3.12 Wielomian p(x) interpoluje cztery początkowe punkty z poniższej ta- blicy. Dodając do wielomianu p jeden składnik, wyznaczyć wielomian interpolujący wszystkie dane.
2007, 2008,
p(x) = 2 − (x + 1) + x(x + 1) − 2x(x + 1)(x − 1) 2012
x -1 0 1 2 3
y 2 1 2 -7 10
Aby wielomian interpolował wszystkie dane zawarte w tabeli, musi być w postaci (wielomianu interpolacyjnego) Newtona. Postać dotychczasowego wielomianu p(x) wynika z podstawienia wyliczonych ilorazów różnicowych do wzoru interpolacyjnego Newtona dla wielomianu stopnia trzeciego:
p(x) = f (x0) + [x0, x1; f ](x − x0) + [x0, x1, x2; f ](x − x0)(x − x1)+
+[x0, x1, x2, x3; f ](x − x0)(x − x1)(x − x2) Składnik, który musi zostać dodany do wielomianu p(x) ma postać:
q(x) = [x0, x1, x2, x3, x4; f ](x − x0)(x − x1)(x − x2)(x − x3) = a(x + 1)(x − 0)(x − 1)(x − 2) Wielomian interpolujący wszystkie dane zawarte w tabeli oznaczymy jako r(x) i będzie wy- rażał się wzorem:
r(x) = p(x) + q(x)
Na podstawie tabeli wiemy, że p(3) + q(3) = 10, stąd też możemy wyznaczyć współczynnik a:
10 = 2 − (3 + 1) + 3(3 + 1) − 2 ∗ 3(3 + 1)(3 − 1) + 3a(3 + 1)(3 − 1)(3 − 2) =
= 2 − 4 + 12 − 48 + 24a 24a = 48
a= 2 Szukany wielomian jest więc następujący:
r(x) = 2 − (x + 1) + x(x + 1) − 2x(x + 1)(x − 1) + 2x(x + 1)(x − 1)(x − 2)
Alternatywnym sposobem rozwiązania zadania jest konstrukcja tablicy ilorazów różnicowych dla wszystkich danych zawartych w tabeli.
3.13 Dla jakich wartości a, b, c funkcja S(x) może być w przedziale [0, 3) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?
2007, 2008, 2009, 2011, 2012
S(x) =
I x3 x∈ [0, 1)
1
2(x − 1)3+ a(x − 1)2+ b(x − 1) + c x∈ [1, 3)
• Funkcja ma być naturalną funkcją stopnia trzeciego, zatem 2m− 1 = 3 ⇒ m = 2 (por.
definicja naturalnej funkcji sklejanej 1.6.1). W przedziałach (−∞, 0) i [3, +∞) funkcja ta będzie stopnia m − 1, czyli funkcją liniową.
• Pełny zapis funkcji:
S(x) =
ex+ f x∈ (−∞, 0)
x3 x∈ [0, 1)
1
2(x − 1)3+ a(x − 1)2+ b(x − 1) + c x∈ [1, 3)
gx+ h x∈ [3, +∞)
3.15 Dla jakich wartości a, b funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego
2007, 2008, 2012
S(x) =
(x − 2)3+ a(x − 1)2 x∈ (−∞, 2) (x − 2)3− (x − 3)2 x∈ [2, 3) (x − 3)3+ b(x − 2)2 x∈ [3, ∞)
Z definicji wynika, że funkcja sklejana stopnia trzeciego musi być ciągła i posiadać ciągłe pochodne rzędu 1, 2. Sprawdzenie ciągłości funkcji S(x) i jej pochodnych:
S(2)− = (2 − 2)3+ a(2 − 1)2= a S(2)+= (2 − 2)3− (2 − 3)2 = −1
a= −1 (27)
S(3)−= (3 − 2)3+ (3 − 3)2= 1 S(3)+= (3 − 3)3+ b(3 − 2)2= b
b= 1 (28)
Pierwsza pochodna:
S′(x) =
3(x − 2)2+ 2a(x − 1) x∈ (−∞, 2) 3(x − 2)2− 2(x − 3) x∈ [2, 3) 3(x − 3)2+ 2b(x − 2) x∈ [3, +∞)
S(2)−= 3(2 − 2)2+ 2a(2 − 1) = 2a S(2)+= 3(2 − 2)2− 2(2 − 3) = −2
a= 1 (29)
Jak widzimy zachodzi sprzeczność, ponieważ z równań 1 i 3 wynika, że
− 1 = a = 1 (30)
co jest oczywistą nieprawdą. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że nie istnieją takie para- metry a i b, dla których funkcja S(x) byłaby funkcją sklejaną trzeciego stopnia.
