Sur une alg` ebre Q -sym´ etrique par A. Guichardet (Palaiseau)

(1)

POLONICI MATHEMATICI LXVI (1997)

Sur une alg` ebre Q -sym´ etrique par A. Guichardet (Palaiseau)

Abstract. We establish several properties of a quadratic algebra over a field k, which is a deformation of the symmetric algebra Sk

³

. In particular, we prove that A is an integral domain, noetherian and Koszul; we compute its first Hochschild cohomology group; we determine the corresponding Poisson structure on k

³

and its symplectic leaves; we define an involution on A and describe the corresponding irreducible involutive representations.

1. Introduction. Ce travail est consacr´ e ` a une ´ etude (encore partielle) d’une alg` ebre quadratique sur un corps k; cette alg` ebre, not´ ee A ou A

q,C

, est une d´ eformation de l’alg` ebre sym´ etrique Sk

³

; elle d´ epend de deux para- m` etres q et C ∈ k, q 6= 0, et est d´ efinie par trois g´ en´ erateurs X, Y, Z, avec les relations

(1.1) Y X − q

²

XY, ZY − q

²

Y Z, ZX − XZ − CY

²

. On supposera toujours q non racine de l’unit´ e.

Expliquons comment cette alg` ebre s’introduit dans l’´ etude des groupes quantiques. Les groupes euclidiens E

n

, produits semi-directs de SO(n, k) par k

ⁿ

, jouent un rˆ ole important tant en math´ ematiques qu’en physique, et il est int´ eressant de les “quantifier”, i.e. d’en construire des d´ eformations.

On connaˆıt des d´ eformations de E

²

(voir [4], ainsi que [12] pour le point de vue des C

^∗

-alg` ebres) et de E

3

(voir [3]). Le point de vue adopt´ e ici est le suivant : on connaˆıt le groupe quantique U

q

(so(n, k)), cas particulier de l’alg` ebre U

q

(g) d´ efinie pour toute alg` ebre de Lie semi-simple g par Drinfeld et Jimbo; on sait que si q est g´ en´ erique, les repr´ esentations irr´ eductibles de dimension finie de U

q

(g) sont en correspondance bijective avec celles de g; il est donc naturel de proc´ eder comme suit :

(1) remplacer la repr´ esentation naturelle π de so(n, k) dans k

ⁿ

par la repr´ esentation correspondante π

q

de U

q

(so(n, k)) dans k

ⁿ

; on peut alors consid´ erer la repr´ esentation ⊗

²

π de U

q

(so(n, k)) dans ⊗

²

k

ⁿ

;

1991 Mathematics Subject Classification: 16W10, 18G15.

Key words and phrases: deformations, derivations, symplectic leaves, representations.

[123]

(2)

(2) remplacer l’alg` ebre sym´ etrique Sk

ⁿ

par le quotient de l’alg` ebre ten- sorielle ⊗k

ⁿ

par l’id´ eal bilat` ere engendr´ e par Λ

²_q

k

ⁿ

, sous-module de ⊗

²

k

ⁿ

correspondant naturellement ` a Λ

²

k

ⁿ

; on obtient une alg` ebre not´ ee S

q

k

ⁿ

;

(3) faire le produit semi-direct (ou smash product) de U

q

(so(n, k)) par S

q

k

ⁿ

; on sait en effet que l’alg` ebre enveloppante de E

n

est le produit semi- direct de U (so(n, k)) par Sk

ⁿ

(cf. [7]).

Le pr´ esent travail est consacr´ e ` a l’´ etude de S

q

k

³

; so(3, k) est isomorphe ` a sl(2, k); rappelons que U

q

(sl(2, k)) admet trois g´ en´ erateurs H, E, F et que sa repr´ esentation irr´ eductible de dimension 3 admet une base (v

0

, v

1

, v

2

) dans laquelle l’action de ces g´ en´ erateurs est donn´ ee par

π

q

(H) · v

k

= (2 − 2k) · v

k

,

π

q

(X) · v

k

= ((q

^3−k

− q

^k−3

)/(q − q

⁻¹

)) · v

k−1

, π

q

(Y ) · v

k

= ((q

^k+1

− q

^−k−1

)/(q − q

⁻¹

)) · v

k+1

.

