SZEREGI LICZBOWE

(1)

SZEREGI LICZBOWE

(2)

Napi ^'s m€an ôznacza pay apgivmeoywistyar ^: ⁽ ân ⁾ ^new Î ⁽ ^Sn

)n€w£

gdzie _Sm= _aetazt

^. ^.

+ an =←¥ ^ak

WmiektomyohsytuageIrnI2ano2nac2oIbgdzeyranicgnltnnoSn.czylisumgs2eragulicsboweifo.M5wimyizes2ereglikbowyjest2bieznyje.sligvaniaeistmiejeijestskon.csome.Historyc2hiemeczbionqckomcepqeistnieniesKoncsonejsumymieskoricsomejlicsbyskiaolnikivmastvgc2ouatruolnosci.2ainteresowanimogqpoczytacoZenoniezElei.ws2cregoluosci2apo2nacsigzparow1oksemzo.LwieiAchillese.UcsqcsigmatematyKiwtokunomkis2Kolng.pier.ws2yva2nas2ereojlicsbowenapotykamypmyokozjipvoblemu3amianyuIQmkiW2wyKeychmeuIamkidziesigtne.0kawjesigbowiem.Zeuiamki.ktonychmianownikmewvo2kiadzienecsynnikip1erws2ecsynnikiinneniz2i5menieskon.csonevozwinigciedziesngtne.Npitj-Oi333C3Jtf-Q142857142857C1428571n142857It3a.n3got.n-i-YYIt.i-t4z857I@4oYne23.1n-11OhFttgttftn1ttattat.i.Jes2c2einnypmykladi1-nB21pn-11Ws2ystkiepowyzhepmykaaytosumyszereojwgeometryeanychiktorepolinyijestwsglgdnietatUokomysbjgcze2nanycnwwnowit-qh-a-q1atqtoit.itqnYhtqt.t

It tilted

(3)

nqtoititoi ;&oi=i÷÷ ,

.IE#uIooi

^-

^to ^'i÷÷ ²

Skoncsona

opaniue istnieje gay ^lql ^< ¹

^.

^Wtedy ^qh ^¥30 ⁱ

£ ^qK= ^1-

1<=0 1

^-

q

W wielupmypadkacer ^mie powafmy analeiijawneyo ^wzoru ^me wyrazy ciggu ^Sm

^.

Chcielibyimy ^umiec ^' wypowiaola ^'s ^Sig ^o ^zbieznosa

.

Zan ^me

podstawie ^wiasnosci iqgu ⁽ ^an ⁾

^.

^Poniewaz ^Sm jest poprostu szaegilne

^.

go nodwju ^ciqojem ^wowto sprawdsic ^co dajg ^shame twierdzenie

o sbiezuosa

^.

ciggiw ^a tym szcsegoluym pmypowlku

^.

^Lonnie my

od wowuuku Cauchytgo ^:

dld dowoluegocipgu ⁽ ^Xu ⁾ ^:

YE >o FNEIN Fm ,n>N ^I ^Xn

^-

^Xml ^< ^E

old Sm

HE >o FNEIN Vmin ^> ^N Ism

^-

Snl ⁽ ^E

I owe m > m

|Qm+ _am

.

, +

^.^"

+ anti ^/

w saosegjluoja

^.

^jesli ^m=m

^-

¹ ^many

lamlcc ayii an ¥0

Warunek Konieczny ^zbieznojci ^: jes.li ^Zan _abiezny ^, ^tan ^Sm _jest _apgiem Cauchy ^' _ego w ^to ftp.an-0

^.

wymikanie ^fest ^to ^jedynie ^warunek ^Konieczny ^,

dvwgq ^strong ^Mie ^ma ^co pokazuje pmykiad

n§n Into oktonym byre ^more wneimiejpnyokasji ^caiki

Divichlele

(4)

SZEREGI ⁰ WYRAZACH DODATNKH 3 Wdalszym ciggu aojmowai sigbgdziemy _szeregami ^, ktonych wyrazy

an sq ^dodatmie ( ^olodotnie ^old prairie ^wngstkich ^m ⁾

^.

^W ^take ^'m

pmypadku _Nosngg ^cigg

^.

^sum wiaowmo monotomicsuie ^csgsuiwycu ^jest ⁽ odpewnegomicjsue )

, ze take

^.

apy jest abiezny job

^.

jest

ograuicsomy _sbiezhosci

^.

Uzywojqc teyotwcrobariemozme ^Noztnygupc ^' ^o

szeregu flout ^:

Sn=k£g start Ittetft

^.

.tt#Et+t+tz+tat...ttIn.i=2tfz+tut...+tzn }E ^,

f ²⁺¹⁼³

Ogvauicseuie ^seualezile ^'s .my pomiwnujqc szereg Imf

.

one sbieznym _szeregiem

Z ft sauwazajgc ^ze ^#f #

^.

Ogilvie ^men ^biovqc many twierdzeuie

TWIERDZENIE PIERWSZE KRYTERIUM POROIWNAWCZE Nied ( an ) I ( _Cn ) bgdq

ciggami ^dodothimi ^takimiie ^owe prairie ways ^Haile ^M ^sachoobi ^an ^f ^Cn

^.

