Zależność symetrii relacji „leżenia między”’ w rozmaitych układach aksjomatów geometrii euklidesowej

H. M

(Toruń)

Zależność symetrii relacji „leżenia między”’

w rozmaitych układach aksjomatów geometrii euklidesowej

Klasyczne już aksjomaty geometrii euklidesowej wypowiedziane przez Hilberta nie są sformułowane zbyt precyzyjnie i w przypadku formalizowania tej teorii pozostawiają pewną swobodę ich interpretacji.

W związku z tym istnieje pewna ilość różnych układów aksjomatów uporządkowania, które można uznać za uściślone aksjomaty Hilberta.

W niektórych takich układach aksjomat głoszący symetrię relacji „le­

żenia między” jest zależny. Dla pojedynczych układów pokazano to w pracach [2] i [4]. Tutaj, nawiązując do problemu nr 3 z pracy [3], prze­

prowadzam dowód ogólny dla 16 rozmaitych aksjomatyk. Pomiędzy nimi znajduje się także aksjomatyka podana w pracy [1 ], a dowód mój dla tej aksjomatyki jest prostszy od analogicznego dowodu zamieszczo­

nego w pracy [2].

W zakończeniu pracy podaję pewien uboczny wynik dotyczący możliwości uproszczenia aksjomatyki Hilberta.

W pracy posługuję się terminologią stosowaną w pracach [2], [3]

i [4]. Przypomnę, że relację „leżenia między” oznaczono tam literą /5.

(Wyrażenie j3(ABC) oznacza: punkt В leży między punktami 1 i O.) Eelację „incydencji” oznaczam symbolem e, relację „współhniowości”

literą c. (Wyrażenie c(ABC) oznacza, że punkty A , B, G są współliniowe.) Przez A w В oznaczam prostą, łączącą punkty A , B ) przez a r^b punkt przecięcia prostych a i b. Poza tym stosuję znaki logiczne.

A oto zapowiedziane aksjomaty uporządkowania, które otrzymamy przy rozmaitych formalizacjach systemu Hilberta:

Ux : Jeżeli fi (ABC), to punkty А , В, C są współliniowe i różne.

TT 2 : Jeżeli (3(ABC), to fi(CBA).

U31: Jeżeli (3(ABC), to ~| fi (ВАС).

U32: Jeżeli fi(ABC), to ~\fi(CAB).

U33: Jeżeli p(ABC), to ~]p(ACB).

U34: Jeżeli (3(ABC), to ~)(3(BCA).

Prace Matematyczne IX . l 4

50 H. Makowi ecka

U41: Jeżeli А ф В , to istnieje punkt C taki, że fi {ABC).

U42: Jeżeli А ф В , to istnieje punkt C taki, że P(CAB), (l(AbC) = istnieje taki punkt B, że Beb, P(ABC) i b Ф A ^ C . U61: Jeżeli ~\c{ABC) i C~]eq, to zachodzi wynikanie:

P(AqB) -> P{BqC)vP(AqC).

U62: Jeżeli ~\c(ABC) i C~]eq, to zachodzi wynikanie:

P(AqB) -> P(CqB)vp(CqA).

Jak widać, zostały tu wyczerpane wszystkie możliwości permutacji liter A , B , C w aksjomacie U3, które nie prowadzą do sprzeczności z systemem Hilberta. Podobnie ma się rzecz z aksjomatem U4, w którym wy czerpano wszystkie permutacje liter, prowadzące do istnienia punktu zewnętrznego.

Oznaczmy układy (Uj, U3ł, U4#, U5fc) odpowiednio przez symbo­

le ( i , j , k ) (i = l , 2 , 3 , 4 ; j = l , 2 ; к = 1 , 2 ) . Jak widać, jest ich łącz­

nie 16. Można jednak uprościć dalsze rozważania opierając się na nastę­

pującym spostrzeżeniu: Aksjomat U32 po zastosowaniu do niego prawa kontrapozycji przyjmie postać: Jeżeli p(CAB), to ~1 f>(ABC). Jest ona równoważna aksjomatowi U34. Podobnie z aksjomatu TJ 34 wynika na zasadzie kontrapozycji U32, co dowodzi równoważności tych aksjomatów.

Dlatego aksjomat U 34 będzie w dalszym ciągu pracy pomijany.

Zredukowawszy w ten sposób ilość rozpatrywanych układów przy­

stępujemy do zasadniczego twierdzenia pracy.

T

1. Aksjomat U2 wynika z każdego z układów ( i , j , l ) (г = 1 , 2 , 3; j = 1 , 2 ) .

L

1 . W układach ( i , j , l ) {i — 1, 2 , 3 ; j = 1, 2) dla dowolnej prostej q i leżącego na niej punktu A , można znaleźć takie punkty P , Q , R , S , leżące poza prostą ą, że spełniona jest koniunkcja: P(APQ)

P(RSA).

