LOGIKA MATEMATYCZNA dla WZ - ćwiczenia Zadania - zestaw 1
1. Napisać zaprzeczenia następujących zdań:
(a) x > 1 ∧ x < −3 (b) x 1 ∨ x ¬ −3
(c) x2− 3x + 2 = 0 ⇔ (x = 1 ∨ x = 2)
(d) Dziecko założyło lewą i prawą rekawiczkę.
(e) Tu można skręcić w leweo lub w prawo.
(f) Jeżeli pada deszcze, to idę pod parasolem.
(g) 2 < 5 ⇒ 3 < 5.
(h) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9, to jest podzielna przez 3.
(i) Jeżeli czworokąt jest rombem, to jest kwadratem.
(j) Dzisiaj jest wtorek wtedy i tylko wtedy, gdy Słońce krąży wokół Ziemi.
2. Ktoś starł tablicę. Zrobiła to Asia lub Basia. Basia nie mogła jednocześnie czytać i tego zrobić. Basia czytała. Kto to zrobił ?
3. Dla każdego z poniższych zbiorów założeń sformułować wynikający z nich wniosek:
(a) Jeśli Internet nie będzie działał, to będę się uczył. Jeśli będę się uczył, to zdam egzamin. Nie zdałem egzaminu.
(b) Jeśli zaliczyłem pierwszy i drugi semestr, to zaliczyłem rok. Będę studiował na na- stępnym roku tylko wtedy gdy zaliczę ten rok. Nie będę studiował na następnym roku.
4. Jeśli jesteś tutaj, to dzisiaj musi być czwartek. Jeśli się nie mylę, to dzisiaj jest piątek.
Albo dzisiaj, to nie wczoraj, albo dzisiaj jest czwartek. Nie mogę się mylić, jeśli jesteś tutaj. Czwartek to nie piątek. Jeśli dzisiaj jest piatek, to wczoraj był czwartek.
(a) Czy jesteś tutaj ?
(b) Przypuśćmy, że się nie mylę. Czy z tego można wywnioskować, że wczoraj to nie dzisiaj ?
(c) Jesli się nie mylę, to jaki dzień był wczoraj ?
5. Zapisac przy użyciu kwantyfikatorów oraz ocenić wartość logiczną poniższych zdań:
(a) Suma dowolnych dwóch liczb rzeczywistych jest większa od ich różnicy.
(b) Iloczyn pewnych dwóch liczb rzeczywistych jest mniejszy od ich ilorazu.
(c) Każdy czworokąt jest kwadratem.
(d) Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby mniejszy od zera.
(e) Liczby 5 i 13 nie mają wspólnego dzielnika.
(f) Kwadrat pewnej liczby rzeczywistej jest równy 2.
(g) Istnieją liczby całkowite, których iloczyn jest równy 1.
(h) Istnieją dwie liczby rzeczywiste, których kwadrat sumy jest równy sumie ich kwa- dratów.
(i) Układ równań x + y = 2, 2x + 2y = 3 nie ma rozwiązań.
(j) Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna, która jest większa.
(k) Każda liczba naturalna dzieli się przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 2 i przez 3.
6. Napisać zaprzeczenia poniższych zdań:
(a) ∀x ∈ R ∃y ∈ R x · y = 1.
(b) Dla każdych dwóch liczb naturalnych istnieje liczba naturalna której kwadrat jest równy sumie kwadratów tych dwóch liczb.
(c) Istnieje liczba naturalna większa od każdej innej liczby naturalnej.
(d) Dowolna liczba naturalna leży pomiędzy pewnymi kolejnymi potęgami liczby 2.
(e) Nie istnieją liczby rzeczywiste nie będące kwadratem żadnej liczby rzeczywistej.
7. Ktoś zjadł kredę. Wiadomo, że dokonała tego jedna spośród podejrzanych osób. Podej- rzani to: Arek, Bartek Czarek i Darek. Oto co powiedział każdy z podejrzanych:
Arek: Zrobił to Czarek.
Bartek: Ja tego nie zrobiłem.
Czarek: Darek to zrobił, sam to widziałem.
Darek: Czarek kłamie mówiąc, że ja to zrobiłem
Tylko jedna z tych osób mówi prawdę. Kto ? I kto zjadł kredę ?