Wiwcsasjesli ^2cm jest abiezny ^to

Zan ^tez jest abiezny

^.

fish

^.

^Zan jest

vozbiezhy ^to ^tokze ^Ian ^jest rosbiezhy

^.

David jest oaywisty ^, ^wigc ^mie bgobiemy _go sapisywac

^.

^Pierwsae ^knyterium ^porow

^-

nowise jest bowokowazne

^-

w ostatecsnym Nozrachuuku wswptkie ^inne Kyte

^.

me wyuikajq amigo ^posreduio

^.

^Skutecane beaposredniojest jcdudkjedynie wtedy ^, gay ^many ^do pomiwuauia odpooieduio ^died _sozhycu neregov

sbieznyai ⁱ Nosbiezhych

^.

Jok ^mowazie ^w ^nbazie danger ^" _many

Tnbiezne : Z q ^" ^die lqkj , Z×hx wszcsegilmosa

^.

^Znt ^,

Rosbiezne Z In ^, Zq ^" 10421

^.

Borg danger Nozsnemymy nosujqc ^lauat ^o saggnhauiu

^.

(5)

LEMAT 0 ZAGESZCZANIU 4

Niech ( an ) bgdsie mierosnqoym ciggem wyraziv ^dodatmih

^.

^Szereg ^2£ ^, ^an

jest sbiezhy wteoyi tylkowteoly ^gdy sbiezny gist szereg ,€y ^2k ask

DOWJD ^:

Nick Sm= Kean Rµ=j#n Lies

;

Syk=

aztazt Qstaatag tag ^+Q _, ^ayk tagtagt ^Q ^,o+Q ^, ^,+aµ+QbtQ ^, ^st.

^.^.^.

⁺ ³

÷

at Qg

agtagtagtag Z lt. zk

^.

^lap ^'s

astazt 204+498+8 and

^.^"

+2k

^'

task ⁼ azttzjtky ^2k ask ⁼ azt FR ,

Sy ^> azttzrx

§kz ⁼ _{Azt Oyt} _azt _Qgtagt ^Q _stay ⁺ _Qgtagt Q

,o +0in tan tan , tam ⁺ Oyston

o÷ ^.

f Qztaz agtagtagtay 8Qg

"

+0k¥ fast Ldzthaut 80Gt

^:

^'t ² "a£← ^, ⁼ Ryyta ^,

= ₂

Szk

^.

_, ^f ^a ^It Rk

^.

_z

Iatozmy ^satem ^, ^ze ajg ⁽ ^Rk ⁾ ^jest ^sbiezny

^.

² mohotonionosa

^.

( 12£ ) wynike ^,

zefklign ^. ^R ^,eR ) ^Hk ^Rkf ^R

^.

_Many ^wise

Szkyfazt ^R ^Ponadto ^the ^IN ^FK ^: ^me ²¹¹

satem Smf Szk

^.

^± ^{ ^{ant R}

^.

^Gpg ⁽ ^Sm ⁾ jest ^wiqc ogranicsony

^.

2 mowolonicsuosa

^.

Sm wynikd ^sbiezhosc

^.

⁽ ^Smj

^.

Niechteraz Sm bgobie abiezny

^.

² mouotonicsuoia

^.

Sm wymke ^, ^te Smograuiaony ⁱ ^th Smfsinhinosm ^sateen

SZSZKHZQSIR ,

(6)

Ciqg ( Rk) jestwiqcoopauiaony isbiezny

^.

5 Jest oaywisteze ^jes.li Rk¥% ^to ^Sm ^# ^a ^co _wynike ² ^hierow

nosci sielong

^.

ⁱ ^odwnotnie ^, ^jes.li ^Snags ^to ^takze Rk¥x ^a

wynikie ² ^mierowuosa

^.

miebieskig

^.

_a

Zastosujmy ^lariat ⁰ Iaygsaowmeu ^do ^n}2 ^, £ ^p ^{> 0} ^, ^PER ^tan

www.Tzzk#p=zzIp=zzkptk=Z(pFDk0tnymalismyszereggeomemycznyoilovazigp.-.Wiemyzeszeregtenjestabiezny the 104<1 ^ten

/ # ^/ ^< ¹ ¹ ^s ^2P ^" ^i. ^e. ^p ^> ¹

^.

Szereg Into jest abiezny ^due ^p ^> ¹ ⁱ rosbiezhy ^owe ^PEI

^.

Szereoj ^ZYNP ^bardzo sigpmyolajq ^do ^bowlanie ^ztieznosa

.

szeregiw rdzhycn

^.

Zwtaszcse w kontekscie

ponizhego knyterium ^:

TWIERDZENIE DRUGIEKRYTERIUM PORJWNAWCZE

Niech ( an ) ⁱ ( bn ) bgdg apgami wynawiw nieujemnycn ^, ^bnto

m

^:

liminf ^0b±n ^M= limsup 0¥

Jesli ^Zbm jest sbieznyi ^Mca ^to ^Zan ^just sbiezny

^.

fesili ^Zbm _jest rozbiezny ⁱ ^m ^> ⁰ ^to ^Zan jest rosbiezny

^.