Le sous-module de ⊗

²

k

³

correspondant naturellement ` a Λ

²

k

³

admet pour base les tenseurs v

1

⊗v

₀

−q

²

v

0

⊗v

₁

, v

2

⊗v

₁

−q

²

v

1

⊗v

₂

, v

2

⊗v

₀

−v

₀

⊗v

₂

−Cv

₁

⊗v

₁

o` u C = (q −q

⁻¹

)/(q +q

⁻¹

). ´ Ecrivant X, Y, Z au lieu de v

0

, v

1

, v

2

, on voit que l’alg` ebre S

q

k

³

est isomorphe ` a l’alg` ebre A

q,C

o` u C = (q −q

⁻¹

)/(q +q

⁻¹

); il a paru int´ eressant d’examiner le cas o` u C est un param` etre ind´ ependant de k;

en effet les alg` ebres du type A

q,0

ont ´ et´ e ´ etudi´ ees par divers auteurs ([11], [1], etc.); de plus, il est clair que les alg` ebres correspondant ` a des valeurs non nulles de C sont toutes isomorphes entre elles; par contre, on verra plus loin (proposition 4.7) qu’elles ne sont pas isomorphes ` a A

q,0

.

Nous d´ emontrerons les r´ esultats suivants :

§2 : base ` a la Poincar´ e–Birkhoff–Witt, centre, graduation, noeth´ erianit´ e, int´ egrit´ e.

§3 : calcul du groupe de cohomologie de Hochschild H

¹

(A

q,C

, A

q,C

).

§4 : r´ esolutions libres des A

q,C

-modules de dimension 1; koszulit´ e et alg` ebre duale de A

q,C

.

§5 : d´ eformation formelle de k[X, Y, Z] correspondant ` a A

q,C

et structure de Poisson associ´ ee sur k

³

.

§6 : involution sur A

_q,C

et repr´ esentations involutives irr´ eductibles cor- respondantes.

2. Premi` eres propri´ et´ es de A

q,C

2.1. Proposition. Les ´el´ements X

^m

Y

ⁿ

Z

^p

(m, n, p ∈ N) forment une base de A

q,C

.

D ´ e m o n s t r a t i o n. On applique le lemme diamant de Bergman (cf. par

exemple [5], I.2.2) au syst` eme de r´ eductions suivant : Y X → q

²

XY , ZY →

q

²

Y Z, ZX → XZ + CY

²

; on v´ erifie imm´ ediatement qu’il est confluent;

(3)

d’autre part on peut prendre, sur l’ensemble des monˆ omes, la relation d’ordre d´ efinie par le nombre d’inversions.

2.2. Notations. Un ´el´ement f de A

q,C

sera not´ e

(2.1) f = X

m,n,p

f

m,n,p

X

^m

Y

ⁿ

Z

^p

. On posera

(n)

q

= (q

⁴ⁿ

− 1)/(q

⁴

− 1), (n)

^!_q

= (1)

q

(2)

q

. . . (n)

q

,

m n

q

= (m)

^!_q

(n)

^!_q

(m − n)

^!_q

, C

n

= C · (n)

q

. 2.3. Lemme. On a

Z

^m

X − XZ

^m

= C

m

Y

²

Z

^m−1

, ZX

^m

− X

^m

Z = C

m

X

^m−1

Y

²

. D ´ e m o n s t r a t i o n. Par r´ ecurrence sur m.

2.4. Corollaire. L’alg`ebre A

q,C

est gradu´ ee avec degr´ e (X

^m

Y

ⁿ

Z

^p

) = m + n + p.

