Wykład 2 Kinematyka

Wykład 2 Kinematyka

Maciej J. Mrowiński

mrow@if.pw.edu.pl

Wydział Fizyki Politechnika Warszawska

16 listopada 2016

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 1 / 14

Wprowadzenie Wstęp

Wstęp

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 2 / 14

Wprowadzenie Wstęp

Wymiar i jednostka

Wymiar długości L

metr, kilometr, stopa, jard, ...

Wymiar czasu T

sekunda, godzina, doba słoneczna, ...

Wymiar masy M kilogram, gram, ...

Wymiar w równaniach musi byś spójny.

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 3 / 14

Wprowadzenie Wstęp

Kinematyka

κίνημα

ruch

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 4 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Opis ruchu w 1D

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 5 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

●

●

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

●

●

●

●

∆x

∆t

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

●

●

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

●

●

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

● ●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Prędkość

zmiana położenia (przyrost)

∆x = x _k − x _p średnia prędkość

< v > = ∆x

∆t prędkość chwilowa

v (t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = dx dt = ˙ x jednostka

m s

t x(t) 4.04.55.05.56.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 6 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Przyspieszenie

przyspieszenie chwilowe

a(t) = lim

∆t→0

∆v

∆t = dv dt = ˙ v czyli

a(t) = dv dt = d

dt dx

dt = d ² x dt ² = ¨ x jednostka

m/s

s = m

s ²

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 7 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Przyspieszenie

przyspieszenie chwilowe

a(t) = lim

∆t→0

∆v

∆t = dv dt = ˙ v czyli

a(t) = dv dt = d

dt dx

dt = d ² x dt ² = ¨ x jednostka

m/s

s = m

s ²

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 7 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 1D

Podstawowe równania ruchu

Jeżeli a jest stałe, wówczas prędkość

v (t) = v 0 + at położenie

x (t) = x 0 + v 0 t + 1 2 at ²

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 8 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Opis ruchu w 2D

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 9 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Współrzędne kartezjańskie

położenie

~ r (t) = [x (t), y (t)]

prędkość

~

v (t) = d~ r

dt = [ ˙ x , ˙ y ] przyspieszenie

~

a (t) = d ~ v

dt = d ² ~ r

dt ²

0.00.20.40.60.81.01.2

x(t)

y(t)

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 10 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Współrzędne kartezjańskie

położenie

~ r (t) = [x (t), y (t)]

prędkość

~

v (t) = d~ r

dt = [ ˙ x , ˙ y ] przyspieszenie

~

a (t) = d ~ v

dt = d ² ~ r

dt ²

0.00.20.40.60.81.01.2

x(t)

y(t)

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 10 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Współrzędne kartezjańskie

położenie

~ r (t) = [x (t), y (t)]

prędkość

~

v (t) = d~ r

dt = [ ˙ x , ˙ y ] przyspieszenie

~

a (t) = d ~ v

dt = d ² ~ r

dt ²

0.00.20.40.60.81.01.2

x(t)

y(t)

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 10 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Współrzędne kartezjańskie

położenie

~ r (t) = [x (t), y (t)]

prędkość

~

v (t) = d~ r

dt = [ ˙ x , ˙ y ] przyspieszenie

~

a (t) = d ~ v

dt = d ² ~ r

dt ²

0.00.20.40.60.81.01.2

x(t)

y(t)

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 10 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Współrzędne kartezjańskie

położenie

~ r (t) = [x (t), y (t)]

prędkość

~

v (t) = d~ r

dt = [ ˙ x , ˙ y ] przyspieszenie

~

a (t) = d ~ v

dt = d ² ~ r

dt ²

0.00.20.40.60.81.01.2

x(t)

y(t)

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 10 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Współrzędne kartezjańskie

położenie

~ r (t) = [x (t), y (t)]

prędkość

~

v (t) = d~ r

dt = [ ˙ x , ˙ y ] przyspieszenie

~

a (t) = d ~ v

dt = d ² ~ r

dt ²

0.00.20.40.60.81.01.2

x(t)

y(t)

●

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 10 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Przyspieszenie styczne

wartość prędkości (v = |~ v |) ds

dt = v

gdzie s - droga przebyta przez ciało

przyspieszenie styczne dv dt = a _s

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.01.2

x(t)

y(t)

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 11 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Rozdzielność ruchu

Ponieważ ~ r = [x , y ] a ~ v = [v x , v y ]

~ v = d~ r

dt →

 v _x = ^dx _dt v _y = ^dy _dt analogicznie

~ a = d ~ v

dt →

( a _x = ^dv _dt ^x a _y = ^dv _dt ^y

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 12 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Współrzędne biegunowe

przejście do kartezjańskiego:

x = r cos φ y = r sin φ dwa kierunki: radialny ˆ r i transwersalny ˆ φ

kierunek

transwersalny kierunek radialny

r

φ

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 13 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Współrzędne biegunowe

rzuty prędkości v r = ˙ r v φ = r ˙ φ rzut przyspieszenia

a _r = ¨ r − r ( ˙ φ) ² a _φ = 2 ˙r ˙ φ + r ¨ φ

kierunek

transwersalny kierunek radialny

r

φ

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 13 / 14

Wprowadzenie Opis ruchu w 2D

Porównanie rzutów wektorów

składowa normalna

składowa styczna

składowa transwersalna

składowa radialna

Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 2 16 listopada 2016 14 / 14