DOWOD

.

Niech Zbm bgdzie zbiezny ⁱ ^M< ^a. Pmypominamyize graniae go.me ^jest kresemgornym ^sbionu punktow skupienia

^.

Josh

^.

^Mc ^a ^to

istnieje , c skoncsone czm ⁱ tikie

, Ze pxawie wszystkie wynaay cipgu

(7)

aybn ^< ^C

^.

WtedydhepvawiewszystkicunQnccbmimozemyskonystoc2pierwszeyoKnyteriumporownawc2eyo.fWezmyterazZbnvo2biezhyims0.Gvaniaedolnejestkvesemdolnym2biovupunktivskupieniecipguQn1bn.DlakazdgliubydiOsdscsachodziwarunekiprawiews2ystKiewyra2ycipguQYbmsqwiokhemizd.1Wimywigc.olheprawiewnystkichm0Iso1-sansd.bmiponowniemozemyskonsy8tad2pierwnegoknyteriumpomiwnawc2efo.pPR2YKkADi2boudojmysoiezhosis2eregunIf9yljnMnnNaokollwiolac.zewyrra20yo.lhys2ereyunsacbowujesiglljaKmtpdldp-31z.spoolziewamysigwisc.zemaszs2eregbgdsiesoiezny.WYbieramybm-nf3iliuymynldnoE-nleyo@tMMXeimN3tI.r1tn2n-so1tm2DtIstniejejeszosetmeciekmyteriumpomwnawc2e.e1epraudgmowigcmigdymiehdaiomisiggodoniczegouzyc.D

he pomgdku sanotuj

^.

my

TWIERDZENIE TRZECIE KRYTERIUM PORJWNAWCZE

Nick ( an ) , ( bn ) bgdq aiggami ^o wyraw.cn ^owdatnich

^.

Toile

.

owe

prairie wszystkidr ^m ^ohadwdzi

Qh# ^f _bn ^b#

to _2e sbieznosci Zbn wynikd ^abieznosc ^Zan , zrroabiezhosci ^Zan

(8)

wyhikie noabiezhoji Ibm

.

7 DOWOD _Ponownie

komystamy ² pierwssego knyterium parownawcsego

^.

Jeslimierownosc ^sachodzi ^old prairie ^whystkich ^m ^, ^to ^sachoobi

Ollie whystkidr

MZN ^old ^pewnego ^N

aa÷oo÷ao÷=o÷,ooi÷:aa÷eb÷5÷.5÷=s÷

§ ÷h÷i¥÷±

aa÷f ^bnp ^⇒ ^ant ^ab÷ ^bn

court

.

On

Jeili ^do porownanie uzywamy ^szerefu ^geometry cznefo otmymujemy

awe klasykne knyterie ^: Cauchy ^' _ago ^I ^dttlemberb

^.

TWIERDZENIE KRYTERIUM CAUCHY ^' EGO

( an ) ^: an 30 D= limsup fan

yes ^.li ^a ^< ¹ szereg jest sbiezhy ^, ^jes.li ^a ^>1 szereyjestroabiezny

^.

yes ^.li ^D= Lknyterium ^mie nozstryge

^.

Dow 'oD : jesli limsup Fan ⁼ x < 1 to istniqe p ^> ^d ^I p< ¹

take , te prairie wszystkie _wyrazy ciggu ^Fan ^speiniojq fan ^< _p ⁼ ^> _an < p

"

Zp ^" sbiezny

^.

Jesiei limsup Fax ^>1 ^to _istnige p ^: ^p< ^& ⁱ ^p ^> ^is ^take

Ze prairie wszystkie wyvazy ciggu ^Fan speoniajq

Fan ^> _p >1 an ^> p ^" Zp ^" vozoiezny

On

(9)

PRZYKTAD ^: Krytevium Candy ^' ago sastosujemy ^do ^paskuolnie 8

wyghgowjqcgo szeiegu

In ^mhtl

n.IE#+n+0 ^"

ran '=kIiI→÷÷⇐I±÷¥.÷÷a#

^.

=z#€

^.

^WEI # ¥ ^< ¹ szereg jest atiezny

K t t ^on

*

TWIERDZENIE KRYTERWM DALEMBERTA

Niech ( an ) bgdzieciqgiemdoowtnim

^.

Osnaosmy

m= liminf Off ^M= limsup 0f÷ ^'

Jes ^.li ^14<1 szereg ^Zan jest sbiezny

^.

^jes.li ^m ^>1 szerey ^Zan jest Noabiezhy

^.

Dow 'oD ^: Nick limsup °oh÷=M< ¹

^.

_Istniqie _wteoy ^hube _p ^< ¹

ip ^> ^M ^take ^ize

don't ⁽ _p ^< ¹ _dleprawie _wszystkicu ⁿ ^, ^tan

owe ^anti ⁽ MZN ^pan ^ale ^spam ^pewneyo F

^.

^,c

^.

^< ^N ^"+aI

^.^.

^pn _0¥ ⁽

^.

^. ⁾ Zpmjestsoiezny

Mozmetez potozyi bmtp ^" iuzyi ^I kyt

^.

pomiwnavnego

^.

