11.wykładzalgebryliniowejWarszawa,grudzie´n2014 MirosławSobolewski R jakoprzestrze´nafiniczna

R jako przestrze ´n afiniczna

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzie ´n 2014

Definicja

Niech V b ˛edzie podprzestrzeni ˛a Rⁿ, i niech p ∈ Rⁿ.Przestrzeni ˛a afiniczn ˛aprzechodz ˛ac ˛a przez p i równoległ ˛a do V nazwiemy zbiór E = p + V = {p + v : v ∈ V }. Przestrze ´n liniow ˛a V b ˛edziemy nazywa´c przestrzeni ˛a wektorówprzestrzeni afinicznej E , za´s elementy E jej punktami. Wymiar afinicznyE to wymiar V .

Przykład

Niech p = (1, 3) ∈ R², za´s V = lin(2, 1). Przestrze ´n afiniczna równoległa do V przechodz ˛aca przez p to prosta p + V – zbiór punktów postaci (1 + 2t, 3 + t) dla t ∈ R. W R²przestrzeniami afinicznymi 0-wymiarowymi s ˛a zbiory jednopunktowe, wymiaru 1 – wszystkie proste, wymiaru 2 – cała przestrze ´n R².

Uwaga Zapis punktów E = p + lin(v₁, . . . ,v_k)jako

p + t₁v₁+t₂v₂+ · · · +t_kv_kgdzie v₁, . . . ,v_ks ˛a liniowo niezale˙zne, oraz

W przestrzeni R³przestrzeni ˛a afiniczn ˛a równoległ ˛a do

W = {(x₁,x₂,x₃) :x₁+2x₂− x₃=0} przechodz ˛ac ˛a przez p = (2, 3, 4) jest płaszczyzna opisana równaniem x₁+2x₂− x₃=4. Ogólnie, je´sli podprzestrze ´n V ⊂ Rⁿopisana jest układem równa ´n liniowych

jednorodnych U :







a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · a_1nx_n =0 ... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · amnxn =0

to

równoległa do niej przestrze ´n afiniczna E przechodz ˛aca przez p = (y₁,y₂, . . . ,yn)jest opisana układem równa ´n liniowych postaci

U⁰ :







a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · a_1nxn =b₁ ... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · amnxn =bm

Stałe b₁, . . . ,b_nwyznaczamy uwzgl ˛edniaj ˛ac to, ˙ze p ∈ E

Definicja

Dla p, q ∈ Rⁿprzezwektor o pocz ˛atku p i ko ´ncu qb ˛edziemy rozumie´c wektor q − p oznacza´c go przez−→

pq. Iloczynem (przeci ˛eciem) dwóch przestrzeni afinicznych p + V oraz q + W ⊂ Rⁿjest pewna przestrze ´n afiniczna w Rⁿ, b ˛ad´z zbiór pusty. Pierwszy przypadek zachodzi

⇔−→

pq = v + w dla pewnych v ∈ V , w ∈ W . Wówczas przestrzeni ˛a wektorów (p + V ) ∩ (q + W ) jest V ∩ W . Je´sli przestrzenie afiniczne E , F ⊂ Rⁿmaj ˛a t ˛e sam ˛a przestrze ´n wektorów to mówimy, ˙ze E i F s ˛a wzajemnie równoległe. Oczywi´scie ka˙zda przestrze ´n afiniczna jest równoległa do samej siebie.

Przykład

W R²proste (1, 1) + lin((1, 2)) i (−1, 0) + lin((1, 2)) s ˛a równoległe i ró˙zne. Podobnie wzajemnie równoległe s ˛a przestrzenie afiniczne E₁i E₂w R⁴opisane równaniami E₁:x₁+x₂− x₃+x₄=3,

E₂:x₁+x₂− x₃+x₄=1

Przez przestrze ´n afiniczn ˛awyznaczon ˛aprzez punkty p₀, . . . ,p_k ∈ Rⁿ b ˛edziemy rozumie´c najmniejsz ˛a przestrze ´n afiniczn ˛a w Rⁿ, do której nale˙z ˛a te punkty.

Uwaga T˛e przestrze ´n mo˙zna zapisa´c jako p₀+lin(−−→

p₀p₁, . . . ,−−−→

p₀,p_k).

