owna´ n liniowych

(1)

Wyk lad 2

Uk lady r´ owna´ n liniowych

1 Podstawowe poj ecia zwi

_,

azane z uk ladami r´

_,

owna´ n liniowych

Uk ladem m r´ owna´ n liniowych o niewiadomych x

1

, x

2

, . . ., x

n

nazywamy uk lad r´ owna´ n postaci:



 

 

 

 

a

₁₁

x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+ . . . + a

_1n

x

_n

= b

₁

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+ . . . + a

_mn

x

_n

= b

_m

, (1)

gdzie wsp´ o lczynniki a

_ij

(dla i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) oraz elementy b

_i

(dla i = 1, . . . , m) nale˙z a do cia la R. Uk lad ten nazywamy jednorodnym, gdy b

_, 1

= b

2

= . . . = b

m

= 0.

Macierz a wsp´

_,

o lczynnik´ ow uk ladu (1) nazywamy macierz:

A =







a

11

a

12

. . . a

1n

a

₂₁

a

₂₂

. . . a

_2n

.. . .. . . .. .. . a

m1

a

m2

. . . a

mn







, (2)

za´ s macierz a uzupe lnion

_,

a uk ladu (1) nazywamy macierz:

_,

A

u

=







a

₁₁

a

₁₂

. . . a

_1n

b

₁

a

21

a

22

. . . a

2n

b

2

.. . .. . . .. .. . .. . a

_m1

a

_m2

. . . a

_mn

b

_m







. (3)

Rozwi azaniem uk ladu (1) nazywamy taki ci

_,

ag liczbowy (c

_, ₁

, c

₂

, . . . , c

_n

), ˙ze po zast apieniu

_,

w r´ ownaniach tego uk ladu niewiadomych x

i

elementami c

i

dla i = 1, 2, . . . , n otrzymujemy r´ owno´ sci prawdziwe w ciele R, tj. gdy A · C = B, gdzie B jest kolumn a wyraz´

_,

ow wolnych tzn.

B =





 b

₁

b

2

.. . b

_m







oraz C =





 c

₁

c

2

.. . c

_n







. (4)

Wynika st ad, ˙ze przy tych oznaczeniach uk lad (1) mo˙zna zapisa´

_,

c w postaci macierzowej

A · X = B. (5)

Definicja 2.1. Powiemy, ˙ze r´ ownanie

a

1

x

1

+ a

2

x

2

+ . . . + a

n

x

n

= b (6)

(2)

jest kombinacj a liniow

_,

a r´

_,

owna´ n uk ladu (1), je˙zeli istniej a c

_, 1

, c

2

, . . . , c

m

∈ R (zwane wsp´ o l- czynnikami tej kombinacji) takie, ˙ze po pomno˙zeniu stronami i-tego r´ ownania przez c

_i

dla i = 1, . . . , m i dodaniu stronami otrzymanych r´ owna´ n uzyskamy r´ ownanie (1), tzn.

b =

m

X

i=1

c

_i

b

_i

oraz a

_j

=

m

X

i=1

c

_i

a

_ij

dla j = 1, 2, . . . , n. (7) Uwaga 2.2. Zauwa˙zmy, ˙ze je´ sli r´ ownanie (6) jest kombinacj a liniow

_,

a pewnych r´

_,

owna´ n uk ladu (1), to jest ono tak˙ze kombinacj a liniow

_,

a wszystkich r´

_,

owna´ n tego uk ladu (brakuj ace

_,

wsp´ o lczynniki s a r´

_,

owne 0).

Twierdzenie 2.3. Ka˙zde rozwi azanie uk ladu (1) jest rozwi

_,

azaniem ka˙zdego r´

_,

ownania b ed

_,

a-

_,

cego kombinacj a liniow

_,

a r´

_,

owna´ n uk ladu (1).

