Konkurs Matematyczny Politechniki Bia lostockiej
Zadania konkursowe - klasy pierwsze 30 maja 2009 r.
1. Na okregu o ´srodku O opisano czworok, at wypuk ly, kt´, orego kolejne wierzcho lki oznaczono literami A, B, C i D. Udowodni´c, ˙ze suma miar kat´, ow ]AOB i ]COD jest r´owna 180◦.
2. Niech n > 1 bedzie liczb, a naturaln, a, za´s x, 1, x2, . . . , xn liczbami ca lkowitymi, kt´orych suma dzieli sie przez 10. Udowodni´, c, ˙ze liczba
x51+ x52+ ... + x5n jest r´ownie˙z podzielna przez 10.
3. Wyznaczy´c najmniejsza warto´s´, c wyra˙zenia
f (x, y) = xy2+ 2x(x − 1)y + x3− 5x + 4,
gdzie y jest dowolna liczb, a rzeczywist, a, za´s x dowoln, a liczb, a rzeczywist, a dodatni, a.,
4. Sze´scian S o krawedzi d lugo´sci n (gdzie n > 1 jest liczb, a naturaln, a) podzielono na, n3 ma lych sze´scian´ow o krawedzi d lugo´sci 1. Na ile sposob´, ow mo˙zna wybra´c n ma lych sze´scian´ow, tak aby ´srodki ˙zadnych dw´och z wybranych sze´scian´ow nie le˙za ly na prostej r´ownoleg lej do kt´orejkolwiek ´sciany sze´scianu S?
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow i telefon´ow kom´orkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://signum.pb.bialystok.pl w dniu 2 czerwca 2009 r.
1
