Zadanie MK 1

Mechanika Kwantowa ^∗

Maciej J. Mrowi´ nski 24 grudnia 2011

Zadanie MK 1

?

Funkcja falowa opisuj˛ aca stan pewnej cz˛ astki w chwili t = 0 ma nast˛epuj˛ac˛aposta´c:

Ψ(x,0) =

 A(a ² − x ² ) gdy x ∈ [−a,a]

0 gdy x /∈ [−a,a]

gdzie a ∈ R ₊ . Wyznacz stał˛ a A. Jakie jest ´srednie poło˙zenie i p˛ed cz˛ astki w chwili t = 0?

Odpowied´z: A = q

15

16a

, 〈x〉 = 0, 〈 p〉 = 0

Zadanie MK 2

?

Funkcja falowa opisuj˛ aca stan pewnej cz˛ astki ma nast˛epuj˛ ac˛ a posta´c:

Ψ(x, t) = Ae ^{−λ|x|−iωt}

gdzie λ ∈ R ₊ , ω ∈ R ₊ . Wyznacz stał˛ a A. Jakie jest ´srednie poło˙zenie i ´sredni kwadrat poło˙zenia cz˛ astki?

Odpowied´z: A = p

λ, 〈x〉 = 0, 〈x ² 〉 = _2λ ¹

Zadanie MK 3

?

0 a

Wyznacz unormowane stany stacjonarne i dozwolone warto´sci energii dla cz˛ astki

znajduj˛ acej si˛e w niesko´ nczonej studni potencjału o szeroko´sci a (patrz rysunek) przy

zało˙zeniu, ˙ze energia cz˛ astki E > 0.

Zadanie MK 4

?

Iloczyn skalarny dwóch funkcji falowych Ψ ₁ i Ψ ₂ mo˙ze zosta´c zdefiniowany w na- st˛epuj˛ acy sposób:

(Ψ ₁ ,Ψ ₂ ) = Z

Ψ ^∗ ₁ Ψ ₂ dx

przy czym granica tej całki zale˙zy od kontekstu (na przykład dziedziny lub okresu funkcji Ψ ₁ i Ψ ₂ ). Wyka˙z, ˙ze tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest odwzorowaniem addytywnym wzgl˛edem obu parametrów:

(Ψ ₁ , Ψ ₂ + Ψ ₃ ) = (Ψ ₁ , Ψ ₂ ) + (Ψ ₁ , Ψ ₃ ) (Ψ ₁ + Ψ ₃ ,Ψ ₂ ) = (Ψ ₁ , Ψ ₂ ) + (Ψ ₃ , Ψ ₂ ) Wyka˙z równie˙z, ˙ze zachodz˛ a nast˛epuj˛ ace równo´sci:

(Ψ ₁ , c Ψ ₂ ) = c (Ψ ₁ , Ψ ₂ ) (cΨ ₁ , Ψ ₂ ) = c ^∗ (Ψ ₁ , Ψ ₂ ) dla dowolnego c ∈ C.

Zadanie MK 5

?

Dyskretn˛ a baz˛ a ortonormaln˛ a nazywamy zbiór funkcji {u _n (x)} (u _n : R → C, n ∈ Z), pomi˛edzy którymi zachodzi, mi˛edzy innymi, nast˛epuj˛ aca zale˙zno´s´c (ortonormal- no´s´c):

u _n , u _m

= δ _n,m

Wyka˙z, ˙ze rozwi˛ azania niezale˙znego od czasu równania Schrödingera dla cz˛ astki w niesko´ nczonej studni potencjału (zadanie MK 3) spełniaj˛ a ten warunek.

Zadanie MK 6

?

