DRGANIA UKŁADU BELKA–DYSKRETNIE ZAMOCOWANY PRĘT PIEZOELEKTRYCZNY J

DRGANIA UKŁADU

BELKA–DYSKRETNIE ZAMOCOWANY PRĘT PIEZOELEKTRYCZNY

JACEK PRZYBYLSKI, KRZYSZTOF SOKÓŁ, GRZEGORZ GĄSIORSKI

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: jacek.pr@imipkm.pcz.czest.pl

Streszczenie. Celem pracy jest zbadanie drgań własnych i stateczności dywergencyjnej układu geometrycznie nieliniowego złożonego z belki wspornikowej z przegubem walcowym wzmocnionym sprężyną rotacyjną oraz elementu piezoceramicznego o sztywności na zginanie porównywalnej ze sztywnością belki. Badania dotyczą wpływu położenia przegubu, sztywności sprężyny rotacyjnej oraz siły sprężającej układ generowanej przez piezoceramik na częstości i postacie drgań układu oraz jego siły krytyczne.

1. WSTĘP

Zastosowanie elementów piezoceramicznych w obszarze sterowania własnościami dynamicznymi i statycznymi układów mechanicznych było przedmiotem badań prowadzonych w wielu ośrodkach naukowych. Większość prac badawczych była poświęcona aktywnemu tłumieniu drgań belek i kolumn oraz profilowaniu kształtu takich elementów.

Zagadnienie zwiększania nośności wyboczeniowej i flatterowej kolumn było rozważane w mniejszym zakresie. Thompson i Loughlan [4] badali eksperymentalnie wyboczenie kolumny wspornikowej z elementami piezoceramicznymi zamocowanymi w połowie długości kolumny po obu jej stronach. Po przyłożeniu do piezoceramików identycznego pola elektrycznego, ale o przeciwnym potencjale, wytwarzano siły ściskające i rozciągające.

Sterując wartością napięcia prądu usuwano ugięcie kolumny wywołane obciążeniem zewnętrznym. Wang i Quek [5] badali kolumnę z symetrycznie zamocowanymi dwoma warstwami piezoelektrycznymi generującymi lokalnie parę sił rozciągających. Kolumna miała jeden koniec utwierdzony, a drugi wsparty na sprężynie translacyjnej. Autorzy stwierdzili, że przy obciążeniu kolumny siłą śledzącą odpowiednia lokalizacja warstw piezoelektryków powoduje zwiększenie wyboczeniowych i fatterowych siły krytycznych układu. Chaudhry i Rogers [1, 2] w swoich badaniach teoretycznych i eksperymentalnych wykorzystali te własności fizyczne piezoelektryków ceramicznych (PZT), które uzasadniają wprowadzanie elementów wykonanych z takich materiałów do konstrukcyjnych struktur nośnych. Pręty piezoceramiczne charakteryzują się sztywnością na zginanie, która może być porównywana ze sztywnością układu odniesienia. Mając to na uwadze, w pracy [1] rozpatrzyli zagadnienie wyboczenia wspornikowej kolumny złożonej, której jeden z prętów był piezoceramikiem zamocowanym dyskretnie do obu końców podstawowego pręta nośnego. Okazało się, że istnieje możliwość sterowania statecznością badanego układu przez zmianę sztywności piezoceramika, siły przez niego generowanej i mimośrodowości zamocowania. Było to

przyczyną uznania przewagi konstrukcji tego typu nad układem, w którym piezoelektryk jest osadzony na powierzchni lub wewnątrz powierzchni pręta macierzystego. Kontynuując swoje badania w pracy [2], Chaudhry i Rogers opisali statyczne i dynamiczne zachowanie układów z różnymi zamocowaniami elementów piezoelektrycznych względem powierzchni belki.

Efekt wpływu stosunków grubości i długości w układzie piezoeletryk-belka na intensywność tłumienia był przedmiotem badań Kandagala i Venkatramana [3]. Biorąc pod uwagę wyniki badań zaprezentowanych we wskazanych pracach, można stwierdzić, że sztywność na zginanie piezoceramików powinna być traktowana jako istotna własność mechaniczna, którą należy brać pod uwagę przy modelowaniu zagadnień statycznych i dynamicznych układów złożonych z udziałem aktywatorów piezoelektrycznych.

