Grupy i cia la, liczby zespolone

(1)

Grupy i cia la, liczby zespolone

Dla ustalenia uwagi, b edziemy u˙zywa´c nast _֒ epuj _֒ acych oznacze´ _֒ n:

N = { 1, 2, 3, . . . } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2, . . . } - liczby ca lkowite, W = _m

n : m ∈ Z, n ∈ N - liczby wymierne, R = W - liczby rzeczywiste,

C = { (a, b) : a, b ∈ R } - liczby zespolone.

Dwuargumentowym dzia laniem wewn etrznym ‘◦’ w zbiorze X nazywamy _֒ dowoln a funkcj _֒ e z iloczynu kartezja´ _֒ nskiego X × X w X. Wynik takiego dzia lania na parze (x, y) b edziemy oznacza´c przez x ◦ y. _֒

1.1 Podstawowe struktury algebraiczne

Zaczniemy od przedstawienia abstrakcyjnych deﬁnicji grupy i cia la.

1.1.1 Grupa

Deﬁnicja 1.1 Zbi´or (niepusty) G wraz z wewn etrznym dzia laniem dwuargu- _֒ mentowym ‘◦ ^′ jest grup a je´sli spe lnione s _֒ a nast _֒ epuj _֒ ace warunki (aksjomaty _֒ grupy):

3

(2)

4 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE (i) ∀a, b, c ∈ G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

( l aczno´s´c dzia lania) _֒

(ii) ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = a = e ◦ a (istnienie elementu neutralnego) (iii) ∀a ∈ G ∃a ^′ ∈ G a ◦ a ^′ = e = a ^′ ◦ a

(istnienie element´ow przeciwnych/odwrotnych) Je´sli ponadto

(iv) ∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a

to grup e nazywamy przemienn _֒ a (lub abelow _֒ a). _֒ Grup e b _֒ edziemy oznacza´c przez {G, ◦}. _֒

Zauwa˙zmy, ˙ze ju˙z z aksjomat´ow grupy wynika, i˙z element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywi´scie, za l´o˙zmy, ˙ze istniej a dwa elementy _֒ neutralne, e 1 i e 2 . Wtedy, z warunku (ii) wynika, ˙ze e 1 = e 1 ◦ e ² = e 2 . Podobnie, istnieje tylko jeden element odwrotny dla ka˙zdego a ∈ G. Je´sli bowiem istnia lyby dwa odwrotne, a ^′ 1 i a ^′ 2 , to mieliby´smy

a ^′ 1 = e ◦ a ^′ ¹ = (a ^′ 2 ◦ a) ◦ a ^′ ¹ = a ^′ 2 ◦ (a ◦ a ^′ ¹ ) = a ^′ 2 ◦ e = a ^′ ² ,

przy czym skorzystali´smy kolejno z w lasno´sci (ii), (iii), (i) i ponownie (iii) i (ii).

Latwo te˙z pokaza´c, ˙ze w grupie {G, ◦} r´ownania a ◦ x = b oraz y ◦ c = d

dla a, b, c, d ∈ G maj a jednoznaczne rozwi ֒ azania. W uzasadnieniu, ograni- _֒ czymy si e tylko do pierwszego r´ownania. Latwo sprawdzi´c, ˙ze x = a _֒ ^′ ◦ b jest rozwi azaniem. Z drugiej strony, je´sli x jest rozwi _֒ azaniem to a _֒ ^′ ◦(a◦x) = a ^′ ◦b, czyli x = a ^′ ◦ b.

Przyk ladami grup s a: _֒

• {Z, +}, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciw- nym do a ^′ do a jest −a.

• {W \ {0}, ∗}, gdzie e = 1 a a ^′ = a ⁻¹ jest odwrotno´sci a a. _֒

(3)

• Grupa obrotów p laszczyzny wokó l pocz atku uk ladu wspó lrz ֒ ednych, _֒ gdzie elementem neutralnym jest obrót o k at zerowy, a elementem od- _֒ wrotnym do obrotu o k at α jest obrót o k _֒ at −α. _֒

Zwróćmy uwag e na istotno´sć wyj _֒ ecia zera w drugim przyk ladzie. Poniewa˙z _֒ 0 nie ma elementu odwrotnego, {W, ∗} nie jest grup a. Nie s ֒ a te˙z grupami _֒ np. {N, ∗} (nie ma elementów odwrotnych) oraz {R, −} (nie ma l aczno´sci ֒

oraz elementu neutralnego).

