Poradnik dla nauczycieli matematyki klasy II

(1)

Poradnik dla nauczycieli matematyki klasy II

trzyletniej szkoły ponadgimnazjalnej kończącej się maturą.

Jak planować pracę dydaktyczną w klasie?

1. Od czego zacząć?

Jak czytelnik pamięta (patrz: Poradnik dla nauczycieli matematyki klasy I trzyletniej szkoły ponadgimnazjalnej kończącej się maturą), podstawę do planowania pracy dydaktycznej nauczyciela stanowią dwa akty prawne podstawa programowa (Rozporządzenie MENiS z dn. 26 lutego 2002 r. w sprawie podstawy programowej wychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół, załącznik nr 4) oraz standardy wymagań egzaminacyjnych (Rozporządzenie MENiS z dn.

10 kwietnia 2003 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie standardów wymagań będących podstawą przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów).Te oraz inne akty prawne regulujące działalność dydaktyczną szkoły dostępne są w Internecie na stronie www.men.waw.pl w zakładce Akty prawne, a tam w zakładce Ustawy i rozporządzenia dotyczące oświaty.

Nauczyciel rozpoczynający pracę w szkole z uczniami klasy II powinien zacząć od odświeżenia znajomości w/w aktów prawnych, a także od przypomnienia sobie, jakie treści nauczania zostały zaplanowane i już zrealizowane w klasie I, a jakie planujemy na klasę III.

2. Treści nauczania

Podstawa programowa z matematyki zawiera 9 punktów określających treści nauczania przyporządkowane poszczególnym działom matematyki:

I. Liczby i ich zbiory II. Funkcje i ich własności

III. Wielomiany i funkcje wymierne IV. Funkcje trygonometryczne V. Ciągi liczbowe

VI. Planimetria

VII. Geometria analityczna VIII. Stereometria

IX. Rachunek prawdopodobieństwa

Powyższe treści nauczania, po uwzględnieniu standardów wymagań egzaminacyjnych, podzielone zostały w poradniku na trzy części (na klasy I – III) i sformułowane w postaci tematów do realizacji na lekcjach matematyki.

Dla klasy II lista tematów lekcji realizujących treści z punktów I – IX podstawy programowej jest następująca (symbolem (*) oznaczono tematy przeznaczone dla klas realizujących materiał w zakresie rozszerzonym):

Treści nauczania do punktu I podstawy programowej: Liczby i ich zbiory 1. Zbiory; suma, iloczyn, różnica zbiorów. Podstawowe pojęcia rachunku zdań.

2. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory: liczby naturalne (liczby pierwsze), liczby całkowite, wymierne i niewymierne. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej.

3. Przypomnienie działań na potęgach. Potęga o wykładniku wymiernym.

4. Oś liczbowa. Przedziały na osi liczbowej. Sumy przedziałów; iloczyny i różnice takich zbiorów.

(2)

5. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej. Interpretacja geometryczna.

6. Pojęcie błędu przybliżenia. Szacowanie wartości liczbowych. Obliczenia procentowe.

Klasa 2

Lekcja 1. (*) Potęgi o wykładnikach rzeczywistych.

Lekcja 2. (*) Logarytmy.

Lekcja 3. (*) Własności logarytmów.

Treści nauczania do punktu II podstawy programowej: Funkcje i ich własności 1. Pojęcie funkcji. Wykres funkcji liczbowej.

2. Wyznaczanie dziedziny funkcji, jej miejsc zerowych, zbioru wartości, wartości największej i najmniejszej w danym przedziale, przedziałów monotoniczności.

3. Zastosowania funkcji do opisu zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu codziennym.

4. Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi x i osi y.

Klasa 2

Lekcja 1. (*) Funkcje parzyste i nieparzyste. Funkcje okresowe.

Lekcja 2. (*) Funkcje różnowartościowe.

Lekcja 3. (*) Funkcje wykładnicze.

Lekcja 4. (*) Funkcje logarytmiczne.

Lekcja 5. (*) Równania i nierówności wykładnicze.

Lekcja 6. (*) Równania i nierówności logarytmiczne.

Lekcja 7. (*) Zastosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych.