Załó˙zmy, ˙ze funkcje falowe Ψ ₁ (x, t) i Ψ ₂ (x, t) s˛a rozwi˛azaniami równania Schrödin- gera. Udowodnij, ˙ze funkcja falowa Ψ ₃ (x, t) b˛ed˛aca ich liniow˛akombinacj˛a:

Ψ ₃ (x, t) = c ₁ Ψ ₁ (x, t) + c ₂ Ψ ₂ (x, t)

gdzie c ₁ ∈ C i c ₂ ∈ C to dowolne stałe, jest równie˙z rozwi˛azaniem równania Schrödin- gera. Ile b˛ed˛ a wynosiły iloczyny skalarne (Ψ ₁ , Ψ ₃ ), (Ψ ₂ ,Ψ ₃ ) i (Ψ ₃ , Ψ ₃ ), je˙zeli funkcje falowe Ψ ₁ i Ψ ₂ s˛ a ortonormalne (zadanie MK 5)?

Odpowied´z: (Ψ ₁ , Ψ ₃ ) = c ₁ , (Ψ ₂ , Ψ ₃ ) = c ₂ , (Ψ ₃ , Ψ ₃ ) = |c ₁ | ² + |c ₂ | ² (tu warto zauwa˙zy´c,

˙ze jest to z definicji całka kwadratu modułu Ψ ₃ )

Najbardziej ogólne rozwi˛ azanie równania Schrödingera, z uwagi na jego liniowo´s´c, dla cz˛ astki w niesko´ nczonej studni potencjału (zadanie MK 3) mo˙ze zosta´c przedsta- wione jako superpozycja wielu stanów stacjonarnych (zadanie MK 6):

Ψ(x, t) = X

n

c _n Ψ _n (x, t)

gdzie Ψ _n (x, t) to n-ty stan stacjonarny, a c _n ∈ C to pewna stała (waga). Załó˙zmy,

˙ze dla pewnej cz˛astki w niesko´nczonej studni potencjału o szeroko´sci a (V = 0 gdy x ∈ [0, a], V = ∞ gdy x / ∈ [0, a]) kształt funkcji falowej w chwili t = 0 dany jest w nast˛epuj˛ acy sposób:

Ψ(x,0) = Ax(a − x)

Wyznacz dla tej cz˛ astki stał˛ a A i poszczególne warto´sci współczynników c _n . Pod- powied´z: przy wyznaczaniu c _n nale˙zy skorzysta´c z ortogonalno´sci stanów stacjo- narnych (patrz zadania MK 5, MK 6) - problem ten jest analogiczny do wyznaczania współczynników wektora w pewnej ortonormalnej bazie (gdy˙z, w istocie, jest to dokładnie wyznaczanie współczynników wektora w pewnej ortonormalnej bazie - naszym wektorem jest funkcja falowa a baz˛ a poszczególne stany stacjonarne).

Odpowied´z: A = q

30 a

, c _n =

( 8 p 15

(nπ)

gdy n jest nieparzyste 0 gdy gdy n jest parzyste

Zadanie MK 8

?

Po jakim czasie cz˛ astka w niesko´ nczonej studni potencjału znajdzie si˛e znowu w sta- nie pocz˛ atkowym:

Ψ(x,T ) = Ψ(x,0)

je˙zeli w chwili pocz˛ atkowej znajdowała si˛e w dowolnym stanie Ψ(x,0) (niekoniecznie stacjonarnym)?

Odpowied´z: T = ^4ma

Zadanie MK 9

?

Wyznacz wzór na pr˛ ad prawdopodobie´ nstwa j (x, t):

j (x, t) = ħh 2mi

‚ Ψ ^∗ ∂ Ψ

∂ x − ∂ Ψ ^∗

∂ x Ψ

Œ

ró˙zniczkuj˛ ac g˛esto´s´c prawdopodobie´ nstwa |Ψ| ² po czasie i u˙zywaj˛ ac równania Schrödin-

gera do zamiany pochodnych na pochodne po poło˙zeniu.

Zadanie MK 10

?

Wyznacz pr˛ ad prawdopodobie´ nstwa (zadanie MK 9) dla funkcji falowej:

Ψ(x, t) = Ae ^{±i k x−iωt}

Odpowied´z: j (x, t) = ± ^{ħh k} _m |A| ²

Zadanie MK 11

?

