Wyk lad 10 Przestrze´n przekszta lce´n liniowych

Wyk lad 10

Przestrze´ n przekszta lce´ n liniowych

1 Okre´ slenie przestrzeni przekszta lce´ n liniowych

Niech V i W bed_, a przestrzeniami liniowymi. Oznaczmy przez L(V ; W ) zb´_, or wszystkich przekszta lce´n liniowych f : V → W . Dla f, g ∈ L(V ; W ) i a ∈ R okre´slamy przekszta lcenia f + g : V → W i a · f : V → W przyjmujac, ˙ze dla ka˙zdego α ∈ V_,

(f + g)(α) = f (α) + g(α) i (a · f )(α) = a ◦ f (α). (1) Wyka˙zemy, ˙ze w´owczas f + g, a · f ∈ L(V ; W ). W tym celu we´zmy dowolne α, β ∈ V i dowolne b ∈ R. Z definicji przekszta lcenia liniowego i ze wzoru (1) mamy

(f + g)(α + β) = f (α + β) + g(α + β) = f (α) + f (β) + g(α) + g(β) =

= [f (α) + g(α)] + [f (β) + g(β)] = (f + g)(α) + (f + g)(β) oraz

(f + g)(b ◦ α) = f (b ◦ α) + g(b ◦ α) = b ◦ f (α) + b ◦ g(α) = b ◦ [f (α) + g(α)] = b ◦ [(f + g)(α)], wiec f + g ∈ L(V ; W ). Podobnie_,

(a · f )(α + β) = a ◦ f (α + β) = a ◦ [f (α) + f (β)] = a ◦ f (α) + a ◦ f (β) = (a · f )(α) + (a · f )(β) i

(a·f )(b◦α) = a◦f (b◦α) = a◦[b◦f (α)] = (ab)◦f (α) = (ba)◦f (α) = b◦[a◦f (α)] = b◦[(a·f )(α)], zatem tak˙ze a · f ∈ L(V ; W ).

Oznaczmy przez Θ przekszta lcenie trywialne przestrzeni V w przestrze´n W . Zatem

Θ(α) = θ dla ka˙zdego α ∈ V. (2)

Jest jasne, ˙ze Θ ∈ L(V ; W ).

Twierdzenie 10.1. Dla dowolnych przestrzeni liniowych V i W zbi´or L(V ; W ) z dzia laniami + i · okre´slonymi wzorami (1) tworzy przestrze´n liniowa._,

Dow´od. Sprawdzamy po kolei wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej. We´zmy dowolne f, g, h ∈ L(V ; W ) i dowolne α ∈ V , a, b ∈ R. Wtedy:

A1. [(f + g) + h](α) = (f + g)(α) + h(α) = [f (α) + g(α)] + h(α) = f (α) + [g(α) + h(α)] = f (α) + (g + h)(α) = [f + (g + h)](α), wiec (f + g) + h = f + (g + h);_,

A2. (f + g)(α) = f (α) + g(α) = g(α) + f (α) = (g + f )(α), wiec f + g = g + f ;_, A3. (f + Θ)(α) = f (α) + Θ(α) = f (α) + θ = f (α), wiec f + Θ = f ;_,

A4. (f +(−1)·f )(α) = f (α)+[(−1)·f ](α) = f (α)+(−1)◦f (α) = θ = Θ(α), wiec (−1)◦f = −f_, oraz (−f )(α) = −f (α);

A5. [a·(f +g)](α) = a◦[(f +g)(α)] = a◦[f (α)+g(α)] = a◦f (α)+a◦g(α) = (a·f )(α)+(a·g)(α) = (a · f + a · g)(α), wiec a · (f + g) = a · f + a · g;_,

A6. [(a + b) · f ](α) = (a + b) ◦ f (α) = a ◦ f (α) + b ◦ f (α) = (a · f )(α) + (b · f )(α) = (a · f + b · f )(α), wiec (a + b) · f = a · f + b · f ;_,

A7. [(ab)·f ](α) = (ab)◦f (α) = a◦[b◦f (α)] = a◦[(b·f )(α)] = [a·(b·f )](α), wiec (ab)·f = a·(b·f );_, A8. (1 · f )(α) = 1 ◦ f (α) = f (α), wiec 1 · f = f . 2_,

2 Baza przestrzeni przekszta lce´ n liniowych

Twierdzenie 10.2. Niech V i W bed_, a przestrzeniami liniowymi o bazach uporz_, adkowanych_, (α1, . . . , αn) i (β1, . . . , βm) odpowiednio. Niech dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, ϕij: V → W bedzie przekszta lceniem liniowym wyznaczonym jednoznacznie przez warunki_,

ϕij(αk) = (

θ, gdy k 6= j,

β_i, gdy k = j. (3)

W´owczas uk lad (ϕ_ij)_{i=1,... ,m}

j=1,... ,n

jest baza przestrzeni L(V ; W )._, Dow´od. Wyka˙zemy najpierw, ˙ze uk lad (ϕij)_{i=1,... ,m}

j=1,... ,n

jest liniowo niezale˙zny. W tym celu we´zmy dowolny uk lad (a_ij)_{i=1,... ,m}

j=1,... ,n

liczb taki, ˙ze X

i,j

a_ij· ϕ_ij = Θ. Wtedy dla dowolnego

k = 1, . . . , n mamy θ =



 X

i,j

aij · ϕ_ij



(αk) = X

i,j

aij◦ ϕ_ij(αk) =

m

X

i=1

aik◦ β_i. Ale wektory β1, . . . , βm sa liniowo niezale˙zne, wi_, ec a_{, ik} = 0 dla wszystkich i = 1, . . . , m i dla wszystkich k = 1, . . . , n. Zatem uk lad (ϕ_ij)_{i=1,... ,m}

j=1,... ,n

jest liniowo niezale˙zny.

