Równania rekurencyjne i ich zastosowania
(K. Leśniak, 30 godz. wykł. + 30 godz. ćw.)
1. Przykłady rekurencji w biologii, ekonomii i innych naukach (równanie logistyczne, L- systemy, automaty komórkowe).
2. Równania i układy równań różnicowych liniowych (równanie charakterystyczne, przekształcenie Z).
3. Zachowanie asymptotyczne ciągów rekurencyjnych:
a) twierdzenie o ciągu monotonicznym, b) rozwiązania okresowe,
c) stabilność liniowych równań różnicowych.
4. Ogólne kryteria stabilności.
5. Rola stabilności w zastosowaniach:
a) metoda Newtona,
b) schematy różnicowe dla równań różniczkowych, c) macierze Markowa.
6. Przykłady fraktali (pył Cantora, dywan Sierpińskiego, zbiory Julii i Mandelbrota, baseny Newtona).
7. Twierdzenie Szarkowskiego i chaos na odcinku.
8. Dalsze problemy i zastosowania:
a) rekurencja a generatory liczb losowych, b) dyskretyzacja chaosu a kryptografia, c) problem wiarygodności symulacji.
WYMAGANIA: analiza mat. (ciągi, szeregi liczbowe, podstawy funkcji rzeczywistych: szereg Taylora, rachunek różniczkowy, wstępna orientacja z funkcji wielu zmiennych), algebra liniowa (liczby zespolone, macierze, przestrzeń wektorowa i jej baza), matematyka komputerowa (Maple).
PONADTO PRZYDATNA (acz niekonieczna) będzie podstawowa znajomość: - równań różniczkowych zwyczajnych (metoda rozdzielania zmiennych), -funkcji analitycznych (szereg Laurenta), -jakiegoś programu graficznego.
ĆWICZENIA do wykładu będą się odbywały w laboratorium komputerowym. Oprócz typowych rachunków ,,z ołówkiem w ręku” w ramach projektów będziemy się starali zrozumieć jak najwięcej od strony geometrycznej i numerycznej (dzięki zaproponowanym symulacjom).
Literatura:
1. M. Kwapisz ,,Elementy teorii równań rekurencyjnych” Skr.Uczel.Uniw.Gd. 1983 2. H. Levy, F. Lessman ,,Równania różnicowe skończone” PWN 1966
3. I. Koźniewska ,,Równania rekurencyjne” PWN 1972
4. W. Krysicki, L. Włodarski ,,Analiza matematyczna w zadaniach” PWN 1998 (t.1: rozdz.XI, XIV, t.2: fragm.rozdz.XVI)
5. P.N.V. Tu ,,Dynamical Systems. An Introduction with Applications in Economics and Biology” Springer 1994 (wybrane rozdziały)
6. K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke ,,Chaos. An Introduction to Dynamical Systems”
Springer 1996 (wybrane rozdziały)
7. H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe ,,Chaos and Fractals. New Frontiers of Science“ Springer 1993
8. A.A. Borowkow ,,Rachunek prawdopodobieństwa” PWN 1977 (rozdz.10) 9. L.T. Kubik ,,Rachunek prawdopodobieństwa” PWN 1986 (rozdz.III)
10. J. Kudrewicz: ,,Przekształcenie Z...” PWN 2000, ,,Fraktale i chaos" WNT 1993
(11 sty 2006, 19 paź 2005)