1.1.2 Cia lo

Deﬁnicja 1.2 Cia lem (a ´sci´slej, cia lem przemiennym) nazywamy (co naj- mniej dwuelementowy) zbi´or K z dwoma dwuargumentowymi dzia laniami we- wn etrznymi, dodawaniem ‘+’ i mno˙zeniem ‘∗’, spe lniaj _֒ ace nast ֒ epuj _֒ ace wa- _֒ runki (aksjomaty cia la):

(i) {K, +} jest grup a przemienn ֒ a (w kt´orej element neutralny oznaczamy _֒ przez 0, a element przeciwny do a przez −a),

(ii) {K \ {0}, ∗} jest grup a przemienn ֒ a (w kt´orej element neutralny ozna- _֒ czamy przez 1, a odwrotny do a przez a ⁻¹ ),

(iii) ∀a, b, c ∈ K a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

(mno˙zenie jest rozdzielne wzgl edem dodawania). _֒ ¹

Bezpo´srednio z definicji cia la mo˙zna pokazać nast epuj _֒ ace ogólne w lasno´sci _֒ (uzasadnienie pozostawiamy jako proste ćwiczenie):

1. 0 6= 1,

2. ∀a ∈ K 0 ∗ a = 0 = a ∗ 0, 3. ∀a ∈ K (−1) ∗ a = −a,

4. je´sli a ∗ b = 0 to a = 0 lub b = 0,

5. je´sli a 6= 0 i b 6= 0 to (a ∗ b) ⁻¹ = b ⁻¹ ∗ a ⁻¹ ,

1

Przyjmujemy konwencj

e, ˙ze w wyra˙zeniach w kt´

֒

orych wyst epuj

֒

a i dodawania i

֒

mno˙zenia najpierw wykonujemy mno˙zenia.

(4)

6 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE dla dowolnych a, b ∈ K.

W ciele mo˙zemy formalnie zdeﬁniowa´c odejmowanie i dzielenie, mianowi- cie

a − b := a + (−b) ∀a, b ∈ K,

a/b := a ∗ b ⁻¹ ∀a ∈ K, b ∈ K \ {0}.

Przyk ladem cia la s a liczby rzeczywiste R z naturalnymi dzia laniami do- _֒ dawania i mno˙zenia. Cia lem jest te˙z zbi´or liczb

{ a + b √

2 : a, b ∈ W } ⊂ R z tymi samymi dzia laniami.

1.2 Cia lo liczb zespolonych

Wa˙znym przyk ladem cia la jest cia lo liczb zespolonych, kt´oremu po´swi ecimy _֒ t a cz _֒ e´s´c wyk ladu. _֒

1.2.1 Deﬁnicja

Deﬁnicja 1.3 Cia lo liczb zespolonych to zbi´or par uporz adkowanych _֒ C := R × R = { (a, b) : a, b ∈ R }

z dzia laniami dodawania i mno˙zenia zdeﬁniowanymi jako:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c − b ∗ d, a ∗ d + b ∗ c), dla dowolnych a, b, c, d ∈ R. ²

Formalne sprawdzenie, ˙ze C ze zdeﬁniowanymi dzia laniami jest cia lem pozostawiamy czytelnikowi. Tu zauwa˙zymy tylko, ˙ze elementem neutralnym

2

Zauwa˙zmy, ˙ze znaki dodawania i mno˙zenia wyst epuj

֒

a tu w dw´

֒

och znaczeniach, jako dzia lania na liczbach rzeczywistych oraz jako dzia lania na liczbach zespolonych. Z kon- tekstu zawsze wiadomo w jakim znaczeniu te dzia lania s

a u˙zyte.

֒

(5)

dodawania jest (0, 0), a mno˙zenia (1, 0). Elementem przeciwnym do (a, b) jest −(a, b) = (−a, −b), a odwrotnym do (a, b) 6= (0, 0) jest

(a, b) ⁻¹ =

a

a ² + b ² , −b a ² + b ²

.

Zdeﬁniujemy mno˙zenie liczby zespolonej przez rzeczywist a w nast _֒ epuj _֒ acy _֒ (naturalny) spos´ob. Niech z = (a, b) ∈ C i c ∈ R. Wtedy

c ∗ (a, b) = (a, b) ∗ c = (c ∗ a, c ∗ b).

Przyjmuj ac t _֒ a konwencj _֒ e, mamy _֒

(a, b) = a ∗ (1, 0) + b ∗ (0, 1).

W ko´ ncu, uto˙zsamiaj ac liczb _֒ e zespolon _֒ a (a, 0) z liczb _֒ a rzeczywist _֒ a a, oraz _֒ wprowadzaj ac dodatkowo oznaczenie _֒

ı := (0, 1) otrzymujemy

(a, b) = a + ı ∗ b. (1.1)

a = ℜz nazywa si e cz ֒ e´sci _֒ a rzeczywist _֒ a, a b = ℑz cz _֒ e´sci ֒ a urojon _֒ a liczby ze- _֒ spolonej. Sam a liczb _֒ e zespolon _֒ a ı nazywamy jednostk _֒ a urojon _֒ a. Zauwa˙zmy, _֒

˙ze

ı ² = (−1, 0) = −1.

