Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone

Dla ustalenia uwagi, b edziemy u˙zywa´c nast _, epuj _, acych oznacze´ _, n:

N = { 1, 2, 3, . . . } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2, . . . } - liczby ca lkowite,

W = ^{n m} _n : m ∈ Z, n ∈ N ^o - liczby wymierne, R = W - liczby rzeczywiste,

C = { (a, b) : a, b ∈ R } - liczby zespolone.

Dwuargumentowym dzia laniem wewn etrznym ‘◦’ w zbiorze X nazywamy _, dowoln a funkcj _, e z iloczynu kartezja´ _, nskiego X × X w X. Wynik takiego dzia lania na parze (x, y) b edziemy oznacza´c przez x ◦ y. _,

1.1 Podstawowe struktury algebraiczne

Zaczniemy od przedstawienia abstrakcyjnych definicji grupy i cia la.

1.1.1 Grupa

Definicja 1.1 Zbi´ or (niepusty) G wraz z wewn etrznym dzia laniem dwuargu- _, mentowym ‘◦ ⁰ jest grup a je´sli spe lnione s _, a nast _, epuj _, ace warunki (aksjomaty _, grupy):

1

2 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE (i) ∀a, b, c ∈ G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

( l aczno´s´c dzia lania) _,

(ii) ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = a = e ◦ a (istnienie elementu neutralnego) (iii) ∀a ∈ G ∃a ⁰ ∈ G a ◦ a ⁰ = e = a ⁰ ◦ a

(istnienie element´ ow przeciwnych/odwrotnych) Je´sli ponadto

(iv) ∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a

to grup e nazywamy przemienn _, a (lub abelow _, a). _, Grup e b _, edziemy oznacza´c przez {G, ◦}. _,

Zauwa˙zmy, ˙ze ju˙z z aksjomat´ow grupy wynika, i˙z element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywi´scie, za l´o˙zmy, ˙ze istniej a dwa elementy _, neutralne, e ₁ i e ₂ . Wtedy, z warunku (ii) wynika, ˙ze e ₁ = e ₁ ◦ e 2 = e ₂ . Podobnie, istnieje tylko jeden element odwrotny dla ka˙zdego a ∈ G. Je´sli bowiem istnia lyby dwa odwrotne, a ⁰ ₁ i a ⁰ ₂ , to mieliby´smy

a ⁰ ₁ = e ◦ a ⁰ 1 = (a ⁰ ₂ ◦ a) ◦ a ⁰ 1 = a ⁰ ₂ ◦ (a ◦ a ⁰ 1 ) = a ⁰ ₂ ◦ e = a ⁰ 2 ,

przy czym skorzystali´smy kolejno z w lasno´sci (ii), (iii), (i) i ponownie (iii) i (ii).

Latwo te˙z pokaza´c, ˙ze w grupie {G, ◦} r´ownania a ◦ x = b oraz y ◦ c = d

dla a, b, c, d ∈ G maj a jednoznaczne rozwi , azania. W uzasadnieniu, ograni- _, czymy si e tylko do pierwszego r”wnania. Latwo sprawdzi´c, ˙ze x = a _, ⁰ ◦ b jest rozwi azaniem. Z drugiej strony, je´sli x jest rozwi _, azaniem to a _, ⁰ ◦(a◦x) = a ⁰ ◦b, czyli x = a ⁰ ◦ b.

Przyk ladami grup s a: _,

• {Z, +}, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciw- nym do a ⁰ do a jest −a.

• {W \ {0}, ∗}, gdzie e = 1 a a ⁰ = a ⁻¹ jest odwrotno´sci a a. _,

• Grupa obrot´ow p laszczyzny wok´o l pocz atku uk ladu wsp´o lrz , ednych, _, gdzie elementem neutralnym jest obr”t o k at zerowy, a elementem od- _, wrotnym do obrotu o k at α jest obr”t o k _, at −α. _,

Zwr´o´cmy uwag e na istotno´s´c wyj _, ecia zera w drugim przyk ladzie. Poniewa˙z _, 0 nie ma elementu odwrotnego, {W, ∗} nie jest grup a. Nie s , a te˙z grupami _, np. {N, ∗} (nie ma element´ow odwrotnych) oraz {R, −} (nie ma l aczno´sci ,

oraz elementu neutralnego).