Wyznacz pr˛ ad prawdopodobie´ nstwa (zadanie MK 9) dla cz˛ astki w niesko´ nczonej stud- ni potencjału o szeroko´sci a (zadanie MK 3), je˙zeli cz˛ astka znajduje si˛e w n-tym stanie stacjonarnym:

Ψ _n (x, t) = È 2

a sin

 n π a x

‹ e ⁻

gdzie

E _n = n ² π ² ħh ² 2ma ²

Jaki b˛edzie pr˛ ad prawdopodobie´ nstwa w przypadku cz˛ astki znajduj˛ acej si˛e w stanie b˛ed˛ acym nast˛epuj˛ ac˛ a liniow˛ a kombinacj˛ a n-tego i m-tego stanu stacjonarnego:

Ψ _n,m (x, t) = 1 p 2

 Ψ _n (x, t) + Ψ _m (x, t)

Odpowied´z: j _n (x, t) = 0,

j _n,m (x, t) = _2ma ^ħhπ

h(n + m)sin ^(n−m)πx _a − (n − m) sin ^(n+m)πx _a i

sin ^(E

^−E

^)t

ħh

Zadanie MK 12

? V

0

Wyznacz, korzystaj˛ ac z pr˛ adu prawdopodobie´ nstwa, współczynnik odbicia R i trans- misji T dla „stopnia” potencjału o wysoko´sci V ₀ w przypadku kiedy energia E > V ₀ i E ∈ [0,V ₀ [.

Odpowied´z: dla E > V ₀ : R = ^(k _(k

^−k

⁾

1

+k

)

, T = _(k ^4k

^k

1

+k

)

, k ₁ = ^{p 2mE} _ħh , k ₂ = p

2m(E−V

)

ħh ; dla

E ∈ [0,V ₀ [: R = 1, T = 0

-V

0

Wyznacz współczynnik odbicia R i transmisji T dla odwróconego „stopnia” poten- cjału o gł˛eboko´sci V ₀ w przypadku, kiedy energia E > 0.

Odpowied´z: R = ^(k _(k

^−k

⁾

1

+k

)

, T = _(k ^4k

^k

1

+k

)

, k ₁ = p

2m(E+V

)

ħh , k ₂ = ^{p 2mE} _ħh Zadanie MK 14

??

-a a -V

0

Wyznacz parzyste i nieparzyste unormowane rozwi˛ azania niezale˙znego od czasu równania Schrödingera dla cz˛ astki o energii E ∈] − V ₀ , 0[ znajduj˛acej si˛e w sko´nczo- nej studni potencjału o gł˛eboko´sci V ₀ i szeroko´sci 2a. Znajd´z, w obu przypadkach, równania na dopuszczalne warto´sci energii (uwaga: równa´ n tych nie daje si˛e anali- tycznie rozwikła´c). Dla energii E > 0 znajd´z współczynnik transmisji. Dla jakich warto´sci energii fala całkowicie przejdzie przez barier˛e (studni˛e)?

Odpowied´z:

Rozwi˛ azania parzyste: ψ(x) =



 

 



 

 



e

cosk

a

q a+

e ^k

^x gdy x ∈] − ∞, −a[

cos k

x

q a+

gdy x ∈ [−a, −a]

e

cosk

a

q a+

e ^−k

^x gdy x ∈]a, ∞[

Warunek dla energii stanów parzystych: k ₁ = k ₂ tg k ₂ a

Rozwi˛ azania nieparzyste: ψ(x) =



 

 



 

 



− ^e

^{q sin k}

^a

a+

e ^k

^x gdy x ∈] − ∞, −a[

sin k

x

q a+

gdy x ∈ [−a, −a]

e

sin k

a

q a+

e ^−k

^x gdy x ∈]a, ∞[

Warunek dla energii stanów nieparzystych: k ₁ = −k ₂ ctg k ₂ a T = •

1 + _4E(E+V ^V

0

) sin ² € _2a

ħh p2m(E + V ₀ ) Š ˜ ₋₁

E _n + V ₀ = ⁿ _8ma

^ħh

Zadanie MK 15

??