Rdobnie dowodsimy vosbieznosa

^.

dle m >1

.

A

(10)

PR2YktADiKnyteriumoiAlembertedobmepasujedoszereyoW.ktonychwyvazysawierojpsilnig.npi0jIsPnr@au0oe-tEtntTIIneatsnEtanEEnexnnantuHetlTC2htDC2nt3fg2F3Ic1szeregsoiezny.KnyterieGuedylegoidlAlembertesgbowobopodobne.Kojanyisigmogg2faktemovownoscigvanicilimFxn-limxxnTjes.ligvaniaepoprawejswonieistmig.e

.

No , podstdwie ^" jeolnoswonnosci ^" tego ^faktu mozmepodejnewai ^, ^ze kryterium wudujeyo ^jest subtelnigne

^.

^Tak ^tez jest ^w îstoae ^, â ôdpooiedni ^fakt ^to ^:

FAKT ^: Dledowolnego ciqgu ⁽ ân ⁾ ô wyvazach ôwowtmich ^sadwdzi liminf dant fliminffan ^' ^{ limsupfe ^{

limsupaont ^PRZYKTAD âlb ^>0 ⁽ ^Fichte ^Zxn= nho± Ît ¹ ât ² abtabtoibtabtab ³ ⁴⁵ ^, ⁶ 't

^. ^.^.

× 0=1 Xz= ^Xoie Xa=%

^.

^b ^×y= ^xje

^.^.^.

×2n= ×2ny

^.

^b ×2n+ ,

''

×2n

^.

^&

×g÷= { ^ab ^kmgterium ⁰¹ ^' ^Alembert ^mowi ^wiqc ^, ^ze ^szereg ^jest

Ibiezhyolhe ^a ^,b< ¹ ⁱ ^vosbiezhy ^dle ^{a ,} ^b ^> ¹

^.

Feron "fE=ak±b#=oEoE¥b±bi¥ in

(11)

"

ftp.ak#ba=aatatEbatbL ¹⁰

t +

# ^Mab

2 ₁

Knyterium Cauchy ^' _ego ^mowiize szereg zbiezny gay ^obcl ⁱ ^nzbiezhy gay ^at ^> ¹

^.

DOW '0D ^: Udowodnimy ^mierownosc sornacsong ^me ^niebiesko

^.

^Nick

&= limsup Off

^.

Iatozmy ^Ze âs ^x ⁽ ôwe ^D= â ^mierownosc

.

zoawdzi

^.

¹ he dowolnego p ^> ^x ^pnawie ^wszystkie ^wyrazy

ciggu 08¥ _speiniajg The ^< _p

^.

^Prairie ^wszystkie ^,

ayli ^a ^pewnosaig wszystkie ^the ^m ^> ^N

aantssp ^an ^< _pan

^.

^, ^< fans ^c. ^< pmNan=pn0ya

an ^< pm ^at P ^"

if ^< pfaff ^limsupnrep

^.

Many tp ^> ^× < limsupfsp ^⇒ ^limmp ^Fan ^x=limmp0j÷ ^" ^a

NQ Koniec jedne ^Wazhe ^wtasnosc szeregow ⁰ wyvazach ^owdatnicu

^:

TWIERDZENIE

Nick ( an )n←w bgdzie ciggiem ^olodatnim ⁱ ^takin ^, ^Ze ^Zan jest onbiezny

^.

^Niech ^takze ^I

^:

^IN

^-

^> ^IN bgdzie bijekcjg

^.

Oanaczmy bn= Olga ,

^.

Szereg ^Zbn jest abiezhyi ^sunny ^Zani ^Zbm

sg jednakowe

(12)

DOWOD ^: 11

Sm

⁼

,¥y Rn=I¥bk=k¥a%⇐ Ok , We -2mg Mlk )

⁼

^Max f ^Th ⁾ ,

^.^.^.

^, ITCH )

m Ck ) > K i Kt > Mlk )

nest miemaleigue

Rmn ^Shiest ogranicsony ^, Smh , tez satem Ibn jest sbiezhy

^.

B ^SmfRe€> ^. :÷:÷;imen→ws⇒ :c ; ^.

Oba ciggisg2bieznedotejso.mg

^.

granny

^.

• Whiosek

^:

szeregiowyraw.ae olodoilnich motive sumo Wai w doubling

^.

Kolej ^no

^-

Ici

.

Zostouo jeszcsejedhoknyteriumzbiezuos.ci szeiego.ir ^:

TWIERDZENIE _KRYTERWM _CAT _HOWE ₍ _Bgolzie _pizniej _! ₎

yes ^.li istnieie malcjpce funky

^.

^e ^f

^:

^ft ^, ^- ^I

^-

^s ^IR ^oloolatuie ^take

^,

^ze

an

^-^-

flu ⁾ ^to _szereg ^Zan jest rdbieznywteayi tylkowteay yay

sbiezhe jest ^coiled If ^I ^x ⁾ ^ax

Dowds

^:

ft

# ^h ^f ^f ^{f 9}

-

A¥⇒⇒ I I I I l I l I

(13)

§ 9Md×=£?Qn ^hlx ^)d×= § ^{ ^an

.

