Lista tematów na egzamin licencjacki rok akad. 2019/2020
Uwagi podane w nawiasach przy większości zagadnień wskazują minimalny obowiązkowy zakres treści koniecznych do opracowanie danego zagadnienia. Uwagi do pozostałych zagadnień mogą się pojawiać sukcesywnie w trakcie zajęć z seminarium dyplomowego. Proszę zapoznać się też z dokumentem „PRZEBIEG I ZASADY EGZAMINU DYPLOMOWEGO”.
1. Zasada indukcji matematycznej. (Wypowiedzieć zasadę indukcji matematycznej (wyjaśniając wszystkie pojawiające się w niej pojęcia).
Wypowiedzieć zasadę minimum. Przedstawić twierdzenie o związku pomiędzy w/w zasadami.)
2. Relacja równoważności i struktury ilorazowe w różnych działach matematyki. (Relacja równoważności i podział zbioru. Przykłady. Zbiory ilorazowe, grupy ilorazowe, ilorazowe przestrzenie liniowe, pierścienie ilorazowe. Własności. Przykłady.)
3. Relacje i funkcje. (Relacja równoważności i jej związek z podziałem zbioru, relacja porządku. Funkcje (iniektywność, suriektywność, bijektywność), funkcja odwrotna (istnienie), łączność złożenia funkcji. Grupa przekształceń S(X) zbioru niepustego X. Własności. Przykłady.)
4. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. (Podać definicję zbioru przeliczalnego i nieprzeliczalnego. Przedstawić twierdzenia: (a) o mocy podzbioru zbioru przeliczalnego; (b) o sumie co najwyżej przeliczalnej zbiorów co najwyżej przeliczalnych; (c) o iloczynie kartezjańskim dwóch zbiorów co najwyżej przeliczalnych; (d) o nieprzeliczalności zbioru wszystkich liczb rzeczywistych (metoda przekątniowa Cantora).)
5. Struktury algebraiczne (Grupy, pierścienie, ciała). (Działanie algebraiczne (wewnętrzne). Element neutralny, element odwrotny. Własności (łączność, przemienność, rozdzielność). Przykłady. Definicje grupy, pierścienia, ciała oraz ich własności elementarne. Przykłady (Pierścień klas reszt Zn modulo n.
Ciało klas reszt Zp. Grupa symetryczna S(X), grupy liniowe GLn(F), SLn(F) nad ciałem F). Podgrupy normalne, ideały. Charakterystyka ciała.
Homomorfizmy i automorfizmy grup, homomorfizmy i automorfizmy pierścieni, homomorfizmy i automorfizmy ciał. Własności. Przykłady. Izomorficzna klasyfikacja grup cyklicznych.)
6. Przestrzenie wektorowe i iloczyn skalarny. (Iloczyn skalarny nad ciałem liczb rzeczywistych (przestrzeń euklidesowa). Iloczyn skalarny nad ciałem liczb zespolonych (przestrzeń unitarna). Własności. Norma i jej własności, przykłady. Bazy ortonormalne i proces Grama-Schmidta. Dopełnienie ortogonalne do podprzestrzeni. Własności. Przykłady.)
7. Przestrzenie wektorowe i odwzorowania liniowe. (Definicje przestrzeni liniowej i odwzorowania liniowego. Własności i przykłady. Liniowa zależność.
Liniowa niezależność. Liniowe domknięcie układu wektorów. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Własności. Przykłady. Związek odwzorowań liniowych z macierzami. Diagonalizacja macierzy. Przykłady. )
8. Macierze i wyznaczniki. (Definicja macierzy, działania na macierzach. Rząd macierzy. Własności. Przykłady. Definicja wyznacznika stopnia n. Własności wyznaczników. Przykłady. Rozwinięcie Laplace’a. Macierz odwrotna.
Jedyność, istnienie i przykłady.)
9. Układy równań liniowych. (Definicja układu równań liniowych (jego macierz główna, macierz rozszerzona, rozwiązanie szczególne, rozwiązanie ogólne).
Metoda eliminacji Gaussa. Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego. Układy Cramera. Struktura ogólnego rozwiązania jednorodnego układu równań liniowych. Związek rozwiązań niejednorodnych układów równań liniowych z rozwiązaniami odpowiednich jednorodnych układów równań liniowych.)
10.Wartości i wektory własne. (Definicje wartości własnej i wektora własnego.
Istnienie. Postać Jordana macierzy, warunki istnienia. Jedyność. Własności.
Przykłady.)
11.Liczby zespolone. (Postaci liczb zespolonych: algebraiczna, trygonometryczna, macierzowa, wykładnicza. Moduł i argument liczby zespolonej. Interpretacja geometryczna. Potęgowanie (wzór de Moivre’a) i pierwiastkowanie liczb zespolonych. Własności. Przykłady.)
12.Metoda analityczna w geometrii - równania prostych, płaszczyzn, stożkowych. (Wektory zaczepione i wektory swobodne. Działania na wektorach swobodnych. Własności. Przykłady. Równania płaszczyzny (ogólne, parametryczne, przechodzącej przez trzy punkty). Równania prostej w przestrzeni (kierunkowe, parametryczne, przechodzącej przez dwa punkty).
Odległość punktu od płaszczyzny. Odległość punktu od prostej. Kąty między prostymi, między płaszczyznami, między płaszczyzną a prostą. Przykłady.
