LISTA 25 Zadanie 1.
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| − |𝑥 + 2| dla 𝑥 ∈ 𝑅 . Naszkicuj wykres tej funkcji, wyznacz zbiór wartości funkcji 𝑓, podaj jej miejsca zerowe oraz wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie 𝑓(𝑥) = 𝑚 nie ma rozwiązania.
Zadanie 2.
Rozwiąż nierówność: log1
3
(𝑥2− 1) + log1
3
(5 − 𝑥) > log1
3
(3(𝑥 + 1)) Zadanie 3.
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 𝑚 większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi 23 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.
Zadanie 4.
Dany jest trójkąt o bokach długości 1, 3
2 , 2, . Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.
Zadanie 5.
Wierzchołki trójkąta równobocznego 𝐴𝐵𝐶 są punktami paraboli 𝑦 = −𝑥2+ 6𝑥 . Punkt 𝐶 jest jej wierzchołkiem, a bok 𝐴𝐵 jest równoległy do osi 𝑂𝑥. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Zadanie 6.
Niech 𝐴, 𝐵 będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach 𝑃(𝐴) i 𝑃(𝐵) . Wykaż, że jeżeli 𝑃(𝐴) = 0,85 i 𝑃(𝐵) = 0,75 , to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność 𝑃(𝐴|𝐵) ≥ 0,8 .
Zadanie 7.
Dany jest układ równań: {𝑚𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 . Dla każdej wartości parametru 𝑚 wyznacz parę liczb (𝑥, 𝑦), która jest rozwiązaniem układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy 𝑥 + 𝑦 dla 𝑚 ∈ 〈2, 4〉
Zadanie 8.
Dana jest funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) =𝑠𝑖𝑛2𝑥−|𝑠𝑖𝑛𝑥|𝑠𝑖𝑛𝑥 dla 𝑥 ∈ (0, 𝜋) ∪ (𝜋, 2𝜋). Naszkicuj wykres funkcji 𝑓 i wyznacz jej miejsca zerowe.
Zadanie 9.
Przedstaw wielomian 𝑊(𝑥) = 𝑥4− 2𝑥3− 3𝑥2+ 4𝑥 − 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.
Zadanie 10.
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do rombu wynosi 𝜋√38 . Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
