2 a ∙ 1 x =− =− = = = 84 b + ∆ 144 + 242 1682 − 144 + 5762 2 a ∙ 1 x =− =−(− = = = 60 b − ∆ 144 − 242 1202 144 )− 5762

Temat: Równoległoboki – rozwiązywanie zadań.

Zad. 3.35

Obwód zewnętrzny= x+2a+y+2a+x+2a+y+2a= 2x+2y+8a Obwód wewnętrzny= x+x+y+y=2x+2y

Obwód zewnętrzny jest o 28cm większy od obwodu wewnętrznego, co możemy zapisać:

Obwód zewnętrzny= Obwód wewnętrzny + 28 2x+2y+8a=2x+2y +28

2x-2x+2y-2y+8a= 28 8a=28 /:8

a=

28

8 =3,5 cm

Zad. 3.34

Z zadania mamy, że obwód prostokąta wynosi 142cm, co możemy zapisać:

2x+2y=142 /:2

x+y=71 wyprowadzamy jedną z niewiadomych-najlepiej tą której jest mniej na rysunku

y= 71-x

Układamy Twierdzenie Pitagorasa do żółtego trójkąta:

x²+y²=(x+1)² podstawiamy w miejsce „y” wartość różowego wyrażenia x²+(71-x)²=(x+1)²

x²+ x²- 142x +5041= x²+2x+1 x²+ x²-x² -142x-2x+5041-1=0

x²-144x+5040=0 rozwiązujemy równanie kwadratowe a=1 b= -144 c= 5040

∆=b²

−4 ac=(−144 )

−4 ∙ 1∙ 5040=20736−20160=576

= −

√

2a = −(−144)− √ 576

2 ∙ 1 = 144−24 2 = 120

2 = 60

= −

√

2 a = −(−144 )+ √ ⁵⁷⁶

2 ∙1 = 144 +24 2 = 168

2 =84

x=60, to y=71-x= 71-60= 11 Jeśli:

x=84, to y=71-x= 71-84 = -13 niemożliwe, bo bok prostokąta nie może wyjść ujemny

Odp.: Boki prostokąta mają długości: 60cm, 60cm, 11cm, 11cm.

***UWAGA!

(71-x)²=(71-x) (71-x)=5041-71x-71x+x²= x²- 142x +5041 (x+1)²= (x+1) (x+1)= x²+1x+1x+1= x²+2x+1

Zad. 3.40

Niech przekątne rombu będą miały długości: 2x oraz 2y . Wtedy:

Różnica długości przekątnych jest równa 62cm , co możemy zapisać:

2y-2x=62 dzielimy całość przez 2

y-x=31 wyprowadźmy jedną z niewiadomych y= 31+x

Korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa dla żółtego trójkąta i mamy:

x²+ y² = 41² podstawiamy w miejsce y wartość różowego wyrażenia x² +(31+x)²=41²

x²+ x²+ 62x +961=1681 2x²+62x+961-1681=0

2x²+62x-720=0 i rozwiązujemy równanie kwadratowe a=2 b=62 c= -720

∆=b²

−4 ac=62

−4 ∙2 ∙ (−720)=3844+5760=9604

= −

√

2a = − 62− √ 9604

2∙ 2 = −62−98

4 = −160

4 =−40

x₂

= −

√

2 a = −62+ √ ⁹⁶⁰⁴

2 ∙2 = −62+98 4 = 36

4 =9

Przekątne rombu mają długość: 2x=2∙9=18cm oraz 2y=2∙40=80cm

***UWAGA!

(31+x)²=(31+x)∙ (31+x)=961 +31x +31x +x²= x²+ 62x +961

Zad. 3.38 a)

Utworzył nam się trójkąt prostokątny. Mamy w nim dany kąt 30 stopni, więc skorzystajmy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:

Poniżej macie wycinek z tablic matematycznych

Nasz żółty trójkąt ma kąt ostry 30^o na dole – w tablicach odpowiada mu kąt α (czyli patrzymy w tablicach na funkcje trygonometryczne kąta alfa – lewa kolumna); W żółtym trójkącie bok długości 2cm ma w tablicach odpowiednik litery „a”, a bok x ma w tablicach odpowiednik litery „c”. Spójrzcie do wycinka z tablic – jaka funkcja trygonometryczna kąta alfa to iloraz liter a oraz c? SINUS!

sinα= a

c podkładamy pod wzór nasze dane z żółtego trójkąta sin30^o=

2

x odczytujemy w tablicach mat. na str.15 ile wynosi sin30^o

1

2 = 2

x mnożymy na skos x=4cm - długość boku rombu Obwód rombu:

Obw. = 4cm+4cm +4cm +4cm = 16cm

b) *** trudniejszy ze względu na rachunki; Uzupełnijmy rysunek

Obliczamy w żółtym trójkącie bok „y”. Możemy skorzystać z Tw. Pitagorasa albo znów z funkcji trygonometrycznych. Skorzystajmy z funkcji. Kąt 30^o odpowiada w tablicach kątowi α, bok „y” odpowiada w tablicach literce „b”, a bok 4cm odpowiada w tablicach literce „c”. Mamy:

cosα= b c cos30^o= y

4

√ ³

2 =

4

√ ³

y=2

√ ³

Zatem w niebieskim trójkącie odcinek na dole ma długość: 4-y = 4-2

√ ³

Jak obliczyć krótszą przekątną d ? Z Twierdzenia Pitagorasa dla niebieskiego trójkąta:

2²+ (4-2

√ ³

4+ 28 - 16

√ ³

d²= 32 - 16

√ ³

d=

√ ³²⁻¹⁶ √ ³

d=

3 2−16

16

√¿

d=

4 √ ^{2−16 √ 3}

*** UWAGA!

(4-2

√ ^3¿

√ ^3¿

√ ³

√ ³

√ ³

√ ⁹

√ ³

√ ³

√ ³