D o w ó d . Istnienie punktów P , Q w układach (г, 1 , 1 ) i punktów R , S w układach (г, 2 , 1 ) (г = 1 , 2 , 3 ) jest łatwe do wykazania. Jako punkty P i S przyjmujemy dowolne punkty leżące poza prostą q (a za­

tem różne od A ); istnienie punktów Q i R wynika odpowiednio z U41 lub U42. (Oczywistym jest, że tak dobrane punkty Q i R nie leżą na prostej q.)

Aby wykazać istnienie punktów R, 8 w. układach —(г, 1 , 1 ) (i =

= 1 , 2 , 3 ) znajdujemy na prostej q dowolny punkt В Ф A i poza tą prostą dowolny punkt C (istnienie punktów В i C wynika z aksjomatów incydencji). Stosując dwukrotnie aksjomat IJ41 otrzymujemy kolejno punkty D i F, spełniające związki P(CBD) i P(ADF).

Dla punktów C , D , A mamy, na podstawie TJ 51, wynikanie:

P(CBD) -> p{C, B ^ P , A) vf i { D, B ^ F , A )

(rys. 1). Oznacza ono istnienie punktów R i 8, którymi są odpowiednio G i (

В w J ) л ( 1 u C) = G lub D i (Б w У) л ( 1 u P ) = F. (Znajdo­

wanie się punktów G,G, D, F poza prostą q wynika łatwo ze związków:

Aeq, Beq,C~\eq, P(CBD), P(ADF).)

Aby wykazać istnienie punktów P , Q w układach (i, 2, 1 ) (i = 1 , 2 , 3) znajdujemy, podobnie jak poprzednio, takie punkty B, G, że Beq, В Ф A i C~]sq oraz takie punkty E i G, że P(EBA) i p(GEG) (przy czym korzystamy dwukrotnie z U42).

Dla punktów A , E , C i A , E , G mamy, na podstawie US1, wynikania:

p(EBA) p(E, G ^ B, G)vft(EGG), p(EBA) в( А, G ^ B,G)vp(EGG).

Ponieważ, jak łatwo wykazać, koniunkcja (3(GEG)

P(EGG)

ft(EGG) jest sprzeczna z każdym z aksjomatów TJ31, U 32 i U33 widzimy, że zacho­

dzi bądź /5 ( A , G ^ В , (7), bądź p ( A , G w В , G), a zatem istnieją punkty P i spełniające związek P(APQ) (rys. 2). Łatwo wykazać, że punkty

te nie leżą na prostej q. Wystarczy zwrócić uwagę na związki: G~\sq, Asq, Bsq, P(GEG), Eeq (ten ostatni związek wynika z Ux i p(EBA)).

L

2. Dla dowolnych różnych 'punktów A , В można znaleźć ta­

kie trzy różne punkty P , Q , R, że spełniony jest jeden z następujących warunków:

(1) ~\p (ABR)

(QPR) л c (ABR)

c (QPR) л ~\c (ABQ), (2) ~\p(QBR) л ~\p(APR)

c(QBR)

(APR)

~|c (ABQ) .

D o w ó d . Oznaczmy prostą A w В literą d.

W układzie (1 , 1 , 1 ) stosując U41 dla punktów А , В otrzymujemy

taki punkt R, że fi (BAR). Z kolei przez zastosowanie lematu 1 dla pros­

52 H. Makowi ecka

tej d i punktu R wnioskujemy o istnieniu punktów P , Q spełniających związki: fi{PQR) i Иc{ABQ). Związki fi {BAR) i fi{PQR) dają w oparciu 0 U 31 ~\fi{ABR) i —\fi{QPR), a przez zastosowanie Ui dają c{ABR) 1 c{QPR). A zatem punkty P , Q , R spełniają warunek (1).

W układzie ( 1 , 2 , 1 ) stosując lemat 1 dla prostej d i punktu В otrzy­

mujemy punkty Q , R takie, że fi{BQR)A ~\e(ABQ) i następnie przez zastosowanie U42 punkt P taki, że fi {PAR). Związki te w oparciu o U31 i Ux dają warunek (2).

W układzie ( 2 , 1 , 1 ) , stosując lemat 1 dla d , A , uzyskujemy punk­

ty P, R takie, że fi {PRA)

~\c{ABR) i w oparciu o U41 punkt Q taki, że fi{BRQ). Oczywiście warunki —\c{ABR) i fi{BRQ) dają z uwagi na TJi

~lc{ABQ).

