Algebra – Zadanie 3.1
Krystyna Gajczyk, Wojciech Szymaoski
Treść zadania: Znaleźd wszystkie homomorfizmy oraz . Rozwiązanie:
Zacznijmy od znalezienia homomorfizmów . jest grupą cykliczną, a więc homomorfizm z grupy jest jednoznacznie wyznaczony przez określenie wartości (1), gdzie jest szukanym homomorfizmem. Skoro jest homomorfizmem to o( (1))| o(1). W grupie o(1) = 12, a więc 1 przejdzie na taki element z , którego rząd dzieli dwanaście. Jednak w grupie wszystkie elementy są rzędu 1,2 lub 4. To oznacza, że jedynka z może przejśd na dowolny element z grupy , w której jest 8 elementów. Zatem jest 8 homomorfizmów .
Zbadajmy teraz jakie są homomorfizmy . Każdy homomorfizm z grupy posiada jądro, które oznaczmy jako ker . Oczywiście ker . Określmy rzutowanie π: /ker .
Z twierdzenia o homomorfizmie wiemy, że istnieje dokładnie jeden monomorfizm : /ker taki, że π = . Wypiszmy więc wszystkie podgrupy normalne w .
Podgrupami normalnymi w są: {1}, , oraz . Zatem te podgrupy są jedynymi kandydatami
na ker . Rozpatrzmy następujące przypadki:
a) ker = {1}
Jeśli ker jest trywialne to oznacza, że musiałby istnied monomorfizm . Jednak taki monomorfizm nie istnieje, bo | |= 24, a | |= 12, zatem dla ker = {1} nie istnieje
homomorfizm .
b) ker =
Jeśli cała grupa należy do ker to oznacza, że : jest homomorfizmem trywialnym.
c) ker =
Jeśli ker = to /ker = / . | / |= 2, zatem / . Szukając monomorfizmów należy wskazad na co przejdzie 1 z . Oczywiście aby to był monomorfizm to 1 musi przejśd na element z rzędu 2. W mamy 7 elementów rzędu 2, a więc jest 7 monomorfizmów
. Zatem dla ker = jest 7 homomorfizmów .
d) ker =
Jeśli ker = to /ker = / oraz | / |= 6 . Udowodnimy, że / . Skoro | / |= 6 to korzystając z twierdzenia Cauchy’ego g / takie, że o(g) = 2 oraz
h / takie, że o(h) = 3, bo 2 i 3 są liczbami pierwszymi dzielącymi 6. Gdyby / było grupą przemienną to o(gh) = 6 , gdzie gh / . Jednak w / nie może istnied element rzędu 6, bo w wszystkie elementy są rzędu 1, 2, 3 lub 4. Szóstka nie jest dzielnikiem żadnej z tych liczb, a określając rzutowanie π: / wiemy, że g o(π(g))|o(g). Zatem / jest
nieprzemienną grupą rzędu 6, czyli jest izomorficzna z .
Znajdźmy monomorfizmy . Są dwa przedstawienia grupy w : {1, , , , , } oraz {1, , , , }. Dla każdej z tych dwóch postaci aby określid ilośd monomorfizmów
musimy uwzględnid ilośd automorfizmów . W automorfiźmie element rzędu 2 przejdzie na element rzędu 2, są więc trzy możliwości, bo w grupie są trzy elementy rzędu 2.
Element rzędu 3 przejdzie na element rzędu 3, są więc dwie możliwości, bo w grupie są dwa elementy rzędu 3. Oczywiście zachowane są wszystkie relacje grupy co można łatwo sprawdzid.
A więc |Aut |= 2 3 = 6, czyli jest 2 6 monomorfizmów . Zatem dla ker = jest
12 homomorfizmów .
Podsumowując podpunkty a), b), c), d): istnieje dokładnie 1 + 7 + 12 = 20 homomorfizmów .
