1
Załóżmy, żeenergii Eodpowiada tylkojedna niezależna funkcja falowa u(x), tzn.nie ma degeneracji.
Wtedy funkcjau(−x) musi być liniowo zależna odu(x), a więc istnieje stałaεtaka, że
u(−x) = εu(x).
Dokonajmy zamiany zmiennejx → −x. u(x) = εu(−x).
Wstawiając u(−x) z pierwszego równania otrzymamy u(x) = εu(−x) = ε2u(x) ⇔ ε2= 1 ⇔ ε= ±1.
Załóżmy, żeenergii Eodpowiada tylkojedna niezależna funkcja falowa u(x), tzn.nie ma degeneracji.
Wtedy funkcjau(−x) musi być liniowo zależna odu(x), a więc istnieje stałaεtaka, że
u(−x) = εu(x).
Dokonajmy zamiany zmiennejx → −x. u(x) = εu(−x).
Wstawiając u(−x) z pierwszego równania otrzymamy u(x) = εu(−x) = ε2u(x) ⇔ ε2= 1 ⇔ ε= ±1.
Widzimy, że jeśli nie madegeneracji, to funkcje falowe symetrycznego potencjału muszą byćalbo parzyste
u(−x) = u(x), (ε = 1),
Widzimy, że jeśli nie madegeneracji, to funkcje falowe symetrycznego potencjału muszą być alboparzyste
u(−x) = u(x), (ε = 1), albonieparzyste
u(−x) = −u(x), (ε = −1).
Widzimy, że jeśli nie madegeneracji, to funkcje falowe symetrycznego potencjału muszą być alboparzyste
u(−x) = u(x), (ε = 1), albonieparzyste
u(−x) = −u(x), (ε = −1).
O takich funkcjach falowych mówimy, że mają określoną parzystość:dodatnią (ε = 1) lub ujemną (ε = −1).
Widzimy, że jeśli nie madegeneracji, to funkcje falowe symetrycznego potencjału muszą być alboparzyste
u(−x) = u(x), (ε = 1), albonieparzyste
u(−x) = −u(x), (ε = −1).
O takich funkcjach falowych mówimy, że mają określoną parzystość:dodatnią (ε = 1) lub ujemną (ε = −1).
Jeżeli energia potencjalna w równaniu Schr¨odingera nie ulega zmianie przy przekształceniu ~r → −~r,tzn. V (−~r) = V (~r),
Jeżeli energia potencjalna w równaniu Schr¨odingera nie ulega zmianie przy przekształceniu ~r → −~r, tzn. V (−~r) = V (~r),to funkcje własne energii można wybrać tak, aby miały określoną parzystość.
Jeżeli energia potencjalna w równaniu Schr¨odingera nie ulega zmianie przy przekształceniu ~r → −~r, tzn. V (−~r) = V (~r), to funkcje własne energii można wybrać tak, aby miały określoną parzystość.
Postaramy się znaleźć ogólny związek pomiędzy operacją inwersji przestrzennej a parzystością przy zastosowaniu formalizmu zastosowanego do badania symetrii w mechanice kwantowej.
Inwersja przestrzenna zdefiniowana jest wzorem
~
r → ~r′= −~r = P ~r.
Postaramy się znaleźć ogólny związek pomiędzy operacją inwersji przestrzennej a parzystością przy zastosowaniu formalizmu zastosowanego do badania symetrii w mechanice kwantowej.
Inwersja przestrzenna zdefiniowana jest wzorem
~
r → ~r′= −~r = P ~r.
Widzimy, że macierz inwersji P ma postać
P =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
Postaramy się znaleźć ogólny związek pomiędzy operacją inwersji przestrzennej a parzystością przy zastosowaniu formalizmu zastosowanego do badania symetrii w mechanice kwantowej.
Inwersja przestrzenna zdefiniowana jest wzorem
~
r → ~r′= −~r = P ~r.
Widzimy, że macierz inwersji P ma postać
P =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
⇒ PT = P.
