Szeregi liczbowe.

(1)

Kolokwium nr 7: poniedziałek 16.04.2018, godz. 8:15-9:00, materiał zad. 1–296.

Kolokwium nr 8: poniedziałek 23.04.2018, godz. 8:15-9:00, materiał zad. 1–339.

Szeregi liczbowe.

Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorki 10,17.04.2018 (grupy 2–3).

Nie wszystkie zadania będą szczegółowo rozwiązane.

Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów.

Rozstrzygnąć zbieżność szeregów:

247.

∞

X

n=1

1

n²+ 1 248.

∞

X

n=2

1

n²− 1 249.

∞

X

n=1

1 + n

n²+ 1 250.

∞

X

n=1

2 · 5 · 8 · ... · (3n − 1) 1 · 5 · 9 · ... · (4n − 3)

251.

∞

X

n=1

5n²− 1

n³+ 6n²+ 8n + 47 252.

∞

X

n=1

1

(2n − 1) · 2²ⁿ⁻¹ 253.

∞

X

n=1

1 3n − 1

254.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ 2n 255.

∞

X

n=1

1

(n + 1)(n + 4) 256.

∞

X

n=1

1

(2n + 1)! 257.

∞

X

n=1

n² 3ⁿ

258.

∞

X

n=1

(2n − 1)!!

3ⁿ· n! 259.

∞

X

n=1

n 2n + 1

n

260.

∞

X

n=2

1 (n − 1)√

n + 1 261.

∞

X

n=1

sn + 1 n

262.

∞

X

n=1

n²

n! 263.

∞

X

n=1

n

2n − 1 264.

∞

X

n=1

2ⁿ

n⁴ 265.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ n − n 266.

∞

X

n=1

_2n

n

n!

267.

∞

X

n=1

1000ⁿ

10√

n! 268.

∞

X

n=1

3ⁿ

2²ⁿ 269.

∞

X

n=1

n³+ π

n^π+ e 270.

∞

X

n=1

1

q

(n + 4)(n + 9)

271.

∞

X

n=1

2ⁿ+ 17

3ⁿ 272.

∞

X

n=1

√n! + 1

n! 273.

∞

X

n=1

2ⁿ n√

4ⁿ+ 3ⁿ 274.

∞

X

n=1

1 n + 5√

n + 27

275.

∞

X

n=1

√

n³+ 64 −√

n³+ 1 276.

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1

19n⁵− 13n²+ 1 277.

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1 19n⁶− 13n²+ 1

278.

∞

X

n=1

_3n

n

6ⁿ 279.

∞

X

n=1

_3n

n

7ⁿ 280.

∞

X

n=1

(n!)¹⁰⁰⁰

2ⁿ² 281.

∞

X

n=1

n n + 1

n

282.

∞

X

n=1

n n + 1

n²

Przypomnienie: (2n + 1)!! = ^Qⁿ

i=0

(2i + 1).

(2)

Rozstrzygnąć, które z następujących szeregów są bezwzględnie zbieżne, które warun- kowo zbieżne, a które rozbieżne. Wskazać wśród poniższych przykładów dwa szeregi, jeden zbieżny

∞

P

n=1

a_n, drugi rozbieżny

∞

P

n=1

b_n, o ilorazie wyrazów a_n/b_n dążącym do 1.

283.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n 284.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

2n − 1 285.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n²· 3ⁿ 286.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ (2n − 1)³ 287.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n + 1

n 288.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· 2¹⁰ⁿ

3²ⁿ 289.

∞

X

n=1

n + 2

n(n + 1)(−1)ⁿ 290.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n³

2ⁿ 291.

∞

X

n=2

(−1)ⁿ n −√

n 292.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹2ⁿ²

n! 293.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ² (n + 3)^1/4 294.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n 1 +(−1)ⁿ

√n

!

295.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n^1/n 296.

∞

X

n=1

√

n + 2 −√

n(−1)ⁿ

297. 1 − 1 + 1 −1 2−1

2+ 1 −1 3−1

3−1

3+ ... + 1 −1 k−1

k− ... −1

k+ ... ( k razy ) 298. 1 − 1 +1

2−1 4−1

4+1 3−1

9−1 9−1

9+ ... +1 k− 1

k²− 1

k²− ... − 1

k²+ ... ( k razy ) 299. Czy możemy stwierdzić, że szereg

∞

P

n=1

an jest rozbieżny, jeżeli wiemy, że a) lim

n→∞a_n=3

4 . . . . b) lim

n→∞a_n=7

4 . . . . c) lim

n→∞

an+1

a_n =1

4 . . . . d) lim

n→∞

an+1

a_n =5

4 . . . . 300. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· (3n − 2) · (3n + 1) (2n − 1) · (2n + 1) · (2n + 3). 301. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· (3n − 2) · (3n + 1) (2n + 1) · (2n + 3) · (2n + 5). 302. Dowieść, że szereg

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· n · (n + 1) (2n + 1) · (2n + 3) · (2n + 5) jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

W każdym z poniższych 17 zadań w miejscu kropek wpisz liczbę rzeczywistą lub postaw jedną z liter Z, R, N:

Liczba S - podany szereg jest zbieżny i jego suma musi być równa S

Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny), ale na podstawie podanych informacji nie można wyznaczyć jego sumy

R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny)

N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny)

(3)

Wiadomo, że szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, jego suma jest równa 50, a pierwszy wyraz jest równy 4. Co można wywnioskować o zbieżności poniższego szeregu i o jego sumie 303.

∞

X

n=1

2a_n= . . . . 304.

∞

X

n=1

(2 + a_n) = . . . . 305.

∞

X

n=1

an

2 = . . . . 306.

∞

X

n=1

(−2an) = . . . . . 307.