0 a

V

0

Wyznacz współczynnik transmisji dla prostok˛ atnej bariery potencjału o szeroko´sci a i wysoko´sci V ₀ w przypadku, kiedy energia cz˛ astki E > V ₀ , E = V ₀ i 0 < E < V ₀ . Odpowied´z:

E > V ₀ : T =  1 +  _k

1

−k

2k

k

‹ 2

sin ² k ₂ a

 −1

, k ₁ = ^{p 2mE} _ħh , k ₂ = p

2m(E−V

) ħh

E = V ₀ : T = h 1 + € _ka

2

Š 2 i −1

, k = ^{p 2mE} _ħh 0 < E < V ₀ : T = 

1 +  _k

+k

2k

k

‹ 2

sinh ² k ₂ a

 −1

, k ₁ = ^{p 2mE} _ħh , k ₂ = p

2m(V

−E) ħh

Zadanie MK 16

??

Cz˛ astka o masie m porusza si˛e w potencjale:

V (x) =







∞ gdy x ∈] − ∞, 0[

− ^32ħh _ma

gdy x ∈ [0, a]

0 gdy x ∈]a, ∞[

W ilu stanach o energii E ∈ [− ^32ħh _ma

, 0] mo˙ze znale´z´c si˛e cz˛astka. Podpowied´z: ko´n- cówk˛e zadania nale˙zy rozwi˛ aza´c graficznie.

Odpowied´z: Istniej˛ a 3 stany stacjonarne o energii E ∈ [− ^32ħh _ma

, 0].

Zadanie MK 17

?

Dla operatora p˛edu ˆp = −iħh

rozwi˛ a˙z zagadnienie własne:

ˆpu _p (x) = pu _p (x)

to znaczy znajd´z taki zbiór funkcji (funkcji własnych) {u p : R → C} dla których, w wyniku działania operatora p˛edu na jedn˛ a z nich, dostaniemy t˛e sam˛ a funkcj˛e po- mno˙zon˛ a przez pewn˛ a stał˛ a p ∈ R (warto´s´c własn˛a; cho´c wcale nie musimy, to dla spokoju ducha ograniczymy si˛e do rzeczywistych warto´sci własnych).

Odpowied´z: u _p (x) = C e

^x

Delta Diraca δ(x) to funkcja uogólniona (dystrybucja) zdefiniowana w nast˛epuj˛acy sposób (tu nast˛epuje drobne kłamstwo):

δ =  +∞ gdy x = 0 0 gdy x 6= 0 dla której

Z +"

−"

δ(x) = 1

dla dowolnego " > 0 (w tym dla " = ∞; czy potraficie po tym warunku stwierdzi´c dlaczego δ nie jest funkcj˛a?). Delta Diraca jest wi˛ec unormowana. Delta Diraca jest równie˙z parzysta:

δ(−x) = δ(x)

Bardzo u˙zyteczn˛ a cech˛ a δ jest „wycinanie” warto´sci funkcji pod całk˛a:

Z _+∞

−∞

f (x) δ(x − x ₀ ) dx = f (x ₀ ) Warto równie˙z pami˛eta´c o nast˛epuj˛ acej równo´sci:

1 2π

Z +∞

−∞

e ^{i k x} dk = δ(x) Korzystaj˛ ac z powy˙zszych zale˙zno´sci wyznacz warto´s´c całki

I ₁ = Z _+∞

−∞

cos

 2π T x



δ(x − nT ) dx

dla dowolnego n ∈ Z, oraz

I ₂ = Z _+∞

−∞

e ^{i z(x−x}

⁾ dz

Odpowied´z: I ₁ = 1, I ₂ = 2πδ(x − x ⁰ )

Zadanie MK 19

??