Podobnie w układzie ( 2 , 2 , 1 ) mamy związki: fi{BRQ)A ~\c{ABQ) (lemat 1 dla d, B) oraz fi{PRA) (U42 dla R , A ) . Przez zastosowanie U32 i Uj otrzymujemy warunek (2) w obu ostatnio rozpatrywanych ukła­

dach.

Wreszcie w układzie ( 3 , 1 , 1 ) mamy związki: fi{QRB)A ~\c{ABQ) (lemat 1 dla d, B) i fi{ARP) (TT41). W układzie ( 3 , 2 , 1 ) związki:

fi{ARP)A ~\c{ABR) i fi{QRB), uzyskane przez kolejne zastosowanie lematu 1 dla d, A i U42 dla R , B , dają ~~\c{ABQ). Stosując U33 i U j W układach ( 3 , 1 , 1 ) i (3, 2 , 1 ) otrzymamy w obydwu punkty P , Q , R spełniające warunek (2).

L

3. W układach {i, j , 1 ) {i = 1 , 2 ,3 ; j = 1 , 2) dla dowolnych dwu różnych punktów А i В można znaleźć taki punkt D i taką prostą e, że zachodzą związki:

~]fi{AeB), ~]fi{DeA), Bee, A~]ee, B~]ee oraz ~]c{ABB).

D o w ó d . Na podstawie lematu 2, istnieją punkty P , Q , R , które łącznie z punktami А, В spełniają warunek (1) lub (2) lematu 2. Ozna­

czmy: P w В = e, Q = D . Widocznym jest, że B ee, A ~ |ee, D~\ee i —\c{ABB). Wynika to zarówno z warunku (1) jak i z warunku (2) le­

matu 2. Tak dobrane prosta e i punkt В spełniają zatem cztery ostatnie związki lematu 3. Załóżmy, że nie spełniają któregoś z dwu pierwszych związków, czyli zachodzi bądź fi{AeB) bądź fi{BeA). Każdy z tych związ­

ków daje, przez zastosowanie U 51 dla trójki A , B , R , fi{AeR) v fi{BeR) lub inaczej f i { A, P w B, R) v f i { Q, P ^ B, R). (Niewspółliniowość punk­

tów A , B , R wynika tak z warunku (1) jak i z warunku (2) lematu 2.) Jeżeli punkty P , Q , R spełniają warunek (1) lematu 2 alternatywa powyższa przyjmie postać fi { A, B, R) v fi{QPR). (By to wykazać wystar­

czy zwrócić uwagę na związki c{ABR) i c{QPR)y z których wynika, że

В — {A w R) r^{P

B ) i P = (Q ^ R) (P w B). Alternatywa w tej postaci

jest jednak sprzeczna z warunkiem (1 ) lematu 2, który punkty P , Q , R

za-

łożenia spełniają (rys. 3). Podobnie, jeśli założymy, że punkty P , Q, R speł­

niają warunek (2) lematu 2 rozpatrywana alternatywa, z uwagi na współ- liniowość A , P , R i Q , B , R przyjmie postać fi(A, P , R)vfi(Q, В , R) (rys. 4). Postać ta również prowadzi do sprzeczności z warunkiem (2).

A zatem założenie, że którykolwiek ze związków w lemacie 3 nie jest spełniony, prowadzi do sprzeczności.

D o w ó d t w i e rd ze ni a . Niech A , B , G będą dowolnymi punktami, spełniającymi fi (ABC). W myśl lematu 2, istnieją punkt D i prosta e, spełniające łącznie z A i В warunki tego lematu (rys. 5).

Dla punktów A , D , C mamy, na podstawie U51, wynikanie:

fi (ABC) fi(CeD) v fi (AeD).

Druga część alternatywy następnika jest jednakże sprzeczna z określe­

niem prostej e. Pierwsza, przez zastosowanie US1 do tej samej trójki

punktów daje alternatywę fi(CBA)v fi (DeA) , z której, po uwzględnieniu

definicji prostej e, otrzymujemy fi(CBA), czyli tezę twierdzenia.

54 H. M a k o w i e c k a

W

1. Aksjomat U2 wynika także z każdego układu ( i , j , 2) (i = 1, 2, 3; j = 1 , 2 ) .

Aby wykazać nasz wniosek określmy nową relację a przez równo­

ważność a(ABC) = fi(CBA) i wyraźmy przy jej pomocy wszystkie aksjomaty uporządkowania. Zauważymy wówczas, że systemy ( 3 , j , 2 ) przybiorą postać analogiczną do systemów (1 , г , 1 ) (i, j = 1 , 2; i Ф j).