3.16 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) może być w przedziale [−1, 1) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?
2007, 2008, 2012
S(x) =
I x3 x∈ [−1, 0)
a+ bx + cx2+ dx3 x∈ [0, 1)
• Funkcja ma być naturalną funkcją stopnia trzeciego, zatem 2m− 1 = 3 ⇒ m = 2 (por.
definicja naturalnej funkcji sklejanej 1.6.1). W przedziałach (−∞, −1) i [1, +∞) funkcja ta będzie stopnia m − 1, czyli funkcją liniową.
• Pełny zapis funkcji:
S(x) =
ex+ f x∈ (−∞, −1)
x3 x∈ [−1, 0)
a+ bx + cx2+ dx3 x∈ [0, 1)
gx+ h x∈ [1, +∞)
• Pierwsza pochodna:
S′(x) =
e x∈ (−∞, −1)
3x2 x∈ [−1, 0)
b+ 2cx + 3dx2 x∈ [0, 1)
g x∈ [1, +∞)
• Druga pochodna:
S′′(x) =
0 x∈ (−∞, −1)
6x x∈ [−1, 0)
2c + 6dx x∈ [0, 1)
0 x∈ [1, +∞)
• Warunki:
– S′′(−1−) = S′′(−1+) ⇒ 0 = 6 · (−1) ⇒ sprzeczność
Ostatecznie nie istnieją takie parametry, dla których funkcja S(x) może być w przedziale [−1, 1) naturalną funkcją sklejaną.
3.17 Znaleźć rozkład A = LL
T, jeśli macierz A ma postać:
2008zp, 2011zp, 2012zp
A=
4 2 2 2 5 3 2 3 6
3.17.1 Rozwiązanie 1:
Korzystamy ze wzorów:
lkk= öõ õõ ôakk−
k−1Ø
j=1
|lkj|2 k= 1, 2, . . . , n
lik = aik−qk−1j=1lijlkj
lkk i= k + 1, k + 2, . . . , n
Najpierw liczymy wartości z przekątnej macierzy, a następnie korzystając z nich pozostałe wartości z danej kolumny.
l11=√
4 − 0 = 2 l21= 2 − 0
2 = 1 l31= 2 − 0 2 = 1 l22=ð5 − 12 = 2 l32= 3 − 1 · 1
2 = 1
l33=ñ6 − (12+ 12) = 2
3.17.2 Rozwiązanie 2:
A= LLT
Ostatnia nierówność nie jest trywialna, ale możemy ją tymczasowo sprowadzić do równa- nia:
2α3− 3α2+ 1 = 0
Łatwo zauważyć, że pierwiastkiem tego równania jest 1, więc możemy schematem Hornera podzielić powyższy wielomian przez α − 1. Oczywiście otrzymamy wówczas:
(α − 1)(2α2− α − 1) = 0
Uważny czytelnik zauważy, że wielomian 2α2− α − 1 również dzieli się bez reszty przez α − 1.
Ostatecznie:
(α − 1)(2α + 1)(α − 1) = 0 Tak więc rozwiązaniem nierówności:
(α − 1) 3
α+1 2
4
(α − 1) > 0
jest α ∈1−12,12∪ (1, ∞). Oczywiście składając wszystkie warunki otrzymujemy:
α∈ 3
−1 2,1
4
3.19 Zbadać wpływ zaburzenia wektora b na dokładność rozwiązania x układu równań liniowych Ax = b
2006, 2007, 2008p, 2009, 2010p, 2011, 2012
Dokładne rozwiązanie x układu równań jest postaci:
Ax= b
Jeśli wektor b będzie zaburzony o wielkość ∆b, otrzymamy:
A(x + ∆x) = b + ∆b Ax+ A∆x = b + ∆b Ponieważ Ax = b, więc:
A∆x = ∆b
∆x = A−1∆b
||∆x|| þ ||A−1|| · ||∆b||
||b|| = ||Ax|| þ ||A|| · ||x||
||∆x||
||x|| þ ||A−1|| · ||∆b||
||b||
||A||
= ||A|| · ||A−1|| ·||∆b||
||b|| = cond(A) · ||∆b||
||b||
Wielkość cond(A) = ||A|| · ||A−1|| jest to wskaźnik uwarunkowania macierzy A - miara wraż- liwości względnego błędu rozwiązania x na zaburzenie b.