Postaramy się znaleźć ogólny związek pomiędzy operacją inwersji przestrzennej a parzystością przy zastosowaniu formalizmu zastosowanego do badania symetrii w mechanice kwantowej.
Inwersja przestrzenna zdefiniowana jest wzorem
~
r → ~r′= −~r = P ~r.
Widzimy, że macierz inwersji P ma postać
P =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
⇒ PT = P.
Zauważmy, że
PTP = P2 = I, ale ponieważ
det P= (−1)3 = −1, to macierz P nie reprezentuje obrotu właściwego.
Zauważmy, że
PTP = P2 = I, ale ponieważ
det P= (−1)3 = −1, to macierz P nie reprezentuje obrotu właściwego.
Każdą rzeczywistą macierz ortogonalną o wyznaczniku −1 można zapisać jako iloczyn macierzy obrotu właściwego i macierzy P.
Zauważmy, że
PTP = P2 = I, ale ponieważ
det P= (−1)3 = −1, to macierz P nie reprezentuje obrotu właściwego.
Każdą rzeczywistą macierz ortogonalną o wyznaczniku −1 można zapisać jako iloczyn macierzy obrotu właściwego i macierzy P.
Inwersja układu fizycznego w stanie reprezentowanym przez wektor
|αi, albo funkcję falową ψα(~r), spowoduje jego przejście w stan reprezentowany przez wektor |α′i, albo funkcję falową ψα′(~r).
Związek pomiędzy tymi dwoma stanami ma postać ψα′(P~r) = ωψα(~r),
gdzie ω jest liczbą, którą określimy za chwilę.
Inwersja układu fizycznego w stanie reprezentowanym przez wektor
|αi, albo funkcję falową ψα(~r), spowoduje jego przejście w stan reprezentowany przez wektor |α′i, albo funkcję falową ψα′(~r).
Związek pomiędzy tymi dwoma stanami ma postać ψα′(P~r) = ωψα(~r),
gdzie ω jest liczbą, którą określimy za chwilę.
W przypadku transformacji ciągłych rozpatrywanych wcześniej:
translacji przestrzennej i czasowej oraz obrotu właściwego, nie wprowadziliśmy tego rodzaju czynnika liczbowego.
Inwersja układu fizycznego w stanie reprezentowanym przez wektor
|αi, albo funkcję falową ψα(~r), spowoduje jego przejście w stan reprezentowany przez wektor |α′i, albo funkcję falową ψα′(~r).
Związek pomiędzy tymi dwoma stanami ma postać ψα′(P~r) = ωψα(~r),
gdzie ω jest liczbą, którą określimy za chwilę.
W przypadku transformacji ciągłych rozpatrywanych wcześniej:
translacji przestrzennej i czasowej oraz obrotu właściwego, nie wprowadziliśmy tego rodzaju czynnika liczbowego.
Dla transformacji ciągłej musiałby on zależeć w sposób ciągły od parametrów transformacji: ~ρ, τ lub ~φ, tak aby dla ~ρ = ~0,τ = 0
Dla transformacji ciągłej musiałby on zależeć w sposób ciągły od parametrów transformacji: ~ρ, τ lub ~φ, tak aby dla ~ρ = ~0, τ = 0 lub
~φ= ~0
Dla transformacji ciągłej musiałby on zależeć w sposób ciągły od parametrów transformacji: ~ρ, τ lub ~φ, tak aby dla ~ρ = ~0, τ = 0 lub
~φ= ~0 zachodziłoω= 1.
Dla transformacji ciągłej musiałby on zależeć w sposób ciągły od parametrów transformacji: ~ρ, τ lub ~φ, tak aby dla ~ρ = ~0, τ = 0 lub
~φ= ~0 zachodziłoω= 1.
Można pokazać, że obecność takiego czynnika liczbowego nie miałaby żadnych konsekwencji fizycznych.
Dla transformacji ciągłej musiałby on zależeć w sposób ciągły od parametrów transformacji: ~ρ, τ lub ~φ, tak aby dla ~ρ = ~0, τ = 0 lub
~φ= ~0 zachodziłoω= 1.