1.1.2 Cia lo

Definicja 1.2 Cia lem (i´sci´slej, cia lem przemiennym) nazywamy (co naj- mniej dwuelementowy) zbi´ or K z dwoma dwuargumentowymi dzia laniami wewn etrznymi, dodawaniem ‘+’ i mno˙zeniem ‘∗’, spe lniaj _, ace nast , epuj _, ace wa- _, runki (aksjomaty cia la):

(i) {K, +} jest grup a przemienn , a (w kt´ _, orej element neutralny oznaczamy przez 0, a element przeciwny do a przez −a),

(ii) {K \ {0}, ∗} jest grup a przemienn , a (w kt´ _, orej element neutralny ozna- czamy przez 1, a odwrotny do a przez a ⁻¹ ,

(iii) ∀a, b, c ∈ K a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

(mno˙zenie jest rozdzielne wzgl edem dodawania). _, ¹

Bezpo´srednio z definicji cia la mo˙zna pokaza´c nast epuj _, ace og´olne w lasno´sci _, (uzasadnienie pozostawiamy jako proste ´cwiczenie):

1. 0 6= 1,

2. ∀a ∈ K 0 ∗ a = 0 = a ∗ 0, 3. ∀a ∈ K (−1) ∗ a = −a,

4. je´sli a ∗ b = 0 to a = 0 lub b = 0,

5. je´sli a 6= 0 i b 6= 0 to (a ∗ b) ⁻¹ = b ⁻¹ ∗ a ⁻¹ ,

1

Przyjmujemy konwencj e, ˙ze w wyra˙zeniach w kt´

orych wyst epuj

a i dodawania i

mno˙zenia najpierw wykonujemy mno˙zenia.

4 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE dla dowolnych a, b ∈ K.

W ciele mo˙zemy formalnie zdefiniowa´c odejmowanie i dzielenie, mianowi- cie

a − b := a + (−b) ∀a, b ∈ K,

a/b := a ∗ b ⁻¹ ∀a ∈ K, b ∈ K \ {0}.

Przyk ladem cia la s a liczby rzeczywiste R z naturalnymi dzia laniami do- _, dawania i mno˙zenia. Cia lem jest te˙z zbi´or liczb

{ a + b √

2 : a, b ∈ W } ⊂ R z tymi samymi dzia laniami.

1.2 Cia lo liczb zespolonych

Wa˙znym przyk ladem cia la jest cia lo liczb zespolonych, kt´oremu po´swi ecimy _, t a cz _, e´s´c wyk ladu. _,

1.2.1 Definicja

Definicja 1.3 Cia lo liczb zespolonych to zbi´ or par uporz adkowanych _, C := R × R = { (a, b) : a, b ∈ R }

z dzia laniami dodawania i mno˙zenia zdefiniowanymi jako:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c − b ∗ d, a ∗ d + b ∗ c), dla dowolnych a, b, c, d ∈ R. ²

Formalne sprawdzenie, ˙ze C ze zdefiniowanymi dzia laniami jest cia lem pozostawiamy czytelnikowi. Tu zauwa˙zymy tylko, ˙ze elementem neutralnym

2

Zauwa˙zmy, ˙ze znaki dodawania i mno˙zenia wyst epuj

a tu w dw´

och znaczeniach, jako

dzia lania na liczbach rzeczywistych oraz jako dzia lania na liczbach zespolonych. Z kon-

tekstu zawsze wiadomo w jakim znaczeniu te dzia lania s a u˙zyte.

dodawania jest (0, 0), a mno˙zenia (1, 0). Elementem przeciwnym do (a, b) jest −(a, b) = (−a, −b), a odwrotnym do (a, b) 6= (0, 0) jest

(a, b) ⁻¹ = a

a ² + b ² , −b a ² + b ²

!

.

Zdefiniujemy mno˙zenie liczby zespolonej przez rzeczywist a w nast _, epuj _, acy _, (naturalny) spos´ob. Niech z = (a, b) ∈ C i c ∈ R. Wtedy

c ∗ (a, b) = (a, b) ∗ c = (c ∗ a, c ∗ b).

Przyjmuj ac t _, a konwencj _, e, mamy _,

(a, b) = a ∗ (1, 0) + b ∗ (0, 1).

W ko´ ncu, uto˙zsamiaj ac liczb _, e zespolon _, a (a, 0) z liczb _, a rzeczywist _, a a, oraz _, wprowadzaj ac dodatkowo oznaczenie _,

ı := (0, 1) otrzymujemy

(a, b) = a + ı ∗ b. (1.1)

a = <z nazywa si e cz , e´sci _, a rzeczywist _, a, a b = =z cz _, e´sci , a urojon _, a liczby _, zespolonej. Sam a liczb _, e zespolon _, a ı nazywamy jednostk _, a urojon _, a. _,

Zauwa˙zmy, ˙ze ı ² = (−1, 0).

