ANALIZA I 21 października 2014
Semestr zimowy Lista V
Granice ci¸ agów Javier de Lucas Zadanie 1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
u n = n+1 n , u n = n 3−n2−1
2, u n = (4n−1)(3n+2) (2n−1)2 , u n = n 3 − √ 10 n , u n = 5n−2 3n−1 3
, u n = n 3 − √ 10 n , u n = 5n−2 3n−1 3
, u n = (−1) 2n−1n, u n = 2n+(−1) 2n−1 n, u n = 2−5n−10n 3n+15 2, u n =
, u n = 2−5n−10n 3n+15 2, u n =
√
1+2n
2− √ 1+4n
2n , u n =
√ n
2+4 3n−2 , u n = √
3n
8n
3−n
2−n .
Zadanie 2. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: u n = √
n + 2 − √ n, u n = √
n 2 + n − n,u n = 3n − √
9n 2 + 6n − 15, u n = √
3n 3 + 4n 2 − n.
Zadanie 3. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: u n = 4 2n−12n−7−5 , u n = 53 49
2nn+7 −1 , u n = 2
n+13
n+2−3
n+2, u n = 3 2 n 2n+1−1
−1
3
n+1−1 .
Zadanie 4. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym (typowe na trzy ciągi):
u n = √
n3 n + 2 n , u n = √
n10 100 − q
n1
10
100, u n =
nq
( 2 3 ) n + ( 3 4 ) n .
Zadanie 5. Niech T n (x) = cos(n arcos x), x ∈ [−1, 1], n ∈ N + . Znaleźć T 1 (x). Posługując się tożsamością trygonometryczną cos(A + B) + cos(A − B) = 2 cos A cos B pokazać,że T 2 (x) = 2x 2 − 1 oraz, że T n+1 (x) + T n−1 (x) = 2xT n (x).
Zadanie 6. Oblicz granicę ciągu określonego rekurencyjnie: a 1 = √
2, a n+1 = √ 2a n . Zadanie 7. Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: x 0 > 0, x n+1 = x 2n + x 1
n
. Zadanie 8. Znaleźć granicę ciągu danego wzorem rekurencyjnym: a n+1 = 2a 6
n