1 = ||I|| = ||A · A−1|| þ ||A|| · ||A−1|| = cond(A) cond(A) ÿ 1
gdzie I jest macierzą jednostkową
1.13 Opisać metodę Newtona służącą do rozwiązywania układu równań nieliniowch f (x) = 0. W jakim przypadku i jak można ją uprościć?
2006, 2007, 2008p, 2008zp, 2009, 2011, 2011zp, 2012zp, 2012
Rozwiązanie
f(x) =
f1(x1, x2,· · · , xn) f2(x1, x2,· · · , xn)
· · ·
fn(x1, x2,· · · , xn)
= 0
Zakładając, że:
1. punkt ξ jest pierwiastkiem powyższego równania 2. wektor x(0) jest przybliżoną wartością ξ
Przy powyższych założeniach można zapisać wzory, będące uogólnieniem klasycznej metody Newtona:
0 = f (ξ) ≈ f(x(0)) + Df (x(0))(ξ − x(0))
Df(x(0)) =
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2 · · · ∂x∂f1n
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2 · · · ∂x∂f2n
... ... . .. ...
∂fn
∂xn
∂fn
∂x2 · · · ∂x∂fnn
, ξ− x(0) =
ξ1− x(0)1
... ξn− x(0)n
O ile macierz Df (x(0)) jest nieosobliwa to:
x(i+1)= x(i)− [Df(x(i))]−1f(x(i))
Ze względu na niewygodne obliczenia wynikające z powyższego wzoru w praktyce wzór prze- kształca się do postaci:
Df(x(i)) ü ûú ý
A
x(i+1) = Df (x(i))x(i)− f(x(i))
ü ûú ý
b
Do rozwiązania powyższego układu równań liniowych można zastosować dowolną metodę.
Metodę tę można uprościć. Zakładając, że 0 < ω < 2, otrzymujemy następujące wzory TO-CHECK
Czy ω na pewno
<2?
iteracyjne na kolejne elementy rozwiązania x:
x(i+1)1 = x(i)1 − ω f1(x(i)1 , x(i)2 , . . . , x(i)n )
∂f1
∂x1(x(i)1 , x(i)2 , . . . , x(i)n )
x(i+1)2 = x(i)2 − ω f2(x(i+1)1 , x(i)2 , . . . , x(i)n )
∂f2
∂x2(x(i+1)1 , x(i)2 , . . . , x(i)n ) . . .
x(i+1)n = x(i)n − ω fn(x1(i+1), x(i+1)2 , . . . , x(i+1)n−1 , x(i)n )
∂fn
∂xn(x(i+1)1 , x(i+1)2 , . . . , x(i+1)n−1 , x(i)n )
1.14 Opisać metodę Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianu.
2005, 2007, 2009, 2011, 2012
Metoda Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianu (również zespolonych), polega na tym, że pierwiastki wielomianu
x2− rx − q,
gdzie r i q oznaczają liczby rzeczywiste, są także wtedy i tylko wtedy pierwiastkami danego wielomianu rzeczywistego
p(x) = a0xn+ a1xn−1+ · · · + an, a0 Ó= 0,
gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x2 − rx − q. W takim przypadku
p(x) = p1(x)(x2− rx − q) + Ax + B,
gdzie stopień wielomianu p1(x) jest nie większy niż n − 2, przy czym wyrażenie Ax + B jest resztą powstałą przy dzieleniu przez trójmian x2− rx − q.
