GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 1
1.1. Czy każda prosta ma równanie zwyczajne?
1.2. Sprawdź, że iloczyn skalarny zdefiniowany podanym wzorem rzeczywiście ma wszys- tkie wymienione na wykładzie wlasności.
1.3. Sprawdź, że iloczyn wektorowy zdefiniowany podanym wzorem rzeczywiście ma wszys- tkie wymienione na wykładzie wlasności.
1.4. Sprawdź, czy prosta o równaniu x = 2 − t, y = −3 + 2t, z = 1 + t a) przechodzi przez punkty A(1, −1, 4), B(0, 1, 3);
b) leży na płaszczyźnie x − 2y + 3z = 9.
1.5. Podaj równanie płaszczyzny
a) przechodzącej przez punkt A(−3, 1, 0) i równoległej do płaszczyzny x + 3y − 2z + 5 = 0;
b) przechodzącej przez punkty (1, 4, 2), (−1, 0, 2), (3, 5, 1).
1.6. Dla jakich wartości a i b punkty (−2, 4, a) i −2, b, 3) leżą na płaszczyżnie 4x − 3y − z + 2 = 0?
*1.7. Znajdź równania prostych zawierających główne przekątne sześcianu (tj. przekątne przechodzące przez środek sześcianu) wiedząc, że współrzędne trzech spośród wierz- chołków sześcianu wynoszą (0, 0, 0), (2, −2, −1) i (1, −1, 4).
2.1. Dla jakich wartości parametru α płaszczyzny αx + y − α2z + 1 = 0 i x + αy + z − α = 0 są
a) równoległe b) prostopadłe?
2.2. Wyznacz kąty między przekątnymi ścian sześcianu (rozważ wszystkie przypadki).
2.3. Płaszczyzny Π i Λ przecinają się pod kątem π/3. Proste p i l leżą odpowiednio w płaszczyznach Π i Λ. Jakie wartości może przyjmować kąt między prostymi p i l?
2.4. Proste k i l są skośne, a punkt P nie leży na żadnej z nich. Czy zawsze istnieje prosta przechodząca przez P i przecinająca obie dane proste? Czy może być więcej niż jedna taka prosta?
2.5. Proste p, k i l są parami skośne. Pokaż, że istnieje nieskończenie wiele prostych przecinających wszystkie trzy dane proste.
(Alternatywne definicje kąta)
2.6. Prosta p oraz płaszczyzna Λ przechodzą przez początek układu współrzędnych. Dla dowolnego niezerowego wektora X ∈ Λ niech α(X) oznacza kąt między wektorem X a prostą p. Pokaż, że najmniejsza wartość przyjmowana przez α(X) równa się kątowi między prostą p a płaszczyzną Λ.
2.7. Płaszczyzny Π i Λ przechodzą przez początek układu współrzędnych. Dla dowolnego niezerowego wektora X ∈ Λ niech α(X) oznacza kąt między wektorem X a płaszczyzną p. Pokaż, że największa wartość przyjmowana przez α(X) równa się kątowi między płaszczyznami Π i Λ.
1
