Der Bauingenieur : Zeitschrift für das gesamte Bauwesen, Jg. 18, Heft 39/40

DER BAUINGENIEUR

18. Jahrgang 1. Oktober 1937 Heft 39|40

U N T E R S U C H U N G E N Ü B E R D I E K N I C K S I C H E R H E I T , D I E E L A S T I S C H E V E R F O R ­ M U N G U N D D A S K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N .

Von Professor D r.-In g. F r . D i s c h i n g e r , B erlin . (Fortsetzung und Schluß von Seite 552.) 5. D i e U m 1 a g e r u n g d e r N o r m a 1 k r ä f t e u n d B i e -

g u n g s m o m e n t e v o m B e t o n a u f d a s E i s e n b e i d e n b e w e h r t e n E i s e n b e t o n g e w ö l b e n u n d S ä u ­ l e n a l s F o l g e d e s K r i e c h e n s u n d d e s S c h w i n ­

d e n s d e s B e t o n s .

B ei den bisherigen Untersuchungen haben wir, um einen bes­

seren Ü berblick zu erhalten, den E in flu ß der Bew ehrungen ve r­

nachlässigt. D urch die Verkürzung des Betons infolge der p lasti­

schen Form änderungen aus K riechen und Schwinden werden m it dem Fortschreiten dieser plastischen Form änderungen die K rä fte in im m er höherem Maße von dem B eton au f die Bewehrungseisen um gelagert. E r s t m it dem Abschluß des K riechens und des Schw in­

dens is t diese U m lagerung der inneren K rä fte beendet. D as V er­

h ältnis n = is t dem nach eine veränderliche Zahl. Im Moment

<h>

cre E

des A ufbringens der L a s t ist n = n 0 = --- = --- . B ei einem guten

°V o

B eton b eträgt der federnde Elastizitätsm odul E c w enigstens 350000 k g /c m 2 und dam it wird n 0 6. D urch das K riechen und Schw in­

den des Betons und die dadurch bedingte U m lagerung der inneren K rä fte vom Beton a u f die Bewehrungseisen, w ächst aber n sehr rasch an und kann, w ie w ir noch sehen werden, sogar den W ert n = 00 annehmen, in Übereinstim m ung m it den von G r a f 15 durchgeführten M essungen bei Säulen.

B evo r w ir uns m it der U m lagerung der inneren K rä fte bei den bewehrten Gewölben befassen, bei denen durch das Kriechen nicht nur eine U m lagerung der inneren K rä fte bew irkt, sondern zugleich auch der statisch unbestim m te Gewölbeschub beeinflußt wird, wollen w ir zuerst das einfachere Problem der zentrischen au f D ruck beanspruchten bewehrten Säule besprechen.

a) D i e z e n t r i s c h a u f D r u c k b e a n s p r u c h t e E i s e n b c t o n s ä u l e .

Im Zeitpunkt t = o, d. h. im elastischen Bereich verteilt sich die Säulenlast P au f den Beton und au f den Eisenquerschnitten proportional den zugehörigen Dehnungssteifigkeiten D b= E 0 E b und Dc = E eF e. H ierbei is t E 0 wieder der federnde E la stiz itä ts­

m odul des Betons. Im elastischen Bereich wird demnach durch das V erh ältnis der E lastizitätsm od ule zugleich auch das V erhältnis der

Spannungen der beiden M aterialien gekennzeichnet. — — — = nQ.

Po

Im Zeitpun kt t ist die Verteilung der Spannungen auf die beiden Verbundkörper jedoch eine andere, w ir führen d afür die Bezeich­

nung nt und nach Abschluß des K riechens und Schwindens nt = nn ein.

Dem entsprechend en tfällt im Zeitpunkt t = o von der Ge­

sa m tlast P :

(^{6 7})

A uf den Beton P 0i Db ^{, .}

" d " w 0

A u f das E isen P,_Oe E i D

D b D^

= E „ F b

= E „ F . D = D e + D b 15 G r a f , Otto: Versuche mit Eisenbetonsäulen. Deutscher Aus­

schuß für Eisenbeton (.1934) H eft 77.

In einem Zeitpun kt t nach der Ausrüstung sind diese Gleichungen nicht m ehr gültig, weil infolge des K riechens und des Schwindens des Beton s ein m it der Zeit veränderlicher L a sta n te il vom Beton nach den E isen übergewandert ist, in diesem Zeitpunlct en tfällt a lso : (67a)

/

A u f das E isen

M b — r 0b — 1 1

Ptc - P « + P f

Die Größe der K r a ft P t erhalten w ir aus der Bedingung, daß im Zeitpunkt t Beton und E isen sich um das gleiche, vo rerst noch unbe­

kann te Maß A lt ve rk ü rz t haben.

(68)

A L

+ co T I n

<Pn Ob |

. “ t

'd p , d t

+ fx)

' (I + — <Ptl) ' < I V - (Poe + Pt) l

b D

,<Pt

H ierbei ist ra, T I —- das Schwindm aß für das w ir wiederum den glei- chen V erlau f w ie für das K riechen voraussetzen. M it <Px-<pn cx- reicht das Schwinden mit w. TI seinen Größtwert- P_«b 1

Dk

• ist die elasti­

sche Verkürzung des Betonquerschnittes, die durch das Kriechen auf P ob — (i + Tä) vergröß ert wird. D as D ifferential der Um lage-

b d P t

ru n gskraft - - -- d tj, das im Zeitpun kt tq erzeugt wird, w irk t der d P t 1 K r a ft P Ub entgegen und erzeugt eine elastische Längung ---d tj— , die entsprechend Gl. 48 au f den (1 + rpt — y u)fachen W ert ve r­

größert wird. Um die Gesam tw irkung der K r a ft P t bis zum Zeit­

punkt t zu erhalten, müssen w ir von t = o bis t = t u integrieren.

D as E isen wird im Zeitpunkt t durch P 0o + P t belastet und daraus ergibt sich eine Verkürzung des E isen s um (P 0c + P t) — .

De

Durch D ifferenzieren entsprechend der Leibnizschen Regel erhalten w ir wiederum die D ifferentialgleichung des Problem s:

d P t d , d P t 1 d P t 1

“ S T d . , , P « b - , .

-T- (<Pt) + T T 71 W _ m d t L’b dt durch welche die Um lagerung beschrieben w ird und die w ir

I V d tM ■

d t D. d t D„

der K r a ft im Zcitdifferential dt ohne w eiteres auch direkt hätten

D„

D : a und D „

D 1 — a und d

anschreiben können. W ir setzen erhalten d am it:

d P t d ( 00. T

(68a) T t + « P ^ Wx) - « ( Pob + — - b j d t -

D as is t wieder die gleiche lineare D ifferentialgleichung erster Ord­

nung w ie früher, aus der w ir a ls L ösu n g erh alten:

ok T

D b h ü ( ? ’t) =

Pt N u n i s t D h

5ob +

Ob

Db (1

w obei cr01) d ie B e to n s p a n n u n g im J0b

5 9 6 D I S C H I N G E R , V E R F O R M U N G U N D K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N . DER BAUINGENIEUR 18 (193?) H EFT 39/40.

Zeitpun kt t (6 9)

wobei

o, dem nach:

Pt = P o b ( l + tu, T F, 'Ob^{( I -} Dk

P o b = P D = P ( I ‘

« ?>t\

-<x)

und im Zeitpunkt t = t u is t rpt = q>n = m und dam it ergibt sich der G rößtw ert von P t :

(69a) P t = P 0b ( 1 + ‘ - ) (1 — e— * m) .

\ m<T0b /

Die vom Beton getragene L a s t b e träg t also im Zeitpunkt t :

J E

(7°)

Ptb— P ob ob

— ft,

— « f|

J

0

—«Pt ^

Dk

wobei P ob= P D° = P ( i -

und f.*s : tu, T L ., -a<f t

(70a)

P t b “ P o b

ob - ^a m ^COc T E n

m er, / — Oil

J e

Ob

wobei f„, = tu, T E , m ü.Ob D„

P ,

(70b)

is t gegeben durch:

De D,, + D b

bzw. fi = 1

^ E c F e I +

n p F 1 + n 0iu

»o/‘

(7i)

Poe + P t = P o e + Poe

P,

I + «

« I ~\--coa T E , m er_{o b}

-<xv t

_0c , a

aq>t

wobei ^ = P und f u a

1 + (1—<x) ^f,s—e

= E o ('I _ m frAK \ m

F ü r t = o ist <pt = o und dam it P te = P 0c, fü r t = t n, rpt = <pa

— m erreicht P to seinen Größtwert

(7ia) Pte= ^ I f n

wobei _{fns =}

oc I

cusT Ep niffob

A us dem V erh ältnis — = l-° = —: Pt, Poe L c r,oe

(72) wobei

A \ n = — »' 11 a

A h 1

'0e " J 0b_1_

E „

erh a lte n :

nt =

Pte

Fc

Ptb F b

Poe F e 1 + (J Pob

Fb

■«) (f.,

“ tb

« (e'- « 9 > t ___

f .s)

N un ist = n 0 ,

1 o b O"ob d em n ach :

(^{7 3}) nt =

F b

i+ (i -«) (f, ^_ e — «»>t\

« f t .

