Szeregi liczbowe

Szeregi liczbowe

Denicja 1. Niech (an) to ci¡g liczbowy. Szeregiem liczbowym nazywamy ci¡g (Sn) sum cz¦±cio- wych:

S₁ = a₁, S₂ = a₁+ a₂,

...

S_n = a₁+ a₂+ · · · + a_n i oznaczamy go symbolem P^∞

n=1

an.

Denicja 2. Je»eli istnieje granica wªa±ciwa S = lim

n→∞S_n, to liczb¦ S nazywamy sum¡ szeregu liczbowego i piszemy, S = P^∞

n=1

a_n, a szereg nazywamy zbie»nym. Je»eli S = ±∞, to mówimy, »e szereg P^∞

n=1

a_n jest rozbie»ny do ±∞.

Twierdzenie 3. (warunek konieczny zbie»no±ci szeregu) Je±li szereg P^∞

n=1

a_n jest zbie»ny, to lim

n→∞a_n = 0. Twierdzenie 4. (kryterium porównawcze)

Niech 0 ≤ an ≤ b_n dla ka»dego n > n0, n₀ ∈ N. Je±li zbie»ny jest szereg

∞

P

n=1

b_n, to zbie»ny jest szereg

∞

P

n=1

a_n. Je±li P^∞

n=1

a_n jest rozbie»ny, to rozbie»ny jest P^∞

n=1

b_n. Twierdzenie 5. (kryterium ilorazowe)

Niech an, b_n > 0, (a_n, b_n < 0) dla ka»dego n ≥ n0 oraz niech lim

n→∞

an

bn = k, gdzie 0 < k < ∞.

Wówczas szeregi P^∞

n=1

a_n,

∞

P

n=1

b_n s¡ jednocze±nie zbie»ne albo rozbie»ne. Ponadto:

a) Je»eli lim

n→∞

an

bn = 0 i szereg P^∞

n=1

b_n jest zbie»ny, to zbie»ny jest szereg P^∞

n=1

a_n. b) Je»eli lim

n→∞

an

bn = ∞ i szereg P^∞

n=1

a_n jest zbie»ny, to zbie»ny jest szereg P^∞

n=1

b_n. Twierdzenie 6. (kryterium d'Alamberta)

Niech an≥ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

an+1

an ∈ [0, ∞]. Wówczas je±li g ∈ [0, 1), to szereg

∞

P

n=1

a_n jest zbie»ny. Je±li g ∈ (1, ∞], to szereg P^∞

n=1

a_n jest rozbie»ny. W przypadku g = 1 kryterium nie rozstrzyga zbie»no±ci szeregu P^∞

n=1

an. Twierdzenie 7. (kryterium Cauchy'ego)

Niech an ≥ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

√n

a_n ∈ [0, ∞]. Wówczas je±li g ∈ [0, 1),

to szeregP

n=1

a_n jest zbie»ny. Je±li g ∈ (1, ∞], to szereg P

n=1

a_n jest rozbie»ny. W przypadku g = 1 kryterium nie rozstrzyga zbie»no±ci szeregu P^∞

n=1

a_n.

Uwaga 8. Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze ni» kryterium d'Alemberta tzn. je±li szereg speªnia kryterium d'Alemberta, to speªnia warunek Cauchy'ego (jednak»e czasami wygodniej jest zastosowa¢

kryterium d'Alemberta).

Twierdzenie 9. (kryterium Abella)

Je±li ci¡g (an) jest monotoniczny i ograniczony oraz szereg P^∞

n=1

b_n jest zbie»ny, to szereg P^∞

n=1

a_nb_n jest zbie»ny.

Twierdzenie 10. (kryterium Dirichleta)

Je±li ci¡g (an) monotonicznie d¡»y do zera i ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu P^∞

n=1

b_n jest ograniczony, to szereg P^∞

n=1

a_nb_n jest zbie»ny.