Można pokazać, że obecność takiego czynnika liczbowego nie miałaby żadnych konsekwencji fizycznych.
Zdefiniujmy unitarny operator inwersji
UP |αi = |α′ lub UPψα(~r) = ψα′(~r).
Ponieważ
ψα′(P~r) = ωψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ωψα(P~r) = ωψα(−~r),
Zdefiniujmy unitarny operator inwersji
UP |αi = |α′ lub UPψα(~r) = ψα′(~r).
Ponieważ
ψα′(P~r) = ωψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ωψα(P~r) = ωψα(−~r), więc
UPψα(~r) = ωψα(−~r)
Zdefiniujmy unitarny operator inwersji
UP |αi = |α′ lub UPψα(~r) = ψα′(~r).
Ponieważ
ψα′(P~r) = ωψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ωψα(P~r) = ωψα(−~r), więc
UPψα(~r) = ωψα(−~r) ⇒ UP2ψα(~r) = ωUPψα(−~r)
Zdefiniujmy unitarny operator inwersji
UP |αi = |α′ lub UPψα(~r) = ψα′(~r).
Ponieważ
ψα′(P~r) = ωψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ωψα(P~r) = ωψα(−~r), więc
UPψα(~r) = ωψα(−~r) ⇒ UP2ψα(~r) = ωUPψα(−~r)= ω2ψα(~r).
Zdefiniujmy unitarny operator inwersji
UP |αi = |α′ lub UPψα(~r) = ψα′(~r).
Ponieważ
ψα′(P~r) = ωψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ωψα(P~r) = ωψα(−~r), więc
UPψα(~r) = ωψα(−~r) ⇒ UP2ψα(~r) = ωUPψα(−~r) = ω2ψα(~r).
Dwie kolejne inwersje przestrzenne przeprowadzają przestrzeń położeniową na siebie, więc operator UP2 powinien przeprowadzać każdy stan w siebie.
Zdefiniujmy unitarny operator inwersji
UP |αi = |α′ lub UPψα(~r) = ψα′(~r).
Ponieważ
ψα′(P~r) = ωψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ωψα(P~r) = ωψα(−~r), więc
UPψα(~r) = ωψα(−~r) ⇒ UP2ψα(~r) = ωUPψα(−~r) = ω2ψα(~r).
Dwie kolejne inwersje przestrzenne przeprowadzają przestrzeń położeniową na siebie, więc operator UP2 powinien przeprowadzać każdy stan w siebie.
Stan może się przy tym zmienić o czynnik o module 1, ale jego norma nie może ulec zmianie.
Stąd wnioskujemy, że ω2 jest liczbą o module 1.
Stan może się przy tym zmienić o czynnik o module 1, ale jego norma nie może ulec zmianie.
Stąd wnioskujemy, że ω2 jest liczbą o module 1.
Zauważmy, że ω musi przyjmować tę samą wartość dla wszystkich stanów podlegających superpozycji,
Stan może się przy tym zmienić o czynnik o module 1, ale jego norma nie może ulec zmianie.
Stąd wnioskujemy, że ω2 jest liczbą o module 1.
Zauważmy, że ω musi przyjmować tę samą wartość dla wszystkich stanów podlegających superpozycji,tzn., jeżeli
ψ(~r) =X
α
aαψα(~r),
Stan może się przy tym zmienić o czynnik o module 1, ale jego norma nie może ulec zmianie.
Stąd wnioskujemy, że ω2 jest liczbą o module 1.
Zauważmy, że ω musi przyjmować tę samą wartość dla wszystkich stanów podlegających superpozycji, tzn., jeżeli
ψ(~r) =X
α
aαψα(~r), to
UPψ(~r) =X
α
aαUPψα(~r)
Stan może się przy tym zmienić o czynnik o module 1, ale jego norma nie może ulec zmianie.