• f t s )

£0

a ^{-a<p t} -f..

F ü r t = o ist 74 = o, e a?,t = 1, ftä= o und dam it, n t = n 0, fü r t = t n is t <pt = ipn = m und d am it:

(7 3<a)

1 + ( i — a) ( f. _n)

( e - « m- f ns)

-«)

F ü r t = o w ird P tb = P 0b und fü r t = t n ist <pt = <pn = m und d a m it:

n in— “ m f l tt (e fnsl

nt bzw. n n w ird um so größer, je stä rk e r das K riech- und Scliwind- maß des Betons ist, es kann sogar der F a ll eintreten, daß für t = t n der Beton vollständ ig spannungsfrei wird und die gesam te L a s t von den E isen allein getragen wird. Die B edingung hierfür ergibt sich aus Gl. 73a. H iernach wird nn = 00, d. h. der B eton w ird span­

nungslos fü r:

_ o>s T E 0

ns i 1

m ci^ob (7 3b) cu, T E „

m er._Ob 1 +

e—om) bzw.

cus T E 0\

m ffpb n o h

D er Zusam m enhang zwischen a — und der B ew ehrungszahl bzw. u = —

n 0 fi n 0 , der Zusam - F . wobei durch Gl. (70b), a = •

m enhang zwischen a = — und der B ew eh rungsziffer f i = ~ gege- De

D r b

ben ist.

A us der Bedingungsgleichung (73b) erkennen wir, daß 5 F a k ­ toren hierauf von E in flu ß sind, näm lich — das K riechen des B e ­ tons (m), das Schwinden des Betons (cusT), das V erh ältnis der das V erh ältn is der Betonspannungen E lastizitätsm od ule n 0

Die von dem E isen aufzunehmende L a s t b e träg t unter B erü ck ­ sichtigung, daß P ob = Peg - '

P t

im Zeitpu n kt t = o zum federnden E lastizitätsm o d u l j und die B ew eh ru ngsziffer = - j j .

Die Zahlentafeln 73c und 73d geben uns einen Ü berblick d ar­

über, unter welchen Verhältnissen die Betonspannungen zu N ull werden können. In diesen Zahlentafeln sind fü r die nachstehenden M aterialkonstanten die W erte a bzw. die Bew ehrungsziffern f i ~ —F in Prozenten erm ittelt, bei denen der Beton spannungslos w ird : F b Schw indw ert cosT = 30 • i o ~ 5 (entsprechend den W erten der am t­

lichen Bestim m ungen). Federnder E lastizitätsm o d u l E „ = 350 000

, , 2 E e 2,1. I O6

kg/cm -, n 0 = = - = --- E „ 350 000 h ältnis v o n —- == 10 000 bis 4000.F

°

0

6, K riech w ert m = 5, 4, 3, Ver-

ergibt sich um w ieviel mal größer die Verkürzung der Säule is t bei B erücksichtigung des

Kriechens und Schwindens (¿1 ln) gegenüber der rein elastischen Verkürzung (zl 10).

J 1 " [ l + ( ! — <*) (fns— e * m)]

Aus den gewonnenen Gleichungen können w ir nun auch leicht den m it der Zeit veränderlichen W ert von n t = — erm itteln. W ir

fft

m — ₅ 4 3

(73c) _ 1 0 ° ° °

£-o _ 8 000 (Tgjj 6 000 4 000 In der Zahlentafel 73 W erte der Bew ehr ui

0,19 6 0,226 0,266 0,328 d sind n lgsziffer

0 ,2 11 0,246 0,292 0,367 littels G

- f r

0,230 W erte <x für die 0,270 nn = 00 w ird- 0,327

0 ,4 14

. (70b) die W erte a durch die rsetzt (in % ).

m = ; 5 | 4 3

( # ) F u-o_ S 000X° 000 Uoh 6 000

4 000 4.05 4.87 : 6.05 8 ,12

4 ,4 5 5 .4 3 6,90 9 ,6 5

„ , W erte « = —

4 ,9 5 % F b

6 ,15 % in % für die 8 ,10 % nn = 00 wird.

I L7 5 %

A us der Zahlen tafel 73d ersehen wir, daß schon bei einer B ew eh­

rung von 4 % der F a ll eintreten kann, daß na = 00 und dam it der

DER BAUINGENIEUR

J. OKTOBER 1937. D I S C H I N G E R , V E R F O R M U N G U N D K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N . 5 9 7 B eton spannungslos wird. Je geringer die ursprüngliche B eton ­

spannungen im elastischen Bereich, je größer die K riech- und Schw indw erte der Betons um so leichter w ird nn = oo. D er in Rechnung gestellte Schw indw ert von cosT = 30 xo—5 ist als ein M indestw ert zu betrachten, so daß auch schon bei geringeren B e ­ wehrungen als 4 % der B eton durch Kriechen und Schwinden span­

nungslos werden kann. Trotzdem in diesem F a ll die gesam te L a st von der Bew ehrung allein getragen w ird, bleiben die E isen span ­ nungen fü r alle F ä lle der Zahlen tafel 73d wesentlich unter der Streckgrenze, selbst bei Verwendung von S t 37 m it seiner niedrigen Streckgrenze von <rs = 2400 kg/cm 2. D a die ganze L a s t vom Eisen getragen wird, is t:

(7 3e) P Oe

F oi

oe LX

ob OL

n E

E

( 7 3 0

m = 5 4 3

IO OOO r 072 _{9 9 5} 9 1 5

E 8 000 1 160 1 068 _{9 7 5}

'ob 6 000 1 3 1 5 1 200 1 072 4 OOO 1 600 1 4 3 2 1 270

Größe der E isen ­ spannungen für

n„ = co.

. 1 01 e— * n a

D ie Zahlentafeln 74b und 74c zeigen uns, in welchem Maße die K riechw erte durch die Bewehrungen herabgem indert werden. Den Zahlentafeln sind die Kriechm aße des unbewchrtcn Betons von m = o bis m = 5 und die W erte n„ = 6 und n 0 = 8 zugrunde ge­

legt und dam it sind die ideellen Kriechm aße mP für die verschie­

denen Bew ehrungskoeffizienten ausgerechnet.

(7 4b)

D am it ergeben sich fü r die W erte - — und a der Zahlentafel 73b

°o b

unter Zugrundelegung der dort verwendeten M aterialkonstanten E n = 350 000 kg/cm 2 und n0 = 6 nachstehende E isenspannungen: (^{7 4}c)

m = 0 1 2 ₃ 4 5

/.1 = 0,005 (°.5 % ) 0,00 0,96 1,88 2,78 _{3 .6 6} 4 .5 2 H = 0,0 10 (1,0 % ) 0,00 0,92 ₁,7« 2,61 3 ,3 6 4. i i /i = 0,020 (2,0% } 0,00 0,85 1,6.1 2,29 2,91 _{3 .4 5} fi = 0,030 (3,0% ) 0,00 0,80 L4 9 2,08 _{2 ,5 9} 3.02

W erte m P für 11 1 0 = 6

m = 0 I 2 _{1 3 4 5}

/i = 0,005(0,5% ) 0,00 0 .9 4 5 1,85 2 ,7 3 3 ,5 6 4 .3 7 /i — 0 ,0 10 (1,0 % ) 0,00 0,890 1,72 2 ,4 9 3 ,2 1 3 ,7 7

¡1 = 0,020(2,0% ) 0,00 0,805 L5i 2 ,12 2,65 3,26 ft = 0,030(3,0% ) 0,00 o,7 3 5 1 .3 4 1,84 2,25 2,58

W erte mP für

N ur bei sehr hohen Betonspannungen —- = 6000 und 4000 ent-

° o b

sprechend den Betonspannungen ff0b = 58,5 bzw. 87,5 gehen die Spannungen über das fü r S t 37 vorgeschriebene Maß von 1200 kg/cm 2 hinaus. E s beständen jedoch auch gar keine Bedenken, wenn das Eisen bis in der Nähe der Streckgrenze beansprucht würde, weil das E isen bei Erreichen der Streckgrenze plastisch w ird und dam it bei einer Lasterhöhung die D ru ckkräfte wieder vom Beton au f das E isen um gelagert würden. Der B ru ch tr itt gemäß dem durch Versuche als richtig festgestellten Additionsgesetz der T ra g ­ fähigkeiten des Verbundkörpers erst ein, wenn Beton und Eisen zugleich das Maß der B ru ch festigkeit erreicht haben.