Treści nauczania do punktu III podstawy programowej: Wielomiany i funkcje wymierne

1. Funkcja liniowa.

2. Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki. Wykres funkcji kwadratowej.

3. Rozwiązywanie zadań prowadzących do równań i nierówności stopnia drugiego.

4. Wielomiany. Działania na wielomianach.

5. Dzielenie wielomianów z resztą. Twierdzenie. Zastosowanie do znajdywania pierwiastków wielomianów metodą rozkładania na czynniki.

6. Działania na wyrażeniach wymiernych. Funkcja homograficzna.

7. Rozwiązywanie równań i nierówności z funkcją homograficzną.

Klasa 2

Lekcja 1. Przykłady wielomianów.

Lekcja 2. Rozkład wielomianu na czynniki.

Lekcja 3. Dzielenie wielomianów.

Lekcja 4. Twierdzenie Bézout.

Lekcja 5. Równania wielomianowe.

Lekcja 6. Rozwiązania wymierne równań wielomianowych.

Lekcja 7. Nierówności wielomianowe.

Lekcja 8. Funkcje wielomianowe.

Lekcja 9. (*) Dwumian Newtona.

Treści nauczania do punktu IV podstawy programowej: Funkcje trygonometryczne

(3)

2. Miara łukowa kąta. Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta.

3. Wykresy funkcji trygonometrycznych.

4. Najprostsze tożsamości trygonometryczne.

Klasa 2

Lekcja 1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego.

Lekcja 2. Kąty o miarach dodatnich i ujemnych.

Lekcja 3. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta.

Lekcja 4. Związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Lekcja 5. Wykres funkcji ^y ^^sin^. Lekcja 6. Wykres funkcji y cos.

Lekcja 7. Wykresy funkcji ^y ^^tg^ ⁱ ^y ^^ctg^. Lekcja 8. Miara łukowa kąta.

Lekcja 9. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej.

Lekcja 10. (*) Funkcje typu ^y ^^a^sin^x i ^y^^sin^ax.

Lekcja 11. (*) Przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych.

Lekcja 12. (*) Równania trygonometryczne.

Treści nauczania do punktu V podstawy programowej: Ciągi liczbowe 1. Definicja i przykłady ciągów liczbowych.

2. Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Wzór na n-ty wyraz. Wzór na sumę n początkowych wyrazów.

3. Procent składany. Oprocentowanie lokat i kredytów.

Klasa 2

Lekcja 1. Definicja ciągu liczbowego

Lekcja 2. (*) Przykłady ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie.

Lekcja 3. Ciągi arytmetyczne.

Lekcja 4. Ciągi geometryczne.

Lekcja 5. Procent składany.

Lekcja 6. (*) Granice ciągów.

Lekcja 7. (*) Obliczanie granic.

Lekcja 8. (*) Szeregi geometryczne.

Treści nauczania do punktu VI podstawy programowej: Planimetria

1. Własności czworokątów wypukłych. Okrąg wpisany w czworokąt. Okrąg opisany na czworokącie.

2. Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii.

3. Oś symetrii i środek symetrii figury.

4. Twierdzenie Talesa i jego związek z podobieństwem. Cechy podobieństwa trójkątów.

Klasa 2

Lekcja 1. (*) Przekształcenia geometryczne. Symetrie.

Lekcja 2. (*) Przesunięcie i obrót.

Lekcja 3. (*) Działania na wektorach.

Lekcja 4. Wielokąty wpisane w okrąg.

Lekcja 5. Wielokąty opisane na okręgu.

Lekcja 6. (*) Twierdzenie sinusów.

(4)

Lekcja 8. (*) Jednokładność.

Lekcja 9. Wielokąty podobne.

Lekcja 10. Cechy podobieństwa trójkątów. Twierdzenie Talesa.

Lekcja 11. Pola figur podobnych.

Treści nauczania do punktu VII podstawy programowej: Geometria analityczna 1. Równanie prostej na płaszczyźnie. Półpłaszczyzna – opis za pomocą nierówności.

2. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Klasa 2

Lekcja 1. (*) Przekształcenia w układzie współrzędnych.

Lekcja 2. (*) Wektory w układzie współrzędnych.