⇒ gih ^sq ^caekowalne wtedyi 1 }

tylko ^wtedy ydy ^Zan abiezny

^.

Kryterium ponownawcze caikowaluosu

^.

daje

^:

jes.li _y ^wikowalue ^to

f ^wiekowalne , ^sbieznosi Aten ^Zan _daje caikowounosc

^'

f.

Podobnie wilkowaluosi folaje wiekowaluosi ha wigc ^witkowal

^.

hose foliage ^zbieznosi ^Zan ^a

Inoue sq jeskze ^inne knyterie ^sbiezhosa

^.

szeregos

^-

knyterium Rowbego ^, ^Kummere ^, ^Bertrand ^a

^,

^Gausse

^.

^Mozne ^o ^nick

pmecsytac wpodvgczniku Fichteuholzle ( ^tom I )

SZEREGI 0 WYRAZACHDOWOLNYCH

Zojmiemy ^sing ^terror _szeregami ^, ^Kline majq wynazy ndznydi ^znakoir

^.

^Qomwazmy

pmede wszystkim

^,

^ze Wjmowai sigtmebajeolynie ^szereyami ^, ^ktdve mojq

mieskonicsenie wide wynaziw ^dodathich ^I ^ujemnyoh

^.

feilijedynie ^skonicsone

liable wyvaziv ^jest odmiennefo ^snoku ^wiwcsas ^ciqg ^sum kgbciowych

jest ^od pewneyomigsce monotoniosny ( _vosngcy jesli prrawie wszystkie wynasy ^sq ^dodatnie ^, malejqcy jes.li prairie ^wszystkee ^sq ^ujemne ⁾

ipopmedhie twierokeiuit mozme stosowai

.

Laonnijmy odprsykiadu

^:

n£ytn hill ⁿ

^-

_szereg anharmonicsny

^.

Rozpatmymy

due podajgi ciogu ^sum csqsciowych

^:

2k

As _a .+in¥tA"nt= ,eZ ^an

^-

Htattftuttft "±=H .tHat⇒=

^-

: Hada attttf :# tat

^.^.^. ^.

^'

^.

etktitsnta ^to

^-

tot

^. ^.

ala. , ,

Au=X€ SIX ^Ansi ^'

^-

^¥2 , kaka

(14)

A2kiI22kkk-A2ki.silmI22HTktI13ftzDjestnosnpcyfA2ki.DmalejqcyiA2kts-A2kt2TTiA2khA2kt1Obapodciogisqmonotoniosneiafnouicione.awiqcabiezhe.2ewsglgolumatoiizkkjmnsA2kn-A2k-0obaapgiabiegajqo6tg.sQmejgvanicy.Pouiewazwynasycipgoivtt2ktDiH2iDwyoserpujgtpcsniewszystkiewyra2yciqgnCAD.taKzeciqgAnjestsbieznyolowspoluejgranicy.Wkrotce.wykopystnjqctorigszeregowpotsgowyanbgolziemyumielistwierdsiiiznFeEDhtlnL-log2.SposobwjaKidowodzilismyabiezhosciszereguanhowmonicsneyomozna2astosowacdodowolnegoszeregupostdcinB2En5anjes.lianso.anmalejqcyinlisnoan-0.TWlERDZENlEkRYTER1UMLElBN1ZANiechCaDbgdsiedoowtnimcigojemmalejqcym2gvaniqnr.wngO.SzeregZGDhaujestsbiezny.D0w0DiRo2patrujemypodciggicipgusumosgsciowyaiAzktfQztQlzfQztauf.if0yk.etQzkjAzWE-Qst@zoominternet.net

(

^'

azm

^.

it Q2m ) ⁼

^-

as ⁺ }h

,

( _aam

^-

_azm

-

, )

Azk jest modejqcy ⁾ ^Azk ^,y ^jest mosnpcy ⁾ ^A2k+z ⁽ A2k ) A2k+s

^.

A2k=

^-

^A _2kt Oba podciqgi ^sq ^sbiezne ^do tq

^.

sang

^.

growing ^, ^satem ⁽ ^An ⁾ ^takze ^jest

sbiezny ^a

PRZYKTAD [{ ^sin ⁽ ^HI ⁾

sin ( YI )=sin(t[n+ # ])=sin( ^[ ^m

^-

^st ^¥ ⁾

^-

^sin ⁽ ⁽ ^unit ⁺ ^E)

⁼

(15)

sin ( YI )=sin(t[n+ # ])=sin( ^[ ^m

^-

^st ^¥ ⁾

^-

^sin ⁽ ⁽ ^unit ⁺ ^E)

⁼

=sinC#

) ^cos ( I )+ws( ( h ) . ) since ) ⁼ faint

since

an

Szerey spetuie ^soiozeuie knyterium ^Leibmize

^.

• Szereganharmomicsny oktonym ^more byre woseinig

^.

jest pmykiadem szeregn

o ktomym mowing ^, ^ze jest abiezhy ^wowuukowo ^, ^tzu ^Sam szereg ^jest

abiezny ^, ^ale szereg ^wowtosa

.

beawsglgdnyu ^juz ^mie

^.

