LITERATURA
(1) P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstko- wych, WUJ, 2006 r.
(2) L. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002 r.
(3) H. Marcinkowska, Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych, PWN, 1968 r.
1. WYKŁAD I Wiadomości wstępne
Niech n ∈ N. Wektor α = (α1, α2, . . . , αn) o nieujemnych współrzędnych całkowitych nazywany wielowskaźnikiem długości |α| = α1+ α2+ . . . + αn.
Niech u będzie funkcją klasy C|α| na pewnym podzbiorze otwartym D prze- strzeni Rn. Przyjmijmy
Dαu(x) = ∂|α|u
∂xα1
1 . . . ∂xαnn(x), x = (x1, . . . , xn) ∈ D
Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu k (RRC) nazywamy równa- nie funkcyjne, w którym występuje (niewiadoma) funkcja wielu zmiennych i jej pochodne cząstkowe do rzędu k. Postać ogólną równania różniczkowego cząstkowego rzędu k na pewnym zbiorze U ∈ Rn można zapisać następująco
H(x, u(x), . . . , Dαu(x)) = 0, gdzie x ∈ U , k 1, |α| ¬ k, zaś u jest szukaną funkcją.
Funkcję u klasy Ck na pewnym podzbiorze otwartym D ⊂ U spełniającą równanie dla x ∈ D nazywamy rozwiązaniem równania na zbiorze D lub całką równania.
Uwaga 1.1.
• Nie istnieje ogólna teoria równań różniczkowych cząstkowych. Nie ma właściwie twierdzeń, które odnosiłyby się do wszystkich RRC.
• Istnieją teorie i twierdzenia dotyczące jednego równania (lub wąskiej klasy równań).
Podstawowe problemy RRC (1) istnienie rozwiązania (2) jednoznaczność (3) regularność
Przykład 1.2. Rozważmy równanie
∂u
∂x − ∂u
∂y = 0
1
2
w zbiorze U = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], y 0}. Zauważmy, że funkcja u(x, y) = F (x + y), F ∈ C1(R) jest rozwiązaniem równania. Istotnie, niech ξ(x, y) = x + y.
Wówczas
∂u
∂x = dF dξ · ∂u
∂x = dF
dξ · 1 = F0 podobnie
∂u
∂y = F0. Zatem u spełnia równanie na zbiorze U .
Zauważmy, że rozwiązanie nie jest jednoznaczne (zależy od F). Aby uzy- skać jednoznaczność rozwiązania potrzebujemy postawić dodatkowe warunki.
Wyróżniamy
(1) warunki brzegowe np. u(a, y) = α(x), y 0;
(2) warunki początkowe np. u(x, 0) = ϕ(x) , x ∈ [a, b].
Rozważając zatem równanie z powyższego przykładu wraz z warunkiem po- czątkowym u(x, 0) = 2x otrzymujemy, że funkcja u(x, y) = 2(x + y) jest rozwią- zaniem równania przy zadanym warunku początkowym.
Postawienie dodatkowych warunków (początkowych lub brzegowych) może spowodować, że równanie przestaje mieć rozwiązanie.
Przykład 1.3. Rozważmy równanie x∂u
∂x + y∂u
∂y = u3 z warunkiem początkowym
u(x, 0) = x dla x ∈ [a, b], y 0. Wówczas
x∂u
∂x(x, 0) + 0 ·∂u
∂y(x, 0) = u3(x, 0).
Zatem
x · 1 + 0 = x3 co jest sprzeczne dla x ∈ [a, b] \ {−1, 0, 1}.
Zauważmy jeszcze, że czasami postać równania determinuje regularność jego rozwiązania.
Przykład 1.4.
(1) Niech
∂u
∂y = 0, (x, y) ∈ R2. Wówczas u(x, y) = f (x), f ∈ C1(R).
3
(2) Niech
∂2u
∂x∂y = 0, (x, y) ∈ R2. Wówczas u(x, y) = f (x) + g(y), f, g ∈ C2(R).
(3) Niech
∂u
∂x + i∂u
∂y = 0, (x, y) ∈ R2.
Wówczas dowolna funkcja holomorficzna jest rozwiązaniem równania.
2. Równiania różniczkowe cząstkowe liniowe
Równanie różniczkowe cząstkowe nazywamy równaniem liniowym gdy funk- cja H w definicji RRC jest liniowa względem wszystkich swoich argumentów z wyjątkiem x.
Ogólna postać równania różniczkowego cząstkowego liniowego rzędu k 1 wyraża się wzorem
(1) X
|α|¬k
aα(x)Dαu(x) = f (x), gdzie x ∈ U ⊂ Rn, aα są funkcjami ciągłymi w zbiorze U . Uwaga 2.1. Równanie (1) można zapisać w postaci
Lu = f,
gdzie L = P|α|¬kaαDα jest operatorem działającym na funkcjach klasy Ck nazywanym operatorem różniczkowym.
W szczególności RRC liniowe rzędu pierwszego jest postaci (2)
n
X
i=1
ai(x)∂u
∂xi + b(x)u(x) = f (x), gdzie x ∈ U ⊂ Rn, ai, b są funkcjami ciągłymi w zbiorze U .