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Przedmiotem pracy jest kolumna wspornikowa, której pręt (1) jest elementem piezoceramicznym, a pręty (2) i (3) są połączone przegubem ze sprężyną rotacyjną o sztywności C. Cały układ jest obciążony siła skupioną P przyłożoną w miejscu połączenia prętów (1) i (3). Pręty mają długości odpowiednio l1, l2, l3.

W1(x1,t), W2(x2,t)

W3(x3,t)

x1, x2 x3

Pręt (2)

E2, J2, A2 Pręt (3)

E3, J3, A3

Pręt piezoceramiczny (1) E1, J1, A1

C

P

l3

l2

l1

Rys.1. Schemat ugiętych osi kolumny złożonej

Celem badań jest określenie wpływu położenia przegubu, sztywności sprężyny rotacyjnej oraz siły sprężającej układ generowanej przez piezoceramik na częstości i postacie drgań własnych układu oraz jego siły krytyczne.

Równanie drgań poprzecznych i-tego pręta układu przed rozdzieleniem zmiennych przestrzeni i czasu na podstawie teorii Bernoulliego-Eulera ma postać następującą

( )

^{, ( , ) 0}

) ( ) ,

(ξ_i τ + _i τ _i^II ξ_i τ +ω_i² _i ξ_i τ =

IV

i k w w

w (i =1,2,3)

gdzie: w_i(ξ_i,τ)=W_i(x_i,τ) l₁,τ =Ωt,

i i

i i

i EJ

l A ₁⁴

2

2 ρ

ω =Ω ,

( )

i i i

i EJ

l k S

2

)1

(τ

τ = ,^S1

( )

^{τ +S}2

( )

^{τ =P} (1)

Bezwymiarowy parametr siły wzdłużnej ki(τ) wyznacza się z warunku zgodności przemieszczeń wzdłużnych prętów na obciążanym końcu kolumny. Przemieszczenia wzdłużne opisuje funkcja

∂ζ ζ τ ζ ξ ∂

λ τ τ

ξ k ^ξ w d

u ⁱ

i i i

2

0

) , ( 2

1 ) ) (

,

( ^{=− −}

∫

^_^{ }_^{ (2)}

gdzie: u_i(ξ_i,τ)=U_i(x_i,τ) l₁, u₁(d₁,τ)=u₂(d₂,τ)+u₃(d₃,τ), λ_i = A_il² I_i. Dla rozważanego układu można zapisać następujące warunki brzegowe:

0 )

, ( )

,

( _{1 0 1 1 0}

1 ξ τ _ξ1₌ =w^I ξ τ _ξ1₌ =

w ₂( ₂, ) _{0 2} ( ₂, ) ₀ 0

2

2₌ = _{ξ =} =

ξ ξ τ

τ

ξ w ^I

w

3 3 1

1

) , ( )

,

( _{1 3 3}

1 d

I d

I w

w ξ τ _ξ= = ξ τ _{ξ =}

3 3 1

1

) , ( )

,

( _{1 3 3}

1 d w d

w ξ τ _{ξ =} = ξ τ _{ξ =}

3 0 3 2

2 2 2 3

) , ( )

,

(ξ τ _{ξ =} =w ξ τ _{ξ =}

w d ( , ) ( , ) 0

3 3 1

1 3 3

1

1^II _=d +r_mr_ww ^II _=d =

w ξ τ _ξ ξ τ _ξ

0 )

, ( )

1 ( ) , ( )

,

( _{1 1 1 3 3 0}

1 ξ τ _ξ1₌1 + ξ τ _ξ1₌d1 + m + m w ^III ξ τ _ξ3₌ =

I d d

III p w r r r w

w2 ⁽ 2^{, )} 2^{( )}

[

2 ⁽ 2^{, )} 3 ⁽ 3^{, )} 0

]

3 ⁽ 3^{, )} 0 ⁰

3 3

2 2 2

2₌ + _{ξ =} − _{ξ =} − _{ξ =} =

ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ

τ

ξ w ^III

I d I

d

III k w w r w

w2 ⁽ 2^{, )} ₂₌d₂ + b

[

3^I( 3^{, )} ₃₌0 − ^{2I( 2, )} _2=d2

]