1.2.2 Posta´ c trygonometryczna

Posta´c (1.1) jest najbardziej rozpowszechniona. Cz esto wygodnie jest u˙zy´c _, r´ownie˙z postaci trygonometrycznej, kt´ora jest konsekwencj a interpretacji _, liczby zespolonej (a, b) jako punktu na p laszczy´znie (tzw. p laszczy´znie ze- spolonej) o wsp´o lrz ednych a i b. Dok ladniej, przyjmuj _, ac _,

|z| := √

a ² + b ² oraz k at φ tak, ˙ze _,

sin φ = b

|z| , cos φ = a

|z| , otrzymujemy

z = |z|(cos φ + ı sin φ). (1.2)

Jest to w la´snie posta´c trygonometryczna. Liczb e rzeczywist _, a |z| nazywamy _, modu lem liczby zespolonej z, a φ jej argumentem, φ = argz.

Je´sli z 6= 0 i za lo˙zymy, ˙ze φ ∈ [0, 2π) to posta´c trygonometryczna jest

wyznaczona jednoznacznie. Piszemy wtedy φ = Argz.

6 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE

1.2.3 Wz´ or de Moivre’a

Niech z = |z|(cos φ + ı sin φ), w = |w|(cos ψ + ı sin ψ) b ed , a dwoma liczbami _, zespolonymi. Wtedy

w ∗ z = |w||z| ((cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + ı(sin φ cos ψ + sin ψ cos φ))

= |w||z| (cos(φ + ψ) + ı sin(φ + ψ)) , a st ad _,

|w ∗ z| = |w||z| oraz arg(w ∗ z) = argw + argz.

W la´snie w tych r´owno´sciach przejawia si e wygoda postaci trygonometrycznej. _, W szczeg´olno´sci mamy bowiem z ² = |z| ² (cos 2φ + ı sin 2φ) i post epuj _, ac dalej _, indukcyjnie otrzymujemy wz´ or de Moivre’a. Mianowicie, dla dowolnej liczby zespolonej z w postaci trygonometrycznej (1.2) mamy

z ⁿ = |z| ⁿ (cos(nφ) + ı sin(nφ)), n = 0, 1, 2, . . . (1.3) Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze wz´or (1.3) jest prawdziwy r´ownie˙z dla n = −1, a st ad ,

dla wszystkich ca lkowitych n. Przyjmuj ac za z _, ^1/n szczeg´olne rozwi azanie _, r´ownania w ⁿ = z, mianowicie

z ^1/n = |z| ^1/n (cos(φ/n) + ı sin(φ/n)) ,

gdzie φ = Argz, uog´olniamy (1.3) dla wszystkich wyk ladnik´ow wymiernych.

Stosuj ac dalej argument z przej´sciem granicznym (ka˙zda liczba rzeczywi- _, sta jest granic a ci _, agu liczb wymiernych) otrzymujemy w ko´ _, ncu nast epuj _, acy _, uog´ olniony wz´or de Moivre’a:

∀a ∈ R z ^a = |z| ^a (cos(aφ) + ı sin(aφ)) . Prostym wnioskiem z ostatniego wzoru jest r´ownanie

z = |z| ∗ ω ^φ ,

gdzie ω = cos 1 + ı sin 1 = 0, 540302 . . . + ı ∗ 0, 84147 . . . ∈ C. Jest to

uog´olnienie na przypadek liczb zespolonych wzoru x = |x| ∗ sgn(x) znanego

z przypadku liczb rzeczywistych.

1.2.4 Pierwiastki z jedynki

Rozpatrzmy rozwi azania r´ownania _,

z ⁿ = 1

dla dowolnej naturalej n. W dziedzinie rzeczywistej pierwiastkiem jest 1 je´sli n jest nieparzyste, albo 1 i (−1) je´sli n jest parzyste. W dziedzi- nie zespolonej mamy zawsze n pierwiastk´ow. Rzeczywi´scie, poniewa˙z 1 = cos(2kπ) + ı sin(2kπ), ze wzoru de Moivre’a dostajemy, ˙ze wszyskie pier- wiastki wyra˙zaj a si _, e wzorami _,

z k := cos 2kπ n

!

+ ı sin 2kπ n

!

, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Zauwa˙zmy, ˙ze z j le˙z a na okr _, egu jednostkowym p laszczyzny zespolonej. Zbi´or _, G = {z ^k : k = 0, 1, . . . , n − 1} ze zwyk lym mno˙zeniem liczb zespolonych tworzy grup e z elementem neutralnym z _, 0 = 1.

1.2.5 Sprz e˙zenie _,

Liczb e sprz _, e˙zon _, a do z = a + ıb definiujemy jako _, z := a − ıb.

Zauwa˙zmy, ˙ze z = z oraz z ∗ z = |z| ² . Mamy te˙z z + z

2 = <z i z − z

2ı = =z.

I jeszcze jedna wa˙zna w lasno´s´c sprz e˙zenia. Je´sli  ∈ {+, −, ∗, /} to _, w  z = w  z.