DEFINICJA Szereg ^I ^an ndzywamy stieznym bezwsglqolnie josh

^.

sbiezhy jest szereg Zlanl

^.

Jesli ^Zan jest sbiezny ^lecz ^Zlanl jest ^Nozbiez my ^to ^Zan nasywamysbieznym ^warunkowo

^.

FAKT Szereg bezwsglqdnie abiezny ^jest sbiezhy

^.

DOWOD ^: Istotmie

, niech Sm bgdzie sung czqsciowq szeregu ^Zlanl

Cigg ^ten jest sbiezny ^, ^tan speinie ^warunek ^Candy ^' ego ^: Isn

^-

Sm ¹ ^< ^E dhe duzyck ^him

n

1 Sn

^-

Sm ^I ⁼ 2 lanl ( ^m ^> ^m ⁾

K=m+i

Jes ^.li ^Am ^oshdczd _sung czgsciowg ^dle ^Zan ^to

I An

^-

Amklkhtgnnanlf ^Inzmnlanl ⁼ ^Isn

^.

Snl ^< ^E

Latam ( ^An ) takzespeenia ^warunek Gmaykgo ⁱ jest abiezhy

^.

_•

Szeregi ^sbiezne ^wowunkowo majg _pewnq _ciekawq ^wiasnosc ^' ^o ktovej ^mowi

pomizhe twierdzenie

^.

TWIERDZENIE ( ^RIEMANN )

Jesli ^Zan jest sbiezny ^wowunkowo ^, ^to dhekazdej hisby ^Se ^1Rv{ ^to ^,

^-

^of

isthieje ^bijekgie Î ^:1N→N ^take îze k£2 âster ^, ⁼ ^s

^.

(16)

DOW '0D ^:

Lomwazmy ^, ^ze szereg ^, Kling jest sbiezny ^wowunkowo ^Musi ^miec ^'

mieskoncseuie wide

wynaziw ^dodathich ihieskonczeuie wide ujemnycn

^.

w pmeciwnym ^ramie szereg byrby abiezhy beawsglgdnie

^.

Zdefimiujmy

dwa doing ^:

µ= ⁿ ^: ân ^< ⁰ . ^} ^P={ ân ^: ân ^>,o ^} ¹⁵

Oba sbionysq pnelicsalne ^, upompdkujmyje ^trek ^, by element ^N twomyty

cigg money ^e elaueuty ^P ^cipg ^malejpcy

^.

^Many wigcdwe cipgi Pki ^Nk

-

pierwssy ^owuatni ^, drugs

.

ujemny ^, ^Obe mojgce Franics nownq ⁰

^.

Lemwazmyize

jcs.li ^Zan jestsbiezny ^warunkowo ^to

ZP ^K ⁼ ^x ⁱ

ZNK ⁼

^-

^x

^.

^Wpmeciwnym ^name ^szerey ^bytby sbiezhy beswsglqdnie

^.

Ustodmyteraz ^se ^IR

^-

^Dba unaleuieuwagisouokmyize ^s ^so

^.

Konswuujemy swag stiezny ^do ^s ^:

G) kz jest hajmniqjzqlisbq naturalise take ^ze Pztpzt

^. ^.^.

⁺ ^Pk _, ^> ^S

(2) los list nojmnigszgliubq ^maturating ^take ^ze

1£ ^Pi ⁺ ^Nzt ^Nzt

^.^.^.

⁺ Nez ^{( S}

:3

) kzjcstmajmnigsue liubq maturating loigkng kz ^miz ⁱ take ^,ze

ZPI Ki ⁺

ZNI ⁺ ^P ⁺

^...

+10 ⁱ⁼ ¹ ^w ^czwartym ^i=z ^kroku ^kzt2 auowukomystomyz ^(g) ^kz ^> ^s ujemnycu wynaws

: _nstruujemy ^w ten sposob _szerey ^, Kling jak ^take spnawobic

^'

^jest abiezny ^do ^S

^.

Skomo _bowiem

Qpµ Î Qµk ^Sq ^monotonic ^zne Î ^sbiezhe ^do ² êra ^to ^sway ^ze

odlegtosc

.

sunny uqsciowg

^.

_po wykonaniu ^dwoch ^krokoiw konswukyjmyur ^jest

mniejsue ^miz pmed

^.

Dokiaolniei , hiech Rmbgdzie _suing czgsciowq neregu

(17)

kto.my komstruujemy

^.

Many .li/c1Neil0razls-Rki+.+ei+.k/Nlin/

^-

^Rk Is ^' ^Neil

Podobnie Is

^-

Rkiteiyl ^< ^Pki ^oraz Is

^-

Rkintei ^I ^' Pkim ^' ^Pki 16

1 23 Kz ^kztt

^. ^. ^.

kytlz

^.^. ^.

kztlz

^.^.^.^.

kztlz

^. ^.^.^.

kztlz

^. ^. ^.^.

kstlz

^. ^.^. ^.

