LISTA 46 Zadanie 1.
Wykres funkcji 𝑦 = log𝑐𝑥 przechodzi przez punkty 𝐴 = (0, 4) i 𝐵 = (1, 0). Wyznacz wartość podstawy 𝑐 logarytmu i zbiór argumentów tej funkcji, dla których jest ona dodatnia.
Zadanie 2.
Współczynniki 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑎𝑥3− 𝑏𝑥2− 𝑐𝑥 + 𝑑 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟. Wykaż, że liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Ile pierwiastków ma ten wielomian jeśli wiadomo, że 𝑎 ∙ 𝑟 > 0?
Zadanie 3.
Dana jest funkcja 𝑓 o wzorze 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3 . Oblicz wartość 𝑓(𝜋) i wyznacz zbiór miejsc zerowych funkcji 𝑓.
Zadanie 4.
Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe polu jego podstawy. Oblicz stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni bocznej stożka. Jaką częścią objętości stożka jest objętość kuli?
Zadanie 5.
Na budowę domu możesz zaciągnąć pożyczkę w wysokości 63 450 €. Do wyboru masz dwa warianty spłaty: 𝐼 – w każdym miesiącu spłacasz równe raty każdą w wysokości 2% pożyczonej kwoty. 𝐼𝐼 – pierwsza rata miesięczna wynosi 2 500 €, a każda następna jest o 50 € mniejsza niż poprzednia. Oblicz, ile miesięcy potrwa spłata mieszkania w każdym z wariantów? Ile wynosi ostatnia rata spłaty w każdym z wariantów? Od którego miesiąca rata spłacana według wariantu 𝐼𝐼 będzie niższa niż w 𝐼 przypadku.
Zadanie 6.
Strzelec przy każdym strzale uzyskiwał 8, 9 lub 10 punktów. Strzelał więcej niż 11 razy i łącznie zdobył 100 punktów. Ile razy mógł strzelać i jakie osiągnął rezultaty?
Zadanie 7.
Dana jest funkcja o wzorze 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 . Oblicz wartość 𝑓(𝜋2), wykaż, że 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1)(2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1) oraz rozwiąż równanie 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑓(𝑥) = 0 .
Zadanie 8.
Oblicz: log22√2 − 𝑙𝑜𝑔21
8∙ 𝑙𝑜𝑔2√2 . Zadanie 9.
W równoległoboku o polu równym 120 𝑐𝑚2 przekątne przecinają się pod kątem 150°. Oblicz długość dłuższej przekątnej, jeżeli długość krótszej przekątnej wynosi 10√3 𝑐𝑚.
Zadanie 10.
Dany jest układ równań: { 𝑥 + 𝑘𝑦 = 𝑘 + 2
𝑘𝑥 + 𝑦 = 𝑘 . Czy istnieją takie wartości parametru 𝑘, dla których rozwiązanie układu równań spełnia równanie okręgu 𝑥2+ 𝑦2= 3?