W ir wollen nun des weiteren noch feststellen, in welchem Maß durch den W iderstand der Bewehrungen das Kriechen und das Schwinden behindert w ird. W ir gehen hierbei von Gl. 7 1 aus. Um die Behinderung des K riechens zu berechnen, setzen w ir hierin zu­

erst den Schw indw ert f ts = o und erhalten:

Die beiden Zahlentafeln zeigen, daß bei starkem Kriechen m = 4 und m = 5 und bei gleichzeitig hohen Bew ehrungssätzen von 3 % die ideellen Kriechm aße m P durch die Gegenwirkung der Eisen gegenüber den Kriechm aßen des unbewehrten Betons bis au f rd. 50 % erm äßigt werden können. A ndererseits zeigen aber auch die Zahlentafeln, daß bei den üblichen Bew ehrungsziffern der Gewölbe von 0 ,1 — 1,0 % die Abm inderung sehr gering ist, insbeson­

dere, wenn m an berücksichtigt, daß im allgemeinen bei der lam el­

lenweisen H erstellung der Gewölbe der B eton beim Ausrüsten nicht m ehr sehr jung ist und deshalb die K riechm aße m des unbewehrten B etons kaum über den W ert m = 3 hinausgehen dürften. Fü r diese Fälle ergibt sich, wie aus den Zahlentafeln hervorgeht, höch­

stens eine Abm inderung des ursprünglichen Kriechm aßes von rd. 15 % .

Aus der Gl. (71) können w ir nun auch berechnen, in welchem Maße durch den W iderstand der Bewehrungseisen die Schw ind­

w erte beeinflußt werden, denn w ir können die G esam tverkürzung aus Gl. (71) berechnen und davon den A nteil des K riechens in Abzug bringen. A us Gl. (71) ergibt sich die spezifische Gesam t­

verkürzung in A bhängigkeit von der ursprünglichen elastischen Verkürzung z u :

t n W, T E 7 .

+ l “ _ *---⁹ (1 — e-<* ?t) — ...e - « H

E _ob

D urch— ist die tatsächliche Verkürzung der Säule zu der rein(Tte

ff oc

elastischen und dam it die Größe von 1 + gekennzeichnet, wobei

<Ptje tz t aber die behinderte Kriechfunktion darstellt, die w ir zur Verm eidung von Verwechslungen als ideellen K riechw ert m it bezeichnen wollen,wobei die Indices i und D angeben, daß es sich um einen ideellen K riechw ert bei Druckbeanspruchung handelt.

W ir werden später sehen, daß w ir auch einen ideellen K riechw ert bei Biegung benötigen, den w ir sinngem äß m it 7T bezeichnen werden.

1 1 — a

Aus 1 ^{D .} - «9>t erhalten wir die ideelle

r «i Oi Oi

K riechfunktion für D ruckbeanspruchung bei Behinderung durch die Bewehrungseisen.

(7 4) I — e— ***

und daraus für cpt = 9>n - (7 4»)

m den G rößtw ert:

nD

= .

/ni0 da nach Gl. (70b): a = no^

+ n„A

Diese spezifische G esam tverkürzung

E ist gleichzusetzen der spezifischen Verkürzung aus der elastischen und plastischen Zu­

sam m endrückung und dem Schwinden. Dem nach:

J

e e

H ierbei ist <5 ein F ak to r, durch den das V erh ältnis der behinderten zu der unbehinderten Schwindung gekennzeichnet werden soll.

OC ;

E is t die elastische Zusam m endrückung, die für Beton und Eisen gleich groß is t und die entsprechend dem m it Gl. (74) erm ittelten behinderten K riechen au f den (1 + 7b)-fachen W erte erhöht wird.

A us dem Gleichsetzen der beiden obigen Gleichungen fo lgt:

f f l .T E . T ,7

i + L vOL OL

ob

= “ s T H f ( i + 9 ® • N un is t nach Gl. (74)

i + i CL . , I (r _ e - « n = _

OL OL - e—Ä *t .

5 9 8 D I S C H 1 N G E R , V E R F O R M U N G U N D K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N . D ER BAUINGENIEUR 18 (1937) H E F f 39/40.

Nach A uflösen ergibt sich daraus der W ert für <5, durch den die Abm inderung des Schwindens infolge des W iderstandes der B e ­ wehrung gegeben ist, z u :

-a E 0 1 — e~~a y t V _ 1 — a 1 — e ~

E a m

(7 5)

D er Größtwert der Abm inderung ergibt sich für t = t n, <pt — (pn = m z u :

(75a) ,5 _ 1 — 01 1 — e wobei

a m 1 — a

F ü r den Sonderfall, daß das Kriechen in W egfall kom m t (m = o), folgt hieraus nach E rm ittlu n g des dann unbestim m ten W ertes:

<5 = 1 — a . M it H ilfe der Gl. (70b) können w ir 1 — a auch durch die B ew ehrungsziffer ausdrückcn. D am it erhalten w ir:

(7 5b) ^<5 = i — t

1 + n„/t

Das ist aber die schon längst bekannte Gleichung für die Abm inde­

rung des Schwindens durch die Bewehrungseisen im elastischen Bereich. In den Zahlentafeln 75c und 75d sind die W erte <5 der Abm inderung des Schwindens wiederum für n„ = 6 und n 0 und für die K riechw erte m = o bis m = 5 angegeben:

8

m = ₀ 1 O _{3 4 5}

/< = 0,005 (0,5% ) 0,971 0,960 ^{0 ,9 4 0} 0,927 0,915 0,904

/ i = 0 ,0 10 (1,0 % ) 0,942 0,920 0,890 0,870 0,840 0,822 /i — 0,020 (2,0%) 0,893 0,850 0,805 0,763 0,727 0,690 /i = 0,030 (3,0% ) 0,847 0,800 o,7 4 5 0,694 0,647 0,604

W erte <5fü r n 0= 6

m = 0 1 2 _{3 4 5}

n = 0,005 (0,5%) 0,961 o^{,9 4 5} 0,925 0,9 10 0,890 0,874

H — 0,0 10 (1,0 % ) 0,924 0,890 0,860 0,830 0,802 o^{,7 5 4} H = 0,020 (2,0% ) o,S6i 0,805 o^{,7 5 5} 0,707 0,662 0,632 li = 0,030 (3,0% ) 0,806 o,7 3 5 0,670 0 ,6 13 0,562 0 ,516

E isen Poe vergrößert wird. Die zu diesen U m lagerungskräften zu­

gehörigen elastischen Dehnungen debl und decl verhalten sich natürlich wiederum wie die ursprünglichen elastischen Dehnungen

e01) und r00. D ie Größe dieser U m lagerungskräfte ergibt sich aus der Bedingung, daß in jedem Zeitpunkt £tb = f te. D as Diagram m zeigt sehr übersichtlich wie die G esam tlast P im m er m ehr au f die

(7 5<1)

W erte ⁽⁵ fü r n 0 = 8

In unseren Brückenbaubestim m ungen ist bei Lam cllenbetonierung und bei unbewehrten Gewölben ein Schw indw ert von cosT = 25 io'5 vorgeschrieben, der schon bei 0 ,5 % Bew ehrung au f cosT = 15 io '5 , also au f 6 0 % erm äßigt werden darf. Die vorstehenden Zah ­ lentafeln zeigen, daß bei einer Bew ehrung von 0 ,5 % nur eine A b ­ m inderung des Schwindens von rd. io°/0 a u ftritt und erst bei B e ­ wehrungen von rd. 3 % wird eine derartige Abm inderung auf rd.

6 0% erreicht. B erü cksich tigt m an aber, daß bei den Gewölben entsprechend den D arlegungen des A bschnitt 3 der H orizontal­

schub aus Schwinden viel zu ungünstig berechnet wird, so ist d a ­ durch ein Ausgleich gegeben; das ändert aber nichts daran, daß nach den Bestim m ungen der schwachbewehrte Bogen im V erh ält­

nis zum unbewehrten Bogen zu günstig beurteilt wird.