2.5. Proposition. Le centre Z de A

q,C

est l’ensemble des polynˆ omes par rapport ` a l’´ el´ ement ϕ = (1 − q

⁴

)XZ + CY

²

.

D ´ e m o n s t r a t i o n. On v´ erifie imm´ ediatement que ϕ ∈ Z. Par ailleurs Z est gradu´e et on notera Z

_d

sa composante homog` ene de degr` e d. Soit f un

´

el´ ement de Z

d

; ´ ecrivant que Y f − f Y = 0, on obtient f

m,n,p

= 0 si m 6= p;

´

ecrivant que Xf − f X = 0, ou que Zf − f Z = 0, on voit que

f

m,n,m

= 0 si n est impair,

C

m+1

. . . C

m+v

((1 − q

⁴

) . . . (1 − q

^4v

))

⁻¹

K

d

si n = 2v,

o` u K

d

est fonction de d seulement; ceci montre que Z

d

est nul si d est impair, et de dimension 1 si d est pair; il est donc r´ eduit aux multiples de ϕ

^d/2

.

2.6. Proposition. L’alg`ebre A

q,C

est noeth´ erienne.

D ´ e m o n s t r a t i o n. C a s C 6= 0. D’apr` es ce qui pr´ ec` ede, on peut supposer C = q

²

− q

⁻²

. Rappelons la d´ efinition de l’alg` ebre F

q

(M (2, k)), d´ eformation de l’alg` ebre F (M (2, k)) des polynˆ omes sur M (2, k); elle est engendr´ ee par 4 ´ el´ ements a, b, c, d avec les relations suivantes :

ba − qab, ca − qac, db − qbd, dc − qcd, cb − bc, da − ad − (q − q

⁻¹

)bc;

elle est noeth´ erienne (cf. [6], Theorem IV.4.1). Alors A

q,C

est noeth´ erienne comme quotient de l’alg` ebre F

q²

(M (2, k)) par la relation b − c.

C a s C = 0. D´ emonstration analogue ` a celle de [6], Theorem IV.4.1.

2.7. Proposition. L’alg`ebre A

q,C

est int` egre.

(4)

D ´ e m o n s t r a t i o n. Notons B le quotient de A

q,C

par l’id´ eal bilat` ere engendr´ e par Y ; B est isomorphe ` a k[X, Y ], donc int` egre. Notons Π le morphisme canonique A

q,C

→ B; pour f ∈ A

q,C

, on a Π(f ) = 0 si et seulement si f s’´ ecrit Y f

⁰

, f

⁰

´ etant alors unique. Ceci ´ etant, soit f , g ∈ A

q,C

avec f g = 0; comme B est int` egre, on a Π(f ) = 0 ou Π(g) = 0; supposons par exemple Π(f ) = 0; alors f = Y f

⁰

, f

⁰

g = 0; de proche en proche on arrive ` a des relations de la forme f = Y

^m

ϕ, g = Y

ⁿ

ψ, ϕψ = 0, ϕ et ψ ´ etant en outre de degr´ e 0 par rapport ` a Y ; alors ϕ ou ψ est nul.

3. D´ erivations de A

q,C

. On suppose ici C non nul, et on ´ ecrit A au lieu de A

q,C

.

3.1. Proposition. Le groupe de cohomologie de Hochschild H

¹

(A, A) admet une base dont les ´ el´ ements ont des repr´ esentants dans Z

¹

(A, A) de deux types, not´ es respectivement Φ

^I_k

et Φ

^II_k

, k ∈ N.