Kytlz

I

This I

lRn-s1Obaogvanicseuieo1qzqdo2ere.jeAmi9dzyjestmiqdzywobectegoRn-S-70.PksaNes.NesPkaBarobopodobnieprowowlzimyowwo.oldhess0.so.ayuoydcodelemeuto.wciqguNk.Nowekolejnosiwyro.so.wciggn@njwysmecseodwzorowanieTis-txtaKZepostgpwjemypodo6nie.Npdbes-txkonshruujemynowyszeregwtakisposob.abyumiepousy8tychkrokaapmekvacsackolejnelimbymoturalnewiswpanynycucofaisigjedynieodrobing.npofdeuwyrra2ciqguujemnego.oPRZYKtAtzttz-ytt1s.t

. ⁺ ,±

^.

ft

^.^.^. ⁼

log ²

theta

^.

ftotte

^-

Fote

^'

tnttts

^' ^. ^"

Fzaoianie _?

Dhe szeregow licsbowych ^o wyvazo.cn postaa

.

Qnbn many ^due

Klasyczne

twierdzenie podobne ^do odpowiednichtwierohen ^' ^o ^zbiezhosa

^.

^oaiek

miewtasciwych ^:

(18)

TWIERDZENIE KRYTERIUM DIRICHLETA 17

Niechcn-QnbngdzieCanjjestciggiemdodatnimsmonotonic2niemodg.gaym2grranicgrovnqzero.CbrDjesttakiiZeciqgsumcagsa6WychBntzhbkjestafvanicsony.WiwowisszereyZcnjestsbiezny.ipoolobneTWlERD2ENlEKRYTER1UMABELANiechcn-anbngdzieCanjjestciggiemmonotonicznymiogranisonynmCbrDjesttakiiZes2eregZbnjestsbiezhyWiwcsasszereyZajestsbiezny.2omwazmyzebiorqcwknyteriumDirich1etebm-EnYotmymujemyKnyteriumLeibh00w0DiOszaajmydalekifrougmentszeregu.csyli1Sm-Sn1fnsmjSm-Sm-kIZyakbio-kPZy.aklBk-Bk-D-IEaioBk-IknmakBk.s.kk2t.axBkt-kFnQaknBk-oIEh.BkCak-QkDtamBm-antiBmBmjestogranicsony.t2nistniq.eMDilBm1cMlSm-SmI-n5QBklak-awDtamBm-annBmlfMnj@ak-akntamtan.D

>

= M ( ^anti

^- ^-

Qn#tO✓n

^.^.^.

+a/m Est

^.

,

Qm/+Xm+an+

-

^, ⁾ ⁼ ^14.2 ^anti ^< ^E

Wiadomo ,zean¥0 _wig ^. do

wystowaojgwdutgo ^m ^an ⁽ 5%

• DOWOD ^: knyterium ^Abele

an jest monotomicsny ⁱ ognanicsony ^, ^a ^wigc zbiezhy

^.

^Nick ^a- ^Tntujmoan

(19)

Ciggowyrasacuao-Qnjcstmonotohiosnyiabieznyolo2ere.Iaiozmyizeao-anjestowowitni.fs.litakmiejestuzyuamyan-Qx.Dos2ereguyqZCao-aDbnstosujemyKnyteriumDivich1ete.WiadomotaKze.2esbieznyjestZQxbmMamywigciZQnbn-Zaobn-Z@o-QDbnlzbieznyjalwsumas2eregoV2bieznychaPRZ7KtADizsinn2n-cosnan-l-bn-sinm2n-wsmTQniman-0hhlhH1-wsChtD-2ntwsn-2-wsCntDtwsms0satematnnotzuyliansantri.e.ciggmalq.gysinCHsinChsttjBm.k

,}2sin(k)§ _sin 's ^- ^jest ogvanicsone ^a

algebra

(20)

13 (2) Patrzymy na szeregi jako na ciągi sum częściowych i mnożymy sumy częściowe tak jak mnożymy ciągi:

A _n =

n

!

k=1

a _n , B _n =

n

!

k=1

a _n , C _n = A _n B _n . W takiej sytuacji

C ₁ = A ₁ B ₁ = a ₁ b ₁

C ₂ = A ₂ B ₂ = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₁ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₂

C 3 = A 3 B 3 = a 1 b 1 + a 2 b 1 + a 3 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 2 + a 3 b 2 + a 1 b 3 + a 2 b 3 + a 3 b 3

...

C n = A n B n = ^" ⁿ _i,j=1 a i b j

zatem wyrazy szeregu wyglądają następująco c 1 = a 1 b 1

c 2 = a 2 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 2

c 3 = a 3 b 1 + a 3 b 2 + a 1 b 3 + a 2 b 3 + a 3 b 3

...

C n = A n B n = a n " _n−1

k=1 b k + b n " _n−1

k=1 a k + a n b n

Teraz mamy pewność, że jeśli szeregi-czynniki są zbieżne to iloczyn też jest zbieżny (sto- sowne twierdzenia dla ciągów) do iloczynu sum czynników. Wydawałoby się, że sytuacja jest idealna, tym niemniej jest jeszcze jedna ważna koncepcja mnożenia szeregów:

(3) Iloczyn Cauchy’ego, który pochodzi od problemów związanych z szeregami potęgo- wymi. Załóżmy, że szeregi, które mnożymy mają szczególną postać:

∞

!

n=1

f n x ⁿ ,

∞

!

n=1

g n x ⁿ

gdzie (f _n ) i (g _n ) są pewnymi ciągami, a x jest zmienną (możemy myśleć, że rzeczywistą).