Podobnie systemy ( l , j , 2 ) będą tej samej postaci co systemy ( 3 , г , 1 ) (i, j = 1 , 2 ; i =£j). Po uwzględnieniu równoważności aksjomatów U32 i U34 systemy (2 , i, 2) przyjmą postać systemów (2 , j , l ) ( i , j = 1 , 2 ; i T^j). Stąd, w oparciu o twierdzenie 1 , wnioskujemy, że w każdym z tych systemów zachodzi a(ABC) -> a(CBA), lub też wracając do po­

przedniego znakowania fi (GBA) -> (5(ABC), co jest równoważne aksjo­

matowi TJ2.

W

2. Wszystkie układy ( i , j , k ) (г = 1 , 2 , 3 , 4 ; j = 1 , 2 , 3 ; к — 1 , 2) są nawzajem równoważne.

Równoważność 16 rozpatrywanych układów wynika z symetrii relacji „leżenia między” (wystarczy zwrócić uwagę na ich kształt). Stąd wniosek 2 jest prostą konsekwencją twierdzenia 1 i wniosku 1 .

W zakończeniu pracy podam dwie proste aksjomatyki, w których usunięto aksjomat U3, a w zamian za to wzmocniono aksjomat Pascha.

Oznaczmy symbolem UŚ następujący aksjomat:

UŚ: Jeżełi ~[c(ABC) i G~\eq oraz fi(AqB) , to zachodzi dokładnie jedna z dwu możłiwo.ści: fi(BqC) łub fi(AqC).

T

2. Aksjomat U2 wynika z każdego z układów (IJ1, и 4г, Uj) (i = 1 , 2).

D o w ó d . Załóżmy, że punkty A , B , C spełniają związek fi (ABC) i znajdźmy takie punkty F , D by zachodziła zależność fi(DFC). W ukła­

dzie (U1? U42, UŚ) obieramy F dowolnie, D w oparciu o U42. W ukła­

dzie (Uj, U41, UŚ), musimy powtórzyć krótki dowód istnienia punktów R, S z lematu 1 (dowód ten nie opierał się na aksjomacie U3; aksjomat U51, który tam zastosowano jest oczywiście słabszy od UŚ).

Obecnie rozważmy dwa przypadki:

P r z y p a d e k 1. Proste A w D i В w F nie przecinają się (rys. 6).

Stosując UŚ dla trójki C , D , A i prostej В u F otrzymujemy wynikanie fi(DFC) -> fi(CBA), które daje nam tezę twierdzenia.

P r z y p a d e k 2. Proste A w В i В w F przecinają się (rys. 7).

Oznaczmy: (A w JD) (B ^ F) — E . Mogą zaistnieć dwie możliwości 1 ) fi (DE A), 2) “ 1 fi(DEA).

Pierwsza z nich przez zastosowanie UŚ dla trójki A , D, C i prostej

В w F pozwala wywnioskować, że zachodzi dokładnie jedna z możh-

wości fj(ABC) lub p(DFC), co jest sprzeczne z założeniem, że zachodzą obie.

Druga, z uwagi na wynikanie otrzymamy stosując US1 dla trójki C.

czyli tezę twierdzenia. (U51 wynika

P(DFC) -> j3(DEA)vp(CBA), które D , A i prostej F w B, daje /3(CBA), oczywiście z Uj.)

Prace cytowane

[1] K . B o rsu k i W . S z m ie le w , Podstawy geometrii, Warszawa 1955.

[2] L. D u b i k a j t i s , Uwagi o hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania i jej modyfikacjach, I , Prace Mat. 8 (1963), str. 71 -8 0 .

[3] — Uwagi o hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania i jej modyfikacjach, I I , Prace Mat. 8 (1963), str. 8 1 -9 1 .

[4] A . L e w a n d o w s k i, Pewna modyfikacja hilbertowskiej aksjomatyki uporząd­

kowania, Prace Mat. 8 (1963), str. 9 3 -9 7 .

H. Ma k o w i e c k a (Toruń)

ON T H E D E P E N D E N C E OF T H E A X IO M OF S Y M M E T E Y FO E TH E B E T W E E N N E S S E E L A T IO N IN D IF F E E E N T SYSTEM S

OF A X IO M S OF E U C L ID E A N O E О М Е Т Е Y

S U M M A R Y

The author considers 16 systems of axioms of order which arise from different formalizations of Hilbert axioms of Euclidean geometry. She demonstrates that in each of those systems the axiom concerning the symmetry of the betweenness relation is dependent.

This result is a generalization of those obtained by L. Dubikajtis [2] and A. Lewandowski [4], who demonstrated the dependence of the axiom of symmetry in two particular systems.