Równania prostej na płaszczyźnie (ogólne, kierunkowe, parametryczne, w postaci ze współczynnikiem kątowym, przechodzącej przez dwa punkty).
Przykłady.)
13.Wybrane metody numeryczne. (Metoda bisekcji – opis, prosty przykład kilku iteracji metody bisekcji, zastosowania, oszacowanie błędu (bez dowodu).
Interpolacja na przykładzie interpolacji Lagrange’a – opis metody interpolacji, definicja wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a (można podać def. wielomianów generujących wielomian Lagrange’a i wzór na współczynniki lub gotowy wzór na wielomian interpolacyjny Lagrange’a, oszacowanie błędu).)
14.Własności topologiczne podzbiorów przestrzeni Rn. (Definicja własności topologicznej. Definicje zbioru zwartego i zbioru spójnego w przestrzeni metrycznej. Twierdzenie Heinego-Borela. Twierdzenie charakteryzujące zbiory spójne na prostej rzeczywistej. Twierdzenie charakteryzujące otwarte zbiory spójne w Rn).
15.Przestrzeń metryczna. (Definicje metryki i przestrzeni metrycznej.
Podstawowe przykłady metryk: euklidesowa, Manhattan i maksimum w Rn, dyskretna i Hamminga, supremowa w przestrzeniach funkcji ograniczonych.) 16.Granica ciągu i granica funkcji. (Definicja granicy ciągu, twierdzenie o
trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Definicja granicy funkcji według Cauchy’ego i Heinego, przykłady granic specjalnych, ciągłość funkcji, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów, własność Darboux.)
17.Odwzorowania ciągłe. (Cauchy’ego i Heinego definicje ciągłości w punkcie – dla odwzorowań działających między przestrzeniami metrycznymi. Ciągłość
odwzorowania, przeciwobrazy zbiorów otwartych. Funkcja Dirichleta.
Przykład ciągłej bijekcji z nieciągłym odwzorowaniem odwrotnym.)
18.Pochodna funkcji jednej zmiennej. (Definicja pochodnej funkcji, ciągłość funkcji różniczkowalnej, twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a.)
19.Badanie przebiegu funkcji. (Etapy badania przebiegu funkcji; asymptoty, monotoniczność, ekstrema.)
20.Pochodne cząstkowe i ekstrema funkcji wielu zmiennych. (Pochodne kierunkowe, cząstkowe. Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej. Wzór Taylora.
Warunek konieczny oraz warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego co najmniej dla dwóch zmiennych.)
21.Szeregi liczbowe i funkcyjne. (Definicja szeregu; szereg geometryczny;
warunek konieczny; kryteria: porównawcze, d’Alemberta, Cauchy’ego, Leibniza; zbieżność bezwzględna. Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa, szereg potęgowy i promień zbieżności.) 22.Całka funkcji jednej zmiennej. (Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona;
interpretacja geometryczna całki oznaczonej; całkowalność funkcji ciągłej, wzór Newtona-Leibniza.)
23.Całka funkcji wielu zmiennych. (Definicja całki Riemanna po przedziale.
Twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej. Twierdzenie Fubiniego dla całki Riemanna. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Całka we współrzędnych biegunowych, walcowych, sferycznych.)
24.Równania różniczkowe pierwszego rzędu całkowane elementarnie.
(Równanie o zmiennych rozdzielonych. Równanie liniowe I rzędu. Równanie zupełne. Czynnik całkujący.)
25.Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.
(Definicja i własności macierzy fundamentalnej oraz jej związek z rozwiązaniem ogólnym jednorodnego układu równań różniczkowych liniowych I rzędu ze stałymi współczynnikami; - definicja i własności macierzowej funkcji wykładniczej exp(tA), w szczególności jej wykorzystanie do rozwiązania problemu początkowego dla jednorodnego układu równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach; - rozwiązanie niejednorodnego układu równań różniczkowych liniowych I rzędu metodą uzmienniania stałych.)
26.Kombinatoryka i zliczanie obiektów kombinatorycznych. (Rozmieszczenia uporządkowane. Zliczanie permutacji tego samego typu. Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju. Zasada włączania - wyłączania. Liczby Stirlinga drugiego rodzaju.)
27.Modelowanie problemów dyskretnych przy użyciu teorii grafów.
(Wyznaczanie minimalnego drzewa spinającego (algorytmy Prima i Kruskala). Wyznaczanie drogi minimalnej w grafie i digrafie (algorytmy Dijkstry). Wyznaczanie drogi minimalnej w pewnej klasie digrafów (algorytm Bellmana).)
28.Przestrzeń probabilistyczna. (Definicja przestrzeni probabilistycznej i własności prawdopodobieństwa. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, wzór Bayesa.)
29.Dyskretne i ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa. (Co najmniej 3 przykłady rozkładów dyskretnych i ciągłych, rozkład normalny.)
30.Twierdzenia graniczne i prawa wielkich liczb. (Twierdzenie Moivre'a- Laplace'a, Lindeberga-Levy'ego, słabe i mocne prawo wielkich liczb.)
31.Szacowanie wartości nieznanych parametrów rozkładu (estymacja).
(Pojęcie estymatora, nieobciążoność, zgodność, metoda największej wiarygodności.)
32.Sprawdzanie poprawności przypuszczeń na temat rozkładu (weryfikacja hipotez statystycznych). (Schemat testowania hipotezy, błędy pierwszego i drugiego rodzaju, moc testu, testy dla wartości oczekiwanej i wariancji.)