∞

X

n=1

|a_n| = . . . . . 308.

∞

X

n=1

(−1)ⁿa_n= . . . . .

309.

∞

X

n=1

a_n+1= . . . . . 310.

∞

X

n=1

a_n+2= . . . . . 311.

∞

X

n=1

(a_n− a_n+1) = . . . . .

312.

∞

X

n=1

(a_n+ a_n+1) = . . . . 313.

∞

X

n=1

a²_n− a²_n+1= . . . . 314.

∞

X

n=1

3^aⁿ= . . . .

315.

∞

X

n=1

(2^aⁿ− 2^aⁿ⁺¹) = . . . 316.

∞

X

n=1

(3^aⁿ− 3^aⁿ⁺¹) = . . . 317.

∞

X

n=1

q

a²_n+ 9 = . . .

318.

∞

X

n=1

q

a²_n+ 9 −^qa²_n+1+ 9

= . . . . . 319.

∞

X

n=1

(a_n− a_n+1) · (a_n+ a_n+1)

q

a²_n+ 9 +^qa²_n+1+ 9

= . . . . .

Kryteria zbieżności szeregów - co każdy student wiedzieć po- winien.

1. Warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, to lim

n→∞a_n= 0.

Innymi słowy, jeżeli ciąg (a_n) jest rozbieżny lub zbieżny do granicy różnej od zera, to szereg

∞

P

n=1

a_n jest rozbieżny.

2. Zbieżność szeregu nie zależy od pominięcia lub zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów.

Oczywiście zmiana lub pominięcie tych wyrazów ma wpływ na sumę szeregu zbieżne- go.

3. Kryterium porównanwcze.

Niech

∞

X

n=1

a_n i

∞

X

n=1

b_n będą szeregami o wyrazach nieujemnych, przy czym dla każdego n ∈N zachodzi nierówność a_n¬ b_n.

Jeżeli

∞

X

n=1

a_n= ∞, to

∞

X

n=1

b_n= ∞.

Jeżeli

∞

X

n=1

b_n< ∞, to

∞

X

n=1

a_n< ∞.

(4)

4. Kilka szeregów._∞

X

n=1

qⁿ jest zbieżny dla |q| < 1, rozbieżny dla pozostałych q.

∞

X

n=1

n^a jest zbieżny dla a < −1, rozbieżny dla pozostałych a.

∞

X

n=2

1

n · log^an jest zbieżny dla a > 1, rozbieżny dla pozostałych a. Logarytm ma dowolną podstawę większą od 1.

5. Kryterium d’Alemberta.

Jeżeli (an) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g < 1 , to szereg

∞

P

n=1

a_n jest zbieżny.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞)

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g > 1 , to szereg

∞

P

n=1

6. Kryterium Cauchy’ego.

Jeżeli istnieje granica

n→∞lim

qn

|a_n| = g < 1 , to szereg ^P^∞

n=1

a_n jest zbieżny.

n→∞lim

qn

|a_n| = g > 1 , to szereg ^P^∞

n=1

7. Zbieżność bezwzględna.

Jeżeli

∞

X

n=1

|a_n| < ∞, to szereg ^P^∞

n=1

a_n jest zbieżny.

8. Szeregi naprzemienne.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg

∞

P

n=1

an(−1)ⁿ⁺¹ jest zbieżny.

(5)

9. Kryterium d’Alemberta dla ciągów.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g < 1 , to ciąg (an) jest zbieżny do zera.

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g > 1 ,

to ciąg (an) jest rozbieżny, a ciąg (|an|) jest rozbieżny do +∞.

10. Kryterium Cauchy’ego dla ciągów.

Jeżeli istnieje granica lim

n→∞

qn

|a_n| = g < 1 , to ciąg (a_n) jest zbieżny do zera.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞) lim

n→∞

qn

|a_n| = g > 1 , to ciąg (a_n) jest rozbieżny, a ciąg (|a_n|) jest rozbieżny do +∞.

Szeregi potęgowe.

Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

320.

∞

X

n=1

10ⁿ· xⁿ

n¹⁰ 321.

∞

X

n=1

xⁿ

n · 10ⁿ⁻¹ 322.

∞

X

n=0

50ⁿ· x²ⁿ⁺⁵ 323.

∞

X

n=1

xⁿ n · (n + 1) 324.

∞

X

n=1

x²ⁿ

√n²+ n − n 325.

∞

X

n=1

4ⁿ⁺⁵· x³ⁿ⁺⁷

n · 6²ⁿ 326.

∞

X

n=1

(2n)! · xⁿ

(n!)³ 327.

∞

X

n=1

2ⁿ⁺⁷· x⁶ⁿ

√n

328.

∞

X

n=1

n! · x²ⁿ 329.

∞

X

n=1

10ⁿ²· xⁿ³ 330.

∞

X

n=0

8ⁿ· n⁸

n¹⁰+ 1· x³ⁿ 331.

∞

X

n=0

8ⁿ· n⁹ n¹⁰+ 1· x³ⁿ Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

332.

∞

X

n=1

n!

nⁿ· xⁿ⁺⁷ 333.

∞

X

n=0

4n n

!

· xⁿ 334.

∞

X

n=0

n! · xⁿ² 335.

∞

X

n=0

n + 10 n

!

· xⁿ 336.

∞

X

n=0

n! · (3n)!

(2n)! · (2n)!· xⁿ

337. Obliczyć sumę szeregu potęgowego

∞

X

n=0

x²ⁿ 2ⁿ .

338. Podać przykład szeregu potęgowego o promieniu zbieżności 2 i sumie równej 7 dla x = 1.

339. Podać przykład dwóch szeregów potęgowych o promieniach zbieżności 1, których suma jest szeregiem potęgowym o promieniu zbieżności 2.