Lekcja 4. Różne typy równania prostej na płaszczyźnie.

Lekcja 5. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Lekcja 6. Figury w układzie współrzędnych.

Lekcja 7. (*) Proste i okręgi.

Treści nauczania do punktu VIII podstawy programowej: Stereometria 1. Graniastosłupy i ostrosłupy. Walec, stożek, kula.

2. Wzajemne położenie krawędzi i ścian brył: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny i kąt dwuścienny.

3. Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem trygonometrii.

Klasa 2 –

Treści nauczania do punktu IX podstawy programowej: Rachunek prawdopodobieństwa

1. Proste zadania kombinatoryczne.

2. Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności.

3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń w skończonych przestrzeniach probabilistycznych.

4. Elementy statystyki opisowej: średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, wariancja i odchylenie standardowe (liczone z próby).

Klasa 2

Lekcja 1. Średnia arytmetyczna, mediana, dominanta.

Lekcja 2. Średnia ważona.

Lekcja 3. Wariancja. Odchylenie standardowe.

3. Rozkład materiału

Łatwo policzyć, że dla klasy II zaplanowaliśmy 32 tematy dla klas realizujących matematykę w zakresie podstawowym, a 60 tematów dla klas realizujących matematykę w zakresie rozszerzonym. W roku szkolnym nauczyciel planuje naukę na ok. 35 tygodni. Do realizacji tematów w zakresie podstawowym (zwanych dalej: materiałem programowym) mamy więc 105 godzin lekcyjnych w ciągu roku (35 tygodni nauki po 3 lekcje matematyki w tygodniu). Oczywiste jest, że większość z 32 tematów realizować będziemy na więcej niż

(5)

jednej godzinie lekcyjnej. Doliczyć także należy godziny przeznaczone na powtórzenie wiadomości i przygotowanie uczniów do sprawdzianów, sprawdziany oraz ich poprawę.

Proponujemy następujący przydział godzin przeznaczonych na realizację materiału programowego w klasie II:

Rozkład materiału dla klasy II liceum:

(Orientacyjnie 105 godzin lekcyjnych, 3 godziny lekcji tygodniowo)

Dział Temat lekcji

Propono- wana liczba godzin

Liczby i ich zbiory

Lekcja 1. (*) Potęgi o wykładnikach rzeczywistych.

Lekcja 2. (*) Logarytmy.

Lekcja 3. (*) Własności logarytmów.

–

Funkcje i ich własności

Lekcja 1. (*) Funkcje parzyste i nieparzyste. Funkcje okresowe.

Lekcja 2. (*) Funkcje różnowartościowe.

Lekcja 3. (*) Funkcje wykładnicze.

Lekcja 4. (*) Funkcje logarytmiczne.

Lekcja 5. (*) Równania i nierówności wykładnicze.

Lekcja 6. (*) Równania i nierówności logarytmiczne.

Lekcja 7. (*) Zastosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych.

–

Wielomiany i funkcje wymierne

Lekcja 1. Przykłady wielomianów.

Lekcja 2. Rozkład wielomianu na czynniki.

Lekcja 3. Dzielenie wielomianów.

Lekcja 4. Twierdzenie Bézout.

Lekcja 5. Równania wielomianowe.

Lekcja 6. Rozwiązania wymierne równań wielomianowych.

Lekcja 7. Nierówności wielomianowe.

Lekcja 8. Funkcje wielomianowe.

Lekcja 9. (*) Dwumian Newtona.

Sprawdzian.

20

(6)

Funkcje trygonometryczne

Lekcja 1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego.

Lekcja 2. Kąty o miarach dodatnich i ujemnych.

Lekcja 3. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta.

Lekcja 4. Związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Lekcja 5. Wykres funkcji ^y ^^sin^. Lekcja 6. Wykres funkcji y cos .

Lekcja 7. Wykresy funkcji ^y ^^tg^ ⁱ ^y ^^ctg^. Lekcja 8. Miara łukowa kąta.

Lekcja 9. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej.

Lekcja 10. (*) Funkcje typu ^y ^^a^sin^x i ^y ^^sin^ax. Lekcja 11. (*) Przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych.

Lekcja 12. (*) Równania trygonometryczne.