1.2.2 Posta´ c trygonometryczna

Postać (1.1) jest najbardziej rozpowszechniona. Cz esto wygodnie jest u˙zyć _֒ równie˙z postaci trygonometrycznej, która jest konsekwencj a interpretacji _֒ liczby zespolonej (a, b) jako punktu na p laszczy´znie (tzw. p laszczy´znie ze- spolonej) o wspó lrz ednych a i b. Dok ladniej, przyjmuj _֒ ac _֒

|z| := √

a ² + b ² oraz k at φ tak, ˙ze _֒

sin φ = b

|z| , cos φ = a

|z| ,

(6)

8 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE otrzymujemy

z = |z|(cos φ + ı sin φ). (1.2)

Jest to w la´snie posta´c trygonometryczna. Liczb e rzeczywist _֒ a |z| nazywamy _֒ modu lem liczby zespolonej z, a φ jej argumentem, φ = argz.

Je´sli z 6= 0 i za lo˙zymy, ˙ze φ ∈ [0, 2π) to posta´c trygonometryczna jest wyznaczona jednoznacznie. Piszemy wtedy φ = Argz.

1.2.3 Wz´ or de Moivre’a

Niech z = |z|(cos φ + ı sin φ), w = |w|(cos ψ + ı sin ψ) b ed ֒ a dwoma liczbami _֒ zespolonymi. Wtedy

w ∗ z = |w||z| ((cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + ı(sin φ cos ψ + sin ψ cos φ))

= |w||z| (cos(φ + ψ) + ı sin(φ + ψ)) , a st ad _֒

|w ∗ z| = |w||z| oraz arg(w ∗ z) = argw + argz.

W la´snie w tych równo´sciach przejawia si e wygoda postaci trygonometrycznej. _֒ W szczególno´sci mamy bowiem z ² = |z| ² (cos 2φ + ı sin 2φ) i post epuj _֒ ac dalej _֒ indukcyjnie otrzymujemy wzór de Moivre’a. Mianowicie, dla dowolnej liczby zespolonej z w postaci trygonometrycznej (1.2) mamy

z ⁿ = |z| ⁿ (cos(nφ) + ı sin(nφ)), n = 0, 1, 2, . . . (1.3) Latwo zauwa˙zyć, ˙ze wzór (1.3) jest prawdziwy równie˙z dla n = −1, a st ad ֒

dla wszystkich ca lkowitych n. Przyjmuj ac za z _֒ ¹ ^/n szczeg´olne rozwi azanie _֒ r´ownania w ⁿ = z, mianowicie

z ¹ ^/n = |z| ¹ ^/n (cos(φ/n) + ı sin(φ/n)) ,

gdzie φ = Argz, uog´olniamy (1.3) dla wszystkich wyk ladnik´ow wymiernych.

Stosuj ac dalej argument z przej´sciem granicznym (ka˙zda liczba rzeczywi- _֒ sta jest granic a ci _֒ agu liczb wymiernych) otrzymujemy w ko´ _֒ ncu nast epuj _֒ acy _֒ uog´olniony wz´or de Moivre’a:

∀a ∈ R z â = |z| â (cos(aφ) + ı sin(aφ)) . Prostym wnioskiem z ostatniego wzoru jest równanie

z = |z| ∗ ω ^φ ,

(7)

gdzie ω = cos 1 + ı sin 1 = 0, 540302 . . . + ı ∗ 0, 84147 . . . ∈ C. Jest to uog´olnienie na przypadek liczb zespolonych wzoru x = |x| ∗ sgn(x) znanego z przypadku liczb rzeczywistych.

1.2.4 Pierwiastki z jedynki

Rozpatrzmy rozwi azania r´ownania _֒

z ⁿ = 1

dla dowolnej naturalej n. W dziedzinie rzeczywistej pierwiastkiem jest 1 je´sli n jest nieparzyste, albo 1 i (−1) je´sli n jest parzyste. W dziedzi- nie zespolonej mamy zawsze n pierwiastk´ow. Rzeczywi´scie, poniewa˙z 1 = cos(2kπ) + ı sin(2kπ), ze wzoru de Moivre’a dostajemy, ˙ze wszyskie pier- wiastki wyra˙zaj a si _֒ e wzorami _֒

z k := cos 2kπ n

+ ı sin 2kπ n

, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Zauwa˙zmy, ˙ze z j le˙z a na okr _֒ egu jednostkowym p laszczyzny zespolonej. Zbi´or _֒ G = {z ^k : k = 0, 1, . . . , n − 1} ze zwyk lym mno˙zeniem liczb zespolonych tworzy grup e z elementem neutralnym z _֒ 0 = 1.

1.2.5 Sprz

e˙zenie ֒

Liczb e sprz _֒ e˙zon _֒ a do z = a + ıb deﬁniujemy jako _֒ z := a − ıb.

Zauwa˙zmy, ˙ze z = z oraz z ∗ z = |z| ² . Mamy te˙z z + z

2 = ℜz i z − z

2ı = ℑz.