Type I :

Φ

^I_k

(X) =

k

X

p=0

%

k,p

X

^p+1

Y

^2k−2p

Z

^p

,

Φ

^I_k

(Y ) =

k

X

p=0

σ

k,p

X

^p

Y

^2k−2p+1

Z

^p

,

Φ

^I_k

(Z) =

k

X

p=0

%

k,p

X

^p

Y

^2k−2p

Z

^p+1

, o` u %

k,p

et σ

k,p

sont donn´ es par

σ

k,p

=

−C

q

²

(q

⁴

− 1)

k−p

k p

q

,

%

k,p

= (C

_p+1⁻¹

)

⁻¹

((q

^4(k−p+1)

− 1)%

_k,p−1

+ q

^2p

σ

k,p

),

%

k,0

= C

⁻¹

σ

k,0

. En particulier

Φ

^I₀

(X) = C

⁻¹

X, Φ

^I₀

(Y ) = Y, Φ

^I₀

(Z) = C

⁻¹

Z. Type II :

Φ

^II_k

(X) = X

^k+1

Z

^k

, Φ

^II_k

(Y ) = 0, Φ

^II_k

(Z) = −X

^k

Z

^k+1

.

P r i n c i p e d e l a d ´ e m o n s t r a t i o n. Un 1-cocycle ϕ ∈ Z

¹

(A, A) est

enti` erement d´ etermin´ e par la donn´ ee des trois ´ el´ ements ϕ(X), ϕ(Y ), ϕ(Z)

soumis aux trois conditions suivantes :

(5)

Y ϕ(X) + ϕ(Y )X − q

²

Xϕ(Y ) − q

²

ϕ(X)Y = 0, Zϕ(Y ) + ϕ(Z)Y − q

²

Y ϕ(Z) − q

²

ϕ(Y )Z = 0, Zϕ(X) + ϕ(Z)X − Xϕ(Z) − ϕ(X)Z − CY ϕ(Y ) − Cϕ(Y )Y = 0.

Des calculs faciles, mais fastidieux, montrent que ϕ est enti` erement d´ etermin´ e par la donn´ ee arbitraire des coefficients ϕ(Y )

p,1,p

, ϕ(Y )

m,n,p

avec m 6= p, ϕ(X)

p+1,n,p

, et que ϕ est un cobord si et seulement si ϕ(Y )

p,1,p

et ϕ(Y )

p+1,0,p

sont nuls pour tout p; on obtient alors Φ

^I_k

en prenant ϕ(Y )

p,1,p

= δ

k,p

,

ϕ(Y )

m,n,p

= 0 si m 6= p,

ϕ(X)

p+1,n,p

= %

_k,p

si n = 2k − 2p, 0 sinon,

et Φ

^II_k

en prenant

ϕ(Y )

m,n,p

= 0 ∀ m, n, p, ϕ(X)

p+1,n,p

=

n 1 si n = 0, p = k, 0 sinon.

3.2. R e m a r q u e. On d´ eduit de 3.1 que H

¹

(A, A) admet une autre base avec repr´ esentants Φ

⁰_k

, Φ

⁰⁰_k

d´ efinis par

Φ

⁰_k

(f ) = ((1 − q

⁴

)XZ + CY

²

)

^k

· Φ

^I₀

(f ), Φ

⁰⁰_k

(f ) = ((1 − q

⁴

)XZ + CY

²

)

^k

· Φ

^II₀

(f ).

4. Repr´ esentations de dimension 1 de A

q,C

et leurs extensions.

On suppose encore C non nul, et on ´ ecrit A au lieu de A

q,C

.

4.1. Les repr´ esentations en question sont les χ

α,β

, α, β ∈ k, d´ efinies par χ

a,β

(X) = α, χ

a,β

(Y ) = 0, χ

a,β

(Z) = β.

On notera k

α,β

le A-module correspondant.

4.2. Proposition. Le A-module k

α,β

admet la r´ esolution libre suivante : (4.1) 0 → A −→ A

^d² ³

−→ A

^d¹ ³

−→ A

^d⁰ ^χ

−→ k → 0,

^a,β

o` u

d

0

(f

0

, f

1

, f

2

) = f

0

· (X − α) + f

₁

· Y + f

₂

· (Z − β),

d

1

(g

0

, g

1

, g

2

) = (g

1

· (Z − β) − g

₂

· Y, g

₂

· (q

²

X − α) − g

0

· (Z − q

²

β) − Cg

1

Y, q

²

g

0

Y − g

1

(X − α)),

d

2

(h) = (h · (X − q

²

α), h · Y, h · (q

⁻²

Z − β)).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Il est facile de v´ erifier que l’on a bien un complexe.