Stąd wnioskujemy, że ω2 jest liczbą o module 1.
Zauważmy, że ω musi przyjmować tę samą wartość dla wszystkich stanów podlegających superpozycji, tzn., jeżeli
ψ(~r) =X
α
aαψα(~r), to
UPψ(~r) =X
α
aαUPψα(~r)=X
α
ωαaαψα(−~r),
Stan może się przy tym zmienić o czynnik o module 1, ale jego norma nie może ulec zmianie.
Stąd wnioskujemy, że ω2 jest liczbą o module 1.
Zauważmy, że ω musi przyjmować tę samą wartość dla wszystkich stanów podlegających superpozycji, tzn., jeżeli
ψ(~r) =X
α
aαψα(~r), to
UPψ(~r) =X
α
aαUPψα(~r) =X
α
ωαaαψα(−~r), co na ogół różni się od ωψ(−~r),
Stan może się przy tym zmienić o czynnik o module 1, ale jego norma nie może ulec zmianie.
Stąd wnioskujemy, że ω2 jest liczbą o module 1.
Zauważmy, że ω musi przyjmować tę samą wartość dla wszystkich stanów podlegających superpozycji, tzn., jeżeli
ψ(~r) =X
α
aαψα(~r), to
UPψ(~r) =X
α
aαUPψα(~r) =X
α
ωαaαψα(−~r),
co na ogół różni się od ωψ(−~r),chyba, że wszystkie ωα są sobie równe.
Stan może się przy tym zmienić o czynnik o module 1, ale jego norma nie może ulec zmianie.
Stąd wnioskujemy, że ω2 jest liczbą o module 1.
Zauważmy, że ω musi przyjmować tę samą wartość dla wszystkich stanów podlegających superpozycji, tzn., jeżeli
ψ(~r) =X
α
aαψα(~r), to
UPψ(~r) =X
α
aαUPψα(~r) =X
α
ωαaαψα(−~r),
co na ogół różni się od ωψ(−~r), chyba, że wszystkie ωα są sobie równe.
Dlatego założymy, że ω ma tę samą wartość dla każdego rodzaju cząstek mogących ze sobą interferować.
Dla cząstki o spinie całkowitymdwukrotne złożenie inwersji powinno dać ten sam stan, więc
ω2 = 1 ⇒ ω= ±1.
Dlatego założymy, że ω ma tę samą wartość dla każdego rodzaju cząstek mogących ze sobą interferować.
Dla cząstki o spinie całkowitymdwukrotne złożenie inwersji powinno dać ten sam stan, więc
ω2 = 1 ⇒ ω= ±1.
Zgodnie z regułą składania stanów własnych momentu pędu, układ dwóch cząstek o spinie połówkowym ma całkowity moment pędu.
Dlatego założymy, że ω ma tę samą wartość dla każdego rodzaju cząstek mogących ze sobą interferować.
Dla cząstki o spinie całkowitymdwukrotne złożenie inwersji powinno dać ten sam stan, więc
ω2 = 1 ⇒ ω= ±1.
Zgodnie z regułą składania stanów własnych momentu pędu, układ dwóch cząstek o spinie połówkowym ma całkowity moment pędu.
Dlatego dla cząstek o spinie połówkowym ω2 = ±1 ⇒ ω= ±1, ±i.
Dlatego założymy, że ω ma tę samą wartość dla każdego rodzaju cząstek mogących ze sobą interferować.
Dla cząstki o spinie całkowitymdwukrotne złożenie inwersji powinno dać ten sam stan, więc
ω2 = 1 ⇒ ω= ±1.
Zgodnie z regułą składania stanów własnych momentu pędu, układ dwóch cząstek o spinie połówkowym ma całkowity moment pędu.
Dlatego dla cząstek o spinie połówkowym ω2 = ±1 ⇒ ω= ±1, ±i.
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) =
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) =UPi ~d
dt |α(t)i
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
=
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i=
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i=UPHUP†UP |α(t)i
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i= UPHUP†UP |α(t)i= UPHUP† |α′(t) ,
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i= UPHUP†UP |α(t)i= UPHUP† |α′(t) , gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i i z unitarności operatora UP.
