Szeregi liczbowe.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Kolokwium nr 7: czwartek 11.04.2019, godz. 12:15–13:00 (sala HS), materiał zad. 1–278.

Szeregi liczbowe.

Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 9.04.2019 (9:15-12:00).

Grupa 1 ma zajęcia w sali HS, grupa 2 ma zajęcia w sali EM, grupa 3 ma zajęcia w sali A.

Rozstrzygnąć zbieżność szeregów:

227.

∞

X

n=1

1

n²+ 1 228.

∞

X

n=2

1

n²− 1 229.

∞

X

n=1

1 + n

n²+ 1 230.

∞

X

n=1

2 · 5 · 8 · ... · (3n − 1) 1 · 5 · 9 · ... · (4n − 3)

231.

∞

X

n=1

5n²− 1

n³+ 6n²+ 8n + 47 232.

∞

X

n=1

1

(2n − 1) · 2²ⁿ⁻¹ 233.

∞

X

n=1

1 3n − 1

234.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ 2n 235.

∞

X

n=1

1

(n + 1)(n + 4) 236.

∞

X

n=1

1

(2n + 1)! 237.

∞

X

n=1

n² 3ⁿ

238.

∞

X

n=1

(2n − 1)!!

3ⁿ· n! 239.

∞

X

n=1

 n 2n + 1

n

240.

∞

X

n=2

1 (n − 1)√

n + 1 241.

∞

X

n=1

sn + 1 n

242.

∞

X

n=1

n²

n! 243.

∞

X

n=1

n

2n − 1 244.

∞

X

n=1

2ⁿ

n⁴ 245.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ n − n 246.

∞

X

n=1

_2n

n



n!

247.

∞

X

n=1

1000ⁿ

10√

n! 248.

∞

X

n=1

3ⁿ

2²ⁿ 249.

∞

X

n=1

n³+ π

n^π+ e 250.

∞

X

n=1

1

q(n + 4)(n + 9)

251.

∞

X

n=1

2ⁿ+ 17

3ⁿ 252.

∞

X

n=1

√n! + 1

n! 253.

∞

X

n=1

2ⁿ n√

4ⁿ+ 3ⁿ 254.

∞

X

n=1

1 n + 5√

n + 27 255.

∞

X

n=1

√

n³+ 64 −√

n³+ 1^ 256.

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1

19n⁵− 13n²+ 1 257.

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1 19n⁶− 13n²+ 1

258.

∞

X

n=1

_2n

n



3ⁿ 259.

∞

X

n=1

_2n

n



5ⁿ 260.

∞

X

n=1

(n!)¹⁰⁰⁰

2ⁿ² 261.

∞

X

n=1

 n n + 1

n

262.

∞

X

n=1

 n n + 1

n²

Przypomnienie: (2n + 1)!! = ^Qn

i=0

(2i + 1).

Rozstrzygnąć, które z następujących szeregów są bezwzględnie zbieżne, które warun- kowo zbieżne, a które rozbieżne. Wskazać wśród poniższych przykładów dwa szeregi, jeden zbieżny

∞

P

n=1

a_n, drugi rozbieżny

∞

P

n=1

b_n, o ilorazie wyrazów a_n/b_n dążącym do 1.

263.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n 264.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

2n − 1 265.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n²· 3ⁿ 266.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ (2n − 1)³

Lista 7 - 14 - Strony 14-17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

267.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n + 1

n 268.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· 2¹⁰ⁿ

3²ⁿ 269.

∞

X

n=1

n + 2

n(n + 1)(−1)ⁿ 270.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n³

2ⁿ 271.

∞

X

n=2

(−1)ⁿ n −√

n 272.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹2ⁿ²

n! 273.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ² (n + 3)^1/4 274.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n 1 +(−1)ⁿ

√n

!

275.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n^1/n 276.

∞

X

n=1

√

n + 2 −√

n^(−1)ⁿ

277. 1 − 1 + 1 −1 2−1

2+ 1 −1 3−1

3−1

3+ ... + 1 −1 k−1

k− ... −1

k+ ... ( k razy ) 278. 1 − 1 +1

2−1 4−1

4+1 3−1

9−1 9−1

9+ ... +1 k− 1

k²− 1

k²− ... − 1

k²+ ... ( k razy )

Kryteria zbieżności szeregów - co każdy student wiedzieć po- winien.

1. Warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, to lim

n→∞a_n= 0.

Innymi słowy, jeżeli ciąg (a_n) jest rozbieżny lub zbieżny do granicy różnej od zera, to szereg

∞

P

n=1

a_n jest rozbieżny.

2. Zbieżność szeregu nie zależy od pominięcia lub zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów.

Oczywiście zmiana lub pominięcie tych wyrazów ma wpływ na sumę szeregu zbieżne- go.

3. Kryterium porównanwcze.

Niech

∞

X

n=1

a_n i

∞

X

n=1

b_n będą szeregami o wyrazach nieujemnych, przy czym dla każdego n ∈N zachodzi nierówność a_n¬ b_n.