Dow´ od. Za l´ o˙zmy, ˙ze r´ ownanie (6) jest kombinacj a liniow

_,

a o wsp´

_,

o lczynnikach c

₁

, c

₂

, . . . , c

_m

r´ owna´ n uk ladu (1) i niech (p

₁

, p

₂

, . . . , p

_n

) b edzie rozwi

_,

azaniem uk ladu (1). Wtedy

_,



 

 

 

 

a

11

p

1

+ a

12

p

2

+ . . . + a

1n

p

n

= b

1

a

₂₁

p

₁

+ a

₂₂

p

₂

+ . . . + a

_2n

p

_n

= b

₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

m1

p

1

+ a

m2

p

2

+ . . . + a

mn

p

n

= b

m

,

wi ec po pomno˙zeniu obu stron i-tej r´

_,

owno´ sci przez c

i

dla i = 1, . . . , m i dodaniu stronami otrzymanych r´ owno´ sci uzyskamy na mocy wzor´ ow (7), ˙ze a

₁

p

₁

+ a

₂

p

₂

+ . . . + a

_n

p

_n

= b, czyli (p

₁

, p

₂

, . . . , p

_n

) jest rozwi azaniem r´

_,

ownania (6). 2

Definicja 2.4. Dwa uk lady r´ owna´ n liniowych (U

₁

) i (U

₂

) z n niewiadomymi x

₁

, . . . , x

_n

nazywamy r´ ownowa ˙znymi, gdy ka˙zde r´ ownanie uk ladu (U

1

) jest kombinacj a liniow

_,

a r´

_,

owna´ n uk ladu (U

₂

) i odwrotnie. Piszemy wtedy (U

₁

) ≡ (U

₂

).

Z twierdzenia 2.3 wynika od razu nast epuj

_,

ace

_,

Twierdzenie 2.5. R´ ownowa˙zne uk lady r´ owna´ n liniowych posiadaj a identyczne zbiory

_,

rozwi aza´

_,

n.

Definicja 2.6. Uk lad r´ owna´ n liniowych z n niewiadomymi x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

nazywamy sprzecz- nym, gdy r´ ownanie 0 · x

1

+ 0 · x

2

+ . . . + 0 · x

n

= 1 jest kombinacj a liniow

_,

a r´

_,

owna´ n tego uk ladu.

Poniewa˙z r´ ownanie 0 · x

₁

+ 0 · x

₂

+ . . . + 0 · x

_n

= 1 nie posiada rozwi azania, wi

_,

ec z powy˙zszej

_,

definicji oraz z twierdzenia 2.3 wynika od razu nast epuj

_,

ace

_,

Twierdzenie 2.7. Sprzeczny uk lad r´ owna´ n liniowych nie posiada rozwi azania.

_,

Lemat 2.8. Za l´ o˙zmy, ˙ze i-te r´ ownanie dla i = 1, . . . , k uk ladu r´ owna´ n



 

 

 

 

a

⁰₁₁

x

₁

+ a

⁰₁₂

x

₂

+ . . . + a

⁰_1n

x

_n

= b

⁰₁

a

⁰₂₁

x

1

+ a

⁰₂₂

x

2

+ . . . + a

⁰_2n

x

n

= b

⁰₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

⁰_k1

x

₁

+ a

⁰_k2

x

₂

+ . . . + a

⁰_kn

x

_n

= b

⁰_k

, (8)

(3)

jest kombinacj a liniow

_,

a r´

_,

owna´ n uk ladu (1) o wsp´ o lczynnikach c

i1

, c

i2

, . . . , c

im

. Je˙zeli r´ ownanie (6) jest kombinacj a liniow

_,

a r´

_,

owna´ n uk ladu (8) o wsp´ o lczynnikach c

₁

, c

₂

, . . . , c

_k

, to r´ ownanie (6) jest kombinacj a liniow

_,

a r´

_,

owna´ n uk ladu (1) o wsp´ o lczynnikach

k

X

i=1

c

_i

c

_i1

,

k

X

i=1

c

_i

c

_i2

, . . . ,

k

X

i=1

c

_i

c

_im

.

Dow´ od. Na mocy (7) mamy, ˙ze dla i = 1, 2, . . . , k: a

⁰_ij

=

m

X

t=1

c

_it

a

_tj

dla j = 1, 2, . . . , n

oraz b

⁰_i

=

m

X

t=1

c

_it

b

_t

. Ponadto a

_j

=

k

X

i=1

c

_i

a

⁰_ij

dla j = 1, 2, . . . , n oraz b =

k

X

i=1

c

_i

b

⁰_i

. Zatem dla j = 1, 2, . . . , n:

a

_j

=

k

X

i=1

c

_i

·

m

X

t=1

c

_it

a

_tj

!