Np. punkty p₀= (2, 5), p₁= (1, 1) wyznaczaj ˛a prost ˛a afiniczn ˛a L = p₀+lin(−−→

p₀p₁) = {(2, 5) + t(−1, −4) : t ∈ R}. Ponadto je´sli punkty p₀, . . . ,p_k ∈ Rⁿnale˙z ˛a do przestrzeni afinicznej E ⊂ Rⁿto ich

kombinacja liniowa (jako wektorów Rⁿ) nie musi nale˙ze´c do E . Np. dla p₀= (2, 5), p₁= (1, 1) punkt p₀+p₁∈ L./

Iloczyn skalarny w przestrzeni wektorów Rⁿpozwala zdefiniowa´c szereg poj ˛e´c w przestrzeni afinicznej Rⁿ:

a)Odległo´s´cpomi ˛edzy punktami p, q ∈ Rⁿto długo´s´c ||−→ pq||.

Oznaczamy j ˛a zwykle d (p, q). Ma ona nast ˛epuj ˛ace własno´sci:

I) d (p, q) ≥ 0, przy czym d (p, q) = 0 ⇔ p = q II) d (p, q) = d (q, p) (symetria)

III) d (p, r ) ≤ d (p, q) + d (q, r ) (nierówno´s´c trójk ˛ata)

Własno´sci te czyni ˛a z przestrzeni Rⁿz tak okre´slon ˛a odległo´sci ˛a tzw.

przestrze ´n metryczn ˛a

b) Niech podprzestrzenie afiniczne X , Y ⊂ Rⁿ przecinaj ˛a si ˛e, i niech V , W b ˛ed ˛a odpowiednio ich przestrzeniami wektorów. Powiemy,˙ze X , Y s ˛aprostopadłeje´sli v ⊥w dla ka˙zdych dwóch wektorów v ∈ V , w ∈ W . Ostrze˙zenie Tak zdefiniowana prostopadło´s´c przestrzeni afinicznychnie jest zgodnaze szkolnym rozumieniem prostopadło´sci płaszczyzn w R³. W naszym sensie ˙zadnedwie płaszczyzny w R³nie s ˛a prostopadłe. Natomiast sens prostopadło´sci prostych oraz prostej i płaszczyzny jest zgodny.

Rzuty i symetrie prostopadłe

Definicja

Niech X b ˛edzie przestrzeni ˛a afiniczn ˛a w Rⁿ, za´s V jej przestrzeni ˛a wektorów. Niech p₀oznacza pewien punkt X . Przekształcenie πX : Rⁿ→ Rⁿzdefiniowane przez π_X(p) = p₀+P_V(−−→

p₀p), , dla p ∈ Rⁿ nazwiemyrzutem prostopadłymna X , za´s przekształcenie

σ_X : Rⁿ→ Rⁿzdefiniowane przez σ_X(p) = p₀+S_V(−−→

p₀p) nazwiemy symetri ˛aprostopadł ˛a wzgl ˛edem X .

Przykład

Niech l b ˛edzie prost ˛a wyznaczon ˛a przez punkty

p₀= (1, 1, 1), q = (1, 2, 2) ∈ R³. Zatem jej przestrze ´n wektorów to V = lin((0, 1, 1)). Niech p = (2, 5, 6), czyli−−→

p₀p = (1, 4, 5). Zatem π_l(p) = p₀+P_V(−−→

p₀p) = (1, 1, 1) +1·0+4·1+5·1

0²+1²+1² (0, 1, 1) = (1, 5¹₂,5¹₂) Uwaga Mo˙zemy opisa´c rzut prostopadły bardziej geometrycznie:

π_X(p) to jedyny punkt przeci ˛ecia z X podprzestrzeni afinicznej p + V^⊥, gdzie V to przestrze ´n wektorów X .

Rzut π_X(p) mo˙ze by´c te˙z zdefiniowany przez nast ˛epuj ˛ac ˛a własno´s´c:

jest to najbli˙zszy do p punkt X , tzn. , taki punkt x ∈ X , w którym odległo´s´c d (p, x ) osi ˛aga najmniejsz ˛a warto´s´c. Przesuni ˛eciemo wektor v ∈ Rⁿnazywamy przekształcenie Rⁿ w siebie, które ka˙zdemu

punktowi p ∈ Rⁿprzyporz ˛adkowuje punkt p + v . Przekształceniem afinicznym Rⁿw siebie b ˛edziemy nazywa´c ka˙zde przekształcenie b ˛ed ˛ace zło˙zeniem przekształcenia liniowego i przesuni ˛ecia.

Szczególnymi przypadkami przekształce ´n afinicznych s ˛a rzuty i symetrie prostopadłe. Przekształcenie afiniczne f : Rⁿ→ Rⁿmo˙zna zawsze zapisa´c w postaci:

f ((x₁, . . . ,x_n)) = (a₁₁x + · · · + a_1nx_n+b₁, . . . ,a_n1x₁+ · · · +a_nnx_n+b_n).

Np. przesuni ˛ecie R²o wektor (1, 3) ma posta´c (x₁,x₂) 7→ (x₁+1, x₂+3)