Zadanie RS 1

Równanie Schrödingera ^∗

Maciej J. Mrowi´ nski 29 lutego 2012

Zadanie RS 1

?

Funkcja falowa opisuj˛ aca stan pewnej cz˛ astki w chwili t = 0 ma nast˛epuj˛ac˛aposta´c:

Ψ(x,0) =  A(a ² − x ² ) gdy x ∈ [−a,a]

0 gdy x /∈ [−a,a]

gdzie a ∈ R ₊ . Wyznacz stał˛ a A. Jakie jest ´srednie poło˙zenie i p˛ed cz˛ astki w chwili t = 0?

Odpowied´z: A = q

15

16a

, 〈x〉 = 0, 〈 p〉 = 0

Zadanie RS 2

?

Funkcja falowa opisuj˛ aca stan pewnej cz˛ astki ma nast˛epuj˛ ac˛ a posta´c:

Ψ(x, t) = Ae ^{−λ|x|−iωt}

gdzie λ ∈ R ₊ , ω ∈ R ₊ . Wyznacz stał˛ a A. Jakie jest ´srednie poło˙zenie i ´sredni kwadrat poło˙zenia cz˛ astki?

Odpowied´z: A = p

λ, 〈x〉 = 0, 〈x ² 〉 = _2λ ¹

Zadanie RS 3

?

W niesko´ nczonej studni potencjału, zdefiniowanej na przedziale x ∈ [−a, a], znajdu- je si˛e cz˛ astka w stanie opisywanym funkcj˛ a falow˛ a:

ψ(x) = Asin ² πx 2a

Wyznacz stał˛ a A i ´sredni˛ a energi˛e kinetyczn˛ a cz˛ astki w tym stanie.

Odpowied´z: A ² = _3a ⁴ , < T >= _6ma

^ħh

∗

Skompilowane z wielu ´zródeł. Tylko do u˙zytku na zaj˛eciach.

Zadanie RS 4

?

0 a

Wyznacz unormowane stany stacjonarne i dozwolone warto´sci energii dla cz˛ astki znajduj˛ acej si˛e w niesko´ nczonej studni potencjału o szeroko´sci a (patrz rysunek) przy zało˙zeniu, ˙ze energia cz˛ astki E > 0. Wyka˙z, ˙ze te stany stacjonarne spełniaj˛a zasad˛e nieoznaczono´sci.

Odpowied´z: Ψ _n (x, t) = Æ ₂

a sin € _nπ

a x Š

e ⁻ⁱ

^t , E _n = ⁿ _2ma

^ħh

Zadanie RS 5

?

Wyznacz unormowane stany stacjonarne i dozwolone warto´sci energii dla cz˛ astki znajduj˛ acej si˛e w trójwymiarowej, niesko´ nczonej studni potencjału (czyli w pudełku):

V (r) =

 0 dla r ∈ [0, a] × [0, b ] × [0, c]

∞ w pozostałych przypadkach przy zało˙zeniu, ˙ze energia cz˛ astki E > 0.

Odpowied´z: Ψ _n

_,n

_,n

(x, y, z, t) = Æ ₈

ab c sin € _n

xπ

a x Š

sin € n

b y Š

sin € _n

zπ

c z Š

e ⁻

t , E _n

x

,n

,n

= ^ħh _2m

h€ _n

x

a

Š 2

+ € n

b

Š 2

+ € _n

z

c

Š 2 i

Zadanie RS 6

?

Iloczyn skalarny dwóch funkcji falowych Ψ ₁ i Ψ ₂ mo˙ze zosta´c zdefiniowany w na- st˛epuj˛ acy sposób:

(Ψ ₁ ,Ψ ₂ ) = Z

Ψ ^∗ ₁ Ψ ₂ dx

przy czym granica tej całki zale˙zy od kontekstu (na przykład dziedziny lub okresu funkcji Ψ ₁ i Ψ ₂ ). Wyka˙z, ˙ze tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest odwzorowaniem addytywnym wzgl˛edem obu parametrów:

(Ψ ₁ , Ψ ₂ + Ψ ₃ ) = (Ψ ₁ , Ψ ₂ ) + (Ψ ₁ , Ψ ₃ ) (Ψ ₁ + Ψ ₃ ,Ψ ₂ ) = (Ψ ₁ , Ψ ₂ ) + (Ψ ₃ , Ψ ₂ )

Wyka˙z równie˙z, ˙ze zachodz˛ a nast˛epuj˛ ace równo´sci dla dowolnego c ∈ C:

(Ψ ₁ , cΨ ₂ ) = c (Ψ ₁ , Ψ ₂ )

(cΨ Ψ ) = c ^∗ (Ψ Ψ )

Dyskretn˛ a baz˛ a ortonormaln˛ a nazywamy zbiór funkcji {u n (x)} (u _n : R → C, n ∈ Z), pomi˛edzy którymi zachodzi, mi˛edzy innymi, nast˛epuj˛ aca zale˙zno´s´c (ortonormal- no´s´c):

u _n , u _m

= δ _n,m

Wyka˙z, ˙ze rozwi˛ azania niezale˙znego od czasu równania Schrödingera dla cz˛ astki w niesko´ nczonej studni potencjału (zadanie RS 4) spełniaj˛ a ten warunek.

Zadanie RS 8

?

Załó˙zmy, ˙ze funkcje falowe Ψ ₁ (x, t) i Ψ ₂ (x, t) s˛a rozwi˛azaniami równania Schrödin- gera. Udowodnij, ˙ze funkcja falowa Ψ ₃ (x, t) b˛ed˛aca ich liniow˛akombinacj˛a:

Ψ ₃ (x, t) = c ₁ Ψ ₁ (x, t) + c ₂ Ψ ₂ (x, t)

gdzie c ₁ ∈ C i c ₂ ∈ C to dowolne stałe, jest równie˙z rozwi˛azaniem równania Schrödin- gera. Ile b˛ed˛ a wynosiły iloczyny skalarne (Ψ ₁ , Ψ ₃ ), (Ψ ₂ ,Ψ ₃ ) i (Ψ ₃ , Ψ ₃ ), je˙zeli funkcje falowe Ψ ₁ i Ψ ₂ s˛ a ortonormalne (zadanie RS 7)?

Odpowied´z: (Ψ ₁ ,Ψ ₃ ) = c ₁ , (Ψ ₂ ,Ψ ₃ ) = c ₂ , (Ψ ₃ , Ψ ₃ ) = |c ₁ | ² + |c ₂ | ² (tu warto zauwa˙zy´c,

˙ze jest to z definicji całka kwadratu modułu Ψ ₃ )

Zadanie RS 9

??

Najbardziej ogólne rozwi˛ azanie równania Schrödingera, z uwagi na jego liniowo´s´c, dla cz˛ astki w niesko´ nczonej studni potencjału (zadanie RS 4) mo˙ze zosta´c przedsta- wione jako superpozycja wielu stanów stacjonarnych (zadanie RS 8):

Ψ(x, t) = X

n

c _n Ψ _n (x, t)

gdzie Ψ _n (x, t) to n-ty stan stacjonarny, a c _n ∈ C to pewna stała (waga). Załó˙zmy,

˙ze dla pewnej cz˛astki w niesko´nczonej studni potencjału o szeroko´sci a (V = 0 gdy x ∈ [0, a], V = ∞ gdy x / ∈ [0, a]) kształt funkcji falowej w chwili t = 0 dany jest w nast˛epuj˛ acy sposób:

Ψ(x,0) = Ax(a − x)

Wyznacz dla tej cz˛ astki stał˛ a A i poszczególne warto´sci współczynników c _n . Podpo- wied´z: przy wyznaczaniu c _n nale˙zy skorzysta´c z ortogonalno´sci stanów stacjonar- nych (patrz zadania RS 7, RS 8) - problem ten jest analogiczny do wyznaczania współ- czynników wektora w pewnej ortonormalnej bazie (gdy˙z, w istocie, jest to dokład- nie wyznaczanie współczynników wektora w pewnej ortonormalnej bazie - naszym wektorem jest funkcja falowa a baz˛ a poszczególne stany stacjonarne).

Odpowied´z: A = q

30 a

, c _n =

( ₈ p 15

(nπ)

gdy n jest nieparzyste

0 gdy gdy n jest parzyste

Zadanie RS 10

?

Po jakim czasie cz˛ astka w niesko´ nczonej studni potencjału znajdzie si˛e znowu w sta- nie pocz˛ atkowym:

Ψ(x,T ) = Ψ(x,0)

je˙zeli w chwili pocz˛ atkowej znajdowała si˛e w dowolnym stanie Ψ(x,0) (niekoniecznie stacjonarnym)?

Odpowied´z: T = ^4ma

Zadanie RS 11

?

Wyznacz wzór na pr˛ ad prawdopodobie´ nstwa j (x, t):

j (x, t) = ħh 2mi

‚ Ψ ^∗ ∂ Ψ

∂ x − ∂ Ψ ^∗

∂ x Ψ

Œ

ró˙zniczkuj˛ ac g˛esto´s´c prawdopodobie´ nstwa |Ψ| ² po czasie i u˙zywaj˛ ac równania Schrödin- gera do zamiany pochodnych na pochodne po poło˙zeniu.

Zadanie RS 12

?

Wyznacz pr˛ ad prawdopodobie´ nstwa (zadanie RS 11) dla funkcji falowej:

Ψ(x, t) = Ae ^{±i k x−iωt}

Odpowied´z: j (x, t) = ± ^{ħh k} _m |A| ²

Zadanie RS 13

?

Wyznacz pr˛ ad prawdopodobie´ nstwa (zadanie RS 11) dla cz˛ astki w niesko´ nczonej stud- ni potencjału o szeroko´sci a (zadanie RS 4), je˙zeli cz˛ astka znajduje si˛e w n-tym stanie stacjonarnym:

Ψ _n (x, t) = È 2

a sin

 n π a x

‹ e ⁻

gdzie

E _n = n ² π ² ħh ² 2ma ²

Jaki b˛edzie pr˛ ad prawdopodobie´ nstwa w przypadku cz˛ astki znajduj˛ acej si˛e w stanie b˛ed˛ acym nast˛epuj˛ ac˛ a liniow˛ a kombinacj˛ a n-tego i m-tego stanu stacjonarnego:

Ψ _n,m (x, t) = 1 p 2

 Ψ _n (x, t) + Ψ _m (x, t)

n

j _n,m (x, t) = _2ma ^ħhπ

h(n + m)sin ^(n−m)πx _a − (n − m) sin ^(n+m)πx _a i

sin ^(E

^−E

^)t

ħh

Zadanie RS 14

? V

0

Wyznacz, korzystaj˛ ac z pr˛ adu prawdopodobie´ nstwa, współczynnik odbicia R i trans- misji T dla „stopnia” potencjału o wysoko´sci V ₀ w przypadku kiedy energia E > V ₀ i E ∈ [0,V 0 [.

Odpowied´z: dla E > V ₀ : R = ^(k _(k

^−k

⁾

1

+k

)

, T = _(k ^4k

^k

1

+k

)

, k ₁ = ^{p 2mE} _ħh , k ₂ = p

2m(E−V

) ħh ; dla E ∈ [0,V ₀ [: R = 1, T = 0

Zadanie RS 15

?

-V

0

Wyznacz współczynnik odbicia R i transmisji T dla odwróconego „stopnia” poten- cjału o gł˛eboko´sci V ₀ w przypadku, kiedy energia E > 0.

Odpowied´z: R = ^(k _(k

^−k

⁾

1

+k

)

, T = _(k ^4k

^k

1

+k

)

, k ₁ = p

2m(E+V

)

ħh , k ₂ = ^{p 2mE}

ħh

Zadanie RS 16

??

-a a -V

0

Wyznacz parzyste i nieparzyste unormowane rozwi˛ azania niezale˙znego od czasu

równania Schrödingera dla cz˛ astki o energii E ∈] − V ₀ , 0 [ znajduj˛acej si˛e w sko´nczo-

nej studni potencjału o gł˛eboko´sci V ₀ i szeroko´sci 2a. Znajd´z, w obu przypadkach,

równania na dopuszczalne warto´sci energii (uwaga: równa´ n tych nie daje si˛e anali-

tycznie rozwikła´c). Dla energii E > 0 znajd´z współczynnik transmisji. Dla jakich

warto´sci energii fala całkowicie przejdzie przez barier˛e (studni˛e)?

Odpowied´z:

Rozwi˛ azania parzyste: ψ(x) =



 

 



 

 



e

cosk

a

q a+

e ^k

^x gdy x ∈] − ∞, −a[

cos k

x

q a+

gdy x ∈ [−a, −a]

e

cosk

a

q a+

e ^−k

^x gdy x ∈]a, ∞[

Warunek dla energii stanów parzystych: k ₁ = k ₂ tg k ₂ a

Rozwi˛ azania nieparzyste: ψ(x) =



 

 



 

 



− ^e

^{q sin k}

^a

a+

e ^k

^x gdy x ∈] − ∞, −a[

sin k

x

q a+

gdy x ∈ [−a, −a]

e

sin k

a

q a+

e ^−k

^x gdy x ∈]a, ∞[

Warunek dla energii stanów nieparzystych: k ₁ = −k ₂ ctg k ₂ a T = •

1 + _4E(E+V ^V

0

) sin ² € _2a

ħh p2m(E + V ₀ ) Š ˜ −1

E _n + V ₀ = ⁿ _8ma

^ħh

Zadanie RS 17

??

Wyznacz unormowane stany stacjonarne i równanie na dopuszczalne poziomy ener- gii dla cz˛ astki w poruszaj˛ acej si˛e w potencjale:

V (x) =







V ₁ dla x ∈ [0, a]

V ₂ dla x ∈]a, b ]

∞ w pozostałych przypadkach

gdzie V ₂ > V ₁ > 0. Załó˙z, ˙ze energia cz˛astki E > V ₂ . Jakie b˛edzie prawdopodobie´ n- stwo tego, ˙ze cz˛ astka znajdzie si˛e w obszarze [0,a]?

Odpowied´z:

ψ(x) =







Asin k ₁ x dla x ∈ [0, a]

A _sink ^{sin k}

^a

2β

sink ₂ (b − x) dla x ∈ ]a, b]

0 w pozostałych przypadkach

k ₂ ctg k ₂ β + k ₁ ctg k ₁ a = 0, A ⁻² = ^a ₂ h

1 − ^{sin 2k} _2k

^a

1

a + sin ² k ₁ a ^2k

2k

a sin

k

i , p = A ^{2 a} ₂ h

1 − ^{sin 2k} _2k

^a

1

a

i , β = b − a

Wyznacz równanie na dopuszczalne poziomy energii dla cz˛ astki w poruszaj˛ acej si˛e w potencjale:

V (x) =



 

 

V ₁ dla x ∈] − ∞, 0]

V ₂ dla x ∈]0, L[

V ₃ dla x ∈ [L, +∞[

gdzie V ₁ > V ₃ > V ₂ > 0. Załó˙z, ˙ze energia cz˛astki V ₂ < E < V ₃ . Odpowied´z: tgk ₂ L = ^k

^+k

k

−

Zadanie RS 19

??

0 a

V

0

Wyznacz współczynnik transmisji dla prostok˛ atnej bariery potencjału o szeroko´sci a i wysoko´sci V ₀ w przypadku, kiedy energia cz˛ astki E > V ₀ , E = V ₀ i 0 < E < V ₀ . Odpowied´z:

E > V ₀ : T =

 1 +  _k

1

−k

2k

k

‹ 2

sin ² k ₂ a

 ₋₁

, k ₁ = ^{p 2mE} _ħh , k ₂ = p

2m(E−V

) ħh

E = V ₀ : T = h 1 + € _ka

2

Š 2 i ₋₁

, k = ^{p 2mE}

ħh

0 < E < V ₀ : T =

 1 +  _k

1

+k

2k

k

‹ 2

sinh ² k ₂ a

 ₋₁

, k ₁ = ^{p 2mE} _ħh , k ₂ = p

2m(V

−E) ħh

Zadanie RS 20

??

Cz˛ astka o masie m porusza si˛e w potencjale:

V (x) =







∞ gdy x ∈] − ∞, 0[

− ^32ħh _ma

gdy x ∈ [0, a]

0 gdy x ∈]a, ∞[

W ilu stanach o energii E ∈ [− ^32ħh _ma

, 0] mo˙ze znale´z´c si˛e cz˛astka. Podpowied´z: ko´n- cówk˛e zadania nale˙zy rozwi˛ aza´c graficznie.

Odpowied´z: Istniej˛ a 3 stany stacjonarne o energii E ∈ [− ^32ħh _ma

, 0].

Zadanie RS 21

??

Załó˙zmy, ˙ze rozwi˛ azanie niezale˙znego od czasu równania Schrödingera ma nast˛epu- j˛ ac˛ a posta´c

ψ(x) =

 ψ _l (x) gdy x ∈] − ∞, x ₀ [ ψ _r (x) gdy x ∈ [x ₀ , +∞[

Udowodnij, ˙ze dla dowolnego potencjału b˛ed˛ acego funkcj˛ a V : R → R (|V (x)| < ∞), pierwsza pochodna ψ(x) musi by´c ci˛agła. Wyka˙z równie˙z, ˙ze mo˙zemy dokładnie okre´sli´c jak zachowuje si˛e nieci˛ agło´s´c pochodnej ψ(x) w przypadku deltoidalnego potencjału V (x) = −cδ(x − x ₀ ). Podpowied´z: w obu przypadkach nale˙zy obustron- nie scałkowa´c niezale˙zne od czasu równanie Schrödingera w najbli˙zszym otoczeniu punktu x ₀ .

Odpowied´z:

dψ _r dx

     _x=x

0

− dψ _l dx

     _x=x

0

=

¨ 0 gdy V (x) zachowuje si˛e „przyzwoicie”

− ^2mc

ħh

ψ(x ₀ ) nieci˛agło´s´c dla potencjału deltoidalnego

Zadanie RS 22

??

Wyznacz stany stacjonarne i dopuszczalne warto´sci energii dla cz˛ astki w potencjale deltoidalnym V (x) = −αδ(x), której energia E < 0. Dla energii E > 0 wyznacz współczynnik transmisji i odbicia. Pami˛etaj, ˙ze w punkcie x = 0 pierwsza pochodna funkcji falowej nie b˛edzie ci˛ agła z uwagi na deltoidalny potencjał (zadanie RS 21).

Odpowied´z: Ψ(x, y) = ^{p mα} _ħh e ⁻

^|x|−

^t , E = − ^mα

2ħh

(istnieje tylko jeden stan stacjo- narny!)

R = h 1 + ^2ħh _mα

^E

i ₋₁ , T = ”

1 + ^mα

2ħh

E

— −1

Zadanie RS 23

??

Wyznacz równanie na dopuszczalne poziomy energii dla cz˛ astki poruszaj˛ acej si˛e w potencjale niesymetrycznej studni z barier˛ a deltoidaln˛ a:

V (x) =



 

 

V ₁ dla x ∈ [0, a[

cδ(x) dla x = a V ₂ dla x ∈]a, b ]

∞ w pozostałych przypadkach gdzie V ₂ > V ₁ > 0. Załó˙z, ˙ze energia cz˛astki E > V ₂ .

Odpowied´z: k ₂ ctg k ₂ β + k ₁ ctg k ₁ a = − ^2mc

ħh

, β = b − a

Wyznacz równanie na dopuszczalne poziomy energetyczne dla cz˛ astki znajduj˛ acej si˛e w potencjale V (x) = −α [δ(x) + δ(x − l)] (α, l ∈ R ₊ ), je˙zeli jej energia E < 0.

Odpowied´z: e ^{−2k l} = 

1 − ^2k

 2

, k = ^{p −2mE}

ħh , β = ^2mα

ħh

Zadanie RS 25

??

Wyznacz równanie na dopuszczalne poziomy energetyczne dla cz˛ astki znajduj˛ acej si˛e w potencjale V (x) = −α [δ(x − a) + δ(x + a)] (α,a ∈ R ₊ ), je˙zeli jej energia E < 0.

Dla E > 0 wyznacz współczynnik transmisji.

Odpowied´z: Dla rozwi˛ aza´ n parzystych: e ^−2ka = ^{k ħh} _mα

− 1, dla rozwi˛aza´n nieparzy- stych: e ^−2ka = 1 − ^{k ħh} _mα

, gdzie k = ^{p −2mE} _ħh ; T = _8δ

+4δ

+1+(4δ

−1) cos (4ka)+4δ sin (4ka) ^8δ

, δ = − _2mα ^ħh

^k

Zadanie RS 26

?

Wyznacz unormowane stany stacjonarne i dopuszczalne poziomy energii dla cz˛ astki swobodnej poruszaj˛ acej si˛e po okr˛egu, którego obwód wynosi L. Podpowied´z: Roz- wi˛ azania elementarne b˛ed˛ a dwa - jedno dla ruchu zgodnie i jedno dla ruchu przeciw- nie do wskazówek zegara.

Odpowied´z: ψ ^± _n (x) = p ¹

L e ^±

, E = ²ⁿ _mL

^ħh

Zadanie RS 27

?

Wyznacz ogólne rozwi˛ azanie równania Schrödingera dla cz˛ astki swobodnej.

Odpowied´z: Ψ(x, t) = p ¹ 2π

R _+∞

−∞ φ(k)e ⁱ

 k x−

t 

d k

Zadanie RS 28

?

Wyznacz Ψ(x, t) dla cz˛astki swobodnej, je˙zeli w chwili pocz˛atkowej jej funkcja falo- wa miała posta´c:

Ψ(x,0) = 

A gdy x ∈] − a, a[

0 gdy x /∈] − a,a[

Dobierz stał˛ a A tak, aby funkcja falowa była unormowana.

Odpowied´z: Ψ(x, t) = p ¹ 2aπ

R +∞

−∞

sin ka k e ⁱ

 k x−

t 

d k

Zadanie RS 29

?

Wyznacz Ψ(x, t) dla cz˛astki swobodnej, je˙zeli w chwili pocz˛atkowej jej funkcja falo- wa miała posta´c:

Ψ(x,0) = Ae ^−a|x|

gdzie a i A to dodatnie, rzeczywiste stałe (A nie jest znana).

Odpowied´z: Ψ(x, t) = ^a

R _+∞

−∞

1 k

+a

e ⁱ

 k x−

t 

d k

Zadanie RS 30

??

Wyznacz Ψ(x, t) dla cz˛astki swobodnej, je˙zeli w chwili pocz˛atkowej jej funkcja falo- wa miała posta´c (paczka Gaussowska):

Ψ(x,0) = Ae ^−ax

gdzie a i A to dodatnie, rzeczywiste stałe (A nie jest znana). Wyznacz równie˙z |Ψ| ² i wariancj˛e poło˙zenia oraz p˛edu cz˛ astki. Sprawd´z, czy zasada nieoznaczono´sci jest spełniona.

Odpowied´z: Ψ(x, t) = € _2a

π

Š _{1/4 1}

q 1+

e

−ax2

1+ 2ħhi t am

, σ _x ² = ^1+θ _4a

, σ ² _p = aħh ² , σ _x σ _p = ^ħh ₂ p

1 + θ ² , θ = ^2hat _m