Pozostaje jeszcze wykaza´c, ˙ze uk lad (ϕij)_{i=1,... ,m}

j=1,... ,n

generuje przestrze´n L(V ; W ). W tym celu we´zmy dowolne f ∈ L(V ; W ). Wtedy dla ka˙zdego k = 1, . . . , n istnieja skalary a_{, 1k}, . . . , a_mk takie, ˙ze f (α_k) = a_1k◦ β₁+ . . . + a_mk◦ β_m. Stad dla k = 1, . . . , n mamy_,



 X

i,j

a_ij · ϕ_ij



(α_k) =X

i,j

a_ij ◦ ϕ_ij(α_k) =

m

X

i=1

a_ik◦ β_i= f (α_k).

Zatem z jednoznaczno´sci okre´slenia przekszta lcenia liniowego na bazie f =X

i,j

a_ij · ϕ_ij. 2

Uwaga 10.3. Baze (ϕ_{, ij})_{i=1,... ,m}

j=1,... ,n

przestrzeni L(V ; W ) podana w twierdzeniu 10.2 b_, edziemy_, nazywali baza wyznaczon_, a przez bazy (α_, 1, . . . , αn) i (β1, . . . , βm) przestrzeni V i W odpo- wiednio.

Wniosek 10.4. Niech V i W bed_, a sko´_, nczenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi.

W´owczas zachodzi r´owno´s´c

dim L(V ; W ) = dim V · dim W. (4)

3 Macierz przekszta lcenia liniowego

Niech (α1, . . . , αn) i (β1, . . . , βm) bed_, a uporz_, adkowanymi bazami przestrzeni liniowych V_, i W odpowiednio. Niech f : V → W bedzie przekszta lceniem liniowym. W´_, owczas dla k =

= 1, . . . , n jest f (αk) ∈ W , wiec istniej_, a a_, 1k, . . . , amk∈ R takie, ˙ze

f (α_k) = a_1k◦ β₁+ . . . + a_mk◦ β_m. (5) Otrzymana w ten spos´_, ob m × n macierz

A =













a11 a12 . . . a1n

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ... am1 am2 . . . amn













(6)

nazywamy macierza przekszta lcenia liniowego f w bazach (α_, 1, . . . , αn) i (β1, . . . , βm) przestrzeni V i W odpowiednio. Zatem kolejne kolumny macierzy (6) sa wektorami wsp´_, o lrzednych_, wektora f (α_k) w bazie (β₁, . . . , β_m) przestrzeni W dla k = 1, . . . , n.

Przyk lad 10.5. Niech m, n ∈ N i niech A = [aij] ∈ M_m×n(R). W´owczas A jest macierza_, przekszta lcenia liniowego f : Rⁿ→ R^m danego wzorem analitycznym

f ([x1, . . . , xn]) = [a11x1+ . . . + a1nxn, . . . , am1x1+ . . . + amnxn] w bazach kanonicznych tych przestrzeni. 2

Twierdzenie 10.6. Niech A bedzie macierz_, a przekszta lcenia liniowego f : V → W w bazach_, (α₁, . . . , α_n) i (β₁, . . . , β_m). Je˙zeli





 a1

... a_n





jest wektorem wsp´o lrzednych wektora α ∈ V w bazie_,

(α1, . . . , αn), to A·





 a₁

... an





jest wektorem wsp´o lrzednych wektora f (α) ∈ W w bazie (β_, 1, . . . , βm).

Dow´od. Poniewa˙z α =

n

X

i=1

a_i◦ α_i, wiec z w lasno´_, sci przekszta lce´n liniowych i ze wzoru (5) mamy

f (α) =

n

X

i=1

a_i◦ f (α_i) =

n

X

i=1



a_i◦

m

X

j=1

a_ji◦ β_j



=

n

X

i=1 m

X

j=1

(a_i· a_ji) ◦ β_j =

=

m

X

j=1 n

X

i=1

(a_i· a_ji) ◦ β_j =

m

X

j=1 n

X

i=1

(a_i· a_ji)

!

◦ β_j.