I jeszcze jedna wa˙zna w lasno´s´c sprz e˙zenia. Je´sli ⋄ ∈ {+, −, ∗, /} to _֒ w ⋄ z = w ⋄ z.

Stosuj ac indukcj _֒ e, mo˙zna ten wzór uogólnić w nast _֒ epuj _֒ acy sposób. Je´sli _֒ f (u 1 , u 2 , . . . , u s ) jest wyra˙zeniem arytmetycznym, gdzie u j s a sta lymi lub _֒ zmiennymi zespolonymi, to

f (u 1 , u 2 , . . . , u s ) = f (u 1 , u 2 , . . . , u s ).

(8)

10 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE

1.3 Wielomiany

Deﬁnicja 1.4 Wielomianem p nad cia lem K nazywamy funkcj e zmiennej z _֒ o warto´sciach w ciele K dan a wzorem _֒

p(z) :=

n

X

j=0

a j z ^j = a 0 + a 1 z + · · · + a ⁿ z ⁿ ,

gdzie a j ∈ K, 0 ≤ j ≤ n, a ⁿ 6= 0, s a wsp´o lczynnikami wielomianu. Liczb ֒ e n _֒ nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy

n = deg p.

(Przyjmujemy przy tym, ˙ze deg 0 = −∞.)

1.3.1 Algorytm Hornera

Ka˙zdy wielomian p(z) = P n

k=0 a _k z ^k stopnia n ≥ 1 o wsp´o lczynnikach zespo- lonych mo˙zna podzieli´c przez dwumian z − ξ otrzymuj ac ֒

p(z) = q(z)(z − ξ) + η,

gdzie deg q = n − 1, a η ∈ C. Dodatkowo, je´sli p ma wspó lczynniki rzeczy- wiste i ξ ∈ R, to q ma równie˙z wspó lczynniki rzeczywiste i η ∈ R.

Iloraz q oraz reszt e η z dzielenia mo˙zna otrzyma´c stosuj _֒ ac algorytm Hor- _֒ nera:

{ b ⁿ := a n ;

for k := n − 1 downto 0 do b ^k := a k + ξ ∗ b ^k+1 ; }

Wtedy q(z) = P n

k=1 b k z ^k−1 oraz reszta η = b 0 .

1.3.2 Zasadnicze twierdzenie algebry

Dla wielomian´ow zespolonych prawdziwe jest nast epuj _֒ ace wa˙zne twierdzenie. _֒ Twierdzenie 1.1 (Zasadnicze Twierdzenie Algebry)

Ka˙zdy wielomian zespolony p stopnia co najmniej pierwszego ma pierwiastek

zespolony, tzn. r´ownanie p(z) = 0 ma rozwi azanie. _֒

(9)

Twierdzenie 1.1 m´owi, ˙ze liczby zespolone C s a cia lem algebraicznie do- _֒ mkni etym. (Przypomnijmy, ˙ze liczby rzeczywiste R nie s _֒ a algebraicznie do- _֒ mkni ete, bo np. r´ownanie x _֒ ² + 1 = 0 nie ma rozwi aza´ _֒ n w R.)

Konsekwencj a algebraicznej domkni _֒ eto´sci C jest faktoryzacja (rozk lad) _֒ wielomianu zespolonego na czynniki pierwszego stopnia. Dok ladniej, sto- suj ac n-krotnie zasadnicze twierdzenie algebry oraz fakt, ˙ze je´sli ξ jest pier- _֒ wiastkiem wielomianu p to reszta z dzielenia p przez ( · − ξ) jest zerowa, otrzymujemy rozk lad

p(z) = a _n (z − z ¹ )(z − z ² ) · · · (z − z n ), (1.4) gdzie z j , 1 ≤ j ≤ n, s a pierwiastkami p. Zak ladaj ֒ ac, ˙ze tylko m pierwiastków _֒ jest parami ró˙znych (1 ≤ m ≤ n), mo˙zemy równowa˙znie napisać, ˙ze

p(z) = a n (z − u ¹ ) ^s

¹

(z − u ² ) ^s

²

· · · (z − u ^m ) ^s

^m

, gdzie u i 6= u ^j o ile i 6= j, oraz P m

j=1 s j = n. Przy tym zapisie, s j nazywamy krotno´sci a pierwiastka u _֒ j .

Za ló˙zmy teraz, ˙ze wspó lczynniki wielomianu p s a rzeczywiste, a _֒ j ∈ R, 0 ≤ j ≤ n. Za ló˙zmy te˙z, ˙ze p(ξ) = 0 i ξ / ∈ R. Wtedy ξ 6= ξ i

p(ξ) =

n

X

j=0

a j ξ ^j =

n

X

j=0

a j ξ ^j =

n

X

j=0

a j ξ ^j = 0 = 0,

tzn. je´sli ξ jest pierwiastkiem to tak˙ze liczba sprz e˙zona ξ jest pierwiastkiem; _֒ obie wyst epuj _֒ a w rozwini _֒ eciu (1.4). Ale _֒

(z − ξ)(z − ξ) = z ² − z(ξ + ξ) + ξξ = z ² − 2zℜξ + |ξ| ²

jest tr´ojmianem kwadratowym o wsp´o lczynnikach rzeczywistych. St ad wnio- _֒

sek, ˙ze wielomian rzeczywisty daje si e roz lo˙zy´c na iloczyn czynnik´ow stopnia _֒

co najwy˙zej drugiego.