Ebenso wie w ir gemäß Abb. 42 im A bschnitt 3 für die Gewölbe den H orizontalschub H t m ittels Differenzenrechnung erm itteln konnten, so läßt sich auch die U m lagerungskraft P t der Säule durch Differenzenrechnung feststcllen. D er Abb. 44a und 44b liegen zwei verschiedene K riechkurven zugrunde, aber m it dem gleichen E n d ­ w ert tpn = m . Die graphische Untersuchung zeigt wiederum, daß der V erlau f der K riechkurve ohne jeden E in flu ß a u f das E nd ergeb­

nis ist, aber nur unter der Voraussetzung der G ültigkeit des Super­

positionsgesetzes der Gl. (48).

Im elastischen Bereich verteilt sich die Säulenlast P m it den Anteilen P 0b und P 0<, au f B eton und Eisen. Die zugehörigen D eh­

nungen e0b und e0e sind gleich groß. D er M aßstab fü r P 0e und wurde gleich gewählt. Infolge des K riechens des B eton s w ill sich e0b in der Zeit von t = o bis t = t n au f e0b (1 + ( f t) vergrößern. D a aber die Dehnungen der beiden in einem Verbundkörper vereinigten M aterialien Beton und E isen in jedem Zeitpun kt t gleich groß sein müssen, entstehen nun die U m lagerungskräfte d P tl und d P t2 usw., durch welche die L a s t im Beton P oh verkleinert und die E a st der

Abb. 44.

E isen übergeht und die Dehnungen «te und f tb im m er größer w er­

den, aber in jedem Zeitpun kt gleich groß sind. Ebenso wie ^{e0 [)} durch das Kriechen gemäß Gl. (47) auf e0b (1 + tpn) vergrößert wird, so vergrößert sich auch debl nach Gl. (48) auf debl (1 - f <Pn— <Pu)•

B ei der Abb. 44b ist eine andere K riech k u rve zugrunde gelegt, je ­ doch m it demselben E n d w ert <pn = m, die Ergebnisse sind genau dieselben, cs ist nur der Zeitm aßstab verzerrt. Um die Abbildungen einfach zu gestalten, wurde rpn eob nur in drei Teile eingeteilt, fü r eine genaue E rm ittlu n g m üßte eine w eiter gehende U nterteilung getroffen werden. D as hier gezeigte Verfahren der D ifferenzen­

rechnung läßt sich auch anwenden, wenn das grundlegende Gesetz der Superposition der plastischen Form änderungen der Gl. (48) nicht gü ltig ist.

b) D i e z e n t r i s c h a u f D r u c k b e a n s p r u c h t e u m s c h n ü r t e S ä u l e .

D as oben gezeigte Rechenverfahren fü r die längsbewehrte Säule läß t sich in gleicher W eise auch fü r um schnürte Säulen an ­ wenden. In diesem F a ll muß die Querdehnungszahl bekannt sein und es m üßte vorausgesetzt werden, daß Gl. (48) auch fü r das Kriechen des Betons in der Q uerrichtung gültig ist. D a meines W issens hierüber noch keine Versuche vorliegen, au f denen auf- gebaut werden kann, soll d arauf verzich tet werden, den m athe­

m atischen Ableitungen noch nicht bewiesene H ypothesen zugrunde zu legen.

c) D i e U m l a g e r u n g d e r M o m e n t e v o m B e t o n - a u f d e n E i s e n q u e r s c h n i t t b e i d e n a u f B i e ­

g u n g b e a n s p r u c h t e n S ä u l e n .

B ei der geraden Säule wird durch eine Um lagerung der B ie ­ gungsm om ente vom B eton au f das E isen die L än ge der Säulen ­ achse nicht berüh rt und infolgedessen bleibt die unter a) ge­

gebene Lösung fü r D ru ck bestehen. Die beiden Problem e der U m lagerung der D ru ck k räfte und der Biegungsm om ente vom Beton au f den E isenquerschnitt sind also vollständ ig voneinan­

der unabhängig. Unseren weiteren U ntersuchungen legen w ir eine statisch bestim m t gelagerte Säule zugrunde. Zugleich wollen w ir auch eine verschiedenartige Schwindung berück­

sichtigen, die zw ar bei den Säulen kaum in Frag e kommen dürfte, wohl aber bei den als Hohlbogen ausgebildeten Gewölben. Diese verschiedenartige Schwindung der beiden R änd er drücken wir durch eine W inkeldrehung y bezogen au f die Längeneinheit aus.

A u s der Bedingung, daß fü r ein Längenelem ent ds der Säu le die W inkeldrehungen fü r den Beton- und den Eisenquersch nitt in jedem Zeitpun kt t gleich groß sein müssen, erhalten w ir die D iffe ­ rentialgleichung fü r die Bestim m ung des unbekannten m it der Z e it veränderlichen U m lagerungsm om entes.

D ER BAU IN GENIEU R

I. OKTOBER 1937. D I S C H I N G E R , V E R F O R M U N G U N D K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N . 5 9 9 Im Zeitpunkt t = o ve rteilt sich das in einem Q uerschnitt der

Säule vorhandene Biegungsm om ent M proportional den B iege­

steifigkeiten des Beton- und Eisenquerschnittes.

(7 6)

A uf den Beton en tfällt M_Ob

wobei K b = E 0 I b A u f das Eisen en tfällt M 0„ = M

Ib K_c K

M ( x - ß ) ,

M ß , wobei K c = E e I„

und K = K b + K c .

H ierbei sind I b und I c die au f den Schw erpunkt des Verbundkör­

pers bezogenen Trägheitsm om ente; infolge des Um lagcrungsm o- m entes e n tfä llt im Zeitpunkt t:

f A uf den Beton M lb = M ob — Mt {76a)

| A u f d as E isen M t, M„ M t

Aus den Bedingungen gleicher W inkeldrehungen ergibt s ic h :

t, = t

(77)

, Ti . , r ds y d s - - + M 0b— (1

<Pn

<Pt . dMt ds

ds (M0. + iW t) ^

t , 0

(1 + <pt — <pti) d - d t j

d t K b

(77a)

D iese. D ifferentialgleichung stim m t vollständig m it Gl. (68a) überein. Dem nach ergibt sich als L ösu n g:

M t = M o b + ^ K b J f ! -ß n\ bzw.

(^{7 8})

wobei durch

Mt — M ob

M o b Kk

gleicher Weise wie bei Gl. (69) durch die spezifische Zu-

1_). Ji.

•^ob sam m endriiekung im Zeitpunkt t

wird

■'b *-0

o gegeben war. F ü r t

(78a) ■,— ßm

h

(79)

(79 a)

M,h = M»

für t :

■ M t = M„

M

= M ob[ e - ^ ‘ - f ly],

tb ~ M_ob

m M_ob(I ^{- ß m}

(80)

M,tb

w obei

M 00+ M t= [i + (1 — ß) (fty— e-^-ß<Pt) ] .

(80 a)

für t = t „

wobei

Mm r . ,

^ny— m M._ob⁽1^-

- ß ) (fny- e im) _

P—ßm

A u f die den Gl. (72) und (73) äquivalenten Gleichungen können wir verzichten, von Interesse fü r die weiteren Entw icklungen sind da­

gegen die Abm inderungen der K riechw erte und Schwindwerte der Biegungen durch die Bewehrungseisen. Entsprechend Gl. (74) er­

gibt sich der ideelle K riechw ert für Biegung infolge der Behinderung durch die Bewehrungseisen z u :

x — ß (81)

(81 a) fü r t Sobald - y =D

B

<Ptr- nnB =

( 1 — c"

-ß<pt \

(1 — e— P m) Kb

K w ird a = ß und d am it:

D xxx ti

Diese Gleichung stim m t in allen Punkten m it Gl. (68) überein und bedarf also keiner weiteren E rklärun g. H ieraus ergibt sich durch Differenzieren entsprechend der Leibnizschen Regel die D if ferential- gleichung des Problem s, wobei w ir zugleich zur A bkürzu n g— = ßK

und - j. = 1 — ß gesetzt haben.K b

(82) für t = t„

(5B =

I + Z . M ( x - e - ^ t ) , xxxxMob/

die Verdrehung des Betonquerschnittes im Zeit- punkt t = o bezogen auf die Längeneinheit gekennzeichnet ist, in

Infolge der vollständigen Übereinstimm ung der Gl. (78) m it Gl. (69) können w ir die weiteren Ergebnisse ohne jede Rechnung anschrci- bcn. W ir erhalten für das Biegungsm om ent des Betonquerschnittes im Zeitpun kt t gemäß Gl. (70):

1

F ü r das Biegungsm om ent des Eisenquerschnittes im Zeitpun kt t gem äß Gl. (7 1):

M„

(81 b)

Die Festlegung <x — ß bedingt, daß die Bewehrungseisen gleich­

mäßig in dem Betonquerschnitt verteilt sind. In diesem F a ll dürfen w ir auch bei Berücksichtigung des Kriechens m it den üblichen Glei­

chungen für exzentrischen D ruck rechnen. Wenn dagegen « und ß verschieden groß sind, dann gilt zwar sowohl für D ruck als auch für Biegung das Hookcschc Gesetz, aber für jede dieser W irkungen ist ein anderer ideeller Elastizitätsm odul maßgebend.