=

k

X

i=1 m

X

t=1

c

_i

c

_it

a

_tj

=

m

X

t=1 k

X

i=1

c

_i

c

_it

a

_tj

=

m

X

t=1 k

X

i=1

c

_i

c

_it

!

a

_tj

oraz

b =

k

X

i=1

c

_i

·

m

X

t=1

c

_it

b

_t

!

=

k

X

i=1 m

X

t=1

c

_i

c

_it

b

_t

=

m

X

t=1 k

X

i=1

c

_i

c

_it

b

_t

=

m

X

t=1 k

X

i=1

c

_i

c

_it

!

b

_t

, sk ad na mocy

_,

(7) mamy tez e.

_,

2 Z lematu wynika od razu, ˙ze je´ sli r´ ownanie 0 · x

₁

+ 0 · x

₂

+ . . . + 0 · x

_n

= a, gdzie a 6= 0 jest kombinacj a liniow

_,

a r´

_,

owna´ n uk ladu (1), to uk lad ten jest sprzeczny. Ponadto z lematu wynikaj a

_,

od razu nast epuj

_,

ace twierdzenia:

_,

Twierdzenie 2.9. Za l´ o˙zmy, ˙ze uk lady r´ owna´ n liniowych (U

1

) i (U

2

) z n niewiadomymi x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

s a r´

_,

ownowa˙zne. W´ owczas uk lad (U

₁

) jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (U

2

) jest sprzeczny.

Twierdzenie 2.10. Niech (U

1

), (U

2

), (U

3

) b ed

_,

a uk ladami r´

_,

owna´ n liniowych z n niewiadomymi x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

. W´ owczas:

(i) (U

₁

) ≡ (U

₁

);

(ii) je˙zeli (U

1

) ≡ (U

2

), to (U

2

) ≡ (U

1

);

(iii) je˙zeli (U

₁

) ≡ (U

₂

) i (U

₂

) ≡ (U

₃

), to (U

₁

) ≡ (U

₃

).

Problem rozwi azania uk ladu r´

_,

owna´ n liniowych polega na znalezieniu wszystkich rozwi aza´

_,

n tego uk ladu. Bardzo u˙zyteczne przy rozwi azywaniu tego problemu s

_,

a tzw. operacje elemen-

_,

tarne.

2 Operacje elementarne nad uk ladem r´ owna´ n liniowych

(i). Zamiana miejscami r´ ownania i-tego z r´ ownaniem j-tym (i 6= j) oznaczana przez r

i

↔ r

_j

. Operacja odwrotna: r

i

↔ r

_j

.

(ii). Pomno˙zenie i-tego r´ ownania przez niezerowy skalar a oznaczana przez a · r

_i

. Operacja odwrotna:

¹_a

· r

_i

.

(iii). Dodanie do i-tego r´ ownania r´ ownania j-tego (i 6= j) pomno˙zonego przez dowolny skalar a

(4)

oznaczana przez r

i

+a·r

j

. Przy tej operacji zmieniamy tylko r´ ownanie i-te! Operacja odwrotna:

r

_i

+ (−a) · r

_j

.

(iv). Wykre´ slenie powtarzaj acych si

_,

e kopii pewnego r´

_,

ownania.

(v). Wykre´ slenie r´ owna´ n postaci 0 · x

1

+ 0 · x

2

+ . . . + 0 · x

n

= 0 (gdy liczba r´ owna´ n jest wi eksza

_,

od 1).

(vi). Zamiana kolejno´ sci niewiadomych x

i

oraz x

j

(i 6= j) w ka˙zdym r´ ownaniu oznaczana przez x

_i

↔ x

_j

. W wyniku zastosowania tej operacji r´ ownanie

a

1

x

1

+ . . . + a

i

x

i

+ . . . + a

j

x

j

+ . . . + a

n

x

n

= b przechodzi na r´ ownanie

a

₁

x

₁

+ . . . + a

_j

x

_j

+ . . . + a

_i

x

_i

+ . . . + a

_n

x

_n

= b.