Pour d´ emontrer l’exactitude, il sera commode de remplacer les d´ eveloppe-

(6)

ments (2.1) par des d´ eveloppements de la forme

f = X

m,n,p

(f

m,n,p

)

^∼

(X − α)

^m

Y

ⁿ

(Z − β)

^p

.

On a Im d

0

= Ker χ

α,β

car si f ∈ Ker χ

α,β

on a f = d

0

(f

0

, f

1

, f

2

), avec f

0

= X

m≥1

(f

m,0,0

)

^∼

(X − α)

^m−1

, f

1

= X

m

X

n≥1

(f

m,n,0

)

^∼

(X − α)

^m

Y

ⁿ⁻¹

, f

2

= X

m,n

X

p≥1

(f

m,n,p

)

^∼

(X − α)

^m

Y

ⁿ

(Z − β)

^p−1

.

On a Im d

1

= Ker d

0

car si d

0

(f

0

, f

1

, f

2

) = 0, on a (f

0

, f

1

, f

2

) = d

1

(g

0

, g

1

, g

2

), avec

g

1

= X

m,n

X

p≥1

(f

0;m,n,p

)

^∼

(X − α)

^m

Y

ⁿ

(Z − β)

^p−1

, g

2

= − X

m

X

n≥1

(f

0;m,n,0

)

^∼

(X − α)

^m

Y

ⁿ⁻¹

, g

0

´ etant alors caract´ eris´ e par

q

²

g

0

· Y = f

₂

+ g

1

· (x − α).

Enfin on a Im d

2

= Ker d

1

car si d

1

(g

0

, g

1

, g

2

) = 0, on a (g

0

, g

1

, g

2

) = d

2

(h), o` u h · Y = g

1

.

4.3. Corollaire. Etant donn´ es deux couples (α, β) et (α

⁰

, β

⁰

), Ext

A

(k

α,β

, k

α⁰,β⁰

) est la cohomologie du complexe

0 → Hom

A

(A, k)

^d

0

−→ Hom

_A

(A

³

, k)

^d

1

−→ Hom

_A

(A

³

, k)

^d

2

−→ Hom

_A

(A, k) → 0.

Mais Hom

A

(A

ⁿ

, k) est isomorphe ` a k

ⁿ

et on en d´ eduit ce qui suit : 4.4. Proposition. Ext

A

(k

α,β

, k

α⁰,β⁰

) est la cohomologie du complexe

0 → k

^d

0

−→ k

³ ^d

1

−→ k

³ ^d

2

−→ k → 0, o` u

d

⁰

(λ) = ((α

⁰

− α)λ, 0, (β

⁰

− β)λ),

d

¹

(µ

0

, µ

1

, µ

2

) = ((q

²

β − β

⁰

)µ

1

, (β

⁰

− β)µ

0

− (α

⁰

− α)µ

2

, (q

²

α

⁰

− α)µ

1

), d

²

(ν

0

, ν

1

, ν

2

) = (α

⁰

− q

⁻²

α)ν

0

+ (q

⁻²

β

⁰

− β)ν

₂

.

4.5. Proposition. L’alg`ebre A est de Koszul; en particulier l’alg`ebre de cohomologie Ext

A

(k

0,0

, k

0,0

) est isomorphe ` a l’alg` ebre duale A

^!

, d´ efinie par trois g´ en´ erateurs u, v, w avec les relations

u

²

, v

²

− Cuw, w

²

, vu + q

⁻²

uv, wv + q

⁻²

vw, wu + uw.

