GR I PYTANIA EGZAMINACYJNE

(1)

GR I PYTANIA EGZAMINACYJNE

1. Define g. ^a powierchni _zanunomq

^.^.

_Sposoby opisu powierchni sanumomej

^.

Csy ^Kazda powienchuie jest poziomicy jakiego ^'s odwzorowanie n' znicskowalnego ^?

2. Pmeslren

^'

slycsme ^do powiemchni zanunsomej

^,

^base aoiqsaue ² ^ukiadem wspo ^'t

^-

rrgdnych

^.

Lapisai pole ^wektorowe 2y+sim2o ( ^done ^ha wspiimqdnycn ⁵² ^we

sterycsnycu ) ^we wspitmqdnycn storeograficsnycn

^.

3. Defimqe pmeslmeui stycsng

^.

^w ^puukcie ^× ^do ^Nosmaitosa

^.

^M

^.

Jak wpvowaolzic

^'

wT×M structure wektorowq ^?

4

.

Jak wpnowaolzii ^me ^TM ^iT*M ^structure Nosmaitosci Ndzhicskowalnej ^?

5. Pnestmen

^'

Kostycsme ^do powierchm

.

sanumomq

^.

^w punkcie ^×

^.

^Baza awipzame ^a

uktadem wspitmqdnych

^.

^Na powierchni S={ ⁽ ^x _,y

^,

²⁾ ^E ¹¹²³

^:

²²

^-

xty2=L ^, ^2>0 ^}

wpnowaobic wspitmedne ^I sapisac

^'

wtych wspoimqdnych ^Ndznicske fuukij

bedqcq

^.

^obciqciem ^f ⁽ ^× ,yR )

⁼

×2+z2

^-

^xz ^do ^S

^.

6

^.

Co to jest gradient funkgi ^? ^Wynazii gradient ^w ^wybnanycn wspitmednych ^me powienchni ^St { ⁽ ^× ,y ^, 2) ^c. ¹¹²³

^:

^24×2

^-

y

'

=

1

,

2>0 } _wzgkdem _ilouyuu _skalownego

obcietegoz ^R ^?

7. Udowodnii _, ze istniqe jadnoznaame odpowieolniosi migoby ndzhiczkowaniami alqebry ^CYM) waglqdau houwworfizmu bedqcego ewaluoqig ^W ^XEM ^a eleueeutami Txm

^.

8. Zdefimiowai ^mawias Lego pie wektorowych iomowicjego ^wtasnosci

^.

8

.

Co to jest odwzonowaniestycsne ^? ^Men M={ ⁽ ^× ⁾ ^e ¹¹²² ,y

^:

^x ^{> 0} ^}

^.

^Dbe _ustalonego

( ^a , b) ^em defimujemy ^Lia ,b )

^:

M ^→ M

Lco _, _b) ( ^× _{,y )}

⁼

⁽ ^ax _, ayttf ⁾

Nick 0=2 sarepiony ^w ⁽ ^1,0 ⁾

^.

^Zapisac

^'

^we wspoilmednych pole ^wektorowe FCX ,y)=T4×,y ⁾ ( ^V ⁾

106

to jest wfhiecie formy ^? ^Men M={ ⁽ ^× ⁾ ^e ¹¹²² ,y

^:

^x ^{> 0} ^}

^.

^Dbe

ustoionego

( ^a , b) ^em defimujemy ^Lia ,b )

^:

M ^→ M

40 _, b) ( ^× , y )

⁼

⁽ ^ax , ayt ¥ ⁾

Eualez 'd 4a _, _b) ^* ^dx ^I 4a , b)

* dy

11

.

Pmestmen Odwzorowah wiehliuiowycn ^me pmestmeui ^wektorowej

^:

definiqie , wyeuier ^,

base _, podpmestnsen odwaonowoui autysymehycsnyu

^.

(2)

12 Ilocsyn ^aewnetmny

^:

^definigie ^, ^wtasnosci

^.

^Nick ^&ENV* ^, ^pe ^V ^*

^.

^Wynazic ^'

( d^p ⁾ ^{( is}

^,

^is ^{,v3 )} pmez ^wowtosa

.

dip ^me ^wektonach ^Osiris

^.

13

^.

Riznicskd 2 ewnetnme

^:

defimige ⁱ ^wtasnosci

^.

^For my ^souukuiete ^I superne

^.

14

^.

Wzir Gwtawe me nozhicske Kformy

^.

^wsir Tulayjewe ^me ^noznicske tfonmy

^.

15

^.

Torme pierwotme

^.

^Lemat ^Poincare

^' ^-

sfonmiuowahie ⁱ ^szkec ^owwoau

^.

lb

^.

Obliuyccatke ² formy dyrdz ^po ^fragmeucie story ⁵² ^the Ktorego ^{X >} ^oi

270 a wybnaue oneutacjq

^.

Sfonmiuowac _defimig.ee ^caiki ^a formy

^.