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i= UPHUP†UP |α(t)i= UPHUP† |α′(t) , gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i i z unitarności operatora UP.
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i= UPHUP†UP |α(t)i= UPHUP† |α′(t) , gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i i z unitarności operatora UP.
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli UPHUP† = H
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i= UPHUP†UP |α(t)i= UPHUP† |α′(t) , gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i i z unitarności operatora UP.
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli UPHUP† = H ⇔ UPH= HUP
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i= UPHUP†UP |α(t)i= UPHUP† |α′(t) , gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i i z unitarności operatora UP.
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli
UPHUP† = H ⇔ UPH= HUP ⇔ [UP, H] = 0.
Wstawmy stan odbity |α′(t)i do równania Schr¨odingera.
Obliczmy i ~d
dt |α′(t) = i ~ d
dt(UP |α(t)i) = UPi ~d
dt |α(t)i
= UPH|α(t)i= UPHUP†UP |α(t)i= UPHUP† |α′(t) , gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i i z unitarności operatora UP.
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli
UPHUP† = H ⇔ UPH= HUP ⇔ [UP, H] = 0.
Jeżeli[UP, H] = 0, to operatory H i UP można jednocześnie zdiagonalizować i stany własne energii można wybrać tak, aby miały określoną parzystość.
Ponadto jeśli stany |αi i UP |αi są liniowo niezależne, to mamy do czynienia z degeneracją wartości własnych energii.
Jeżeli[UP, H] = 0, to operatory H i UP można jednocześnie zdiagonalizować i stany własne energii można wybrać tak, aby miały określoną parzystość.
Ponadto jeśli stany |αi i UP |αi są liniowo niezależne, to mamy do czynienia z degeneracją wartości własnych energii.
Zbadajmy wpływ inwersji na operatory położenia, pędu i momentu pędu.
Jeżeli[UP, H] = 0, to operatory H i UP można jednocześnie zdiagonalizować i stany własne energii można wybrać tak, aby miały określoną parzystość.
Ponadto jeśli stany |αi i UP |αi są liniowo niezależne, to mamy do czynienia z degeneracją wartości własnych energii.
Zbadajmy wpływ inwersji na operatory położenia, pędu i momentu pędu.
Przypomnijmy, że
UPψα(~r) = ωψα(−~r)
Jeżeli[UP, H] = 0, to operatory H i UP można jednocześnie zdiagonalizować i stany własne energii można wybrać tak, aby miały określoną parzystość.
Ponadto jeśli stany |αi i UP |αi są liniowo niezależne, to mamy do czynienia z degeneracją wartości własnych energii.
Zbadajmy wpływ inwersji na operatory położenia, pędu i momentu pędu.
Przypomnijmy, że
UPψα(~r) = ωψα(−~r) ⇒ ψα(~r) = ωUP†ψα(−~r).
Jeżeli[UP, H] = 0, to operatory H i UP można jednocześnie zdiagonalizować i stany własne energii można wybrać tak, aby miały określoną parzystość.
Ponadto jeśli stany |αi i UP |αi są liniowo niezależne, to mamy do czynienia z degeneracją wartości własnych energii.
Zbadajmy wpływ inwersji na operatory położenia, pędu i momentu pędu.
Przypomnijmy, że
UPψα(~r) = ωψα(−~r) ⇒ ψα(~r) = ωUP†ψα(−~r).
Dzieląc ostatnią równość przez ω i podstawiając ~r → −~r otrzymamy
UP†ψα(~r) = ω−1ψα(−~r).
Jeżeli[UP, H] = 0, to operatory H i UP można jednocześnie zdiagonalizować i stany własne energii można wybrać tak, aby miały określoną parzystość.
Ponadto jeśli stany |αi i UP |αi są liniowo niezależne, to mamy do czynienia z degeneracją wartości własnych energii.