Z definicji uk lad´ ow r´ ownowa˙znych mamy zatem, ˙ze je´ sli uk lad (U

₂

) powstaje z uk ladu (U

₁

) przez wykonanie operacji elementarnej, to uk lady (U

1

) i (U

2

) s a r´

_,

ownowa˙zne. Zatem z twierdze´ n 2.5, 2.9 i 2.10 przez prost a indukcj

_,

e otrzymujemy st

_,

ad od razu nast

_,

epuj

_,

ace

_,

Twierdzenie 2.11. Za l´ o˙zmy, ˙ze uk lad (U

⁰

) r´ owna´ n liniowych powstaje z uk ladu (U ) przez kolejne wykonanie sko´ nczonej liczby operacji elementarnych. W´ owczas uk lady te s a r´

_,

ownowa˙zne, maj a te same zbiory rozwi

_,

aza´

_,

n i uk lad (U ) jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (U

⁰

) jest sprzeczny.

Na twierdzeniu 2.11 opiera si e metoda rozwi

_,

azywania uk lad´

_,

ow r´ owna´ n liniowych zwana metod a eliminacji Gaussa.

_,

3 Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu (1) (w kt´ orym a

_ij

6= 0 dla pewnych i, j) przy pomocy operacji elementarnych r´ ownowa˙znego mu (czyli posiadaj acego

_,

taki sam zbi´ or rozwi aza´

_,

n) uk ladu (9), kt´ ory po ewentualnej permutacji niewiadomych x

1

, . . . , x

n

ma posta´ c:



 



 



x

₁

+ c

_{1, k+1}

x

_k+1

+ . . . + c

_1n

x

_n

= d

₁

x

₂

+ c

_{2, k+1}

x

_k+1

+ . . . + c

_2n

x

_n

= d

₂

x

3

+ c

3, k+1

x

k+1

+ . . . + c

3n

x

n

= d

3

. .. .. . .. . .. .

x

_k

+ c

_{k, k+1}

x

_k+1

+ . . . + c

_kn

x

_n

= d

_k

0 = d

_k+1

. (9)

Je˙zeli d

k+1

6= 0, to uk lad (9) nie ma rozwi azania, a wi

_,

ec te˙z uk lad (1) nie ma rozwi

_,

azania i jest

_,

sprzeczny.

Je˙zeli d

_k+1

= 0 i k = n, to uk lad (1) posiada dok ladnie jedno rozwi azanie:

_,

x

₁

= d

₁

, x

₂

= d

₂

, . . . , x

_n

= d

_n

. (10)

(5)

Je˙zeli d

_k+1

= 0 oraz k < n, to x

_k+1

, x

_k+2

, . . . , x

_n

s a dowolnymi skalarami (nazywamy je

_,

parametrami), za´ s pozosta le niewiadome wyliczamy z r´ owna´ n uk ladu (9), tzn.

x

_i

= d

_i

− c

_{i k+1}

x

_k+1

− . . . − c

_in

x

_n

dla i = 1, 2, . . . , k. (11) Aby sprowadzi´ c uk lad (1) do postaci (9) nale˙zy najpierw przy pomocy operacji elementarnych przekszta lci´ c go do uk ladu postaci:



 



 



x

₁

+ a

⁰₁₂

x

₂

+ . . . + a

⁰_1n

x

_n

= b

⁰₁

a

⁰₂₁

x

1

+ a

⁰₂₂

x

2

+ . . . + a

⁰_2n

x

n

= b

⁰₂

.. . .. . . .. .. . a

⁰_m1

x

₁

+ a

⁰_m2

x

₂

+ . . . + a

⁰_mn

x

_n

= b

⁰_m

. (12)

Robimy to np. w ten spos´ ob, ˙ze najpierw znajdujemy element a

_ij

6= 0, a nast epnie przez

_,

operacje: x

1

↔ x

_j

, r

1

↔ r

_i

,

_a¹

ij

· r

₁

doprowadzamy uk lad (1) do postaci (12).

Nast epnie przy pomocy r´

_,

ownania pierwszego eliminujemy zmienn a x

_, 1

z pozosta lych r´ owna´ n uk ladu (12) przez wykonanie operacji: r

₂

− a

⁰₂₁

· r

₁

, r

₃

− a

⁰₃₁

· r

₁

,...,r

_m

− a

⁰_m1

· r

₁

. Otrzymamy w´ owczas uk lad postaci:



 



 



x

₁

+ a”

₁₂

x

₂

+ . . . + a”

_1n

x

_n

= b”

₁

a”

22

x

2

+ . . . + a”

2n

x

n

= b”

2

.. . . .. .. . a”

_m2

x

₂

+ . . . + a”

_mn

x

_n

= b”

_m

. (13)