Sprawdzian.

20

Ciągi liczbowe

Lekcja 1. Definicja ciągu liczbowego.

Lekcja 2. (*) Przykłady ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie.

Lekcja 3. Ciągi arytmetyczne.

Lekcja 4. Ciągi geometryczne.

Lekcja 5. Procent składany.

Lekcja 6. (*) Granice ciągów.

Lekcja 7. (*) Obliczanie granic.

Lekcja 8. (*) Szeregi geometryczne.

Sprawdzian.

20

Planimetria

Lekcja 1. (*) Przekształcenia geometryczne. Symetrie.

Lekcja 2. (*) Przesunięcie i obrót.

Lekcja 4. Wielokąty wpisane w okrąg.

Lekcja 5. Wielokąty opisane na okręgu.

Lekcja 6. (*) Twierdzenie sinusów.

Lekcja 7. (*) Twierdzenie cosinusów.

Lekcja 8. (*) Jednokładność.

Lekcja 9. Wielokąty podobne.

Lekcja 10. Cechy podobieństwa trójkątów. Twierdzenie Talesa.

Lekcja 11. Pola figur podobnych.

Sprawdzian.

15

(7)

Geometria analityczna Lekcja 1. (*) Przekształcenia w układzie współrzędnych.

Lekcja 2. (*) Wektory w układzie współrzędnych.

Lekcja 4. Różne typy równania prostej na płaszczyźnie.

Lekcja 5. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Lekcja 6. Figury w układzie współrzędnych.

Lekcja 7. (*) Proste i okręgi.

Sprawdzian

10

Rachunek prawdopodobieństwa Lekcja 1. Średnia arytmetyczna, mediana, dominanta.

Lekcja 2. Średnia ważona.

Lekcja 3. Wariancja. Odchylenie standardowe.

Sprawdzian

6

Godziny do dyspozycji nauczyciela.

14 4. Uszczegółowienie

Nauczyciel uczący w klasie II, podobnie jak w klasie I, realizując poszczególne tematy, jako cel dydaktyczny stawia nabycie przez uczniów wiedzy i umiejętności określonych w Opisie wymagań egzaminacyjnych w Informatorze maturalnym od 2005 roku opracowanym przez Okręgową Komisję Egzaminacyjną w Krakowie w porozumieniu z Centralną Komisją Egzaminacyjną w Warszawie, ISBN 83-7232-466-2.

Na przykład realizując Figury w układzie współrzędnych – lekcję 6. w punkcie VII podstawy programowej: Geometria analityczna – nauczyciel opiera się na następującym fragmencie Opisu wymagań egzaminacyjnych:

Dział OPIS WYMAGAŃ

Zdający zna: Zdający potrafi:

... ... ...

(8)

II . G eo m et ri a an al it yc zn a

1. Równanie prostej na płaszczyźnie.

Półpłaszczyzna – opis za pomocą nierówności.

a) rozpoznawać równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej, b) interpretować współczynniki

w równaniu kierunkowym prostej, c) wyznaczać równanie prostej określonej

przez dwa punkty o danych współrzędnych,

d) wyznaczać równanie prostej

równoległej (prostopadłej) do danej, e) badać wzajemne położenie prostych

w ujęciu syntetycznym i analitycznym, f) graficznie przedstawiać równania

i nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi,

g) zaznaczać w układzie współrzędnych zbiór punktów określony przez układ nierówności liniowych,

h) opisywać za pomocą układu nierówności zbiory punktów;

2. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej.

wyznaczać odległość: dwóch punktów, punktu od prostej, dwóch prostych równoległych;

... ... ...

Nauczyciel, planując pracę, powinien pamiętać, że w procesie dydaktycznym, prócz treści nauczania, ma obowiązek realizować cele edukacyjne sprecyzowane w podstawie programowej:

1. Wykształcenie umiejętności operowania najprostszymi obiektami abstrakcyjnymi:

liczbami, zmiennymi i zbudowanymi z nich wyrażeniami algebraicznymi, zbiorami (liczb, punktów, zdarzeń elementarnych) oraz funkcjami.