=⁰

II c w w

w ξ τ _ξ ξ τ _ξ ξ τ _ξ

[

^{( , ) ( , )}

]

⁰

) 1 , (

2 2 3

3 0 3 3 0 2 2

3

3 ₌ + ^I ₌ − ^I _=d =

w b

II w w

c r

w ξ τ _ξ ξ τ _ξ ξ τ _ξ (3)

Występujące w warunkach brzegowych wielkości bezwymiarowe są określone przez następujące związki:

l1

d_i = lⁱ ,

2 2

1

J E c_b = Cl ,

2 2 1 1

2 1

J E J E p_d Pl

= + ,

2 2

3 3

J E

J r_w = E ,

1 1

2 2

J E

J

r_m = E . (4)

Do rozwiązania problemu wykorzystuje się metodę małego parametru ε, zgodnie z którą przemieszczenie poprzeczne wi(ξ,τ), przemieszczenie wzdłużne ui(ξ,τ), siłę wzdłużną ki(τ), oraz częstość drgań ω i-tego pręta rozpisuje się w szeregi potęgowe _i²

( )

^,

( )

^{, ( 2 1)}

1

1 2 1

2 +

= − − +

=

∑

^{N N}

n

i n n

i w O

w ξ τ ε ξ τ ε (5)

( ) ( )

^{( 2 1)}

1 2 2 0

+

=

+ +

=

∑

^{N N}

n

n i n i

i k k O

k τ ε τ ε (6)

( )

^{, ( )}

( )

^{, ( 2 1)}

1 2 2 0

+

=

+ +

=

∑

^{N N}

n

n i n i

i u u O

u ξ τ ξ ε ξ τ ε (7) ( ^{2 1})

1

2 2 2 2

0

2 +

=

+ +

=

∑

^{N N}

n

n i n i

i ω ε ω O ε

ω (8)

Po podstawieniu powyższych rozwinięć do równań (1), (2) i warunków brzegowych (3), a następnie po zgrupowaniu wszystkich wyrazów w poszczególnych równaniach przy rosnących potęgach małego parametru otrzymuje się nieskończone ciągi równań drgań poprzecznych, przemieszczeń wzdłużnych i towarzyszących im warunków brzegowych.

W niniejszej pracy ograniczono się do rozwiązania równań drgań z warunkami brzegowymi przy małym parametrze w potędze pierwszej, w których występuje bezwymiarowy parametr siły wzdłużnej wynikający z zewnętrznej siły obciążającej układ P i siły F generowanej przez przyłożenie pola elektrycznego o napięciu V do elementu piezoceramicznego (F = be₃₁V, b – szerokość pręta, e31 - stała piezoelektryczna). Równania te, po rozdzieleniu zmiennych, mają następującą postać:

( )

^{( ) 0}

)

( _{0 0 0}² ₀

0^IV _i + _{i i} ^II _i + _{i i i} =

i k w w

w ξ ξ ω ξ , (9)

gdzie bezwymiarowe siły k_i0 po analizie przemieszczeń wzdłużnych u_i0(ξ_i) są równe )

1 1 (

10 m

m m d

m r

a p a p

k +



 + +

±

= , (1 )

1 1

30

20 m

m d

m r

p a p k

k +





+ +

=

= m (10)

p_m=Fl²/(E₁J₁+E₂J₂), a współczynnik

1 3 3 3

1 1 1 2 2 2

1 1

d d A E

A E d d A E

A

a_m = E + .

3. WYNIKI I ANALIZA OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Po opracowaniu programu obliczeń numerycznych na podstawie modelu matematycznego przystąpiono w pierwszej kolejności do zbadania częstości i postaci drgań własnych układu.

Przyjmując sztywność na zginanie rm. = 1 układu bez sprężenia (pm. = 0) oraz zmieniając współrzędną d₂ określającą położenie przegubu, wyznaczano siły krytyczne i postacie drgań układu. Poniżej zaprezentowano relację bezwymiarowy parametr siły zewnętrznej (pd) – bezwymiarowa częstość drgań (ω) dla centralnego położenia przegubu i różnych wartości sztywności sprężyny rotacyjnej cb oraz pierwsze postacie drgań dla tych przypadków.