(10)

12 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone

Dla ustalenia uwagi, b edziemy u˙zywa´c nast ֒ epuj ֒ acych oznacze´ ֒ n:

N = { 1, 2, 3, . . . } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2, . . . } - liczby ca lkowite, W =  m

n : m ∈ Z, n ∈ N - liczby wymierne, R = W - liczby rzeczywiste,

C = { (a, b) : a, b ∈ R } - liczby zespolone.

Dwuargumentowym dzia laniem wewn etrznym ‘◦’ w zbiorze X nazywamy ֒ dowoln a funkcj ֒ e z iloczynu kartezja´ ֒ nskiego X × X w X. Wynik takiego dzia lania na parze (x, y) b edziemy oznacza´c przez x ◦ y. ֒

1.1 Podstawowe struktury algebraiczne

Zaczniemy od przedstawienia abstrakcyjnych deﬁnicji grupy i cia la.

1.1.1 Grupa

Deﬁnicja 1.1 Zbi´or (niepusty) G wraz z wewn etrznym dzia laniem dwuargu- ֒ mentowym ‘◦ ′ jest grup a je´sli spe lnione s ֒ a nast ֒ epuj ֒ ace warunki (aksjomaty ֒ grupy):

3

4 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE (i) ∀a, b, c ∈ G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

( l aczno´s´c dzia lania) ֒

(ii) ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = a = e ◦ a (istnienie elementu neutralnego) (iii) ∀a ∈ G ∃a ′ ∈ G a ◦ a ′ = e = a ′ ◦ a

(istnienie element´ow przeciwnych/odwrotnych) Je´sli ponadto

(iv) ∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a

to grup e nazywamy przemienn ֒ a (lub abelow ֒ a). ֒ Grup e b ֒ edziemy oznacza´c przez {G, ◦}. ֒

a ′ 1 = e ◦ a ′ 1 = (a ′ 2 ◦ a) ◦ a ′ 1 = a ′ 2 ◦ (a ◦ a ′ 1 ) = a ′ 2 ◦ e = a ′ 2 ,

przy czym skorzystali´smy kolejno z w lasno´sci (ii), (iii), (i) i ponownie (iii) i (ii).

Latwo te˙z pokaza´c, ˙ze w grupie {G, ◦} r´ownania a ◦ x = b oraz y ◦ c = d

dla a, b, c, d ∈ G maj a jednoznaczne rozwi ֒ azania. W uzasadnieniu, ograni- ֒ czymy si e tylko do pierwszego r´ownania. Latwo sprawdzi´c, ˙ze x = a ֒ ′ ◦ b jest rozwi azaniem. Z drugiej strony, je´sli x jest rozwi ֒ azaniem to a ֒ ′ ◦(a◦x) = a ′ ◦b, czyli x = a ′ ◦ b.

Przyk ladami grup s a: ֒

• {Z, +}, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciw- nym do a ′ do a jest −a.

• {W \ {0}, ∗}, gdzie e = 1 a a ′ = a −1 jest odwrotno´sci a a. ֒

• Grupa obrotów p laszczyzny wokó l pocz atku uk ladu wspó lrz ֒ ednych, ֒ gdzie elementem neutralnym jest obrót o k at zerowy, a elementem od- ֒ wrotnym do obrotu o k at α jest obrót o k ֒ at −α. ֒

Zwróćmy uwag e na istotno´sć wyj ֒ ecia zera w drugim przyk ladzie. Poniewa˙z ֒ 0 nie ma elementu odwrotnego, {W, ∗} nie jest grup a. Nie s ֒ a te˙z grupami ֒ np. {N, ∗} (nie ma elementów odwrotnych) oraz {R, −} (nie ma l aczno´sci ֒

oraz elementu neutralnego).