In gleicher W eise w ie durch die Bewehrungseisen die Schwind- und Kriechm aße herabgesetzt werden, so werden auch die W inkel­

drehungen y aus dem ungleichmäßigen Schwinden herabgem indert.

W ir erhalten entsprechend der Gl. 75:

— ß 1 — e - ^ t

ß m

w ird (pt = <pn = xix und d am it:

/c \ I ~ ß 1 — e ~ (lm

(82a) * = - ß --- m '

Die fiit die Biegungen abgeleiteten Gleichungen gelten vorerst nur für die statisch bestim m ten Säulen. Sobald jedoch der W ert ß = -j^r für den ganzen V erlau f der Säule konstant ist, dann sind die plastischen Verbiegungen proportional den elastischen und danxit bleiben die statisch uixbestinxnxten Größen unverändert.

W enn dies nicht der F a ll ist, dann ergeben sich m it der Zeit V er­

änderungen iix den statisch unbestimmten Größen. Eine Lösung m ittels der D ifferentialgleichung is t dann nur möglich, wenn die veränderliche Größe ß sich als eine Fuixktion der L änge der Säule darstellen läßt. Im allgemeinen w ird m an dann aber besser zur Differenzenrechnung greifen oder noch einfacher m it einem ge­

m ittelten W ert von ß rechnen.

d) D i e U m l a g e r u n g d e r N o r n x a l k r ä f t e u n d d e r B i e g u n g s m o m e n t e v o m B e t o n a u f d a s E i s e n b e i d e ix b e w e h r t e n E i s e n b e t o n g e w ö l b e n i n ­ f o l g e d e s K r i e c h e n s u n d S c h w i n d e n s d e s B e ­

t o n s .

Die Ausführungen der A bschnitte 5 a und 5 c über die ideellen K riechw erte für D ru ck (y °) und für B iegu ng (y®) gestatten es uns, je tzt auch an die Berechnung der bewehrten Gewölbe heran­

zugehen, bei denen durch das Kriechen und Schwinden des Betons nicht nur eine Unxlagerung der inneren K rä fte und Momente vor sich geht, sondern zugleich auch der statisch unbestim m te H ori­

zontalschub durch einen zusätzlichen H t beeinflußt wird, der m it der Zeit veränderlich ist. N ach Gl. (74) ergab sich die ideelle

Kriechfunktion für D ru ck zu : 1 -

Tii ■

und fü r Biegung nach Gl. (81) z u :

, B I I -

I + < P t i — - 3---}

■ e— a n

-ß<pt

6 0 0 D I S C H I N G E R , V E R F O R M U N G U N D K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N . DER BAUINGENIEUR i8 (i9 37) H EFT 39/40.

die Abm inderung des zentrischen Schwindens w ar nach Gl. (75) gegeben durch:

-ca 1- ^—

OL <pt

(^{3 3})

d Kv + ws T l-

+ (Hc b + 'H wb) | i : - L _ - + H

-o (p, ob

« - a?,t

— e ds cos2 <p Rh , I dHtb/ I I — a — ,, | ds co s2 <p

+ J - d t t ¿T'e J d t\J Di.

tl sa •

1 *—ß.— ßvt\ f z* ds

ß ß

t, = t

dHtb / i x — ß — ßy^\ ,, I z2 ds

+ (He + H w) i z2 ds

J

+ d t \ß dtt

Kb

Diese Gleichung entspricht vo llstän d ig Gl. (57), nur m ußten jetzt die Form änderungen aus D ru ck und Verbiegung getrennt a u f­

gestellt werden, weil für die beiden W irkungen verschiedenartige Kriechfunktionen m aßgebend sind. D a a und ß fü r alle B ogen­

querschnitte als konstant angenom m en wurde, is t:

H 0b _ H 0 Heb _ He A H ebZ _ HeZ Htb _ H t Db

He , HebZ

D usw. und J < r

D ’ Db D K b K ’ K b " - K D am it erhalten w ir durch Differenzieren nach der Z eit:

w T I fHc

- L - ( 1 _ « ) e“ * * + h o (x _ « ) e - “ ^ / §

+ (He + H w) + H t

dH

( 1 — « )e

-a) d I ds J D I ds cos2 q> I

J D + J

N un ist nach Gl. {56):

+

+ (i - z 2ds

-ß )e

K

IC

— H s

(83 a)

a. m

Die ungleichartige Schwindung, die durch den W inkel y gekenn­

zeichnet w ar und die am besten als W erfen des Gewölbes infolge ungleichartiger Schwindung bezeichnet wird, lassen w ir vorerst außer acht. Ich kom me hierauf noch gesondert zu sprechen. W ie schon im letzten A bschnitt bem erkt, g ilt sowohl für das Kriechen infolge zentrischen D ruckes als auch infolge von B iegung jeweils das Hookesche Gesetz, aber nicht fü r eine kom binierte B eanspru ­ chung durch exzentrischen D ruck, d a w ir fü r die beiden B ean spru ­ chungen verschiedene K riechfunktionen in R echnung stellen m üs­

sen. W ir erm itteln nun wieder aus der Bedingung, daß im Zeitpun kt t die Verschiebung der W iderlager ¿11 = o ist, den unbekannten m it der Zeit veränderlichen H orizontalschub H t, und zw ar be­

trachten w ir die Form änderungen des B etonquerschnittes allein.

A uf den Bogen w irken ein die N orm alkräfte infolge des statisch bestim m ten Gewölbeschubs H 0 und der statisch unbestim m ten Schübe H e, H w und H t und die zugehörigen Biegungsm om ente FIcz, H wz, H tz, von denen die Anteile H ob, H eb, FIwb, H tb und (84)

und

cos T 1

^11

dem nach ergibt sich nach D ivision durch (5U : dH H,

(1 — <x) e a7!t

+ (1 — ß) e— fift

ds cos2 q>

D z2 ds

+ i k + I 1 A

<5,, (i

K 01) c ~ a i’t I z2ds

ds cos2 rp D

h; , f z 2 d s] / H \

( 1 —« )e-

D as ist wieder eine lineare D ifferentialgleichung erster Ordnung, die w ir leicht integrieren können. B evo r w ir die Integration durch­

führen, wollen w ir zuerst den Sonderfall a = ß betrachten, fü r den die E isen gleichm äßig über dem B etonquerschnitt verteilt sind.

In diesem F a ll fä llt H c aus der Gleichung heraus.

H cbz, H wbz und H tbz entsprechend den Dehnungs- und Biege- steifigkeiten au f dem Betonquerschnitt entfallen. F ü r die D ru ck ­ beanspruchungen ist die K riechfunktion Gl. (74), für die B iegu n gs­

beanspruchungen die K riechfunktion Gl. (81) maßgebend. Eine E rm ittlu n g von H t m ittels der D ifferentialgleichung is t nur m ög­

lich, wenn w ir die Koeffizienten a und ß für die ganze Bogenlänge konstant annehmen. W enn dies nicht der F a ll ist, dann müssen w ir der Berechnung M ittelw erte von a und ß zügrundelegen. Eine wesentliche U ngenauigkeit in der Größe von H t is t m it dieser A n ­ näherung nicht verbunden. D er einfacheren R echnung wegen setzen w ir noch voraus, daß die Schwerachse des Betonbogens m it der Schwerachse des Eisenbetonbogens zusam m enfällt.

Aus der Bedingung ¿11 = o für den Zeitpu n kt t ergibt sich aus der Form änderung des Betonbogens:

dH , dt

H

Nun is t nach Gl. (74}:

(1 _{a ) 0 “ F t = a s M P =} dt _{^ 1} d a f ü r * = ß ’ * 5 = ^ = ’ ’ u

(84a) dH , TT d . , , ( TT H \ d . , + H , ^ (9Jti) + H w — — hrr(ipti) — ° ■

ds V b

d t 1 “ t d t vru/ 1 \ " w n x / d t

Diese D ifferentialgleichung stim m t aber vollständ ig m it Gl. (57) überein, nur ist die tatsächliche K riechfu nktion <pt durch die ideelle ersetzt und infolgedessen stim m en auch die Lösungen und Folgerungen m it denen der Gl. (57) überein, es ist nur in allen G lei­

chungen tpt durch y ti bzw. m durch m; zu ersetzen.