Pmeolyskeetowai role omeutoyi

17

.

Co to jest for ^me obiqto.su?2wiq2ekistmieuieformyobjqtosci2omeutowalnosaq

^.

18

^.

Sfonmutowac ^to

^.

^Stokes ^'d ⁱ _pooled ^Sakic ^dowodu

^.

ns.twierobeueestokesawaualiziewektorowej

^:

_wzonyi wybraaydowod

^.

W

.

Dywergenqe ^, rotaqie ⁱ Laplosjan ^me powienclni ^a ilouyuem ^skalarnyeu

^.

Wtosnosci

, wrong

^.^.^.

21

.

Gwiasdkd Hodgek

^-

^definite ^iwasnojci

^.

^Obhieyc

^.

^* ^01J ⁱ ^* ^drr ^do ^w ¹¹²³

^.

22

.

feauopowaeuetrowe _ojrupe dyfeoworfizmow

^.

^2wig2ek ² polaeui wektorowymi

^.

Wyanacsyi ^40£ ^due ×2y

^-

^y2× ^he ¹¹²²

23

^.

Palmolive Lego ^form rdzhiakowych ^: defimigd ^, ^wtasnosa

^.

^, wary

^.

^Wykazoic

^'

wait

£×d= ixdxtdixd ^dhe ^xe ^ACM ⁾

24 Pochodme Kowowiantme ^me powiemchni ^same money ^: Syeubole ^Christoff ^ehe

^.

tumystajqc ² ^wtasnosci ^polwdnej kovaoiautng

.

wypnowaokic ^War ^me

poclwduq ^pole

teusonowegoffijcxldxtox ² ^; ⁽ ^we wspolmeanych ^, ^tzn ^wzir

me

( That )ij

25.6 to jest pmesunigcie rownolegte ^me powierzclui ^sauurong

.

wpmestreui

Eeklidesowej

^.

GR I PYTANIA EGZAMINACYJNE

GR I PYTANIA EGZAMINACYJNE

1. Define g. a powierchni zanunomq

Sposoby opisu powierchni sanumomej

Csy Kazda powienchuie jest poziomicy jakiego 's odwzorowanie n' znicskowalnego ?

2. Pmeslren

slycsme do powiemchni zanunsomej

base aoiqsaue 2 ukiadem wspo 't

rrgdnych

Lapisai pole wektorowe 2y+sim2o ( done ha wspiimqdnycn 52 we

sterycsnycu ) we wspitmqdnycn storeograficsnycn

3. Defimqe pmeslmeui stycsng

w puukcie × do Nosmaitosa

M

Jak wpvowaolzic

wT×M structure wektorowq ?

4

Jak wpnowaolzii me TM iT*M structure Nosmaitosci Ndzhicskowalnej ?

5. Pnestmen

Kostycsme do powierchm

sanumomq

w punkcie ×

Baza awipzame a

uktadem wspitmqdnych

Na powierchni S={ ( x ,y

2) E 1123

22

xty2=L , 2>0 }

wpnowaobic wspitmedne I sapisac

wtych wspoimqdnych Ndznicske fuukij

bedqcq

obciqciem f ( × ,yR )

×2+z2

xz do S

6

Co to jest gradient funkgi ? Wynazii gradient w wybnanycn wspitmednych me powienchni St { ( × ,y , 2) c. 1123

24×2

y

'

1

2>0 } wzgkdem ilouyuu skalownego

obcietegoz R ?

7. Udowodnii , ze istniqe jadnoznaame odpowieolniosi migoby ndzhiczkowaniami alqebry CYM) waglqdau houwworfizmu bedqcego ewaluoqig W XEM a eleueeutami Txm

8. Zdefimiowai mawias Lego pie wektorowych iomowicjego wtasnosci

8

Co to jest odwzonowaniestycsne ? Men M={ ( × ) e 1122 ,y

x > 0 }

Dbe ustalonego

( a , b) em defimujemy Lia ,b )

M → M

Lco , b) ( × ,y )

( ax , ayttf )

Nick 0=2 sarepiony w ( 1,0 )

Zapisac

we wspoilmednych pole wektorowe FCX ,y)=T4×,y ) ( V )

106

to jest wfhiecie formy ? Men M={ ( × ) e 1122 ,y

x > 0 }

Dbe

ustoionego

( a , b) em defimujemy Lia ,b )

M → M

40 , b) ( × , y )

( ax , ayt ¥ )

Eualez 'd 4a , b) * dx I 4a , b)

* dy

11

Pmestmen Odwzorowah wiehliuiowycn me pmestmeui wektorowej

definiqie , wyeuier ,

base , podpmestnsen odwaonowoui autysymehycsnyu

12 Ilocsyn aewnetmny

definigie , wtasnosci

Nick &ENV* , pe V *

Wynazic '

( d^p ) ( is

is ,v3 ) pmez wowtosa

dip me wektonach Osiris

13

Riznicskd 2 ewnetnme

defimige i wtasnosci

1. Define g. ^a powierchni _zanunomq

_Sposoby opisu powierchni sanumomej

Csy ^Kazda powienchuie jest poziomicy jakiego ^'s odwzorowanie n' znicskowalnego ^?

slycsme ^do powiemchni zanunsomej

^base aoiqsaue ² ^ukiadem wspo ^'t

Lapisai pole ^wektorowe 2y+sim2o ( ^done ^ha wspiimqdnycn ⁵² ^we

sterycsnycu ) ^we wspitmqdnycn storeograficsnycn

^w ^puukcie ^× ^do ^Nosmaitosa

^M

wT×M structure wektorowq ^?