1.1.2 Cia lo

Deﬁnicja 1.2 Cia lem (a ´sci´slej, cia lem przemiennym) nazywamy (co naj- mniej dwuelementowy) zbi´or K z dwoma dwuargumentowymi dzia laniami we- wn etrznymi, dodawaniem ‘+’ i mno˙zeniem ‘∗’, spe lniaj ֒ ace nast ֒ epuj ֒ ace wa- ֒ runki (aksjomaty cia la):

(i) {K, +} jest grup a przemienn ֒ a (w kt´orej element neutralny oznaczamy ֒ przez 0, a element przeciwny do a przez −a),

(ii) {K \ {0}, ∗} jest grup a przemienn ֒ a (w kt´orej element neutralny ozna- ֒ czamy przez 1, a odwrotny do a przez a −1 ),

(iii) ∀a, b, c ∈ K a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

(mno˙zenie jest rozdzielne wzgl edem dodawania). ֒ 1

Bezpo´srednio z definicji cia la mo˙zna pokazać nast epuj ֒ ace ogólne w lasno´sci ֒ (uzasadnienie pozostawiamy jako proste ćwiczenie):

1. 0 6= 1,

2. ∀a ∈ K 0 ∗ a = 0 = a ∗ 0, 3. ∀a ∈ K (−1) ∗ a = −a,

4. je´sli a ∗ b = 0 to a = 0 lub b = 0,

5. je´sli a 6= 0 i b 6= 0 to (a ∗ b) −1 = b −1 ∗ a −1 ,

Przyjmujemy konwencj

e, ˙ze w wyra˙zeniach w kt´

orych wyst epuj

a i dodawania i

mno˙zenia najpierw wykonujemy mno˙zenia.

6 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE dla dowolnych a, b ∈ K.

W ciele mo˙zemy formalnie zdeﬁniowa´c odejmowanie i dzielenie, mianowi- cie

a − b := a + (−b) ∀a, b ∈ K,

a/b := a ∗ b −1 ∀a ∈ K, b ∈ K \ {0}.

Przyk ladem cia la s a liczby rzeczywiste R z naturalnymi dzia laniami do- ֒ dawania i mno˙zenia. Cia lem jest te˙z zbi´or liczb

{ a + b √

2 : a, b ∈ W } ⊂ R z tymi samymi dzia laniami.

1.2 Cia lo liczb zespolonych

Wa˙znym przyk ladem cia la jest cia lo liczb zespolonych, kt´oremu po´swi ecimy ֒ t a cz ֒ e´s´c wyk ladu. ֒

1.2.1 Deﬁnicja

Deﬁnicja 1.3 Cia lo liczb zespolonych to zbi´or par uporz adkowanych ֒ C := R × R = { (a, b) : a, b ∈ R }

z dzia laniami dodawania i mno˙zenia zdeﬁniowanymi jako:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c − b ∗ d, a ∗ d + b ∗ c), dla dowolnych a, b, c, d ∈ R. 2

Formalne sprawdzenie, ˙ze C ze zdeﬁniowanymi dzia laniami jest cia lem pozostawiamy czytelnikowi. Tu zauwa˙zymy tylko, ˙ze elementem neutralnym

Zauwa˙zmy, ˙ze znaki dodawania i mno˙zenia wyst epuj

a tu w dw´

och znaczeniach, jako dzia lania na liczbach rzeczywistych oraz jako dzia lania na liczbach zespolonych. Z kon- tekstu zawsze wiadomo w jakim znaczeniu te dzia lania s

a u˙zyte.

dodawania jest (0, 0), a mno˙zenia (1, 0). Elementem przeciwnym do (a, b) jest −(a, b) = (−a, −b), a odwrotnym do (a, b) 6= (0, 0) jest

(a, b) −1 =

 a

a 2 + b 2 , −b a 2 + b 2

 .

Zdeﬁniujemy mno˙zenie liczby zespolonej przez rzeczywist a w nast ֒ epuj ֒ acy ֒ (naturalny) spos´ob. Niech z = (a, b) ∈ C i c ∈ R. Wtedy

c ∗ (a, b) = (a, b) ∗ c = (c ∗ a, c ∗ b).

Przyjmuj ac t ֒ a konwencj ֒ e, mamy ֒

(a, b) = a ∗ (1, 0) + b ∗ (0, 1).

W ko´ ncu, uto˙zsamiaj ac liczb ֒ e zespolon ֒ a (a, 0) z liczb ֒ a rzeczywist ֒ a a, oraz ֒ wprowadzaj ac dodatkowo oznaczenie ֒

ı := (0, 1) otrzymujemy

(a, b) = a + ı ∗ b. (1.1)

a = ℜz nazywa si e cz ֒ e´sci ֒ a rzeczywist ֒ a, a b = ℑz cz ֒ e´sci ֒ a urojon ֒ a liczby ze- ֒ spolonej. Sam a liczb ֒ e zespolon ֒ a ı nazywamy jednostk ֒ a urojon ֒ a. Zauwa˙zmy, ֒

˙ze

ı 2 = (−1, 0) = −1.