W ir kehren nun wieder zur allgem einen D ifferentialgleichung (83) zurück. E in e Vereinfachung der Lösung ergibt sich, wenn w ir bei den Einw irkungen von H c, H w und H t in üblicher W eise den E in flu ß der Bogenzusam m endrückung au f die Spannweitenände­

rung gegenüber dem E influ ß der Verbiegungen vernachlässigen, eine Vernachlässigung, die vollständ ig bedeutungslos ist. In diesem

f z2ds

Falle ist (5. _ und w ir erhalten:

(83 b) dH,

d t-l -I- H , (1 — ß) e ßlPt + (H„ + H w) (1 — ß) e ßrt H e+ ■H.

Nun w ar (1 — ß) d

-ßq>

Dem nach w ird : d H ,

und (1 — a) d

(83c) + H t-d l («pfp + (He + H w) - (VB ).d

• « n = iL ( D) d t '

H A cl

H * + i r j d t M P = ° - A us dieser Gleichung ersehen w ir sofort, daß die Lösung fü r eine W iderlagerausweichung die gleiche is t wie früher, d a die K o e f­

fizienten von H t und H w die gleichen sind | ^ , dagegen sind die Lösungen fü r Eigengew icht und für Schwinden abweichend, weil hierfür bei H t gegenüber H e und H s verschiedene K oeffizienten vorhanden sind, und w ir erkennen, daß das Kriechen infolge des W iderstandes der Bewehrungseisen auch bei unverschieblichen W iderlagern von E in flu ß sein kann. N ach Integration ergibt s ic h :

TT ---

H t = e

+ •

(S3d)

C- K w I g j (*g) A t ] + H„ 11 (

95

H , e ti ₊

+ — m j G.I 9 #

- q^) e911' dt

B

eVti d t .

DER BAUINGENIEUR

i. OKTOBER 1937. D I S C H I N G E R , V E R F O R M U N G U N D K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N . 6 0 1 D am it is t die Lösung gefunden. W ir sind zw ar nicht in der Lage,

die Quadraturen durch eine In tegration durchzuführen, jedoch können w ir fü r jede beliebige K riech k u rve die In tegrale m ittels Differenzenrechnung erm itteln. F ü r die W iderlagerverschiebung allein ergibt sich:

(83e) H t = — H lv ( i - e - ? u) .

D er Vergleich m it Gl. (58a) zeigt, daß die Lösun g für eine W iderlagerausweichung bei den bewehrten und den unbewehrten Bogen die gleiche ist, nur is t die tatsächliche K riechkurve durch die ideelle für Biegung zu ersetzen. B ei der Bogenzusam m en­

drückung und dem Schwinden dagegen sind die Lösungen v e r­

schiedenartig, das is t auch leicht verständlich, denn die B ew eh­

rungseisen leisten gegenüber dem zentrischen Kriechen weniger W iderstand als gegenüber dem Kriechen m it Biegung, wenigstens dann, wenn die Bewehrungseisen nicht gleichm äßig über dem B etonquerschnitt verteilt sind und im wesentlichen an den Rändern des Q uerschnittes angeordnet sind.

Infolgedessen m üssen w ir dam it rechnen, daß sich bei den be­

wehrten Gewölben fü r Eigengew icht und Kriechen ein ungünsti­

gerer Spannungszustand ergibt, als bei den unbewehrten Gewölben.

Auch bei den einfachsten Annahmen für das Kriechgesetz wie z. B.

94 = rpB — (linearer Verlauf) oder 94 = 9>n (1 — e l) (Exponential- funktion) führen die Integrale der Gl. (83d) auf keine elem entaren, sondern auf höhere Funktionen z. B . in der Form der un vo llstän ­ digen Gam m afunktion, so daß praktisch die Durchführung der Q uadratur nur m ittels Differenzenrechnung in Frage kom m t. F ü r die Durchführung der Q uadratur benutzt m an am besten die oben angegebene lineare K riechfunktion, w eil dam it die Rechnung am schnellsten durchzuführen ist. Die bisherigen Ausführungen haben gezeigt, daß der V erlauf der K riechku rve ohne jeden E influ ß ist, das geht auch aus Abb. 45 hervor. In Abb. 45 a is t eine ganz be­

liebige K riech k u rvc 94 aufgezeichnet. D araus kann m an nach

Gl. (74) und (81) die ideellen K riechkurven und entwickeln.

Die B ogenverkürzung z. B . aus E igengew icht im Zeitpunkt t t wäre dann gegeben durch d l (1 + 95®), weil hier der ideelle Modul für D ruck maßgebend ist. Im Zeitpun kt Q muß nun ein neuer H ori­

zontalschub d H tl auftreten, der d l (1 + 93°) wieder au f d l verk lei­

nert. Dem H orizontalschub d H tl entspricht im Zeitpunkt des E n t­

stehens die elastische Spannw eitenänderung d d lj, die sich durch das Kriechen m it fortschreitender Zeit vergrößert. D a diese Spann­

w eitenänderung dA \1 jedoch durch Biegun g erzeugt w'urde, ist für das A ufschaukeln die ideelle K riechkurve für Biegung m aß­

gebend. W ir betrachten nun nach Abb. 45 b eine zweite K riech ­ kurve <pt m it einem anderen Verlauf. Den Zeitpunkt t t legen wir so, daß 9?tl den gleichen W ert h a t wie bei Abb. 4 5a . Dann haben für diesen Zeitpunkt die ideellen K ricch ku rven Gl. (74) und (81) ebenfalls die gleichen W erte wie bei Abb. 45 a und w ir erkennen, daß der einzige Unterschied zwischen A bb. 45 a und 45 b darin be­

steht, daß der Zeitm aßstab verzerrt ist. Wenn die Em hverte von 94 (m) und dam it auch die Größtwerte m p und m ? bei den beiden A bbildungen gleich sind, dann ergeben sich bei beiden gleiche W erte d H t und d am it gleiche Lösungen der D ifferentialgleichung ohne R ü cksich t au f den V erlauf der K riechkurve. Diese Erkenntnis ist sehr wichtig, w eil w ir dadurch die A usw ertung der Integrale nur für eine beliebig gewählte K riechku rve durchführen müssen, um uns

den notwendigen A ufschluß über die W irkung der E isen bei ve r­

schiedenen Bew ehrungsziffern zu verschaffen. Diese A usw ertung soll in einer späteren E rgän zung erfolgen.

B ei unseren Bogenbrücken sind jedoch im allgem einen die Bewehrungen sehr schwach (höchstens rd. 1% ), so daß der E influ ß der Bewehrungen au f die K riechw erte 9^ und 95p an und für sich schon unbedeutend ist. D er Fehler, der sich aus dem Gleichsetzcn von 93^ = 95® ergibt (a = ß), kann also keine wesentliche Bedeutung haben, insbesondere, wrcnn w ir m it einem M ittelw ert des ideellen Kriechm aßes fü r D ru ck und B iegu n g rechnen. Die größten U nter­

schiede von a = -¡L zu ß = — tret en bei den Vollgewölben auf, aber

D K b

bei diesen w'ird eine Bcwrehrungsziffer von 0 ,5 % wohl selten über­

schritten. Z. B . ergibt sich für diese B ew ehrungsziffer bei E 0

= 350000 k g /c m 2, d. h. n 0 = 6 der W ert von a zu 0,0292 und der von ß zu 0,067 und dam it erhalten wrir aus G l. (74) und (81) für m = 3 die ideellen K riechw erte m p = 2,80 = 0,933 ’ m und m ?

= 2,54 = 0,85 • m . D er geringere K riech w ert m ? für Biegung hängt dam it zusammen, daß die am R and e des Vollquerschnitts liegenden E isen sich der Biegung wesentlich stärk er entgegensetzen als der Zusam m endrückung. D er Unterschied zwischen den beiden erm ittelten Kriechw erten b eträgt also nur rd. 8 ,5 % und liegt dem ­ nach in den Grenzen der versuchsm äßigen E rm ittlu n g der K riecli- w'erte. Stärk ere Bewehrungen als 0 ,5 % kommen im wesentlichen nur bei Hohlgewölben oder I-förm igen Querschnitten in Frage.

H ier besitzt aber sowohl der Beton- als auch der E isenquerschnitt eine sehr große Kennwerte, so daß selb st bei kräftigeren B ew eh­

rungen als 1 % die Unterschiede zwischen mP und mP kleiner sein werden als bei den obigen Beispielen.