2. Wykształcenie umiejętności budowania modeli matematycznych dla różnorodnych sytuacji z życia codziennego oraz ich wykorzystania do rozwiązywania problemów praktycznych.

3. Wykształcenie umiejętności projektowania obliczeń i ich wykonywania.

4. Poznanie podstawowych elementów myślenia matematycznego.

5. Uzyskanie umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej.

5. Plan wynikowy

Nauczyciel przy ustalaniu szczegółowych wymagań powinien wziąć pod uwagę specyfikę danej szkoły i klasy. Nierzadko zobowiązany jest do tego, aby dostosować wymagania do obniżonych możliwości pojedynczego ucznia posiadającego stosowną opinię Poradni Psychologiczno-Pedagogicznej. Proponujemy dokonywanie takiego uszczegółowienia wymagań w postaci planu wynikowego oraz kierowanie się przy jego

(9)

tworzeniu trzema kryteriami: strukturą materiału, poziomami wymagań oraz kategoriami taksonomii celów poznawczych wg Bolesława Niemierki.

Struktura materiału odpowiada omawianemu wcześniej materiałowi programowemu.

I. Liczby i ich zbiory II. Funkcje i ich własności

III. Wielomiany i funkcje wymierne IV. Funkcje trygonometryczne V. Ciągi liczbowe

VI. Planimetria

VII. Geometria analityczna VIII. Stereometria

IX. Rachunek prawdopodobieństwa

Kategorie taksonomii celów poznawczych wg Niemierki, oznaczone literami A, B, C, D, to:

A – zapamiętanie wiadomości, B – zrozumienie wiadomości,

C – zastosowanie wiadomości i umiejętności w sytuacjach typowych, D – zastosowanie wiadomości i umiejętności w sytuacjach nietypowych.

Dokładniej:

POZIOM KATEGORIA CZYNNOŚCI UCZNIA

I. Wiadomości A. Zapamiętanie wiadomości

Przypomnienie sobie pewnych terminów, faktów, praw i teorii naukowych. Wiąże się to z elementarnym poziomem rozumienia tych wiadomości; uczeń nie powinien ich ze sobą mylić, ani zniekształcać.

B. Zrozumienie wiadomości

Przedstawianie wiadomości w innej formie niż były zapamiętane, porządkowanie i streszczanie, czynienie podstawą prostego wnioskowania.

II.

Umiejętności C. Stosowanie wiadomości w sytuacjach typowych

Praktyczne posługiwanie się wiadomościami według podanych uprzednio wzorów. Cel, do którego

wiadomości mają być stosowane, nie powinien być bardzo odległy od celów osiąganych w toku ćwiczeń szkolnych.

D. Stosowanie wiadomości w sytuacjach problemowych

Formułowanie problemów, dokonywanie analizy i syntezy nowych zjawisk, formułowanie planu działania, tworzenie oryginalnych przedmiotów i wartościowanie przedmiotów wg pewnych kryteriów.

(B. Niemierko, Pomiar wyników kształcenia, WSiP S.A., Warszawa 1999.) Podobnie jak w klasie I podziału treści dokonano ze względu na dwa główne poziomy wymagań podstawowe i ponadpodstawowe. Wśród nich ustalono cztery podpoziomy

wymagań:

Poziom wymagań podstawowych (P): Poziom wymagań ponadpodstawowych (PP):

(10)

K – konieczne (wymagania na ocenę dopuszczającą),

P – podstawowe (K+P – wymagania na ocenę dostateczną),

R – rozszerzające (K+P+R – wymagania na ocenę dobrą),

D – dopełniające (K+P+R+D – wymagania na ocenę bardzo dobrą).

Pamiętamy, że K



P



R



D.

Wymagania konieczne (K) tworzą te zagadnienia, które są niezbędne do zrozumienia materiału z wyższego poziomu. Zagadnienia te powinni opanować wszyscy uczniowie. Bez opanowania zagadnień objętych tymi wymaganiami późniejsza nauka jest bardzo utrudniona, a często niemożliwa. Umożliwiają one uczniowi świadome korzystanie z lekcji i wykonywanie prostych zadań dotyczących otaczającej nas rzeczywistości.