Współczynniki A i B są zależne od r i q, tzn. A = A(r, q) i B = B(r, q). Ponieważ reszta ma być zerem, należy zatem rozwiązać równania:
I A(r, q) = 0 B(r, q) = 0 Stosujemy w tym celu metodę Newtona:
Cr(i+1) q(i+1) D
= Cr(i)
q(i) D
−
∂A
∂r
∂A
∂q
∂B
∂r
∂B
∂q
−1
r=r(i) q=q(i)
·
CA(r(i), q(i)) B(r(i), q(i)) D
1.15 Podać definicję ciągu Sturma.
2006, 2007, 2008,
2012 Ciąg
p(x) = p0(x), p1(x), . . . , pn(x) wielomianów rzeczywistych nazywamy ciągiem Sturma gdy:
1. wielomian p0(x) stopnia n ma tylko pojedyncze pierwiastki
2. signp1(ξ) = −signp′0(ξ) dla wszystkich rzeczywistych pierwiastków ξ wielomianu p0(x) 3. dla i = 1, 2, . . . , n − 1 mamy
TO-CHECK Czy te wielomia- ny to na pewno pi−1 i pi+1?
pi+1(ξ)pi−1(ξ) < 0 gdzie ξ oznacza pierwiastek rzeczywisty wielomianu pi(x) 4. ostatni wielomian pn(x) nie zmienia swojego znaku
Ciąg tworzymy w następujący sposób: Pierwszy wielomian (po(x)) to dana funkcja, drugi (p1(x)) to pochodna pierwszego wielomianu z przeciwnym znakiem (p1(x) = −p′0(x)). Kolej- ne wielomiany pi(x) (i = 2, 3, . . . , n) są resztą z dzielenia wielomianu pi−2(x) przez wielomian pi−1(x), wziętą ze znakiem przeciwnym, ewentualnie przemnożoną przez dowolną stałą do- datnią.
Iloraz z dzielenia uzyskujemy, wyznaczając kolejne współczynniki wk. Ostatni współczynnik (w0) jest resztą z dzielenia.
v(x) = Øn
i=1
wixi−1
Rozwiązanie:
v(x) = w(x) x+ 1 w3= 1
w2= 1 · (−1) − 2 = −3 w1 = −3 · (−1) − 5 = −2
w0= −2 · (−1) + 5 = 7 v(x) = x2− 3x − 2, r= 7
3.5 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x − 1
2006, 2008zp, 2011zp, 2012zp
w(x) = x4+ x3− 4x2− 3x + 3 w4= 1
w3= 1 · 1 + 1 = 2 w2 = 2 · 1 − 4 = −2 w1= (−2) · 1 − 3 = −5 w0= (−5) · 1 + 3 = −2
v(x) = x3+ 2x2 − 2x − 5, r= −2
3.6 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormali- zowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 2.
2006, 2007, 2008,
w(x) = x3− 2x2− 5x + 5 2012
Wstęp:
Wyznaczamy kolejne ilorazy z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x − C, gdzie C w przypadku tego zadania wynosi 2. Wyznaczanie przerywamy, gdy wielomian będzie stały.
Kolejne reszty z dzielenia, począwszy od drugiej, wyznaczają znormalizowane pochodne w punkcie x = C.
Rozwiązanie:
• w1(x) = x3− 2x2− 5x + 5
w3 = 1
w2 = 1 · 2 − 2 = 0 w1 = 0 · 2 − 5 = −5 w0 = (−5) · 2 + 5 = −5
• w2(x) = x2− 5
w2= 1
w1= 1 · 2 + 0 = 2
w0= 2 · 2 − 5 = −1 = w′(2) 1!
• w3(x) = x + 2
w1 = 1
w0 = 1 · 2 + 2 = 4 = w′′(2) 2!
• w4(x) = 1
w0 = 1 = w′′′(2) 3!
Ostatecznie znormalizowane pochodne wielomianu w(x) w punkcie x = 2 to -1, 4 i 1.
3.7 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormali- zowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 1.
2007, 2008, 2012
w(x) = x4+ x3− 4x2− 3x + 3
• w1(x) = x4+ x3− 4x2− 3x + 3 w4= 1
w3= 1 · 1 + 1 = 2 w2= 2 · 1 − 4 = −2 w1= (−2) · 1 − 3 = −5 w0= (−5) · 1 + 3 = −2
• w2(x) = x3+ 2x2− 2x − 5
w2 = 1
w1 = 1 · 1 + 2 = 3 w1 = 3 · 1 − 2 = 1 w0 = 1 · 1 + −5 = −4
• w3(x) = x2+ 3x + 1
w2 = 1
w1 = 1 · 1 + 3 = 4 w0 = 4 · 1 + 1 = 5
• w4(x) = x + 4
w1 = 1
w0 = 1 · 1 + 4 = 5