W ir stellen deshalb fest, daß im allgemeinen die N äherungs­

berechnung auf der Grundlage a = ß bzw. mP — mP genügend genau ist, so daß w ir die Berechnung m ittels der im A bschnitt 3 entwickelten fertigen Form el durchführen können.

B ei der Aufstellung der D ifferentialgleichung (83a) haben w ir die Biegungsm om ente aus dem Abweichen der Stützlinie von der Bogenachse unberücksichtigt gelassen. N ach den entsprechenden Ausführungen im A bschnitt 3 haben diese Momente, die sich nach dem Gesetz des Minimums der Form änderungsarbeit a u f den Bogen verteilen, jedoch keinen E in flu ß au f die Spannweitenänderung, so daß die für den Stützlinienbogen entwickelten Gleichungen auch für den beliebig geform ten von der Stützlinie abweichenden Bogen

G ültigkeit haben.

6. D i e E r m i t t l u n g d e r S c h n i t t k r ä f t e b e i B e ­ t o n p f e i l e r n u n d G e w ö l b e n m i t Q u a d e r v e r ­

k l e i d u n g .

D as gleiche Problem , das w ir im vorhergehenden A bschnitt für die bewehrte B etonsäule bzw. den bewehrten Bogen gelöst haben, tr itt auch bei Betonpfeilern und -bögen auf, die durch Q uaderm auerwerk verk leid et sind. Beim A ufbringen der L a st d. h. im elastischen Bereich, verteilen sich die D ru ckkräfte und die Biegungsm om ente w ieder proportional den Dehnungs- bzw. den Biegungssteifigkeiten au f den Beton und das Q uaderm auerwerk.

F ü r den Fall, daß die federnden Elastizitätsm od u le fü r beide M aterialien gleich groß sind, ergeben sich iü r die Spannungs­

diagram m e gemäß A bb. 46 gerade Linien. In einem Zeitpun kt t dagegen is t ein T eil der L a s t und der Biegungsm om ente auf die Q uadervcrkleidung übergewandert, weil der Beton sich durch Kriechen und Schwinden verkürzt. Auch bei den Quadern w'ird ein geringes K riechen eintreten, einerseits wegen der M örtelfugen, andererseits wegen des eintretenden V erlustes an Porenw asser bei den Quadern, aber das Kriechen der Quader ist um ein Vielfaches geringer, wie das des jungen Betons. D adurch ergibt sich für zentrischen D ru ck ein Spannungsdiagram m nach A bb. 46. B ei den Biegungsm om enten aus V erkehrslast dagegen zeigen sich keine Kriech- und Schwunderscheinungen, weil dies A ugenblicksbela­

stungen sind, w ir erhalten dem nach hierfür unter der obigen Vor­

aussetzung gleicher federnder Elastizitätsm odule ein geradliniges

6 0 2 D I S C H I N G E R , V E R F O R M U N G U N D K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N . DER BAUINGENIEUR iS (1937) HEFT 39/40.

Spannungsdiagram m , durch das der zentrische D ru ck überlagert wird. W ir erkennen, daß sich hier das K riechen und Schwinden sehr günstig bem erkbar m acht. E s ergeben sich zw ar fü r die Quader w ie der Vergleich m it dem punktierten Spannungsdia­

gram m der üblichen Berechnung zeigt, hö­

here Druckspannungen, aber andererseits werden die M indestspannungen vergrößert, bzw. in m anchen Fällen Zugspannungen, die vom M auerw erk nicht aufgenom men werden können, ausgeschaltct. H andelt es sich dagegen um Biegungsm om ente aus D auer­

last, dann machen sich auch hier die K riech ­ erscheinungen bem erkbar, und zw ar wieder in einer E n tlastu n g des B etons und einer B elastu n g der Quader. D a aber mj3 < m*5 is t die U m lagerung nicht so sta rk wie bei zentrischem D ru ck (s. Abb. 46a). Durch die W ahl der B eto n art und seiner K riech ­ maße lassen sich dem nach bei verkleideten Beton pfeilem bzw. -gewölben die Zugspan­

nungen im M auerwerk beseitigen oder we­

sentlich verm indern.

belasten, dann ergibt sich aus der elastischen Verform ung ein Mo­

m ent v o n :

(^{3 5}) M l0 — M 0 = M „ + ;M n M 0 + M 2 .

v — I v — 1

Durch die elastische Verform ung tr it t also zu dem ursprünglichen M oment M 0 ein zusätzliches hinzu in der Größe vo n :

(85a) M it M „

M. M„

v — 1

l0 bezeichnen w ir das ursprüngliche Moment, m it M t0 das Moment nach der elastischen E rregu ng, das dem nach sofort nach dem A usrüsten im Zeitpunkt t = o a u ftritt und m it M t das Moment im Zeitpu n kt t, das gegenüber M t0 infolge des K riccheinflusscs weiter angewachsen ist. A nalog dazu bezeichnen w ir auch die zugehörigen Durchbiegungen m it v „ , v t0 und v t . B ei einem frei- auf liegenden B alk en konstanten Trägheitsm om entes m it der Spann­

weite a ergibt sich die dem Moment M 0 Durchbiegung z u :

■ M 00 sin 71x/a zugehörige

- H S

da a 71- E J

Ha «

V ^{e j} Wo° !

M , H v

7. D i e E r m i t t l u n g d e r z u s ä t z ­ l i c h e n B i e g u n g s m o m e n t e b e i d e n g e d r ü c k t e n B a l k e n u n d G e w ö l b e n i n f o l g e d e r e l a s t i - s c h e n u n d p l a s t i s c h e n V e r f o r m u n g . B ei der Untersuchung des D reigelenkbogens im A bschnitt 2 hatten w ir bei der E rm ittlun g des Kriccheinflusscs nur die anfäng­

liche elastische Erregung im Zeitpunkt des Ausriistens t = o in Rechnun g gestellt und die weiteren elastischen Erregungen infolge der Zunahm e der Biegungsm om ente vernachlässigt. B ei den U nter­

suchungen der statisch unbestim m ten Gewölbe im A bschnitt 3 hatten w ir dagegen die zusätzlichen Biegungsm om ente aus der plastischen und elastischen Verform ung ganz außer ach t gelassen, d. h. w ir hatten eine so hohe K n icksicherheit vorausgesetzt, daß die elastischen und plastischen Verform ungen als bedeutungslos vern ach lässigt werden konnten (vs —>-00).

B ei den tatsäch lich bei unseren Bauw erken vorhandenen Knicksicherheiten ist diese Vernachlässigung im allgemeinen je ­ doch unzulässig und w ir w erden sehen, daß sich vo r allem bei Gewölben m it Scheitelgelenken bei Knicksicherheiten, die den M indestwerten unserer Bestim m ungen entsprechen, bei gleich­

zeitig großen Kriechw erten, sehr wesentliche zusätzliche Biegungs­

momente ergeben, denen nur durch eine Erhöhung der K n ic k ­ sicherheit, durch Herabm indern der K riechw erte, durch eine späte Ausrüstung und eine lange Berieselung des Betons entgegen­

gew irkt werden kann.

Durch die elastischen Erregungen während des K riech vo r­

ganges wird die E rm ittlu n g der zusätzlichen Biegungsm om ente aus der elastischen und plastischen Verform ung und dam it die genaue Untersuchung der Gewölbe insbesondere von denen m it Scheitel- gelenken sehr erschw ert. Die Grundlage für die Untersuchungen der Gewölbe in dieser H insicht bildet die im nachfolgenden A b ­ schnitt a durchgeführtc Berechnung des gedrückten B alken s, der infolge Querbelastungcn oder anderer Ursachen durch Biegungs­

m omente beansprucht wird. Die nachstehenden D arlegungen be­

ziehen sich vorerst nur au f Biegungsm om ente, die den Knickw ellen entsprechen, aber au f Grund der Untersuchungen des Abschnittes II , 9 bestehen keine Schw ierigkeiten, die Berechnungen auch auf Biegungsm om ente m it beliebigem V erlau f auszudehnen. Hierzu müssen die tatsächlichen Biegungsm om ente als Übereinander­

lagerungen von Momenten dargestellt werden, die den einzelnen Knickw ellen entsprechen (A nalyse nach Eigenfunktionen), a) D i e z u s ä t z l i c h e n B i e g u n g s m o m e n t e d e s g e r a d e n g e d r ü c k t e n B a l k e n s i n f o l g e d e r e l a s t i s c h e n u n d p l a s t i s c h e n V e r f o r m u n g .