Postacie drgań układu zbadano przy obciążeniu siłą p_d = 1.

cb = 0 cb = 1

0.00 4.00 8.00

ω 0.00

1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

pd

pd - ω

cb = 100 cb = 10 cb = 0

pd = 1 cb = 1

cb = 10 cb = 100

Rys.2. Krzywe częstości drgań belki (a) i postacie drgań (b) przy zmiennej sztywności sprężyny, pozostałe dane pm=0, rm=1

Przy sztywności sprężyny cb > 10 wartości sił krytycznych są niezależne od położenia przegubu i ustalają się na poziomie p_d = 2.48. Wynik ten uzasadniają także badania postaci drgań układu, które przy c_b > 10 są prawie identyczne. Znaczna różnica pomiędzy wartościami sił krytycznych i przebiegami krzywych częstości drgań układu ω występuje przy cb = 1 i różnych położeniach przegubu. Wartości sił krytycznych rosną wraz ze zbliżaniem przegubu do punktu utwierdzenia kolumny. Przy c_b = 0 częstość drgań własnych układu przyjmuje najmniejsze wartości niezależnie od poziomu obciążenia, w efekcie czego kolumna bez sprężyny przenosi najniższe obciążenia krytyczne.

Następnie zbadano wpływ sztywności sprężyny c_b na siły krytyczne przy trzech położeniach przegubu d2 = 0.3, 0.5, 0.7. Podobnie jak poprzednio stwierdzono istnienie takiej wartości cb, powyżej której nie odnotowuje się znaczącego wzrostu sił krytycznych. Z badań

(a) (b)

numerycznych wynika, że niezależnie od położenia przegubu wzrost sztywności sprężyny powyżej cb = 8 nie przekłada się na wzrost sił krytycznych. Bardzo ważną cechą badanego układu wynikającą z przebiegu krzywych sił krytycznych (rys.3) jest spadek obciążenia krytycznego przy wartościach sztywności sprężyny z przedziału cb ∈ (0,cbgr

). Wartość sztywności granicznej c_b^gr zależy od położenia przegubu d₂. Przy wartości granicznej siła krytyczna jest równa zeru (punkt A’ na rys. 3), a powyżej cbgr

następuje jej skokowy wzrost (punkt A”), przy czym im mniejsza wartość d2, tym większa wartość pcr. W obszarze tym następuje zmiana postaci drgań układu, tak że po przekroczeniu c_b^gr pierwszą postać charakteryzuje węzeł pojawiający się na jednym z prętów.

0.00 2.00 4.00 6.00 cb

0.00 4.00 8.00 12.00

pcr

pcr - cb

d2=0.5 d2=0.3 d2=0.7

skok

A’

A’’

8.00

Rys.3. Wpływ sztywności sprężyny cb na siły

krytyczne, pozostałe dane r_m = 1, p_m = 0

0.00 2.00 4.00 6.00

cb

0.00 4.00 8.00 12.00

pcr

pcr - cb

pm=0 pcr(A)

skok

A’

A’’

B

pm=0.1 pcr(A)

pm=0.5 pcr(A)

8.00 pm=0.3 pcr(A)

Rys.4. Wpływ sprzężenia pm oraz sztywności sprężyny cb na siły krytyczne, pozostałe dane

d₂ = 0.3, r_m = 1

0.00 2.00 4.00 6.00 c_b 0.00

1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

pcr

pcr - cb

p_m=0 pm=0.1 pm=0.3 pm=0.5

skok

A’

A”

