Analiza lista tematów na egzamin ustny

Analiza

lista tematów na egzamin ustny

UWAGA: W przypadku twierdze« zna¢ nale»y nie tylko tez¦, ale te» zaªo»e- nia.

Caªki wielokrotne i caªki z parametrem

Twierdzenie Fubiniego o zamianie caªki wielokrotnej na iterowan¡ (z dowodem).

Twierdzenie o zamienia zmiennych w caªce wielokrotnej (z dowodem). Caªkowa reguªa Leibniza (z dowodem).

Elementy analizy wektorowej

Denicje gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu w kartezja«skim ukªadzie wspóªrz¦dnych. Denicja potencjalnego pola wektorowego. Denicje caªek krzy- woliniowej i powierzchniowej pierwszego i drugiego rodzaju. Wzory Greena, Sto- kesa i Gaussa (z dowodami). Wzory an gradient, dywergencj¦, rotacj¦ i laplasjan w krzywoliniowym ukªadzie wspóªrz¦dnych.

Analiza zespolona

Denicja granicy i ró»niczkowania po zmiennej zespolonej. Denicja funkcji holomorcznej. Twierdzenie Cauchy'ego-Riemanna (z dowodem). Denicja caªki krzywoliniowej na pªaszczy¹nie zespolonej. Denicja i wªa±ciwo±ci funk- cji wykªadniczej (e^z), logarytmicznej (ln z) i pot¦gowej (z^a) zmiennej zespolo- nej. Twierdzenie Cauchy'ego-Goursata (z dowodem). Wzór Cauchy'ego i wzór Cauchy'ego dla pochodnych (z wyprowadzeniem). Denicja szeregu Taylora i szeregu Laurenta funkcji holomorcznej. Denicja przedªu»enia analitycznego.

Klasykacja punktów osobliwych funkcji holomorcznej. Denicja i wzór na residuum w biegunie n-tego rz¦du. Denicja i wzór na residuum w niesko«czo- no±ci. Lemat Jordana (z dowodem). Wyprowadzenie zastosowa« caªek kontu- rowych (po okr¦gu, po póªkolu, po dziurce od klucza) do liczenia caªek funkcji rzeczywistych.

Analiza Fourierowska, elementy teorii dystrybucji, wst¦p do prze- stzreni Hilberta

Denicja szeregu Fouriera (na funkcje wykªadnicze lub trygonometryczne). De-

nicja transformaty Fouriera. Wzory Parsevala i Planchereta dla szeregu i trans- formaty Fouriera (z wyprowadzeniami). Wªasno±ci transformaty Fouriera. De-

nicja dystrybucji. Denicja delty Diraca. Denicja pochodnej dystrubucji.

Denicja granicy w zbiorze dystrybucji. Wzór na lim→0⁺(x ± i)⁻¹ z wypro- wadzeniem. Denicja przestrzeni Hilberta. Denicja bazy ortonormalnej w przestrzeni Hilberta i relacja zupeªno±ci. Denicja operatora sprz¦»onego i her- mitowskiego. Wªasno±ci operatorów hermitowskich.