Stosuj ac indukcj _, e, mo˙zna ten wz´or uog´olni´c w nast _, epuj _, acy spos´ob. Je´sli _, f (u 1 , u 2 , . . . , u s ) jest wyra˙zeniem arytmetycznym, gdzie u j s a sta lymi lub _, zmiennymi zespolonymi, to

f (u 1 , u 2 , . . . , u s ) = f (u 1 , u 2 , . . . , u s ).

8 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE

1.3 Wielomiany

Definicja 1.4 Wielomianem p nad cia lem K nazywamy funkcj e zmiennej z _, o warto´sciach w ciele K dan a wzorem _,

p(z) :=

X n j=0

a j z ^j = a 0 + a 1 z + · · · + a ⁿ z ⁿ ,

gdzie a j ∈ K, 0 ≤ j ≤ n, a ⁿ 6= 0, s a wsp´o lczynnikami wielomianu. Liczb , e n _, nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy

n = deg p.

(Przyjmujemy przy tym, ˙ze deg 0 = −∞.)

1.3.1 Algorytm Hornera

Ka˙zdy wielomian p(z) = ^{P n} _k=0 a k z ^k stopnia n ≥ 1 mo˙zna podzieli´c przez dwumian z − ξ otrzymuj ac _,

p(z) = q(z)(z − ξ) + η,

gdzie deg q = n − 1, a η ∈ C. (Dodatkowo, je´sli p ma wsp´o lczynniki rzeczy- wiste i ξ ∈ R, to q ma r´ownie˙z wsp´o lczynniki rzeczywiste i η ∈ R.)

Iloraz q oraz reszt e η z dzielenia mo˙zna otrzyma´c stosuj _, ac algorytm Hor- _, nera:

{ b n := a _n ;

for k := n − 1 downto 0 do b ^k := a k + ξ ∗ b ^k+1 ; }

Wtedy q(z) = ^{P n} _k=1 b k z ^k−1 oraz reszta η = b 0 .

1.3.2 Zasadnicze twierdzenie algebry

Dla wielomian´ow zespolonych prawdziwe jest nast epuj _, ace wa˙zne twierdzenie. _, Twierdzenie 1.1 (Zasadnicze Twierdzenie Algebry)

Ka˙zdy wielomian zespolony p stopnia co najmniej pierwszego ma pierwiastek

zespolony, tzn. r´ ownanie p(z) = 0 ma rozwi azanie. _,

Twierdzenie 1.1 m´owi, ˙ze liczby zespolone C s a cia lem algebraicznie do- _, mkni etym. (Przypomnijmy, ˙ze liczby rzeczywiste R nie s _, a algebraicznie do- _, mkni ete, bo np. r´ownanie x _, ² + 1 = 0 nie ma rozwi aza´ _, n w R.)

Konsekwencj a algebraicznej domkni _, eto´sci C jest faktoryzacja (rozk lad) _, wielomianu zespolonego na czynniki pierwszego stopnia. Dok ladniej, sto- suj ac n-krotnie zasadnicze twierdzenie algebry oraz fakt, ˙ze je´sli ξ jest pier- _, wiastkiem wielomianu p to reszta z dzielenia p przez ( · − ξ) jest zerowa, otrzymujemy rozk lad

p(z) = a _n (z − z 1 )(z − z 2 ) · · · (z − z n ), (1.4) gdzie z j , 1 ≤ j ≤ n, s a pierwiastkami p. Zak ladaj , ac, ˙ze tylko m pierwiastk´ow _, jest parami r´o˙znych (1 ≤ m ≤ n), mo˙zemy r´ownowa˙znie napisa´c, ˙ze

p(z) = a n (z − u ¹ ) ^s

(z − u ² ) ^s

· · · (z − u ^m ) ^s

,

gdzie u i 6= u ^j o ile i 6= j, oraz ^{P m} j=1 s j = n. Przy tym zapisie, s j nazywamy krotno´sci a pierwiastka u _, j .

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze wsp´o lczynniki wielomianu p s a rzeczywiste, a _, j ∈ R, 0 ≤ j ≤ n. Za l´o˙zmy te˙z, ˙ze p(ξ) = 0 i ξ / ∈ R. Wtedy ξ 6= ξ i

p(ξ) =

X n j=0

a j ξ ^j =

X n j=0

a j ξ ^j =

X n j=0

a j ξ ^j = 0 = 0,

tzn. je´sli ξ jest pierwiastkiem to tak˙ze liczba sprz e˙zona ξ jest pierwiastkiem; _, obie wyst epuj _, a w rozwini _, eciu (1.4). Ale _,

(z − ξ)(z − ξ) = z ² − z(ξ + ξ) + ξξ = z ² − 2z<z + |z| ²

jest t´ojmianem kwadratowym o wsp´o lczynnikach rzeczywistych. St ad wnio- _,

sek, ˙ze wielomian rzeczywisty daje si e roz lo˙zy´c na iloczyn czynnik´ow stopnia _,

co najwy˙zej drugiego.

10 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE