Wykład 3: Kinematyka

Wykład 3: Kinematyka

dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

Wstęp

Opis ruchu KINEMATYKA

Przyczyny ruchu DYNAMIKA

MECHANIKA

Dlaczego

taki ruch?

Podstawowe pojęcia dla ruchu

prostoliniowego i krzywoliniowego.

) ( t

r 

y

x

) ( t

r 

) ( t

r 

r 



tor ruchu

przemieszczenie r  r  ( t

) r  ( t

)

−

=



1 2

1 2

) ( ) (

t t

t r t

r t V

r

−

= −



= 





  y

x

) ( t

r 

) ( t

r 

r 

 V 

prędkość średnia

gdy t

→ t

Δt → dt to Δr → dr dt

r V d

 

= V 

prędkość chwilowa

Prędkość chwilowa jako granica prędkości średniej

skoro to

Wektor prędkości

chwilowej jest zawsze styczny do toru.

dt V r d t r

t

 



=

 =



→

lim

y j x i

r  = ˆ + ˆ

dt V dz

dt V dy

dt V dx

z y x

=

=

y

=

x

j V

V dt i

j dy dt

i dx dt

r

V = d = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ

 

a=0

Przyspieszenie

Przyspieszenie związane jest ze zmianą wektora prędkości

Jeżeli to ponieważ:

dt V d t

a V

t



  =



= 

→

 lim 0

y x

x y i a j a

dt j dV dt

i dV dt

V

a = d = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ

 

dt a dV

dt a dV

dt a dV

z z

y y

x x

=

=

=

t

Δt

ΔV a>0 a<0

const a = 

t a V

V    +

=

 dt = a

dV  

=

=

V

V

t

t

adt dV

0 0

więc V = V

+ at

Ruch krzywoliniowy

W ruchu krzywoliniowym występuje zmiana wektora prędkości.

v ₂ v ₁

Konsekwencją tego jest

występowanie przyspieszenia

pomimo stałej wartości prędkości

v ₁ v ₂

a a

v

Przyspieszenie styczne i normalne

dt S V d

 

=

dt d 

 =

czyli

r V   



= 



r  ^V



x

y

S

t V = S

Ruch jednostajny ^ S

r S=  ·r

𝑑𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜑

𝑉 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜑 𝑑𝑡

V =  ^{· r}

Związek pomiędzy prędkością liniową i kątową

w ruchu jednostajnym po okręgu, wektor

prędkości kątowej jest stały

reguła śruby!!

x

y

z

r 

V 

Vˆ

 ^ V   r 



= 

Ruch niejednostajny po okręgu

) ( sin t r

x ^{= } 

) ( cos t dt

r d dt

V

dx  

=

=





 

sin

cos

2 2

dt r r d dt

a

= dV

= −

dla współrzędnej x:



r 



x

y

skoro:

dt d 

 =

czyli a _x V _x  ² x



 −

= ponieważ:

dt d 

 =

2

dt d dt

d  

 = = i

to V _x = r  cos  ^a

^{r cos  }

^x



 −

oraz =





 

sin

cos ²

2 2

dt r r d

a _x = −

) ( sin t r

x =  

analogicznie y = r  cos t  ( ) V

= − r  sin  a

V



y



 −

= Skoro a  = i ˆ + a _x ˆ j a _y

to a i ˆ V _x i ˆ ² x ˆ j V _y ˆ j  ² y



 



 _{− + −}

 =

ˆ ) ( ˆ

ˆ )

( i ˆ V j V

i x j y

a =

+

−  +





 ostatecznie:

r V

a    ₂ 



 −

=

przyspieszenie styczne przyspieszenie dośrodkowe

mamy:

Wnioski:

- kiedy maleje składowa V _y prędkości, to rośnie składowa V _x

- przyspieszenie dośrodkowe skierowane jest wzdłuż promienia, do środka okręgu

- wartość przyspieszenia dośrodkowego jest równa:

r a _n V

= 2

Przykład 1

1. Pająk porusza się po torze krzywoliniowym, którego długość opisana jest równaniem:

gdzie S

i c to stałe. Wektor przyspieszenia pająka tworzy w każdym punkcie toru stały kąt φ ze styczną do jego toru.

Obliczyć wartość:

a) przyspieszenia stycznego, b) przyspieszenia normalnego,

c) promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.

ROZWIĄZANIE:

a) przyspieszenie styczne stąd

e

S t

S ( = )

2 2

dt S d dt

a

= dV = c S e ^ct

dt

V = dS =  ₀ 

s c S e ct

a = ² ₀

z rysunku wynika że a 

^a

 

a  s

s n

a tg =  a stąd

 tg a

a

=

 = c

S

e

 tg 

z innej definicji przyspieszenia dośrodkowego (normalnego):

r a

V

=

stąd podstawiając wyliczone wcześniej V:

( )

 tg e

S c

e S c a

r V

ct

n

 

= 

=

2 2 2 0

2

= S ₀  e ^ct  ctg  = S  ctg 

e

S c

V = 

 e

S t

S ( = )

b) przyspieszenie normalne:

c) promień krzywizny toru jako funkcja długości łuku krzywej:

2. Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R = 3,6 m.

W pewnej chwili na cząsteczkę zaczyna działać przyspieszenie o wartości 0,21g, tworzące w każdym punkcie okręgu po jakim nadal porusza się cząsteczka, stały kąt 30

ze styczną do jego toru. Obliczyć:

a) szybkość cząsteczki w momencie zadziałania przyspieszenia, b) szybkość cząsteczki w dwie sekundy później.



V

a a_r R



Inne ruchy krzywoliniowe

 Rzut ukośny

jest to złożenie dwóch niezależnych ruchów- - ruchu jednostajnego

(poziomo)

- ruchu jednostajnie

zmiennego (pionowo)

x

y

HRW,1

Oś x:

F _x =0; a _x =0,

ruch jednostajny Oś y:

F _y =mg; a _y =g,

ruch jednostajnie

zmienny

HRW,1

j g g  = − ˆ Oś x:

t v x

const v

v

x x x

=

=

= ₀

Oś y:

2

2 0

0

t gt v

y

gt v

v

y y y

−

=

−

=

0 2 0

2

0 2 ( v cos θ ) x gx

) θ tg (

y = −

równanie toru - parabola

..a tak jest naprawdę:

Siła oporu powietrza wpływa na tor rzutu ukośnego !

Piłka do gry w baseball rzucona pod kątem 45° z prędkością v = 50 m/s osiąga:

• bez oporu powietrza - - wysokość 63 m, - zasięg 254 m,

• z oporem powietrza - - wysokość 31 m, - zasięg 122 m

tor w próżni

tor w

powietrzu

45 ^o

optymalny kąt rzutu wynosi:

20 ^o - 30 ^o

Dla osi OX Dla osi OY

ruch jednostajny ruch jednostajnie przyspieszony

X(t) = V

 t

Rzut poziomy

x y

V 

V 

V 

V 

V 

V 

Vy

V 

V  V 

) 2

( gt ²

H t

Y = −

V

= V

= const

V 0

t = x



02 2 2

0

2 2 )

( V

H gx V

g x H t

y   = −

 





−

=



Przykład 3

Piłkę wyrzucono ukośnie w górę pod kątem 45

z prędkością początkową V

= 12 m/s. W odległości 12 m od miejsca wyrzutu stoi pionowa ściana. Oblicz:

1. czas t

po którym piłka trafi w ścianę,

2. czy piłka uderzy w ścianę wznosząc się czy już opadając?

3. oblicz składowe prędkości piłki V

i V

w momencie trafienia i szybkość wypadkową V,

3. kąt pod jakim piłka trafi w ścianę,

4. maksymalną wysokość H na jaką wzniesie się piłka,

5. wysokość od podstawy ściany h na jakiej piłka w nią uderzy, 6. w jakiej odległości X od ściany piłka po sprężystym od niej

odbiciu uderzy w ziemię.

Przykład 4

Z wieży o wysokości H = 34,6 m rzucono poziomo przedmiot z prędkością V

= 20 m/s.

Równocześnie przy podstawie wieży wyrzucono ukośnie w górę, z szybkością V

= 40 m/s – w tej samej płaszczyźnie – kamień, który trafił w przedmiot.

• Pod jakim kątem rzucono kamień?

• Na jakiej wysokości nastąpiło zderzenie?

Przyjąć g = 10 m/s

Odp.: 1.  = 60

2. h = 29,6 m

Zadanie domowe:

Wspinacze utknęli na szczycie skały wznoszącej się 250 m nad poziomem ziemi. Samolot mający dostarczyć

zaopatrzenie leci poziomo na wysokości 200 m ponad

wspinaczami, z szybkością 250 km/h. Gdy znajduje się w pewnej odległości od szczytu skały następuje wyrzut

zasobnika.

1. W jakiej odległości od celu zasobnik powinien zostać upuszczony z samolotu?

2. Jeżeli samolot zbliży się na odległość 400 m, to z jaką szybkością pionową (w górę czy w dół?) zasobnik musi być wyrzucony aby trafił w cel?

3. Z jaką szybkością uderzy on w szczyt skały?

Odp.: 1. 440 m

2. V

=6,06 m/s

3. V=93,4 m/s