Prócz poziomów wymagań K, P, R i D wyróżnić można także poziom W. Poziom W to wiedza i umiejętności wykraczające poza obowiązkowy program realizowany w danej klasie. Ponieważ w poradniku zajmujemy się planowaniem pracy w klasie realizującej nauczanie matematyki na poziomie podstawowym, dlatego poziom W może obejmować materiał nauczania oznaczony w poradniku symbolem (*).

Biorąc pod uwagę możliwości klasy nauczyciel ustala zasady zaliczenia dwóch podstawowych poziomów wymagań podstawowego (P) i ponadpodstawowego (PP).

Przykładowo w klasie przeciętnej z przewagą uczniów słabych zasady te mogą wyglądać następująco:

40% zaliczonych wymagań P – ocena dopuszczająca, 70% zaliczonych wymagań P – ocena dostateczna,

70% zaliczonych wymagań P + 40% zaliczonych wymagań PP – ocena dobra,

70% zaliczonych wymagań P + 70% zaliczonych wymagań PP – ocena bardzo dobra.

Przypominamy, że powyższe zasady zaliczania, a także zasady oceniania odpowiedzi ustnych i aktywności uczniów powinny znaleźć się w postaci zapisu w Przedmiotowym systemie oceniania w szkole. Stosowanie jasno określonych reguł podczas oceniania:

śródrocznego, na koniec roku oraz np. podczas egzaminów poprawkowych, bardzo usprawnia pracę nauczyciela.

Poniżej przedstawiamy fragment planu wynikowego odpowiadającego punktowi VII podstawy programowej: Geometria analityczna w zakresie podstawowym:

Dział Wymagania podstawowe P: Wymagania ponadpodstawowe PP:

Konieczne (#) Podstawowe (#) Rozszerzające (#) Dopełniające (#)

Uczeń:

rozpoznaje równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej;

B Uczeń:

pisze równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty o danych współrzędnych;

C Uczeń:

na podstawie równań ogólnych rozpoznaje proste równoległe, proste prostopadłe;

B Uczeń:

wyprowadza wzór na obliczanie współczynnika kierunkowego prostej, do której należą dwa punkty o danych współrzędnych;

C

(11)

G eo m et ri a an al it yc zn a.

na podstawie równań kierunkowych rozpozna proste równoległe, proste prostopadłe;

B oblicza ze wzoru odległość punktu od prostej;

C pisze w postaci ogólnej równanie prostej równoległej, prostej prostopadłej do danej

przechodzącej przez dany punkt;

C Przedstawia wielokąt w układzie współrzędnych za pomocą układu nierówności stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi.

C

rysuje wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta;

B stosuje warunek równoległości, prostopadłości prostych w zadaniach;

C pisze równanie osi symetrii figury, np.

prostej i punktu, prostych równoległych;

C

definiuje okrąg i koło na płaszczyźnie oraz wskazuje różnice między pojęciami:

koło i okrąg;

B pisze równania prostych zawierających pewne odcinki w trójkącie, czworokącie, np.

równanie prostej zawierającej bok, równanie symetralnej boku, równanie prostej zawierającej wysokość, środkową trójkąta;

C wykonuje konstrukcję stycznej do danego okręgu

i przechodzącej przez dany punkt nienależący do okręgu;

C

odróżnia styczną od

siecznej; B rysuje

półpłaszczyznę określoną nierównością.

C rozwiązuje graficznie układ nierówności stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi.

C

oblicza odległość dwóch punktów o danych współrzędnych;

C

oblicza

współrzędne środka odcinka o danych współrzędnych jego końców;

C

przekształca równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej i odwrotnie;

C

pisze równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym, do której należy punkt o danych

współrzędnych;

C

oblicza współczynnik kierunkowy prostej, do której należą dwa punkty o danych współrzędnych;

C

(12)

pisze w postaci kierunkowej równanie prostej przechodzącej przez punkt o danych współrzędnych równoległej do danej prostej;

C

pisze w postaci kierunkowej równanie prostej przechodzącej przez punkt o danych współrzędnych prostopadłej do danej prostej;

C

określa wzajemne położenie prostej i okręgu, gdy dany jest promień okręgu i odległość prostej od środka okręgu.

