1. Pewien zakład ma wyprodukować w ciągu roku 14000 sztuk pewnego wyrobu. Przygotowanie zakładu do każdego cyklu produkcyjnego kosztuje 470 złotych. Koszt magazynowania jednej sztuki wyrobu wynosi 15 złotych rocznie. Minimalny zapas 400 sztuk. Przy jakich seriach produkcyjnych koszt całej produkcji będzie najmniejszy?
Niech x liczbę cykli produkcyjnych. Zatem koszt wszystkich przygotowań wynosi 470x. W jednym cyklu zamawiamy y = 14000x sztuk towaru.
Załóżmy, że zbyt towarów jest równomierny, tzn., że w momencie magazynowania następnej partii magazyn został właśnie opróżniony. Możemy więc przyjąć, że w każdym odstępie czasu dzielącym dwa kolejne cykle produkcyjne znajduje się średnio y2 sztuk wyrobu. Zatem i w ciągu całego roku średnio w magazynie znajduje się y2 sztuk wyrobu. Stąd koszt magazynowania wynosi 15 · y2 = 15 · 140002x = 105000x .
Oznaczmy przez Ks koszty stałe (niezależne od długości cyklu).
Ostatecznie więc koszt całkowity K(x) wynosi
K(x) = 105000
x + 470x + Ks.
Najmniejszą wartością jaką może przyjmować x jest 1, a największą 10000, natomiast y 400.
Na razie zapomnijmy, że x musi być liczbą całkowitą i że y musi być całkowite. Policzny pochodną funkcji K i przyrównajmy do zera.
K0(x) = −105000
x2 + 470.
K0(x0) = 0, jeśli x0 = q105000470 = 14, 9. Zauważamy, że funkcja K jest malejąca dla x < x0 i rosnąca dla x > x0. Teraz wracamy do informacji, że x musi być całkowite. Wynika stąd, że K osiąga najmniejszą wartość dla x = 14 lub x = 15. Jeśli x = 14, to y = 1000 (jest liczbą całkowitą). Wowczas koszt całkowity wynosi
105000
14 + 470 · 14 + Ks = 14550 + Ks.
Jeśli x = 15, to y = 1400015 = 933.3. Wynika stąd, że 10 dostaw ma zawierać 933 sztuki, a 5 dostaw 934 sztuki. Zatem koszt magazynowania będzie mniejszy niż 15 · 9342 = 7005.
Sumaryczne koszty w tym wypadku będą mniejsze niż
7005 + 470 · 15 = 14055 + Ks. Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź;
Cykli produkcyjnych powinno być 15.
1
2. Do produkcji pewnego towaru roczne zapotrzebowanie na surowiec wynosi 1000 ton. Koszty ma- gazynowania tego surowca wyrażają sie wzorem 30·(maksymalna ilość surowca w magazynie), bo na taką maksymalną ilość trzeba magazyn przygotować i utrzymywać. Koszt zamówienia jednej partii surowca wynosi 400 zł. a) Ile razy w ciągu roku i jakiej wielkości partie surowca należy zamawiać? b) Ile razy w ciągu roku i jakiej wielkości partie surowca należy zamawiać, jeśli surowiec potrzebujemy w ilości 1000 sztuk zamiast 1000 ton? c) To samo pytanie co w b), ale surowiec jest pakowany w paczkach wielkości 20 sztuk?
a) Oznaczmy przez x liczbę zamówień w ciągu roku, a przez m maksymalną ilość surowca w magazynie, czyli wielkość jednorazowego zakupu. Wtedy m = 1000x . Koszty wyrażaja sie wzorem 400x + 1000x · 30 = 400x +30000x . Na razie zapomnijmy, że x jest liczbą naturalną i policzmy pochodną funkcji K. Mamy
K0(x) = 400 −30000 x2 .
Widzimy, że K0 jest funkcją rosnącą dla x > 0, zatem przyjmuje wartość zero w co najwyżej w jednym punkcie dodatnim. Jest to punkt, w ktorym pochodna się zeruje czyli punkt √
75 = 8,66. Na lewo od tego punktu funkcja K jest malejąca, na prawo rosnąca. Ponieważ x musi być naturalne, to wnioskujemy z tego, że trzeba x przyjąć 8 lub 9. Podstawiamy te wartości do wzoru na funkcje K i otrzymujemy K(8) = 6950, K(9) = 6933, 33. Ostatecznie więc otrzymujemy odpowiedź:
Należy zamawiać 9 razy w ciągu roku partie surowca wielkości m = 111, 11 ton.
b) Tym razem m musi być najmniejszą liczba całkowitą większa lub równą 1000x . To oznacza, że jeśli przyjmiemy x = 9, to część dostaw będzie w wysokości 111 sztuk, a część 112 sztuk. Zatem m = 112.