Ci˛ agł˛ a baz˛ a ortonormaln˛ a nazywamy zbiór funkcji {u p (x)} (u _p : R → C, p ∈ R), po- mi˛edzy którymi zachodzi, mi˛edzy innymi, nast˛epuj˛ aca zale˙zno´s´c (ortonormalno´s´c w sensie Diraca):

€ u _p , u _p

Š = δ(p − p ⁰ )

Wyka˙z, ˙ze funkcje własne operatora p˛edu (zadanie MK 17) spełniaj˛ a ten warunek przy

odpowiednim doborze stałej C . Wyznacz t˛e stał˛ a.

Zadanie MK 20

??

Ka˙zda „przyzwoicie” zachowuj˛ aca si˛e funkcja (w naszym przypadku całkowalna z kwadratem modułu) daje si˛e wyrazi´c w bazie funkcji własnych operatora p˛edu (zada- nie MK 17)

Ψ(x) = Z _+∞

−∞

dp c(p) u _p (x)

Równanie to jest analogiczne do tego w zadaniu MK 7, gdzie przedstawiali´smy funk- cje falow˛ a w bazie stanów stacjonarnych cz˛ astki w niesko´ nczonej studni potencjału.

Ró˙znica polega na tym, ˙ze teraz mamy do czynienia z baz˛ a ci˛ agł˛ a i musimy całkowa´c po ci˛ agłym indeksie p, numeruj˛ acym poszczególne funkcje własne. Funkcja c(p) peł- ni analogiczn˛ a rol˛e do stałych c _n w MK 7. Dla funkcji Ψ(x) zdefiniowanej jako

Ψ(x) =

 A gdy x ∈ [−a, a]

0 gdy x /∈ [−a,a]

wyznacz stał˛ a A tak, aby Ψ(x) była unormowana. Nast˛epnie wyznacz dla niej funkcj˛e c(p). Podpowied´z: nale˙zy skorzysta´c z ortogonalno´sci funkcji u _p (zadanie MK 19) i z własno´sci delty Diraca (zadanie MK 18).

Odpowied´z: A = ^{p 1} _2a , c(p) = q

πa

ħh sin

p

Zadanie MK 21

???

Załó˙zmy, ˙ze rozwi˛ azanie niezale˙znego od czasu równania Schrödingera ma nast˛epu- j˛ ac˛ a posta´c

ψ(x) =

 ψ _l (x) gdy x ∈] − ∞, x ₀ [ ψ _r (x) gdy x ∈ [x ₀ , +∞[

Udowodnij, ˙ze dla dowolnego potencjału b˛ed˛ acego funkcj˛ a V : R → R (|V (x)| < ∞), pierwsza pochodna ψ(x) musi by´c ci˛agła. Wyka˙z równie˙z, ˙ze mo˙zemy dokładnie okre´sli´c jak zachowuje si˛e nieci˛ agło´s´c pochodnej ψ(x) w przypadku deltoidalnego potencjału V (x) = −cδ(x − x ₀ ). Podpowied´z: w obu przypadkach nale˙zy obustron- nie scałkowa´c niezale˙zne od czasu równanie Schrödingera w najbli˙zszym otoczeniu punktu x ₀ .

Odpowied´z:

dψ _r dx

     _x=x

0

− dψ _l dx

     _x=x

0

=

¨ 0 gdy V (x) zachowuje si˛e „przyzwoicie”

− ^2mc

ħh

ψ(x ₀ ) nieci˛agło´s´c dla potencjału deltoidalnego

Wyznacz stany stacjonarne i dopuszczalne warto´sci energii dla cz˛ astki w potencjale deltoidalnym V (x) = −cδ(x), której energia E < 0. Dla energii E > 0 wyznacz współczynnik transmisji i odbicia. Pami˛etaj, ˙ze w punkcie x = 0 pierwsza pochodna funkcji falowej nie b˛edzie ci˛ agła z uwagi na deltoidalny potencjał (zadanie MK 21).

Odpowied´z: Ψ(x, y) = ^{p mc}

ħh e ⁻

^|x|−

^t , E = − ^mc

2ħh

(istnieje tylko jeden stan stacjonar- ny!)

R = h 1 + ^2ħh _mc

^E

i −1

, T = ” 1 + _2ħh ^mc

E

— −1