Z kolei stosujemy nasz algorytm do uk ladu:



 



 



a”

12

x

2

+ . . . + a”

1n

x

n

= b”

1

a”

₂₂

x

₂

+ . . . + a”

_2n

x

_n

= b”

₂

.. . . .. .. . a”

m2

x

2

+ . . . + a”

mn

x

n

= b”

m

(14)

nie ruszaj ac pierwszego r´

_,

ownania uk ladu (13). Po sko´ nczonej liczbie krok´ ow uzyskamy uk lad postaci:



 



 



x

1

+ e

12

x

2

+ e

13

x

3

+ . . . + e

_1k

x

_k

+ e

_{1 k+1}

x

_k+1

+ . . . + e

1n

x

n

= f

1

x

₂

+ e

₂₃

x

₃

+ . . . + e

_2k

x

_k

+ e

_{2 k+1}

x

_k+1

+ . . . + e

_2n

x

_n

= f

₂

x

3

+ . . . + e

3k

x

k

+ e

3 k+1

x

k+1

+ . . . + e

3n

x

n

= f

3

. .. .. .

x

_k

+ e

_{k k+1}

x

_k+1

+ . . . + e

_kn

x

_n

= f

_k

0 = f

k+1

.

Je˙zeli f

k+1

6= 0, to otrzymany uk lad jest sprzeczny, a wi ec te˙z uk lad (1) jest sprzeczny.

_,

Je˙zeli za´ s f

_k+1

= 0, to przy pomocy operacji: r

1

− e

_1k

· r

_k

, r

2

− e

_2k

· r

_k

,...,r

_k−1

− e

_{k−1 k}

· r

_k

(6)

eliminujemy zmienn a x

_, _k

z pocz atkowych k − 1 r´

_,

owna´ n. P´ o´ zniej eliminujemy zmienn a x

_, _k−1

z wcze´ sniejszych r´ owna´ n przy pomocy k − 1-szego r´ ownania, itd. W ko´ ncu, po sko´ nczonej liczbie krok´ ow, uzyskamy w ten spos´ ob uk lad (9).

Om´ owiony wy˙zej spos´ ob rozwi azywania uk ladu r´

_,

owna´ n metod a Gaussa zawiera du˙zo ele-

_,

ment´ ow dowolnych. Dowolno´ s´ c zachodzi na ka˙zdym etapie rozwa˙za´ n, poniewa˙z mo˙zemy eliminowa´ c dowoln a niewiadom

_,

a (pod warunkiem, ˙ze odpowiedni wsp´

_,

o lczynnik nie r´ owna si e 0).

_,

Opr´ ocz tego dowolna jest r´ ownie˙z kolejno´ s´ c r´ owna´ n w danym uk ladzie. Je˙zeli np. w jakikolwiek spos´ ob zmienimy kolejno´ s´ c r´ owna´ n w wyj´ sciowym uk ladzie, to proces stopniowego eliminowa- nia niewiadomych przebiega´ c b edzie inaczej. Jednak zawsze musimy otrzyma´

_,

c t e sam

_,

a liczb

_,

e

_,

parametr´ ow!

W praktyce proces rozwi azywania uk ladu (1) mo˙zemy znacznie upro´

_,

sci´ c, je˙zeli zamiast przekszta lce´ n uk ladu r´ owna´ n b edziemy przekszta lca´

_,

c jego macierz uzupe lnion a A

_, u

. Oczywiste jest,

˙ze ka˙zdej operacji elementarnej uk ladu (1) odpowiada odpowiednia operacja elementarna macierzy A

u

, a mianowicie:

operacji r

i

↔ r

_j

odpowiada operacja w

i

↔ w

_j

, operacji a · r

_i

odpowiada operacja a · w

_i

,

operacji r

i

+ a · r

j

odpowiada operacja w

i

+ a · w

j

,

wykre´ slaniu i-tego r´ ownania odpowiada wykre´ slanie i-tego wiersza,

operacji x

_i

↔ x

_j

odpowiada operacja k

_i

↔ k

_j

(nale˙zy przy tym pami eta´

_,

c, ˙ze nie wolno rusza´ c ostatniej kolumny i na koniec nale˙zy jeszcze uwzgl edni´

_,

c wszystkie przenumerowania niewiadomych!).