Wtedy K = 9 · 400 + 30 · 112 = 6960 > 6950. Trzeba więc w tym wypadku wybrać x = 8 i wszystkie dostawy będą wielkości 125 sztuk.
c) W tym wypadku, jeśli przyjmiemy x = 9, to część zamowień będzie wielkości 100 sztuk, a część 120 sztuk, czyli m = 120, a więc koszt będą wynosiły 400 · 9 + 30 · 120 = 7200. Jeśli przyjmiemy x = 8, to część zamówień będzie w wysokości 120 ton, a część 140 ton i koszty będa wynosiły 400 · 8 + 30 · 140 = 7400. Okazuje się, że w teraz trzeba przyjąć x = 10. Wtedy każda dostawa bedzie wysokości 100 sztuk i otrzymamy koszty w wysokości 400 · 10 + 30 · 100 = 7000. Bierze się to stąd, że tylko w tym trzecim wypadku magazyn będzie równomiernie wykorzystywany.
2
3. Mamy zbudować zbiornik z blachy w kształcie walca (z dnem i scianą boczną – bez pokrywy górnej) o objętości 6m3. Cena 1 m2 blachy wynosi 11,1 zł., a koszt 1 m spawania 10,3 zł. Przy jakich wymiarach koszt zbiorników będzie najniższy?
Oznaczmy przez r promień walca, a przez h wysokość. Koszt wszystkich zbiorników będzie najniższy, jesli koszt pojedyńczego będzie najniższy. Koszt zbiornika składa się z kosztów materiału oraz kosztów robocizny (spawania). Koszt materiału jest równy iloczynowi powierzchni walca (bez pokrywy górnej) oraz ceny jednostkowej blachy, czyli jest równy 11,1(2πrh + πr2). Zespawać musimy (po zwinięciu w rulon) ścianę boczną na długośći h, a następnie przyspawać ją do dna na długości obwodu dna. Zatem koszt spawania wynosi 10,3(2πr + h). Ale h = πr62. Wstawiając to do wzorów otrzymamy wzór na koszt całkowity zbiornika:
K(r) = 132,2
r + 11,1πr2+ 20,6πr + 61,8 πr2 . Policzmy pochodną funkcji K. Mamy
K0(r) = −132,2
r2 + 22,2πr + 20,6π − 123,6 πr3 .
Wszystkie składniki po prawej stronie są rosnące (albo stałe) dla r > 0, skąd funkcja K0 jest rosnąca na przedziale (0; ∞). Posiada zatem co najwyżej jedno miejsce zerowe x0. Obliczymy je przy pomocy arkusza kalkulacyjnego (narzędziem szukaj wyniku). Otrzymujemy x0 ≈ 1,09. Ponieważ na lewo od tego punktu funkcja K0 jest ujemna, a na prawo dodatnia, w punkcie x0 funkcja K osiąga najmniejszą wartość. Wstawiając wzór na h otrzymujemy, że h ≈ π·1,096 2 = 1, 60. Zatem powinniśmy budować zbiornik o wymiarach: promień dna równy 1,09 m oraz wysokość równa 1,60 m. Koszt takiego zbiornika to 250,73 zł.
3
4. Niech
A =
x −5 1
−1 −6 0 x 1 −1
.
Dla jakich x macierz A posiada macierz odwrotną? Niech dla tych x
A−1 =
b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33
.
Wyznacz b21, b31 i b33 jako funkcję zmiennej x.
Liczymy wyznacznik macierzy A. Mamy
|A| = 12x + 4.
Aby istniała macierz A−1, |A| musi być różny od zera, czyli x 6= −13. Piszemy macierz
AT =
x −1 x
−5 −6 1
1 0 −1
.
Widzimy, że:
b21= (−1)2+1
−1 x 0 −1
12x + 4 = − 1 12x + 4, czyli
b21(x) = − 1 12x + 4;
b31 = (−1)3+1
−1 x
−6 1
12x + 4 = −1 + 6x 12x + 4, czyli
b31(x) = 6x − 1 12x + 4;
b33= (−1)3+3
x −1
−5 −6
12x + 4 = −6x − 5 12x + 4, czyli
b33(x) = −6x − 5 12x + 4.
4