Twierdzenie 11. (kryterium Leibniza) Je»eli w szeregu przemiennym P^∞

n=1

a_n pocz¡wszy od pewnego miejsca (wyrazu) n0 bezwzgl¦dne warto±ci wyrazów szeregu d¡»¡ monotonicznie do zera, to szereg P^∞

n=1

an jest zbie»ny.

Uwaga 12. Niech szereg naprzemienny ma posta¢:

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹an, gdzie an > 0 (1)

Wówczas, aby wykaza¢ zbie»no±¢ szeregu (1) z kryterium Leibniza nale»y stwierdzi¢, »e:

• lim

n→∞a_n= 0

• ci¡g (an) pocz¡wszy od pewnego wyrazu n0 jest malej¡cy.

Twierdzenie 13. (kryterium Raabe'go) Je»eli wyrazy szeregu P^∞

n=1

a_n s¡ dodatnie oraz istnieje granica g = lim

n→∞n

an

an+1 − 1 to:

• gdy g > 1, to szereg P^∞

n=1

a_n jest zbie»ny;

• gdy g < 1, to szereg P^∞

n=1

an jest rozbie»ny,

Denicja 15. (Szereg harmoniczny (Dirichleta))

Szeregiem harmonicznym o wykªadniku α ∈ R nazywamy szereg postaci P^∞

n=1 1 n^α. Twierdzenie 16. Szereg harmoniczny P^∞

n=1 1

n^α o wykªadniku α jest:

a) zbie»ny dla α > 1;

b) rozbie»ny dla α ≤ 1.

Denicja 17. (zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i warunkowa szeregu) Szereg P^∞

n=1

a_nnazywamy zbie»nym bezwzgl¦dnie je±li zbie»ny jest szereg P^∞

n=1

|a_n|.Szereg zbie»ny, który nie jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, nazywamy zbie»nym warunkowo.

Twierdzenie 18. Szereg zbie»ny bezwzgl¦dnie jest zbie»ny.

Przydatne nierówno±ci:

• ln x < x − 1dla ka»dego x > 0;

• ln(x + 1) < xdla ka»dego x > −1;

• sin x ≤ x dla ka»dego x > 0;

• sin x ≥ ²_πx dla ka»dego x ∈ [0,^π₂].

• tg x > x dla ka»dego x ∈ (0,^π₂);

• tg x ≤ _π⁴x dla ka»dego x ∈ [0,^π₄].

• | sin x| ≤ |x| dla ka»dego x ∈ R;

Szeregi liczbowe

1. Wyznacz sum¦ szeregu oraz znajd¹ jego wyraz ogólny, je»eli jego suma cz¦±ciowa Sn = _2n+1²ⁿ . 2. Obliczy¢ sumy podanych szeregów:

(a)

∞

P

n=1 1 2

n

(b)

∞

P

n=1

3ⁿ (c)

∞

P

n=1 3ⁿ−1

5ⁿ

(d)

∞

P

n=1 2²ⁿ+2ⁿ

8ⁿ (e)

∞

P

n=1 1

(2n−1)(2n+1) (f )

∞

P

n=1 1 n(n+1)

(g)

∞

P

n=1

ln 1 + ¹_n

(h)

∞

P

n=1 1 n(n+1)(n+2)

3. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregu P^∞

n=1

qⁿ w zale»no±ci od parametru q.

4. Zbada¢ czy podane szeregi speªniaj¡ warunek konieczny zbie»no±ci szeregów:

(a)

∞

P

n=1

(−2)ⁿ (b)

∞

P

n=1

cos¹_n (c)

∞

P

n=1 n² n³−1

(d)

∞

P

n=1 n n+2

n

(e)

∞

P

n=1 3 5

n

(f )

∞

P

n=1 5ⁿ+2 2³ⁿ−1

5. Zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów korzystaj¡c z:

• kryterium porównawczego (a)

∞

P

n=1 n

n³+1 (b)

∞

P

n=1

tg^{2 √1}_n (c)

∞

P

n=1 2ⁿ+1 3ⁿ−1

(d)

∞

P

n=1 ln(n+1)

√3

n² (e)

∞

P

n=1 5n²+3

n³ (f )