B

8.00

Rys.5. Wpływ sprzężenia pm oraz sztywności sprężyny cb na siły krytyczne, pozostałe dane

d2 = 0.7, rm = 1

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

d2

0.00 4.00 8.00 12.00

pcr

cb = 100 cb = 0 cb = 1 pcr - d2

cb = 3 cb = 10

Rys.6. Wpływ położenia przegubu na siły krytyczne, pozostałe dane rm = 1, pm = 0 W dalszej części zbadano wpływ sprężania pm generowanego przez piezoceramik na siłę krytyczną układu (rys. 4, 5). Przy zadanych położeniu przegubu d₂ oraz p_m zmieniano sztywność sprężyny cb i obliczano siły krytyczne. Stwierdzono występowanie punktu przecięć (B) krzywych sił krytycznych, co jest dowodem na istnienie takich wartości parametru cb, przy których siła krytyczna nie zależy od wartości sprężenia p_m. Przy położeniu przegubu określonym przez d₂ = 0.7 punkt ten występuje przy c_b = 2.001, dla d₂ = 0.3 jest przesunięty w prawo do wartości cb = 2.64. Krzywe obciążenia krytycznego przy rosnącej sztywności sprężyny powyżej cb = 8 dążą asymptotyczne do stałej wartości. Na rys. 6 wykreślono krzywe obrazujące wpływ położenia przegubu na siły krytyczne układu bez sprężenia przy różnej sztywności sprężyny rotacyjnej. Maksymalne obciążenie krytyczne przenosi układ przy cb = 1 i położeniu przegubu d2 = 0.23.

4. WNIOSKI

W pracy rozważano zagadnienie drgań i stateczności kolumny złożonej z zasadniczego pręta nośnego złączonego przegubem ze wzmacniającą sprężyną rotacyjną i pręta piezoceramicznego obciążonej siłą osiową o stałym kierunku. Po przeprowadzeniu badań numerycznych i analizie otrzymanych wyników można wysnuć następujące wnioski:

• istnieje taka wartość sztywności sprężyny rotacyjnej cb, powyżej której wzrost sił krytycznych układu jest nieznaczny. Efekt ten występuje powyżej sztywności c_b=8,

• położenie przegubu ma istotny wpływ na nośność belki. Przesuwanie przegubu od miejsca utwierdzenia w górę belek, dla małych wartości sztywności sprężyny cb, powoduje zmniejszenie sił krytycznych. Wraz ze zmianą położenia przegubu zmieniają się częstości drgań układu, przy czym powyżej c_b=8 częstość drgań układu zmienia się minimalnie,

• wprowadzenie sprężenia układu wyrażonego przez siłę p_m zwiększa zdolność układu do przenoszenia obciążeń krytycznych,

• istnieje taka wartość sztywności sprężyny, przy której niezależnie od wielkości sprężenia, siła krytyczna ma stałą wartość,

• przy rosnących wartościach sztywności sprężyny cb siły krytyczne maleją, przy czym spadek ten zachodzi w dwóch przedziałach. W pierwszym gdy c_b ∈ (0,c_b^gr) siły krytyczne spadają do zera. W przedziale drugim, którego początek wyznacza skok sił krytycznych, zmniejszenie sił wyboczeniowych przy rosnącej sztywności sprężyny jest ograniczone przez asymptoty charakterystyczne dla każdego poziomu sprężenia.

LITERATURA

1. Chaudhry Z., Rogers C..A.: Enhancing induced strain actuator authority through discrete attachment structural elements. AIAA Journal 1993, 31, 1287-1292.

2. Chaudhry Z., Rogers C.A.: Performance and optimization of induced stain actuated structures under external loading. AIAA Journal 1994, 32, 1289-1294.

3. Kandagal S.B., Venkatraman K.: Form factors for vibration control of beams using resistively shunted piezoceramics., “Journal of Sound and Vibration” 2004, 274, 1123- 1133.

4. Thompson S., Loughlan J.: The active buckling control of some composite column strips using piezoceramic actuators. “Composite Structures” 1995, 32, 59-67.

5. Wang Q., Quek S.: Enhancing flutter and buckling capacity of column by piezoelectric layers. International Journal of Solids and Structures 2002, 39, 4167-4180.

VIBRATION OF A BEAM WITH DISCRETELY ATTACHED PIEZOELECTRIC ACTUATOR

Summary. The purpose of this paper is to study the free vibration and divergence instability of a geometrically non-linear system composed of the cantilever rod with a cylindrical hinge reinforced by a rotational spring and the piezoceramic rod with the bending stiffness comparable with the stiffness of the core rod. The influence of the hinge localisation, rotational spring stiffness and prestress generated by the piezoceramic on the natural vibration frequency, modes and the critical loads has been investigated and analysed.