(1)1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA PRZEDZIA L UFNO´SCI DLA WSKA´ZNIKA STRUKTURY p Cecha X (wynik jednego do´swiadczenia) ma rozk lad zero-jedynkowy, tzn

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA

PRZEDZIA L UFNO´SCI DLA WSKA´ZNIKA STRUKTURY p

Cecha X (wynik jednego do´swiadczenia) ma rozk lad zero-jedynkowy, tzn. P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p.

Pr´ob¸e losow¸a n-elementow¸a mo˙zna uto˙zsamia˙c z ci¸agiem n niezale˙znych jednakowych do´swiadcze´n.

Zak ladamy, ˙ze liczba do´swiadcze´n jest du˙za (n ≥ 100).

Niech Z_n - liczba sukces´ow w n do´swiadczeniach w schemacie Bernoulliego (Z_n ma rozk lad B(n, p)).

Przedzia l ufno´sci dla wska´znika strukturyp na poziomie ufno´sci 1 − α:

P



Zn

n − u₁₋^α₂ ·

sZn

n (1 −^Z_nⁿ)

n < p < Zn

n + u₁₋^α₂ ·

sZn

n (1 −^Z_nⁿ) n



= 1 − α WERYFIKACJA HIPOTEZ. PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNO´SCI

MODEL H₀ H₁ Statystyka testowa Zbi´or krytyczny W

m = m₀

m = m₀

m 6= m₀ m > m0

m < m0

m 6= m₀ m > m₀ m < m₀

U = ^X−m_σ ⁰√ n

T = ^X−m_S ⁰ ·√ n − 1

W = (−∞; −u₁₋^α₂) ∪ (u₁₋^α₂; +∞) W = (u_1−α; +∞)

W = (−∞; −u_1−α)

W = (−∞; −t(α, n − 1)) ∪ (t(α, n − 1); +∞) W = (t(2α, n − 1); +∞)

W = (−∞; −t(2α, n − 1))

m = m0

m 6= m₀ m > m₀ m < m₀

W = (−∞; −u₁₋^α₂) ∪ (u₁₋^α₂; +∞) W = (u_1−α; +∞)

W = (−∞; −u_1−α) U = ^X−m_s ⁰√

n 1. σ dane,

X ∼ N(m, σ)

2. σ nieznane X ∼ N(m, σ)

3. n ≥ 100 X ma dowolny

rozk lad

σ = σ₀

σ = σ₀ 4. n < 50

X ∼ N(m, σ)

X ∼ N(m, σ) 5. n ≥ 50

σ 6= σ₀ σ > σ₀ σ < σ₀

σ 6= σ₀ σ > σ₀ σ < σ₀

χ² = ^nS_σ2² 0

V =

r

2nS² σ₀² −√

2n − 3

W = (−∞; −u1−^α₂) ∪ (u1−^α₂; +∞) W = (u_1−α; +∞)

W = (−∞; −u_1−α)

W = (0; χ²(1 −^α₂, n − 1)) ∪ (χ²(^α₂, n − 1); +∞) W = (χ²(α, n − 1); +∞)

W = (0; χ²(1 − α, n − 1))

Opis danych :

α - poziom istotno´sci; n - liczno´s˙c pr´oby, na podstawie kt´orej weryfikujemy hipotez¸e H0; X - warto´s˙c ´srednia, S - odchylenie standardowe (obliczamy dla danej pr´oby);

u_α - kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0, 1);

t(α, n) - warto´s˙c krytyczna rozk ladu t-Studenta o n stopniach swobody (kwantyl rz¸edu 1 − ^α₂);

X²(α, n) - warto´s˙c krytyczna rozk ladu chi-kwadrat o n stopniach swobody (kwantyl rz¸edu 1 − α).

Weryfikacja hipotezy H₀ przeciw hipotezie H₁ na poziomie istotno´sci α:

1) Wybieramy odpowiedni model (dla danej pr´oby i hipotezy).

2) Obliczamy warto´s˙c odpowiedniej statystyki testowej dla danej pr´oby.

3) Znajdujemy zbi´or krytyczny dla danego poziomu istotno´sci α.

4) Je˙zeli obliczona dla danej pr´oby warto´s˙c statystyki testowej nale˙zy do zbioru krytycznego W to hipotez¸e H0 nale˙zy odrzuci˙c (tzn. przyj¸a˙c H1) na poziomie istotno´sci α. W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

c

Krzysztof Bry´s 1999-2006