Jak wpnowaolzii ^me ^TM ^iT*M ^structure Nosmaitosci Ndzhicskowalnej ^?

Kostycsme ^do powierchm

^w punkcie ^×

^Baza awipzame ^a

^Na powierchni S={ ⁽ ^x _,y

²⁾ ^E ¹¹²³

²²

xty2=L ^, ^2>0 ^}

wpnowaobic wspitmedne ^I sapisac

wtych wspoimqdnych ^Ndznicske fuukij

^obciqciem ^f ⁽ ^× ,yR )

^xz ^do ^S

Co to jest gradient funkgi ^? ^Wynazii gradient ^w ^wybnanycn wspitmednych ^me powienchni ^St { ⁽ ^× ,y ^, 2) ^c. ¹¹²³

^24×2

2>0 } _wzgkdem _ilouyuu _skalownego

obcietegoz ^R ^?

7. Udowodnii _, ze istniqe jadnoznaame odpowieolniosi migoby ndzhiczkowaniami alqebry ^CYM) waglqdau houwworfizmu bedqcego ewaluoqig ^W ^XEM ^a eleueeutami Txm

8. Zdefimiowai ^mawias Lego pie wektorowych iomowicjego ^wtasnosci

Co to jest odwzonowaniestycsne ^? ^Men M={ ⁽ ^× ⁾ ^e ¹¹²² ,y

^x ^{> 0} ^}

^Dbe _ustalonego

( ^a , b) ^em defimujemy ^Lia ,b )

M ^→ M

Lco _, _b) ( ^× _{,y )}

⁽ ^ax _, ayttf ⁾

Nick 0=2 sarepiony ^w ⁽ ^1,0 ⁾

^Zapisac

^we wspoilmednych pole ^wektorowe FCX ,y)=T4×,y ⁾ ( ^V ⁾

to jest wfhiecie formy ^? ^Men M={ ⁽ ^× ⁾ ^e ¹¹²² ,y

^x ^{> 0} ^}

^Dbe

( ^a , b) ^em defimujemy ^Lia ,b )

M ^→ M

40 _, b) ( ^× , y )

⁽ ^ax , ayt ¥ ⁾

Eualez 'd 4a _, _b) ^* ^dx ^I 4a , b)

Pmestmen Odwzorowah wiehliuiowycn ^me pmestmeui ^wektorowej

definiqie , wyeuier ^,

base _, podpmestnsen odwaonowoui autysymehycsnyu

12 Ilocsyn ^aewnetmny

^definigie ^, ^wtasnosci

^Nick ^&ENV* ^, ^pe ^V ^*

^Wynazic ^'

( d^p ⁾ ^{( is}

^is ^{,v3 )} pmez ^wowtosa

dip ^me ^wektonach ^Osiris

defimige ⁱ ^wtasnosci

^For my ^souukuiete ^I superne

^wsir Tulayjewe ^me ^noznicske tfonmy

^Lemat ^Poincare

sfonmiuowahie ⁱ ^szkec ^owwoau

Obliuyccatke ² formy dyrdz ^po ^fragmeucie story ⁵² ^the Ktorego ^{X >} ^oi

Sfonmiuowac _defimig.ee ^caiki ^a formy

Co to jest for ^me obiqto.su?2wiq2ekistmieuieformyobjqtosci2omeutowalnosaq

Sfonmutowac ^to

^Stokes ^'d ⁱ _pooled ^Sakic ^dowodu

_wzonyi wybraaydowod

Dywergenqe ^, rotaqie ⁱ Laplosjan ^me powienclni ^a ilouyuem ^skalarnyeu

^definite ^iwasnojci

^Obhieyc

^* ^01J ⁱ ^* ^drr ^do ^w ¹¹²³

feauopowaeuetrowe _ojrupe dyfeoworfizmow

^2wig2ek ² polaeui wektorowymi

Wyanacsyi ^40£ ^due ×2y

^y2× ^he ¹¹²²

Palmolive Lego ^form rdzhiakowych ^: defimigd ^, ^wtasnosa

^, wary

^Wykazoic

£×d= ixdxtdixd ^dhe ^xe ^ACM ⁾

24 Pochodme Kowowiantme ^me powiemchni ^same money ^: Syeubole ^Christoff ^ehe