1.2.2 Posta´ c trygonometryczna

|z| := √

Dla ustalenia uwagi, b edziemy u˙zywa´c nast _֒ epuj _֒ acych oznacze´ _֒ n:

N = { 1, 2, 3, . . . } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2, . . . } - liczby ca lkowite, W = _m

Dwuargumentowym dzia laniem wewn etrznym ‘◦’ w zbiorze X nazywamy _֒ dowoln a funkcj _֒ e z iloczynu kartezja´ _֒ nskiego X × X w X. Wynik takiego dzia lania na parze (x, y) b edziemy oznacza´c przez x ◦ y. _֒

Deﬁnicja 1.1 Zbi´or (niepusty) G wraz z wewn etrznym dzia laniem dwuargu- _֒ mentowym ‘◦ ^′ jest grup a je´sli spe lnione s _֒ a nast _֒ epuj _֒ ace warunki (aksjomaty _֒ grupy):

( l aczno´s´c dzia lania) _֒

(ii) ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = a = e ◦ a (istnienie elementu neutralnego) (iii) ∀a ∈ G ∃a ^′ ∈ G a ◦ a ^′ = e = a ^′ ◦ a

to grup e nazywamy przemienn _֒ a (lub abelow _֒ a). _֒ Grup e b _֒ edziemy oznacza´c przez {G, ◦}. _֒

a ^′ 1 = e ◦ a ^′ ¹ = (a ^′ 2 ◦ a) ◦ a ^′ ¹ = a ^′ 2 ◦ (a ◦ a ^′ ¹ ) = a ^′ 2 ◦ e = a ^′ ² ,

Przyk ladami grup s a: _֒

• {Z, +}, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciw- nym do a ^′ do a jest −a.

• {W \ {0}, ∗}, gdzie e = 1 a a ^′ = a ⁻¹ jest odwrotno´sci a a. _֒

• Grupa obrotów p laszczyzny wokó l pocz atku uk ladu wspó lrz ֒ ednych, _֒ gdzie elementem neutralnym jest obrót o k at zerowy, a elementem od- _֒ wrotnym do obrotu o k at α jest obrót o k _֒ at −α. _֒

Zwróćmy uwag e na istotno´sć wyj _֒ ecia zera w drugim przyk ladzie. Poniewa˙z _֒ 0 nie ma elementu odwrotnego, {W, ∗} nie jest grup a. Nie s ֒ a te˙z grupami _֒ np. {N, ∗} (nie ma elementów odwrotnych) oraz {R, −} (nie ma l aczno´sci ֒

Deﬁnicja 1.2 Cia lem (a ´sci´slej, cia lem przemiennym) nazywamy (co naj- mniej dwuelementowy) zbi´or K z dwoma dwuargumentowymi dzia laniami we- wn etrznymi, dodawaniem ‘+’ i mno˙zeniem ‘∗’, spe lniaj _֒ ace nast ֒ epuj _֒ ace wa- _֒ runki (aksjomaty cia la):

(i) {K, +} jest grup a przemienn ֒ a (w kt´orej element neutralny oznaczamy _֒ przez 0, a element przeciwny do a przez −a),

(ii) {K \ {0}, ∗} jest grup a przemienn ֒ a (w kt´orej element neutralny ozna- _֒ czamy przez 1, a odwrotny do a przez a ⁻¹ ),

(mno˙zenie jest rozdzielne wzgl edem dodawania). _֒ ¹

Bezpo´srednio z definicji cia la mo˙zna pokazać nast epuj _֒ ace ogólne w lasno´sci _֒ (uzasadnienie pozostawiamy jako proste ćwiczenie):

5. je´sli a 6= 0 i b 6= 0 to (a ∗ b) ⁻¹ = b ⁻¹ ∗ a ⁻¹ ,

a/b := a ∗ b ⁻¹ ∀a ∈ K, b ∈ K \ {0}.

Przyk ladem cia la s a liczby rzeczywiste R z naturalnymi dzia laniami do- _֒ dawania i mno˙zenia. Cia lem jest te˙z zbi´or liczb

Wa˙znym przyk ladem cia la jest cia lo liczb zespolonych, kt´oremu po´swi ecimy _֒ t a cz _֒ e´s´c wyk ladu. _֒

Deﬁnicja 1.3 Cia lo liczb zespolonych to zbi´or par uporz adkowanych _֒ C := R × R = { (a, b) : a, b ∈ R }

(a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c − b ∗ d, a ∗ d + b ∗ c), dla dowolnych a, b, c, d ∈ R. ²

(a, b) ⁻¹ =

a

a ² + b ² , −b a ² + b ²

.

Zdeﬁniujemy mno˙zenie liczby zespolonej przez rzeczywist a w nast _֒ epuj _֒ acy _֒ (naturalny) spos´ob. Niech z = (a, b) ∈ C i c ∈ R. Wtedy

Przyjmuj ac t _֒ a konwencj _֒ e, mamy _֒

W ko´ ncu, uto˙zsamiaj ac liczb _֒ e zespolon _֒ a (a, 0) z liczb _֒ a rzeczywist _֒ a a, oraz _֒ wprowadzaj ac dodatkowo oznaczenie _֒

a = ℜz nazywa si e cz ֒ e´sci _֒ a rzeczywist _֒ a, a b = ℑz cz _֒ e´sci ֒ a urojon _֒ a liczby ze- _֒ spolonej. Sam a liczb _֒ e zespolon _֒ a ı nazywamy jednostk _֒ a urojon _֒ a. Zauwa˙zmy, _֒

ı ² = (−1, 0) = −1.

a ² + b ² oraz k at φ tak, ˙ze _֒

Jest to w la´snie posta´c trygonometryczna. Liczb e rzeczywist _֒ a |z| nazywamy _֒ modu lem liczby zespolonej z, a φ jej argumentem, φ = argz.

