Zad.1 Kt´ ore z wymienionych funkcji dw´ och argument´ ow s a formami dwuliniowymi na odpo-

Zadania do wyk ladu algebra z geometri a

seria 5

Zad.1 Kt´ ore z wymienionych funkcji dw´ och argument´ ow s a formami dwuliniowymi na odpo-

wiednich przestrzeniach wektorowych:

a) f (x, y) = x

y, gdzie x, y ∈ K

, b) f (x, y) = xy

, gdzie x, y ∈ K

,

c) f (x, y) = |x + y|

− |x|

− |y|

, gdzie x, y ∈ R

. Zad.2 Znale´ z´ c macierze form dwuliniowych b : V × V → R:

a) b(x, y) = 3x

y

+2x

y

−2x

y

−x

y

(V = R

) w bazie kanonicznej oraz bazie f

= (1, 1)

, f

= (1, −1)

,

a) b(x, y) = x

y

+ 2x

y

+ 3x

y

(V = R

) w bazie bazie f

= (1, 1, 1)

, f

= (1, 1, −1)

, f

= (1, −1, −1)

.

Zad.3 Dla danej formy dwuliniowej b : R

× R

→ R:

b(x, y) = x

y

− 3x

y

− 5x

y

+ x

y

,

znale´ z´ c formy dwuliniowe symetryczn a b

oraz antysymetryczn a b

takie, ˙ze b(x, y) = b

(x, y) + b

(x, y).

Zad.4 Znale´ z´ c form e kwadratow

a dla formy b : R

× R

→ R:

b(x, y) = x

y

+ x

y

+ x

y

− x

y

.

Zad.5 Nast epuj

ace formy kwadratowe Q : V → R sprowadzi´c do postaci diagonalnej oraz znale´z´c

bazy diagonalizuj ace oraz sygnature:

a) Q

(x) = x

x

+ x

x

, Q

(x) = 2x

+ 3x

x

+ 4x

x

+ x

+ x

dla V = R

,

b) Q

(x) = x

x

+ x

x

+ x

x

+ x

x

, Q

(x) = x

x

+ x

x

+ x

x

+ x

x

+ x

x

dla V = R

. Zad.6 Dla jakich warto´sci λ nast epuj

ace formy kwadratowe s

a dodatnio okre´slone

a) Q(x) = 5x

+ x

+ λx

+ 4x

x

− 2x

x

− 2x

x

, b) Q(x) = 2x

+ x

+ 3x

+ 2λx

x

+ 2x

x

,

c) Q(x) = x

+ x

+ 5x

+ 2λx

x

− 2x

x

+ 4x

x

, d) Q(x) = x

+ 4x

+ x

+ 2λx

x

+ 10x

x

+ 6x

x

.

Zad.7 Wykona´ c z zainteresowaniem i zrozumieniem zadania 334, 335, 362, 365, 367 ze zbioru

zada´ n ”Od liczb zespolonych do kwadryk. Zbi´ or zada´ n z algebry z rozwi azaniami”, J. Jezierski

et al.