fi — {(.?•*]... •, x n ) € R'! : x;_ > 0, ni ,

ROCZNIKI POLSKIEGO TOYVA RZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III MATEMATYKA STOSOWANA XXXVI (1993)

K R Z YS Z T O F W ISIŃ S KI Szczecin

Losowe rozbicie odcinka

( Praca wpłynęła do Redakcji 7.07.1992)

Rozważmy podział odcinka, [(),/] dokonany przez ?/ > 1 losowo i niezależ- nie wybranych punktów z tego odcinka. Niech kolejne długości pododcinków tego podziału wynoszą L\,..., Ln+\. Ponieważ Ln+\ — t — Li — Ln, zatem długości Z j, . . . , wyznacza ją długość Ln+\. Zbiorem zdarzeń ele- mentarnych tego doświadczenia losowego jest zbiór fi postaci:

fi — {(.?•*]... •, x n ) € R'! : x;_ > 0, ni ,

-f- ... -f x n < /} . Trójka (i?,./7, /*). gdzie T jest rr-algebrą |)odzbiorów zbioru fi mierzalnych w sensie Lebesgue’a. zaś P prawdopodobieństwem geometrycznym jest prze- strzenią prawdopodobieństwa utworzoną dla opisu tego doświadczenia. Wia- domo, że rozkład Ln) jest rozkładem jednostajnym na. zbiorze fi (zob. [3], str. TG).

Przez indukcję otrzymujemy

(1) m {fi) = I fix i ... dx n = (n = 1 ,2 ,...).

J o!

a Nieci)

(2) A = {(.ri...x n) : Xi > a-i, i = 1...n; .lą + ... + xn < / - « n+|} , gdzie a-i, . . . , an+\ są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że «] + ... -f u ,i+i < /. Wówczas

(3) /•({/-. > «.,+ !>) = _{in( S2)}

Niech teraz

(4) <p : R n — R'\ v ( x x... x n) = (vi(x-i), • --ipni-rn))*

72 K. Wisiński

gdzie

(5) <fi{xi) = tji = Xi - (ii ( i = 1,..., n).

Obrazem zbioru .1 w przekształceniu <p jest, zbiór (6) <p(A) = { (yi, •. •, ijn) ‘ Vł > 0, i = 1,..., n;

!J\ + • • • + yn < / — <i\ — ... — un+i} • Ponieważ jakobian przekształcenia <p jest równy 1, zatem

(7) m(A) = m{<p{A)).

Analogicznie do (1) mamy

( 8 ) 7??(^(.4)) = ^ y ( / - « i - . . . - a n + i ) n .

Z (3), (1), (7) oraz (8) otrzymujemy, że

P{{L\ > (A i • • • * ł'n+1 > (i-n-n }) = I n(L — u i — ... — nn+1 )n • VVe wzorze tym nierówności nieostre można zastąpić ostrymi. Jeżeli przyjmiemy konwencję .

+ = oraz .rj = (.r+ )n, wówczas dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczy wistycli , ..., « /(+i

(9) P{{L\ > (l\, • • • , /-n-! i > «»+1 } ) = <“ ” (* - «1 - . • • - «n+l ) + • Powyższy wynik został otrzymany przez B. de Finettiego [4].

Z (9) można obliczyć prawdopodobieństwo, że odcinki L \, .. ., Ln+\ są mniejsze odpowiednio od u i , . . . , o n+l. Mianowicie,

P({L] < di,..., LnĄ.\ < r / n+1} ) = \ — P{{L\ > «-| } U .. .U {Ln+i > « n+i } ) - W celu obliczenia prawdopodobieństwa, sumy zdarzeń występującego w tej równości można zastosować wzór na prawdopodobieństwo zajścia sumy n zdarzeń (zob. np. [2], str. 90). W przypadku, gdy a i = ... = a

= a, otrzymujemy t-zw. twierdzenie o pokryciu uzyskane przez W. L. Stevensa [5]

(por. [1], str. 202, [3], str. 33).

Niech

P{ { , . . . , LnĄ. i ż> U/j+l j ) — 1 (/, U\ , . . . , U/i-f-l ) , P( {L\ < L n+1 < bn-\-1) ) = ( ’ {/; ,. ... ba.j. i ).

Udowodnimy teraz twierdzenie będące uogólnieniem przedstawionych wyżej wyników.

