Zadanie 1. Zbadać zbieżność ci¸ agu i znaleźć granicę:

ANALIZA I 31 października 2014

Semestr zimowy Lista VII

Twierdzenie Stolza i metryki Javier de Lucas

Zadanie 1. Zbadać zbieżność ci¸ agu i znaleźć granicę:

a _n = 1

+ 3

+ · · · + (2n + 1)

n

.

Zadanie 2. Sprawdzić, korzystaj¸ ac z Tw. Stolza, że:

n→∞ lim

1 ⁵ + 2 ⁵ + . . . + n ⁵

n ⁶ = 1

6 , lim

n→∞

√ 1 n

 1

√ n + 1 + 1

√ n + 2 + · · · + 1

√ 2n



= 2( √ 2−1).

Zadanie 3. Wykazać, że jeżeli ci¸ ag liczbowy (a _n ) jest zbieżny, to:

n→∞ lim

na 1 + (n − 1)a 2 + . . . a n

n + (n − 1) + . . . + 1 = lim

n→∞ a _n .

Zadanie 4. Narysować dla metryk L ¹ oraz L ^∞ z R ² d-odcinki, czyli zbiory [a, b] := x ∈ R ² ; d(a, x) + d(x, b) = d(a, b) .

Zadanie 5. Narysować kule i d-odcinki w metryce „rzymskiej” w R ² czyli

d(x, y) =

( |x| + |y|, x ₁ y ₂ − x ₂ y ₁ 6= 0

|x − y|, x ₁ y ₂ − x ₂ y ₁ = 0 , gdzie |x| = px ² ₁ + x ² ₂ .

Zadanie 6. Niech X := K(0, 1) (czyli {x ∈ R ² : x ² ₁ + x ² ₂ < 1}) zaś:

d(x, y) := min(|x − y|, 2 − |x| − |y|).

Sprawdzić, że d(x, y) jest metryk¸ a.

1