Zatem

n

X

i=1

ai· a_ji jest j-ta wsp´_, o lrzedn_, a wektora f (α) w bazie (β_, 1, . . . , βm). Ponadto z defi-

nicji mno˙zenia macierzy j-tym wyrazem macierzy A ·





 a₁

... an





 ∈ M_m×1(R) jest

n

X

i=1

aji· a_i =

n

X

i=1

a_i· a_ji. 2

Przyk lad 10.7. Niech A =

"

−1 2

−2 4

#

bedzie macierz_, a przekszta lcenia liniowego f : V → W_, w bazach (α1, α2), (β1, β2). Obliczymy f (α) dla α = α1 − 3 ◦ α₂. Wektorem wsp´o lrzednych_, wektora α w bazie (α1, α2) jest

"

1

−3

#

, zatem z twierdzenia 10.6, wektorem wsp´o lrzednych_,

wektora f (α) w bazie (β₁, β₂) jest

"

−1 2

−2 4

#

·

"

1

−3

#

=

"

−7

−14

#

. Otrzymali´smy wiec, ˙ze_, f (α) = −7 ◦ β1− 14 ◦ β₂. 2

Twierdzenie 10.8. Niech A bedzie macierz_, a przekszta lcenia liniowego f : V → W w bazach_, (α1, . . . , αn) i (β1, . . . , βm). W´owczas

dim Im f = r(A).

Dow´od. Zauwa˙zmy, ˙ze Im f = lin(f (α1), . . . , f (αn)) = lin(

m

X

j=1

aj1◦ β_j, . . . ,

m

X

j=1

ajn◦ β_j).

Z twierdzenia 9.13 wiemy, ˙ze istnieje izomorfizm liniowy ϕ : W → R^m taki, ˙ze ϕ(β_j) = ε_j dla j = 1, . . . , m. Stad Im f ∼_, = ϕ(Im f ), wiec w szczeg´_, olno´sci dim Im f = dim ϕ(Im f ).

Ale ϕ(Im f ) = lin([a11, a21, . . . , am1], . . . , [a1n, a2n, . . . , amn]), wiec dim ϕ(Im f ) = r(A), czyli_, dim Im f = r(A). 2

Lemat 10.9. Niech A, B ∈ M_m×n(R). Je˙zeli dla dowolnych skalar´ow a1, . . . , a_n zachodzi r´owno´s´c

A ·





 a1

... a_n





= B ·





 a1

... a_n





, to A = B.

Dow´od. Niech A = [a_ij] oraz niech B = [b_ij]. We´zmy dowolne ustalone j = 1, . . . , n i niech aj = 1 oraz a_k = 0 dla wszystkich k ∈ {1, . . . , n} \ {j}. Wtedy z definicji mno˙zenia

macierzy i-tym elementem macierzy A ·





 a1

... a_n





∈ M_m×1(R) jest aij dla i = 1, . . . , m. Podobnie

i-tym elementem macierzy B ·





 a₁

... an





∈ M_m×1(R) jest bij dla i = 1, . . . , m. Ale A ·





 a₁

... an





=

B ·





 a1

... a_n





 dla dowolnych a₁, . . . , a_n ∈ R, wiec a_{, ij} = b_ij dla dowolnych i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n. Ponadto A, B ∈ Mm×n(R), wiec A = B. 2_,

Twierdzenie 10.10. Niech V , W , U bed_, a przestrzeniami liniowymi o bazach uporz_, adkowa-_, nych (α₁, . . . , α_n), (β₁, . . . , β_m), (γ₁, . . . , γ_s) odpowiednio. Niech A bedzie macierz_, a prze-_, kszta lcenia f ∈ L(V ; W ) w bazach (α1, . . . , αn) i (β1, . . . , βm) oraz niech B bedzie macierz_, a_, przekszta lcenia g ∈ L(W ; U ) w bazach (β1, . . . , βm) i (γ1, . . . , γs). W´owczas B · A jest macierza_, przekszta lcenia g ◦ f ∈ L(V ; U ) w bazach (α₁, . . . , α_n) i (γ₁, . . . , γ_s).

Dow´od. Niech





 a1

... a_n





bedzie wektorem wsp´_, o lrzednych wektora α ∈ V w bazie (α_, 1, . . . , αn).

Wtedy z twierdzenia 10.6 mamy, ˙ze A ·





 a₁

... an





 jest wektorem wsp´o lrzednych wektora f (α)_,

w bazie (β₁, . . . , β_m). Ponownie z twierdzenia 10.6 otrzymujemy, ˙ze B ·





A ·





 a1

... a_n











 jest wektorem wsp´o lrzednych wektora g(f (α)) w bazie (γ_, 1, . . . , γs). Ale

B ·





A ·





 a₁

... a_n











= (B · A) ·





 a₁

... a_n





,

wiec je´_, sli C ∈ M_s×n(R) jest macierza przekszta lcenia g ◦ f ∈ L(V ; U ) w bazach (α_{, 1}, . . . , α_n)

i (γ1, . . . , γs), to na mocy twierdzenia 10.6 C ·





 a₁

... a_n





 = (B · A) ·





 a₁

... a_n





 dla dowolnych a1, . . . , an∈ R. Poniewa˙z B ∈ Ms×m(R) i A ∈ Mm×n(R), wiec B · A ∈ M_, s×n(R). Z lematu 10.9 otrzymujemy r´owno´s´c C = B · A. 2