Przyk lad 2.12. Stosuj ac metod

_,

e eliminacji Gaussa rozwi

_,

a˙zemy nad cia lem R uk lad r´owna´

_,

n:



 

 

x

1

− x

₂

− 9x

₃

+ 6x

4

+ 7x

5

+ 10x

6

= 3

− 6x

₃

+ 4x

₄

+ 2x

₅

+ 3x

₆

= 2

− 3x

₃

+ 2x

₄

− 11x

₅

− 15x

₆

= 1 .

B edziemy wykonywali rachunki na macierzy uzupe lnionej naszego uk ladu:

_,







1 1 −9 6 7 10 3

0 0 −6 4 2 3 2

0 0 −3 2 −11 −15 1







w1−3w₃, w2−2w₃

≡







1 1 0 0 40 55 0

0 0 0 0 24 33 0

0 0 −3 2 −11 −15 1







x2↔x4

≡







x1

1

^x

0

⁴ ^x

0

³ ^x

1

²

x5

40 55

^x⁶

0 0 0 0 0 24 33 0

0 2 −3 0 −11 −15 1







w2↔w3

≡







x1

1

^x

0

⁴ ^x

0

³ ^x

1

²

x5

40 55

^x⁶

0 0 2 −3 0 −11 −15 1

0 0 0 0 24 33 0







x3↔x5

≡







x1

1

^x

0

⁴

x5

40

^x

1

² ^x

0

³

x6

55 0 0 2 −11 0 −3 −15 1

0 0 24 0 0 33 0







1

2w2,₂₄¹w3

≡







x1

1

^x

0

⁴

x5

40

^x

1

² ^x

0

³

x6

55 0 0 1 −

¹¹₂

0 −

³₂

−

¹⁵₂ ¹₂

0 0 1 0 0

¹¹₈

0 





w1−40w3, w2+¹¹₂w3

≡







x1

1

^x

0

⁴ ^x

0

⁵ ^x

1

² ^x

0

³ ^x

0

⁶

0 0 1 0 0 −

³₂ ₁₆¹ ¹₂

0 0 1 0 0

¹¹₈

0 



 . Zatem zmiennymi bazowymi s a x

_, ₂

, x

₃

, x

₆

oraz x

1

= −x

2

, x

4

=

¹₂

+

³₂

x

3

−

₁₆¹

x

6

, x

5

= −

¹¹₈

x

6

. St ad uk lad posiada niesko´

_,

nczenie wiele

rozwi aza´

_,

n danych wzorami:

(7)

x

1

= −a, x

2

= a, x

3

= b, x

4

=

¹₂

+

³₂

b −

₁₆¹

c, x

5

= −

¹¹₈

c, x

6

= c, gdzie a, b, c s a dowolnymi

_,

liczbami rzeczywistymi. 2

Przyk lad 2.13. Stosuj ac metod

_,

e eliminacji Gaussa rozwi

_,

a˙zemy uk lad r´

_,

owna´ n:



 

 

 

 

2x

₁

+ x

₂

− x

₃

+ x

₄

= 1 3x

₁

− 2x

₂

+ 2x

₃

− 3x

₄

= 2 5x

1

+ x

2

− x

3

+ 2x

4

= −1 2x

₁

− x

₂

+ x

₃

− 3x

₄

= 4

.

Rachunki b edziemy wykonywali na macierzy uzupe lnionej A

_, _u

naszego uk ladu. Mamy, ˙ze

A

_u

=







2 1 −1 1 1

3 −2 2 −3 2

5 1 −1 2 −1

2 −1 1 −3 4







x1↔x₂

≡







x2

1

^x

2

¹

x3

−1

^x

1

⁴

1 −2 3 2 −3 2

1 5 −1 2 −1

−1 2 1 −3 4







w2+2w1, w3−w1, w4+w1

≡







x2

1

^x

2

¹

x3

−1

^x

1

⁴

1 0 7 0 −1 4

0 3 0 1 −2

0 4 0 −2 5







x1↔x4

≡







x2

1

^x

1

⁴

x3

−1

^x

2

¹

1 0 −1 0 7 4

0 1 0 3 −2

0 −2 0 4 5







w3+w2, w4−2w2

≡







x2

1

^x

1

⁴

x3

−1

^x

2

¹

1 0 −1 0 7 4

0 0 0 −10 2

0 0 0 10 −3







w4+w3

≡







x2

1

^x

1

⁴

x3

−1

^x

2

¹

1 0 −1 0 7 4

0 0 0 10 2

0 0 0 0 −1







. Zatem nasz uk lad jest sprzeczny

i nie posiada rozwi azania, bo ostatnie r´

_,

ownanie ma posta´ c:

0 · x

₂

+ 0 · x

₄

+ 0 · x

₃

+ 0 · x

₁

= −1. 2

Przyk lad 2.14. Stosuj ac metod

_,

e eliminacji Gaussa rozwi

_,

a˙zemy uk lad r´

_,

owna´ n:



 

 

 

 

2x

1

− x

2

+ x

3

− x

4

= 1

2x

₁

− x

₂

− 3x

₄

= 2

3x

₁

− x

₃

+ x

₄

= −3

2x

1

+ 2x

2

− 2x

₃

+ 5x

4

= −6 .

Rachunki b edziemy wykonywali na macierzy uzupe lnionej A

_, u

naszego uk ladu. Mamy, ˙ze

A

u

=







2 −1 1 −1 1

2 −1 0 −3 2

3 0 −1 1 −3

2 2 −2 5 −6







x1↔x₃

≡







x3

1

x2

−1

^x

2

¹

x4

−1 1

0 −1 2 −3 2

−1 0 3 1 −3

−2 2 2 5 −6







w3+w1, w4+2w1

≡







x3

1

x2

−1

^x

2

¹

x4

−1 1

0 −1 2 −3 2

0 −1 5 0 −2

0 0 6 3 −4







(−1)w2

≡







x3

1

x2

−1

^x

2

¹

x4

−1 1

0 1 −2 3 −2

0 −1 5 0 −2

0 0 6 3 −4







.

(8)

Wykonujemy operacj e w

_, 3

+ w

2

:







x3

1

x2

−1

^x

2

¹

x4

−1 1

0 1 −2 3 −2

0 0 3 3 −4

0 0 6 3 −4







w4−2w₃

≡







x3

1

x2

−1

^x

2

¹

x4

−1 1

0 1 −2 3 −2

0 0 3 3 −4

0 0 0 −3 4





 .

Wykonujemy operacje

¹₃

w

3

i (−

¹₃

)w

4

:







x3

1

x2

−1

^x

2

¹

x4

−1 1

0 1 −2 3 −2

0 0 1 1 −

⁴₃

0 0 0 1 −

⁴₃







w1+w4, w2−3w4, w3−w4

≡







x3

1

x2

−1

^x

2

¹ ^x

0

⁴

−

¹₃

0 1 −2 0 2

0 0 1 0 0

0 0 0 1 −

⁴₃





 .

Wykonujemy operacje w

₁

− 2w

₃

i w

₂

+ 2w

₃

:







x3

1

x2

−1

^x

0

¹ ^x

0

⁴

−

¹₃

0 1 0 0 2

0 0 1 0 0

0 0 0 1 −

⁴₃







w1+w2

≡







x3

1

^x

0

² ^x

0

¹ ^x

0

⁴ ⁵₃

0 1 0 0 2

0 0 1 0 0

0 0 0 1 −

⁴₃





 .

Zatem uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi azanie: x

_, ₁

= 0, x

₂

= 2, x

₃

=

⁵₃

, x

₄

= −

⁴₃

. 2 Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze przy stosowaniu metody eliminacji Gaussa liczba r´ owna´ n uk ladu nie zwi eksza si

_,

e. Oznacza to, ˙ze je´

_,

sli w uk ladzie (1) liczba r´ owna´ n jest mniejsza od liczby niewiadomych, to uk lad ten nie mo ˙ze mie´ c dok ladnie jednego rozwi azania!

_,

Ponadto, je´ sli uk lad (1) nie ma rozwi azania, to na mocy twierdzenia 2.6, uk lad (9) te˙z nie

_,

posiada rozwi azania, a wi

_,

ec d

_, k+1

6= 0. St ad uk lad (9) jest sprzeczny i na mocy twierdzenia

_,

2.6 uk lad (1) te˙z jest sprzeczny. Uwzgl edniaj

_,

ac twierdzenie 2.7 udowodnili´

_,

smy w ten spos´ ob nast epuj

_,

ace

_,

Twierdzenie 2.15. Uk lad r´ owna´ n liniowych jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy nie

posiada rozwi azania.

_,