Innymi słowy a _n = f _n x ⁿ , b _n = g _n x ⁿ . Mnożymy teraz (formalnie) nieskończone sumy grupując wyrazy przy kolejnych potęgach x:

∞

!

n=1

f n x ⁿ ·

∞

!

n=1

g n x ⁿ = (f 1 x + f 2 x ² + f 3 x ³ + . . .)(g 1 x + g 2 x ² + g 3 x ³ + . . .) = (f 1 g 1 )x ² + (f 1 g 2 + f 2 g 1 )x ³ + (f 1 g 3 + f 2 g 2 + f 3 g 1 )x ⁴ + . . . =

! ∞

n=2

# _n−1

!

k=1

f _k g _n−k

$

x ⁿ . Patrząc na te formalne rachunki definiujemy

Definicja 2 (Iloczyn Cauchy’ego). Iloczynem Cauchy’ego szeregów ^" ^∞ _n=1 a _n i ^" ^∞ _n=1 b _n nazywamy szereg, którego wyraz ogólny ma postać

c ₁ = 0, c _n =

n−1 !

k=1

a _k b _n−k dla n > 1.

Pozostaje oczywiście otwarty problem zbieżności tego szeregu i związek tej zbieżności ze zbieżnością szeregów-czynników. : ^b. ^÷ ^- ⁾ ^by ^b ^bz ^} ^bsaz bulls bulk bull ^§0 ^Ls ^'s ^bzay ^bsaz ^boa ^bzaz ^bzaz ^Qz ^bit ^, ^bsas ^ka ⁰¹³ ^} _} ^} by ^bsau ^Qu ay

cnX #

Q _, Qz ^Q } Qy

^.^.^.

Cs =) bz ^than ^baa ^, ^{bias bran}

Cz =) b _, ^baas ^back big bsan

g ^-7 b

} base bsaz big bsau

q

^-

^> ^:

(21)

14 Zauważmy, że sumy nieskończona rozważana w (2) i w (3) mają ostatecznie takie same zbiory wyrazów, tzn są to sumy jednomianów postaci a k b l . Różnią się jednak one istotnie kolejno- ścią dodawania, co ma znaczenie dla szeregów zbieżnych warunkowo. Nikogo więc nie zdziwi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 13. Jeśli szereg ^" ^∞ _n=1 a n jest bezwzględnie zbieżny do sumy A, a szereg ^" ^∞ _n=1 b n

jest zbieżny do sumy B to ich iloczyn Cauchy’ego jest zbieżny do sumy AB.

Mamy dodatkowo także twierdzenie

Twierdzenie 14. Jeśli szereg ^" ^∞ _n=1 a n jest zbieżny do A, szereg ^" ^∞ _n=1 b n jest zbieżny do B oraz ponadto ich iloczyn Cauchy’ego jest zbieżny do C, to C = AB.

Jeśli oba szeregi są zbieżne jedynie warunkowo mogą powstawać problemy, co pokazuje nastę- pujący przykład:

Przykład 7. Niech a n = √ ⁽⁻¹⁾ ⁿ

(n+1) . Szereg ^" ^∞ _n=0 a _n jest zbieżny warunkowo (kryterium Leibniza).

Policzmy iloczyn w sensie Cauchy’ego

∞

!

n=0

a n

∞

!

n=0

a n .

Sumujemy od 0, dla uproszczenia wzoru na wyraz ogólny iloczynu, który ma postać c n =

n

!

k=0

a k a _n−k . Przyjrzyjmy się pierwszym kilku wyrazom:

c ₀ = 1

c 1 = − ^√ ¹ ₂ − ^√ ¹ ₂ = − √

2 ≈ −1, 41

c 2 = ^√ ¹ ₃ + ^√ ¹ ₂ ^√ ¹ ₂ + ^√ ¹ ₃ = ¹ ₂ + ² ^√ ₃ ³ ≈ 1, 65 .. .

Zatem, przynajmniej początkowo, wartości bezwzględne wyrazów szeregu nie maleją. Zbadajmy dokładniej wyraz ogólny:

c n =

n

!

k=0

a k a _n−k =

n

!

k=0

(−1) ^k

% (k + 1)

(−1) ^n−k

% (n − k + 1) =

n

!

k=0

(−1) ⁿ

% (k + 1)(n − k + 1) = (−1) ⁿ

n

!

k=0

1 % (k + 1)(n − k + 1) . Szacujemy √ ¹

(k+1)(n−k+1) : (k + 1)(n − k + 1) =

&

( n

2 + 1) − ( n 2 − k)

' &

( n

2 + 1) + ( n 2 − k)

'

= ( n

2 + 1) ² − ( n

2 − k) ² $ ( n

2 + 1) ² , zatem

1 % (k + 1)(n − k + 1) % 1

% ( ⁿ ₂ + 1) ² = 1 ( ⁿ ₂ + 1) .

20

(22)

SZEREGI LICZBOWE