b) Dla dowolnej liczby n ­ 3 znaleźć niehamiltonowski graf prosty o n wierzchołkach i

Paweł Tarasiuk, 151021

Ćwiczenie 85.

a) Udowodnić, że jeżeli graf prosty o n wierzchołkach ma więcej niż

1

2

(n − 1)(n − 2) + 1 krawędzi, to jest hamiltonowski.

b) Dla dowolnej liczby n ­ 3 znaleźć niehamiltonowski graf prosty o n wierzchołkach i

(n − 1)(n − 2) + 1 krawędziach.

a)

Rozważmy graf prosty G(V, E, γ), w którym |V | = n oraz

|E| >

(n − 1)(n − 2) + 1, co jest równoważne |E| ­

(n − 1)(n − 2) + 2.

Zauważmy, że skoro graf pełny o n wierzchołkach ma

n(n − 1) krawędzi, to liczba krawędzi dopełnienia grafu G wynosi co najwyżej:

|E

| ¬ n(n − 1)

2 −



(n − 1)(n − 2)

2 + 2



= n − 3

Rozważmy dowolną parę niesąsiednich wierzchołków a, b ∈ V . Zauważ- my, że wówczas w dopełnieniu grafu G istnieje krawędź łącząca wierzchołki a, b. Poza tym pewne n − 4 krawędzie dopełnienia mogą być incydentne z co najwyżej jednym wierzchołków a, b. Dlatego:

deg a + deg b ­ 2(n − 2) − (n − 4) = n

Skoro przy dowolności wyboru pary niesąsiednich wierzchołków a, b ∈ V zachodzi nierówność deg a + deg b ­ n, to na podstawie twierdzenia Orego (Twierdzenie 25.) otrzymujemy wniosek, że graf G posiada cykl Hamiltona.

b)

Rozważmy graf prosty G ze zbiorem wierzchołków V = {v

, . . . , v

}, w którym wierzchołki ze zbioru {v

, . . . , v

} są parami sąsiadujące, zaś v

jest wierzchołkiem stopnia 1 połączonym z v

. Liczba krawędzi w grafie G to liczba krawędzi w grafie pełnym o rozmiarze n − 1 powiększona o 1, czyli

1

2

(n − 1)(n − 2) + 1. Ponadto G nie jest grafem hamiltonowskim, gdyż cykl o długości większej niż 2, który zawierałby wierzchołek v

musiałby zawierać jego sąsiada dwa razy (jedyna krawędź incydentna z v

powtarzałaby się w tym cyklu). Graf G jest zatem grafem, który należało wskazać.

1 / 1