Wenn w ir einen Balken bei beliebigem V erlau f der T rägheits­

momente m it einem der K nicklinie entsprechenden Moment M 0

Diese G leichung g ilt jedoch auch ganz allgem ein fü r einen B alken m it veränderlichem Trägheitsm om ent, wie aus Gl. (2) Hk = —- v o hervorgeht. Setzen w ir hierbei H k — H v, wobei H die tatsächlich vorhandene D ru ck k raft und v die K n icksich erh eit ist, so folgt d a ra u s:

(86) v 0 = * L

.

Die D urchbiegung infolge des M om entes M t0 bei Berücksichtigung der elastischen Verform ung folgt aus M t0 = M 0 -)- H v t0. Also

M t0 — M „ = —— vr = H v t0 und d am it:

(86a) v t0 M n

H { v— 1) H v bzw. ^{I h i}

M„

Ebenso wie dem U rsprungsm om ent M 0 eine Durchbiegung M . H v Mto zugeordnet ist,so entspricht dem Gesam tm om ent eine von H v F ü r den elastischen Bereich is t diese P roportion alität zwischen dem Moment und der D urchbiegung nach dem H ookcschen Ge­

setz eine Selbstverständlich keit. Im plastischen Bereich is t dies, wie w ir gleich sehen v'erden, nicht m ehr der F a ll. Infolge des K riechens vergrößert sich v t0, da an Stelle des federnden je tz t der ideelle Modul — = (1 -|- <pt) tritt. Infolgedessen ergibt sich

E t E 0 fü r den Zeitpun kt t :

(86b) v ta = v t0 (1 + <pt) = v t0 + v t0 <pt .

D er In d ex a soll andeuten, daß dam it noch nicht die G esam tdurch­

biegung v t erfaß t ist, denn hierzu kom m t noch ein weiterer A nteil v tb hinzu, denn jedes D ifferential d v ta der D urchbiegung v ta be­

d in gt eine Änderung des M omentes in Größe von H d v ta. Im Mo­

m ent des Entsteh ens von H d v ta is t dies ein elastischer Vorgang, der ein zusätzliches Verform ungsm om ent in Größe von -— — d v ta

v — 1 au slöst (s. Gl. 85 bzw. 85a), das durch das spätere Kriechen noch w eiter vergröß ert wird.

B ei den Durchbiegungen v ta und den zugehörigen Momenten M ta ist also nur der E in flu ß des U rsprungsm om entes M 0 und der ersten elastischen E rregu n g berücksichtigt. D urch den Zuwachs an D urchbiegung von t = o bis t = t in Größe von v t0 tpt nach Gl. (86b) ergibt sich ein Zuw achs von H v t0<pt. Dem nach beträgt das M oment Mta im Zeitpunkt t :

(87a)

M

to + H v t0 <pt = Mtq + * M 0

M„

■ T i ■ Mo M„

1----

1 v - :<Ft

v- ^{( 1} + < P t) ■

D ER BAUINGENIEUR

i. OKTOBER 1937. D I S C H I N G E R , V E R F O R M U N G U N D K R I E C H E N D E S B E T O N S B E I B O G E N B R Ü C K E N . 6 0 3 F ü r t = t n wird rpt

(8 7) M ta

m und d am it:

M„ ( 1 + m)

W ährend die Durchbiegung v 0 infolge der elastischen und p lasti­

schen Verform ung nach Gl. (86b) au f v ta = v t0 (1 +<pt) = v 0 - - (1 -1 q>t) ansteigt, w ächst das Moment nur von M 0 auf Mta = M 0.+ +94)

i' ( n \

v~ l

= M 0 ( 1 + — I . W ir haben also keine Proportion alität mehr zwischen den Durchbiegungen und den Momenten, das hängt dam it zusammen, daß das Moment aus zwei Teilen besteht, aus einem gegebenen konstanten A nteil M 0 und einem A nteil H v ta

= - —y (fi der von den plastischen Durchbiegungen abhängig ist.

D er Vorgang des Anwachsens der Momente Mla ist in Abb. 47 dargestellt. D urch das ursprüngliche Moment M „ ergibt sich durch die elastische Verform ung ein zusätzliches M oment ~ — , das durch

M 1 , - 1

die plastische Verform ung nach Gl. (87a) au f — ■ (r + <pt) anw ächst.

IVI ^ ^

D urch das Anwachsen von — -- (1 + <pt) ergeben sich aber für jeden Zeitpun kt neue elastische Erregungen. Je d e s Anwachsen dieses Momentes bezogen au f das Zeitdifferential dt in Größe von

Mo d . . v — 1 dt

is t ein elastischer E in g riff der sofort eine elastische V erfor­

m ung und dam it nach Gl. (85a) zusätzliche Verform ungsm om ente er­

zeugt. In Abb. 47 ist dieses Erregungsm om ent, das in Zeitpunkt t 2

ausgelöst w ird m it at bezeichnet. Seine Größe ergibt sich gemäß Gl. (85a) aus dem Zuw achs von M ta = M 0 + (1 + <pt) zu

M d *’ 1

a, = t „ j\£i4 dgj- w eiteren Zunahm e der Zeit w ächst a,

1 (v — i ) 2 d t ' 1 1

durch das K riechen w eiter an. E s ergibt sich

M„ , . . d

t = TVZTfjä (1 + — <Pn) nT Tt ■dt

rechnung ohne jed e Schw ierigkeit gelöst werden, jedoch muß m an die Zeitintervalle sehr klein halten, wenn man einigermaßen genaue R esu ltate erhalten will. Im nachstehenden w ird diese Rechnung in allgem einer Form fü r ein ganz beliebiges Z citin tervall durch­

geführt und durch einen Grenzübergang zu unendlich kleinen In ter­

vallen werden dann geschlossene streng gültige Gleichungen ent­

w ickelt. D er einfacheren D arstellung wegen, m achen w ir bei der A ufstellu ng von M tb von der E rken ntnis Gebrauch, daß der V er­

lauf der K riechku rve ohne jeden E influß auf das R e su ltat ist und zw ar nehmen w ir gemäß A bb. 48 für die K riechku rve einen gerad­

linigen V erlau f an. Abb. 48 unterscheidet sich von der Abb. 47 nur durch einen verschiedenen Zeitm aßstab. Aus Gl. (87a) ergibt sich die Größe von dMta = 1 - -w (yt)~ Durch diesen Zuwachs

v — 1 dt w u

ergib t sich fü r jede Zeitdifferenz d t nach Gl. (85a) ein zusätzliches Verform ungsm om ent A

d<pt m

7———7- da;.. W irsetzen rpt— m — , dann

(r — i ) 2 t„

ist ■ = — . W ir teilen die G esam tzeit t n in q gleiche Teile ein,

dann ist A t = — und I w, = — und dam it A = —*^° -• — . Die

q q (r — i ) 2 q

erste E rregu n g ergibt sich zu ax = A . Im Zeitpunkt p ist a P= ax (1 + Tp— Ti) = A

A lso:

1 m r x

I + - ( p _ l )

( v — I)2

Im Zeitpun kt t 2 h at ;q die Größe a 2 erreicht. Durch dieses Anwachsen von a 2 zu a 2 und durch das Anwachsen von Mta i11 dem Zeitintervall von t 2 zu t 2 w ird ein weiteres E rre ­ gungsm om ent b 2 ausgelöst, das m it dem Kriechen ebenso wie a t weiter anw ächst. Desgleichen w ird im Zeitpunkt t 3 wieder ein neues Erregungsm om ent c3 ausgelöst, dessen Größe hängt ab von dem Zuw achs von M ta und von den Zuwächsen von a3 und b3 gegenüber a2 und b 2. A us diesen verschiedenen elastischen Erregu n­

gen ergibt sich dann die Momentenlinie M tb. Je d e s D ifferential dM tb setzt sich also jew eils aus drei Anteilen zusammen und zwar 1. aus dem Anwachsen der Ordinaten von a p, bp, cp usw. gegenüber a p_ i , bp_ j, cp ! u sw .; 2. von der elastischen Erregung aus dieser D ifferenz und 3. aus der elastischen E rregu n g aus dem Zuwachs dMta.

Die A ufgabe der E rm ittlu n g von M tb kann m ittels Differenzen-

a x = A (1 + o) a 2 =

A (I

^ )

a3 = A ( , m

"q

I A 111 usw. zj a = A - - .

q

Nun können w ir auch b2 berechnen:

b» = A + • — — = A ( 1 - f — A- j . v — 1 \ q i — 1/

Der erste T eil stellt dar die Erregu ng durch dM ta, der zweite die infolge zla. D em nach: bp= b2 •

A lso :

(1 + o) 1

h — A I + I m L>2

— / a

"q

—

«F II > I + 1 m

v

—

h — A I - f 1 m i — w

q

1

1 + ■

1 + 2 — 1 usw. A b = A

q

m q"