∞

P

n=1

√ 1 n(n+1)

(g)

∞

P

n=1

√n+1

n(n⁴+n) (h)

∞

P

n=1 1 n

√n + 1 −√ n

(i)

∞

P

n=1 1

nln 1 + _n¹
(j)

∞

P

n=1

sin_n¹ (k)

∞

P

n=1 1

n² sin_n¹ (l)

∞

P

n=1 1+n 2+n²

3

• kryterium ilorazowe (a)

∞

P

n=1

n³−2n²+1

n⁵−n⁴+2 (b)

∞

P

n=1

√ 1

n(n+3) (c)

∞

P

n=1 3ⁿ−2ⁿ 4ⁿ−3ⁿ

• kryterium Cauchy'ego (a)

∞

P

n=1 n³

2ⁿ (b)

∞

P

n=1 1

n 1 + _n¹
n²

(c)

∞

P

n=1 n 2n+1

n

(d)

∞

P

n=1

sinⁿ _2n^π

(e)

∞

P

n=1

n ³₅
n

(f )

∞

P

n=1 n+4 n+3

n²

(g)

∞

P

n=1 n^{n+ 1n}

(²ⁿ⁺n¹)ⁿ (h)

∞

P

n=1 2nnⁿ²

(3n+1)ⁿ² (i)

∞

P

n=1

√1 n

kryterium d'Alamberta

• kryterium Leibniza (a)

∞

P

n=1 (−1)ⁿ

3n−1 (b)

∞

P

n=1

(−1)^{n n+2}_n2+3 (c)

∞

P

n=1 (−2)ⁿ

n!

(d)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ _3n−1ⁿ⁺²
n

, (e)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ √ⁿ 2 − 1

(f )

∞

P

n=2 1

ln²ncos(πn²)

• kryterium Dirichleta (a)

∞

P

n=1 sin^nπ₄

n (b)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹_ln(n+1)¹ (c)

∞

P

n=1

(−1)^{n+1 sin n}_n2n

(d)

∞

P

n=1 sin n

n

Wskazówka do podpunktu (d) skorzysta¢ Pⁿ

k=1

sin(kx) = ^cos

1

2x−cos(n+¹₂) 2 sin¹₂x

• kryterium Abela (a)

∞

P

n=1

(¹⁺n¹)^−n(n!)2

(2n)!

• kryterium Raabego (a)

∞

P

n=1 n²n!

(n+4)! (b)

∞

P

n=1 1 n!.

• kryterium kondensacyjne (a)

∞

P

n=1 1

n (b)

∞

P

n=1 1

n^α, α ∈ R (c)

∞

P

n=2 1 ln n

(d)

∞

P

n=2 1

n(ln n)^α α ∈ R

6. Co mówi¡ kryteria Cauchy'ego i d'Alamberta zastosowane do szeregu P^∞

n=1

2^(−1)n−n? 7. Zbada¢ zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡ podanych szeregów:

(a)

∞

P

n=1 (−1)ⁿ

n (b)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n² (c)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n³²

(d)

∞

P

n=1 (−1)ⁿ

n! (e)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ(√ⁿ

n − 1)ⁿ (f )

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ ln(n+1)

(g)

∞

P

n=1 sin n

n² (h)

∞

P

n=1 cos(nπ)

4n−1 (i)

∞

P

n=1

(−1)ⁿcos n n3ⁿ

(j)

∞

P

n=1

√n cos√ n

n⁴ (k)

∞

P

n=1

sin n²

8. Zbadaj czy ci¡g (an), gdzie an= ^1!₃ + ₃^2!2 + ₃^3!3 + . . . + ₃^n!n jest ograniczony z góry.

9. Korzystaj¡c z kryteriów zbie»no±ci szeregów, sprawd¹ czy:

(a) lim

n→∞

√n sin^{2 1}_n = 0 (b) lim

n→∞

(ⁿ⁺¹n )ⁿ²

3ⁿ = 0 (c) lim

n→∞

(n!)² 2ⁿ² = 0