C

(na podst.: E. Ludwikowska, J. Brzezińska, Matematyka. Wymagania programowe, Wyd. Nowa Era, Warszawa 2004)

Uwaga: W kolumnie (#) określona jest taksonomia celów: A, B, C lub D.

Plan wynikowy stanowi między innymi podstawę do przygotowania się przez nauczyciela do hospitacji diagnozującej, a także do przygotowania zagadnień do egzaminu poprawkowego.

6. Sprawdziany

Nauczyciel powinien starannie zaplanować prace pisemne (sprawdziany i kartkówki) uczniów w danym roku szkolnym. W trakcie realizacji programu nauczania proponujemy w klasie II liceum 6 sprawdzianów i 4 kartkówki:

I. Liczby i ich zbiory –

II. Funkcje i ich własności –

III. Wielomiany i funkcje wymierne Kartkówka – rozkład wielomianu na czynniki.

Sprawdzian – równania i nierówności wielomianowe.

IV. Funkcje trygonometryczne

Kartkówka – związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Sprawdzian – funkcje trygonometryczne.

V. Ciągi liczbowe Kartkówka – procent składany.

(13)

Sprawdzian – ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

VI. Planimetria Sprawdzian – wielokąty.

VII. Geometria analityczna

Kartkówka – proste prostopadłe i proste równoległe.

Sprawdzian – figury w układzie współrzędnych.

VIII. Stereometria –

IX. Rachunek prawdopodobieństwa Sprawdzian – elementy statystyki opisowej.

7. Przykładowy sprawdzian

Temat: Funkcje trygonometryczne Sprawdzana wiedza:

– miara łukowa kąta,

– definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, – wykresy funkcji trygonometrycznych.

Sprawdzane umiejętności:

– stosowanie miary łukowej i stopniowej kata,

– stosowanie definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta,

– szkicowanie wykresów funkcji trygonometrycznych i określanie ich własności na podstawie wykresu,

– stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kata do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych: sin²cos² 1,  ^_

cos

 sin

tg ,

1

 

 ctg

tg .

 Zad. 1.

Narysuj kąt



, wiedząc, że

4

sin 3 i ^^



²⁷⁰⁰^;³⁶⁰⁰



.

 Zad. 2.

Naszkicuj wykres funkcji ^f⁽^x⁾^^cos^xdla ^x^ ^²^^;^ .

(14)

a) Dziedziną funkcji jest: ...

Zbiorem wartości jest: ...

b) Miejsca zerowe funkcji to: ...

c) Funkcja jest rosnąca w zbiorze: ...

Funkcja jest malejąca w zbiorze: ...

d) Funkcja przyjmuje wartości dodatnie w zbiorze: ...

Funkcja przyjmuje wartości ujemne w zbiorze: ...

e) Najmniejszą wartość w przedziale ^²^^;^ funkcja przyjmuje w: ...

i wynosi ona: ...

Największą wartość w przedziale ^²^^;^ funkcja przyjmuje w: ...

i wynosi ona: ...

 Zad. 3.

Wiadomo, że

3

sinx1 i ^x^ ^^;³₂^ . Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x.

 Zad. 4.

Sprawdź tożsamość:









  ¹ ^sin ^cos cos

1   



 



  tg .

Odpowiedzi:

Zad. 1.

Zad. 2.

(15)

a) Df= ^²^^;^ ; Zf= ^¹^;¹ ;

b) , 2

, 2 2

3  



 ;

c) funkcja jest rosnąca w przedziale ^^^;⁰ , a malejąca w każdym z przedziałów:



 

2 ; oraz ⁰^;^ ;

d) ^f⁽^x⁾^⁰dla ^x^ ^²^^;^³₂^⁾^⁽^^₂^;^₂⁾ 0

) (x 

f dla

        

2 ; 2 ( 2 ; ( 3

x

^;

e) wartość najmniejsza wynosi – 1 dla ^x^^^ ⁱ ^x^^ , wartość największa wynosi 1 dla ^x^ ^²^ ⁱ ^x ^⁰; Zad. 3.

2 2 4 ,

, 2 3

2

cosx2 tgx ctgx ; Zad. 4.

