Algebra liniowa, WNE, 2018/2019
ćwiczenia 1. – rozwiązania zadań do przećwiczenia w domu
2 października 2018
1. Opisać zbiór rozwiązań układu w zależności od a ∈ R:
x + 2y + (a + 3)z = 8 2x + 3y + (a + 4)z = 12 3x + (6a + 5)y + 7z = 20
Z pierwszego równania wnioskujemy, że x = 8 − 2y − az − 3z. Zatem:
(16 − 4y − 2az − 6z + 3y + az + 4z = 12 24 − 6y − 3az − 9z + 6ay + 5y + 7z = 20 , czyli:
(−y − 2z − az = −4
−y + 6ay − 2z − 3az = −4 ,
zatem y = 4−2z −az, a zatem −4+2z +az +24a−12az −6a2z −2a−3az = −4, czyli: −6a2z −14az = −24a, a zatem 3a2z + 7az = 12a.
Jeśli a = 0 to to równanie jest spełnione niezależnie od wartości z i trzecie równanie jest po prostu sumą dwóch pierwszych. Zatem dla dowolnego z, wtedy y = 4 − 2z oraz x = 8 − 2y − 3z = z. A zatem w tym wypadku jest nieskończenie wiele rozwiązań – rozwiązaniem jest każda trójka postaci (z, 4 − 2z, z) dla dowolnego z ∈ R.
Jednak, gdy a 6= 0, możemy równanie z(3a2+7a) = 12a przez a podzielić stronami, otrzymując z(3a+7) = 12. W tym wypadku, jeśli 3a + 7 = 0 (czyli jeśli a = −73 ) otrzymujemy sprzeczność i nasz układ równań nie ma rozwiązań.
Jeśli natomiast a 6= 0 oraz a 6= −73 , to ostatecznie z = 3a+712 . A zatem y = 12a+28−24−12a
3a+7 = 3a+74 oraz x = 24a+56−8−12a−36
3a+7 =12a+123a+7 . I w tym przypadku nasz układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
2. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu x4+ 3x3− 12x2− 20x + 48. Narysować orientacyjny wykres tego wielomianu.
Widać, że pierwiastkiem jest liczba 2. Dzieląc przez jednomian (x − 2) dostajemy wielomian (x3+ 5x2− 2x − 24)(x − 2). 2 okazuje się być podwójnym pierwiastkiem – po ponownym podzieleniu dostajemy (x2+ 7x + 12)(x − 2)2. Dalej już klasycznie: ∆ = 49 − 48 = 1, zatem pozostałe pierwiastki to −4 i −3.
Wykres zaczyna się od wartości dodatnich, zatem wygląda mniej więcej tak:
1
2