Niech z = |z|(cos φ + ı sin φ), w = |w|(cos ψ + ı sin ψ) b ed ֒ a dwoma liczbami _֒ zespolonymi. Wtedy

= |w||z| (cos(φ + ψ) + ı sin(φ + ψ)) , a st ad _֒

z ⁿ = |z| ⁿ (cos(nφ) + ı sin(nφ)), n = 0, 1, 2, . . . (1.3) Latwo zauwa˙zyć, ˙ze wzór (1.3) jest prawdziwy równie˙z dla n = −1, a st ad ֒

dla wszystkich ca lkowitych n. Przyjmuj ac za z _֒ ¹ ^/n szczeg´olne rozwi azanie _֒ r´ownania w ⁿ = z, mianowicie

z ¹ ^/n = |z| ¹ ^/n (cos(φ/n) + ı sin(φ/n)) ,

Stosuj ac dalej argument z przej´sciem granicznym (ka˙zda liczba rzeczywi- _֒ sta jest granic a ci _֒ agu liczb wymiernych) otrzymujemy w ko´ _֒ ncu nast epuj _֒ acy _֒ uog´olniony wz´or de Moivre’a:

∀a ∈ R z â = |z| â (cos(aφ) + ı sin(aφ)) . Prostym wnioskiem z ostatniego wzoru jest równanie

z = |z| ∗ ω ^φ ,

Rozpatrzmy rozwi azania r´ownania _֒

z ⁿ = 1

z k := cos 2kπ n

+ ı sin 2kπ n

Zauwa˙zmy, ˙ze z j le˙z a na okr _֒ egu jednostkowym p laszczyzny zespolonej. Zbi´or _֒ G = {z ^k : k = 0, 1, . . . , n − 1} ze zwyk lym mno˙zeniem liczb zespolonych tworzy grup e z elementem neutralnym z _֒ 0 = 1.

Liczb e sprz _֒ e˙zon _֒ a do z = a + ıb deﬁniujemy jako _֒ z := a − ıb.

Zauwa˙zmy, ˙ze z = z oraz z ∗ z = |z| ² . Mamy te˙z z + z

I jeszcze jedna wa˙zna w lasno´s´c sprz e˙zenia. Je´sli ⋄ ∈ {+, −, ∗, /} to _֒ w ⋄ z = w ⋄ z.

Stosuj ac indukcj _֒ e, mo˙zna ten wzór uogólnić w nast _֒ epuj _֒ acy sposób. Je´sli _֒ f (u 1 , u 2 , . . . , u s ) jest wyra˙zeniem arytmetycznym, gdzie u j s a sta lymi lub _֒ zmiennymi zespolonymi, to

Deﬁnicja 1.4 Wielomianem p nad cia lem K nazywamy funkcj e zmiennej z _֒ o warto´sciach w ciele K dan a wzorem _֒

a j z ^j = a 0 + a 1 z + · · · + a ⁿ z ⁿ ,

gdzie a j ∈ K, 0 ≤ j ≤ n, a ⁿ 6= 0, s a wsp´o lczynnikami wielomianu. Liczb ֒ e n _֒ nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy

k=0 a _k z ^k stopnia n ≥ 1 o wsp´o lczynnikach zespo- lonych mo˙zna podzieli´c przez dwumian z − ξ otrzymuj ac ֒

Iloraz q oraz reszt e η z dzielenia mo˙zna otrzyma´c stosuj _֒ ac algorytm Hor- _֒ nera:

{ b ⁿ := a n ;

for k := n − 1 downto 0 do b ^k := a k + ξ ∗ b ^k+1 ; }

k=1 b k z ^k−1 oraz reszta η = b 0 .

Dla wielomian´ow zespolonych prawdziwe jest nast epuj _֒ ace wa˙zne twierdzenie. _֒ Twierdzenie 1.1 (Zasadnicze Twierdzenie Algebry)

zespolony, tzn. r´ownanie p(z) = 0 ma rozwi azanie. _֒

Twierdzenie 1.1 m´owi, ˙ze liczby zespolone C s a cia lem algebraicznie do- _֒ mkni etym. (Przypomnijmy, ˙ze liczby rzeczywiste R nie s _֒ a algebraicznie do- _֒ mkni ete, bo np. r´ownanie x _֒ ² + 1 = 0 nie ma rozwi aza´ _֒ n w R.)