(7)

D ´ e m o n s t r a t i o n. Utilisons les notations de [2], §2.4 : V est l’espace vectoriel de base X, Y, Z; R est le sous-espace de V

^⊗2

de base

ξ

0

= Y ⊗ X − q

²

X ⊗ Y, ξ

1

= Z ⊗ Y − q

²

Y ⊗ Z,

ξ

2

= Z ⊗ X − X ⊗ Z − CY ⊗ Y.

K

_iⁱ

est l’intersection pour j = 0, . . . , i−2 des sous-espaces V

^⊗j

⊗R⊗V

^⊗i−j−2

; ensuite

K

ⁱ

= A ⊗ K

_iⁱ

. Le complexe de Koszul

→ K

¹

→ K

⁰

→ k → 0

s’identifie ` a la r´ esolution (4.1) dans le cas α = β = 0 par les isomorphismes (f

0

, f

1

, f

2

) ∈ A

³

→ f

0

⊗ X + f

1

⊗ Y + f

2

⊗ Z ∈ K

¹

(g

0

, g

1

, g

2

) ∈ A

³

→ −g

₂

⊗ ξ

₀

− g

₀

⊗ ξ

₁

+ g

1

⊗ ξ

₂

∈ K

²

h ∈ A → h ⊗ (−q

⁻²

Z ⊗ ξ

0

− X ⊗ ξ

1

+ Y ⊗ ξ

2

) ∈ K

³

. Par suite, le complexe de Koszul est exact, et A est de Koszul ([2], Theorem 10).

La pr´ esentation de A

^!

se v´ erifie sans peine; enfin l’alg` ebre Ext

A

(k

0,0

, k

0,0

) est isomorphe ` a (A

^!

)

^opp

([2], Proposition 11), et donc ` a A

^!

puisque A

^!

et son oppos´ ee sont isomorphes par l’application u → w, w → u, v → v.

4.6. R e m a r q u e. On peut d´ emontrer que, si k est alg´ ebriquement clos, toute repr´ esentation irr´ eductible de dimension finie de A est de dimension 1.

4.7. Proposition. Si C est non nul, A

q,C

n’est pas isomorphe ` a A

q,0

. D ´ e m o n s t r a t i o n. Utilisant la proposition 4.4, on v´ erifie que Ext

¹_A

(k

α,β

, k

α,β

) est de dimension 3 si (α, β) = (0, 0), et 2 sinon. Par ailleurs A

q,0

admet des repr´ esentations de dimension 1 analogues aux χ

α,β

ainsi que d’autres, soit χ

γ

, avec γ non nul dans k, d´ efinies par χ

γ

(X) = χ

γ

(Z) = 0, χ

γ

(Y ) = γ. Des calculs sans difficult´ es montrent que Ext

¹_A_q,0

(k

γ

, k

γ

) est de dimension 1.

5. L’alg` ebre A

q,C

comme d´ eformation formelle de k[X, Y, Z]. On suppose ici C = (q − q

¹

)/(q + q

⁻¹

).

5.1. D´ eformation formelle de k[X, Y, Z]. Pour tout k-espace vectoriel E on d´ esigne par E[[h]] l’espace des s´ eries formelles en h ` a coefficients dans E et on le munit de la topologie h-adique (voir par exemple [5], chapitre III).

Notons khX, Y, Zi l’alg` ebre associative libre engendr´ ee par X, Y, Z, et A

h

le quotient de l’alg` ebre (khX, Y, Zi)[[h]] par l’id´ eal bilat` ere ferm´ e engendr´ e

par les ´ el´ ements Y X −e

^2h

XY , ZY −e

^2h

Y Z, Y X −XZ −th(h)Y

²

. Le lemme

(8)

diamant de Bergman permet de d´ emontrer, comme par exemple dans le cas de U

q

(sl(2, k)) (cf. [5], §IV.1.1), que A

h

est une d´ eformation formelle de l’alg` ebre A

0

= k[X, Y, Z], i.e. que A

h

est isomorphe ` a A

0

[[h]] en tant que k[[h]]-module.