Jeżeli

∞

X

n=1

a_n= ∞, to

∞

X

n=1

b_n= ∞.

Jeżeli

∞

X

n=1

b_n< ∞, to

∞

X

n=1

a_n< ∞.

4. Kilka szeregów._∞

X

n=1

qⁿ jest zbieżny dla |q| < 1, rozbieżny dla pozostałych q.

∞

X

n=1

n^a jest zbieżny dla a < −1, rozbieżny dla pozostałych a.

∞

X

n=2

1

n · log^an jest zbieżny dla a > 1, rozbieżny dla pozostałych a. Logarytm ma dowolną podstawę większą od 1.

Lista 7 - 15 - Strony 14-17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

5. Kryterium d’Alemberta.

Jeżeli (an) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

   

an+1

a_n

  

= g < 1 , to szereg

∞

P

n=1

a_n jest zbieżny.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞)

n→∞lim

   

a_n+1 a_n

  

= g > 1 , to szereg ^P∞

n=1

a_n jest rozbieżny.

6. Kryterium Cauchy’ego.

Jeżeli istnieje granica

n→∞lim

qn

|a_n| = g < 1 , to szereg

∞

P

n=1

a_n jest zbieżny.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞)

n→∞lim

qn

|a_n| = g > 1 , to szereg ^P∞

n=1

a_n jest rozbieżny.

7. Zbieżność bezwzględna.

Jeżeli

∞

X

n=1

|a_n| < ∞, to szereg ^P∞

n=1

a_n jest zbieżny.

8. Szeregi naprzemienne.

Jeżeli (an) jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg

∞

P

n=1

a_n(−1)ⁿ⁺¹ jest zbieżny.

9. Kryterium d’Alemberta dla ciągów.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

   

a_n+1 a_n

   

= g < 1 , to ciąg (a_n) jest zbieżny do zera.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞)

n→∞lim

   

a_n+1 a_n

  

= g > 1 ,

to ciąg (an) jest rozbieżny, a ciąg (|an|) jest rozbieżny do +∞.

10. Kryterium Cauchy’ego dla ciągów.

Jeżeli istnieje granica lim

n→∞

qn

|a_n| = g < 1 , to ciąg (a_n) jest zbieżny do zera.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞) lim

n→∞

qn

|a_n| = g > 1 , to ciąg (a_n) jest rozbieżny, a ciąg (|a_n|) jest rozbieżny do +∞.

Lista 7 - 16 - Strony 14-17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 9.04.2019 (8:15-9:00 sala HS).

Czy istnieje ciąg (a_n) taki, że (podać przykład lub dowieść, że nie istnieje) : 831. a_n>1

n dla nieskończenie wielu n, ∀

n∈N

a_n> 0, szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny.

832. a_n= 1

2ⁿ dla nieskończenie wielu n, ^P∞

n=1

a_n= 10 .

833. ∀

n∈N

a_n²= 1 n,

∞

X

n=1

a_n= 0 .

834. ∀

n∈N

a_n∈Z^{, a}n= n dla n ¬ 100, szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny.

835. an= 1 dla nieskończenie wielu n, szereg

∞

X

n=1

an jest zbieżny.

836. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, szeregi

∞

X

n=1

a_2n−1 i

∞

X

n=1

a_2n są rozbieżne.

837. Szereg

∞

X

n=1

an jest rozbieżny, szereg

∞

X

n=1

(a_2n−1+ a_2n) jest zbieżny.

838. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest rozbieżny, szereg

∞

X

n=1

(a_2n−1+ a_2n) jest zbieżny, lim

n→∞a_n= 0 . 839. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest rozbieżny, szereg

∞

X

n=0

(a₂ⁿ+ a₂ⁿ₊₁+ a₂ⁿ₊₂+ ... + a₂ⁿ⁺¹−1) jest zbieżny, lim

n→∞a_n= 0 . 840. Szeregi

∞

X

n=1

(a_2n−1+ a_2n) i a₁+

∞

X

n=1

(a_2n+ a_2n+1) są zbieżne, ale mają różne sumy.

Rozstrzygnąć zbieżność szeregów 841.

∞

X

n=1

nⁿ

(n + 2)ⁿ 842.

∞

X

n=1

nⁿ

(n + 2)ⁿ⁺¹ 843.

∞

X

n=1

nⁿ (n + 2)ⁿ⁺² 844. Szeregi ^P∞

n=1

a_n i

∞

P

n=1

b_n o wyrazach dodatnich są zbieżne. Dowieść, że szereg

∞

P

n=1

√a_nb_n jest zbieżny.

845. Szeregi

∞

P

n=1

a_n,

∞

P

n=1

b_n i

∞

P

n=1

c_n o wyrazach dodatnich są zbieżne. Dowieść, że szereg

∞

P

n=1

√3

anbncn jest zbieżny.

Lista 7 - 17 - Strony 14-17