Zbadajmy wpływ inwersji na operatory położenia, pędu i momentu pędu.
Przypomnijmy, że
UPψα(~r) = ωψα(−~r) ⇒ ψα(~r) = ωUP†ψα(−~r).
Dzieląc ostatnią równość przez ω i podstawiając ~r → −~r otrzymamy
UP†ψα(~r) = ω−1ψα(−~r).
Przypomnijmy, że
|α′ = UP |αi ⇒ α′| = hα| UP†,
Przypomnijmy, że
|α′ = UP |αi ⇒ α′| = hα| UP†,
a więc element macierzowy operatora ~r pomiędzy stanami odbitymi wynosi
β′|~r|α′
Przypomnijmy, że
|α′ = UP |αi ⇒ α′| = hα| UP†,
a więc element macierzowy operatora ~r pomiędzy stanami odbitymi wynosi
β′|~r|α′ = hβ |UP† ~r UP |αi .
Przypomnijmy, że
|α′ = UP |αi ⇒ α′| = hα| UP†,
a więc element macierzowy operatora ~r pomiędzy stanami odbitymi wynosi
β′|~r|α′ = hβ |UP† ~r UP |αi .
Aby obliczyć UP† ~r UP podziałajmy tym operatorem na dowolną funkcję falową ψα(~r).
UP† ~r UPψα(~r)
Przypomnijmy, że
|α′ = UP |αi ⇒ α′| = hα| UP†,
a więc element macierzowy operatora ~r pomiędzy stanami odbitymi wynosi
β′|~r|α′ = hβ |UP† ~r UP |αi .
Aby obliczyć UP† ~r UP podziałajmy tym operatorem na dowolną funkcję falową ψα(~r).
UP† ~r UPψα(~r)= UP† ~r ωψα(−~r),
Przypomnijmy, że
|α′ = UP |αi ⇒ α′| = hα| UP†,
a więc element macierzowy operatora ~r pomiędzy stanami odbitymi wynosi
β′|~r|α′ = hβ |UP† ~r UP |αi .
Aby obliczyć UP† ~r UP podziałajmy tym operatorem na dowolną funkcję falową ψα(~r).
UP† ~r UPψα(~r) = UP† ~r ωψα(−~r), gdzie wykorzystaliśmy związek UPψα(~r) = ωψα(−~r).
Przypomnijmy, że
|α′ = UP |αi ⇒ α′| = hα| UP†,
a więc element macierzowy operatora ~r pomiędzy stanami odbitymi wynosi
β′|~r|α′ = hβ |UP† ~r UP |αi .
Aby obliczyć UP† ~r UP podziałajmy tym operatorem na dowolną funkcję falową ψα(~r).
UP† ~r UPψα(~r) = UP† ~r ωψα(−~r), gdzie wykorzystaliśmy związek UPψα(~r) = ωψα(−~r).
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r))
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
Dla operatora orbitalnego momentu pędu ~L = ~r × ~p dostaniemy UP† ~L UP =
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
Dla operatora orbitalnego momentu pędu ~L = ~r × ~p dostaniemy UP† ~L UP = UP† ~r× ~p UP =
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
Dla operatora orbitalnego momentu pędu ~L = ~r × ~p dostaniemy UP† ~L UP = UP† ~r× ~p UP =UP† ~r UP × UP† ~p UP =
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
Dla operatora orbitalnego momentu pędu ~L = ~r × ~p dostaniemy UP† ~L UP = UP† ~r× ~p UP = UP† ~r UP × UP† ~p UP =(−~r) × (−~p)
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
Dla operatora orbitalnego momentu pędu ~L = ~r × ~p dostaniemy UP† ~L UP = UP† ~r× ~p UP = UP† ~r UP × UP† ~p UP = (−~r) × (−~p)
=
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
Dla operatora orbitalnego momentu pędu ~L = ~r × ~p dostaniemy UP† ~L UP = UP† ~r× ~p UP = UP† ~r UP × UP† ~p UP = (−~r) × (−~p)
= ~r× ~p
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
Dla operatora orbitalnego momentu pędu ~L = ~r × ~p dostaniemy UP† ~L UP = UP† ~r× ~p UP = UP† ~r UP × UP† ~p UP = (−~r) × (−~p)
= ~r × ~p= ~L.
UP† ~r UPψα(~r)= UP†(~rωψα(−~r)) = ω−1(−~r)ωψα(~r) =−~rψα(~r).
Ponieważ funkcja ψα(~r) jest dowolna, więc otrzymujemy UP† ~r UP = −~r.
Dla operatora pędu ~p = −i~~∇ otrzymamy w związku z tym UP† ~p UP = −~p.
Dla operatora orbitalnego momentu pędu ~L = ~r × ~p dostaniemy UP† ~L UP = UP† ~r× ~p UP = UP† ~r UP × UP† ~p UP = (−~r) × (−~p)
= ~r × ~p = ~L.
Operator UP działa na współrzędne przestrzenne, a nie działa na spin, więc dla całkowitego momentu pęduJ~= ~L + ~S otrzymamy również
UP† J U~ P = ~J.
Ze względu na prawo transformacyjne przy inwersji przestrzennej operatory położenia i pędu,
Operator UP działa na współrzędne przestrzenne, a nie działa na spin, więc dla całkowitego momentu pęduJ~= ~L + ~S otrzymamy również
UP† J U~ P = ~J.
Ze względu na prawo transformacyjne przy inwersji przestrzennej operatory położenia i pędu,które zmieniają znak,
Operator UP działa na współrzędne przestrzenne, a nie działa na spin, więc dla całkowitego momentu pęduJ~= ~L + ~S otrzymamy również
UP† J U~ P = ~J.
Ze względu na prawo transformacyjne przy inwersji przestrzennej operatory położenia i pędu, które zmieniają znak,nazywamy wektorami,
Operator UP działa na współrzędne przestrzenne, a nie działa na spin, więc dla całkowitego momentu pęduJ~= ~L + ~S otrzymamy również
UP† J U~ P = ~J.
Ze względu na prawo transformacyjne przy inwersji przestrzennej operatory położenia i pędu, które zmieniają znak, nazywamy wektorami,aoperator momentu pędu,
Operator UP działa na współrzędne przestrzenne, a nie działa na spin, więc dla całkowitego momentu pęduJ~= ~L + ~S otrzymamy również
UP† J U~ P = ~J.
Ze względu na prawo transformacyjne przy inwersji przestrzennej operatory położenia i pędu, które zmieniają znak, nazywamy wektorami,aoperator momentu pędu,który nie zmienia znaku,
Operator UP działa na współrzędne przestrzenne, a nie działa na spin, więc dla całkowitego momentu pęduJ~= ~L + ~S otrzymamy również
UP† J U~ P = ~J.
Ze względu na prawo transformacyjne przy inwersji przestrzennej operatory położenia i pędu, które zmieniają znak, nazywamy wektorami,aoperator momentu pędu, który nie zmienia znaku, nazywamy pseudowektorem.
Operator UP działa na współrzędne przestrzenne, a nie działa na spin, więc dla całkowitego momentu pęduJ~= ~L + ~S otrzymamy również
UP† J U~ P = ~J.
Ze względu na prawo transformacyjne przy inwersji przestrzennej operatory położenia i pędu, które zmieniają znak, nazywamy wektorami,aoperator momentu pędu, który nie zmienia znaku, nazywamy pseudowektorem.
Odwrócenie w czasie układu fizycznego w stanie reprezentowanym przez wektor |αi albo funkcję falową ψα spowoduje jego przejście w stan reprezentowany przez wektor |α′i albo funkcję falową ψα′
ewoluującą w kierunku przeciwnym w czasie.
Klasyczne równania ruchu, które tak jak np. równanie Newtona
~r¨= F~ m
zawierają drugą pochodną czasową, są niezmiennicze względem odwrócenia czasu
t → t′ = T t = −t.