T

. Niech T j,___ L

będą długościami pododcinków

powstałych z rozbicia odcinka [0, i] przez n losowo i niezależnie wybranych

punktów z lego odcinka. Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych

a i . . . , an+i, ńi, .. ., 6n+1 takich, że a,j < b{, i = + 1 oraz

Losowe rozbicie odcinka 73

« ! + . . . + « „ + l <

t jest

/ ’ ( { « !

< U < bu ■■■, an

l'n + l < l>n+l})

= l (/; a j, . . . , an+\ )G{ I — cii ... — fin+\: — d i, .. ., l>n+ \ — «-v+i) • Dowód. Niech zbiór /i określony będzie przez (2) i niech

JJ =

x\

x n

0

.rj

t — bn+\

x\

x n

Wówczas

.1 n

B

vn)

»i

Xi < bh i = i

n:

1

b n+1 < X]

x n

t

Zbiory

B, AD B reprezent ują odpowiednio zdarzenia:

L

d\

L n+i ił {^i < 6i, . . . , Yy„+i < />/).+]}, {«•] < Y/i < 6 | ,...,a n+1 < /y„4.i <

^n+i}- Ponieważ miary zbiorów, które odpowiadają zdarzeniom {«i < />i <

b\, • • •, d-n+i < B

< bn+

} i {ni < L\ < < I

nĄ. | < /r(!+i } są takie same, możemy napisać

(10) P(A fi B) — P({ai < L\ < /.>i,---- (in+\ < L n+1 < bn+1 } ) . W przekszt ałceniu ę danym przez (d) i (5) obrazem zbioru /I jest. zbiór określony przez (0), natomiast obrazem zbioru A fi B jest zbiór

<p( - I H B) = {(jji... yn) : 0 < iji < b{ - i = 1--- , //;

t - di b

< y

Vn < t ~

Z kolei

(U ) P(A n B) = rn{ A O B) m{ .4) rn{ .4 fi B)

rn{ Q) m{Q) m(A)

P(A) m( .4 fi B)

= F{t:a |,...,n./i+1)

m(/l)

Ponieważ jakobian przekształcenia ę jest równy 1, tak więc rn( .4 H B ) m (y( A fi B))

(

12

m(A) m{^{A))

Zauważmy, że zbiór ę( .4) jest zbiorem zdarzeń elementarnych losowego roz- bicia odcinka o długości I* = i — <i\ — ... — an+\ na n -f 1 pododcinków o kolejnych długościach TĄ.../,* + l, natomiast zbiór <y(,4 fi B) reprezentuje zdarzenie {IĄ < b\ — « i , ..., JĄl+, < bn+\ - «„+i}. Mamy wiec,

(13) ^ m = ^'(1 ~ ai ~ — an+1; b\ — a i, . . ., bn+l - a,l+1).

Z (10), (11), (12) oraz (13) otrzymujemy, że P ( { (,\

by*

L)

=

P{B.

d „

)(!{ t — d\

b\

dn+i

74 K. W isn't ski

Pragnę serdecznie podziękować Profesorowi R. Zielińskiemu za cenne uwagi.

Prace cytowane

[1] P. Bil l i ngsl ey, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.

[2] W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa t.. I, PWN. Warszawa. 1977.

[3] W. Feller, IFstęp do rachunku prawdopodobieństwa i. II, PWN, Warszawa 1978.

[4] B. de Finetti, Alcune osserrazioni in lenni di "suddivisione casuale", Giornale Inst.it nto lta.lia.no degli Attuari, vol. 27 (1964), st.r. 151-173.

[5] W. L. Stevens, Solution to a geometrical problem in probability. Aim. Eugenics, vol.

2 (1939), str. 315-320.

Random division of interval.

Let L\,— ... L

be the lenglits of subintervals created by division of the interval [0,/] by n randomly and independently selected points of this interval.

B. de Finetti in his paper (1964) proved that

F(U

P( {I

L„ +

t~n(1

where a; > 0, ?' = 1 ,. .. , n + 1 and «i 4-... 4- «n+] < t- Let

6 ’( / ; « l , . . . , « n + l =

P({b

Ln + l <

In the paper we prove that.

P({a\ < L\ < b

/,,+1

Ln + l <

4

=

F(l-,ai,...,<in+i)C{1

+1

where 0 < < 6;, i = 1 ,. .. . n 4- 1 and «i 4- ... + < t.

UL. CHOPINA 51 71-450 SZCZECIN POLSKA