To jest tożsamość. Uzasadnienie:

 



 



  cos

cos cos cos

sin 1 cos

sin sin cos

sin 1 cos 1

1          ²  ² 



 



 tg tg tg

8.Przykładowe kartkówki

I) Temat: Rozkład wielomianu na czynniki Sprawdzana wiedza:

-dzielenie wielomianów, – twierdzenie Bézout,

– rozkład wielomianów na czynniki.

– wykonywanie dzielenia wielomianu przez wielomian, – rozkładanie wielomianów na czynniki.

 Zad. 1.

Wiedząc, że jednym z pierwiastków wielomianu ^W⁽^x⁾^^x³ ^^x² ^¹⁴^x^²⁴ jest liczba – 4, wyznacz pozostałe pierwiastki.

 Zad. 2.

Rozłóż wielomian W(x)x³4x² x4 na czynniki.

Odpowiedzi:

Zad. 1. x = 2, x = 3.

Zad. 2. W(x)x1x1x4

II) Temat: Proste prostopadłe i proste równoległe Sprawdzana wiedza:

– równanie prostej na płaszczyźnie.

– rozpoznawanie równania prostej w postaci ogólnej i kierunkowej,

(16)

– interpretowanie współczynników w równaniu kierunkowym prostej,

– wyznaczanie równania prostej określonej przez dwa punkty o danych współrzędnych, – wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej.

Kartkówka ma postać testu wielokrotnego wyboru.

 Zad. 1.

Wykres na powyższym rysunku przedstawia prostą o równaniu:

a) ²

21 



 x

y

b) ²^x^{ y}⁴ ^⁸^⁰ c) ^x^{ y}² ^⁴^⁰

 Zad. 2.

Jeżeli A=(1, 2), B=(2, 1), to prosta AB ma równanie:

a) ^x^{ y}^³^⁰ b) ^x^{ y}^³^⁰ c) ^y ^{ x}^ ^³

 Zad. 3.

Prosta l jest prostopadła do prostej AB z podpunktu b), jeżeli:

a) ^l^: ^y^{ x}^³ b) ^l^: ^y ^{ x}^ ^³ c) ^l^: ^y^{ x}^³ Odpowiedzi:

Zad. 1.

odp. a, b Zad. 2.

odp. a, c Zad. 3.

odp. a, c

9. Uwagi

Podczas realizacji w klasie II nowych treści programowych stale powtarzamy oraz utrwalamy wiadomości i umiejętności zdobyte wcześniej. Wskazane jest powtórzenie i ewentualne sprawdzenie na początku klasy II wiadomości i umiejętności zdobytych w klasie I.

Podobnie jak w poradniku dla kl. I podkreślamy, że wymagania na poszczególne poziomy: konieczny, podstawowy, rozszerzający, dopełniający i wykraczający bazują na

(17)

Opisie wymagań egzaminacyjnych, jednak w zależności od specyfiki klasy i szkoły mogą się nieco między sobą różnić. W szczególności w przypadku poziomu wymagań W nauczyciel może określić własne wymagania.

Pamiętamy, że ważnym elementem procesu dydaktycznego jest ocenianie, służące wspieraniu i motywowaniu uczniów. Ocenianie osiągnięć edukacyjnych uczniów, jako proces ustalenia i komunikowania ocen szkolnych, powinno być przez nauczyciela zaplanowane.

W poradniku zasady zaliczenia dwóch podstawowych poziomów wymagań podstawowego (P) i ponadpodstawowego (PP) poruszone zostały w punkcie 5. Diagnozie podlegają jednak nie tylko osiągnięcia edukacyjne ucznia, ale także system kształcenia stosowany przez nauczyciela.

Przypominamy, że zagadnienie planowania pracy dydaktycznej w kolejnych latach powinno podlegać ewaluacji, choćby ze względu na zmiany w prawie regulującym proces dydaktyczny. Na zagadnienie planowania wpływ powinny mieć także zmieniające się warunki nauczania (zagadnienia środowiskowe, konieczność dostosowania wymagań do potrzeb i możliwości nowych uczniów) oraz zmieniająca się wiedza i doświadczenie nauczyciela, poddającego refleksji wcześniejsze osiągnięcia i wyciągającego konstruktywne wnioski z dotychczasowej pracy.