5.2. Calcul du crochet de Poisson. On va calculer le crochet de Pois- son { , } sur l’alg` ebre sym´ etrique Sk

³

associ´ e ` a cette d´ eformation formelle.

Rappelons qu’il est d´ efini par

{f, g} = µ

₁

(f, g) − µ

1

(g, f ) ∀f, g ∈ A

₀

,

o` u l’on a not´ e µ

n

: A

0

⊗ A

₀

→ A

₀

les diverses composantes de la multiplication de A

h

(sur tout ceci, voir [5], chapitre III).

Calculant dans A

h

modulo h

²

on v´ erifie par r´ ecurrence sur m et p que Z

^m

X

^p

= X

^p

Z

^m

+ hmpX

^p−1

Y

²

Z

^m−1

,

d’o` u r´ esulte facilement que

{X

^m

Y

ⁿ

Z

^p

, X

^m⁰

Y

ⁿ⁰

Z

^p⁰

} = 2(nm

⁰

− mn

⁰

+ pn

⁰

− np

⁰

)X

^m+m⁰

Y

ⁿ⁺ⁿ⁰

Z

^p+p⁰

+ (pm

⁰

− mp

⁰

)X

^m+m⁰⁻¹

Y

ⁿ⁺ⁿ⁰⁺²

Z

^p+p⁰⁻¹

. Posant f = X

^m

Y

ⁿ

Z

^p

∈ Sk

³

, et de mˆ eme pour f

⁰

, cette relation s’´ ecrit

{f, f

⁰

} = 2XY ∂f

∂Y · ∂f

⁰

∂X − ∂f

∂X · ∂f

⁰

∂Y

(5.1)

+ 2Y Z ∂f

∂Z · ∂f

⁰

∂Y − ∂f

∂Y · ∂f

⁰

∂Z

+ Y

²

∂f

∂Z · ∂f

⁰

∂X − ∂f

∂X · ∂f

⁰

∂Z

et ceci reste vrai, par lin´ earit´ e, pour tous f, f

⁰

∈ Sk

³

. On a donc d´ emontr´ e ce qui suit :

5.3. Proposition. Le crochet de Poisson sur k[X, Y, Z] associ´e `a sa d´ eformation formelle A

h

est donn´ e par (5.1).

5.4. Feuilles symplectiques. On suppose ici k = C. A toute structure de Poisson sur une vari´ et´ e X (ici k

³

) correspond un champ de bivecteurs Π tel que

{f, f

⁰

}(x) = hΠ(x), df ⊗ df

⁰

i = X

i,j

Π(x)

i,j

∂f

∂x

i

· ∂f

⁰

∂x

j

et un champ d’applications e Π(x) : T

_x^∗

X → T

x

X donn´ e par ( e Π(x) · ξ)

i

= X

j

Π(x)

i,j

ξ

j

∀ξ ∈ T

_x^∗

X.

(9)

Les feuilles symplectiques sont les sous-vari´ et´ es int´ egrales du champ de sous- espaces tangents x → Im e Π(x).

Dans le cas pr´ esent, posant x

1

= X, x

2

= Y , x

3

= Z, (5.1) montre que

Π(x) = Y e





0 −2X −Y

2X 0 −2Z

Y 2Z 0



 .

Le sous-espace Im e Π(x) est nul si Y = 0; dans le cas contraire, il est ´ egal ` a l’ensemble des vecteurs tangents P

i

η

i ∂

∂xi

v´ erifiant 2Zη

1

− Y η

₂

+ 2Xη

3

= 0;

une courbe t → x(t) v´ erifie x

⁰

(t) ∈ e Π(x(t)) si et seulement si l’on a 2ZX

⁰

− Y Y

⁰

+ 2XZ

⁰

= 0,

i.e.

4XZ − Y

²

= const.

5.5. Proposition. Les feuilles symplectiques sont

• les points (X, 0, Z),

• les surfaces d´ efinies par les relations

4XZ − Y

²

= const, Y 6= 0.

D ´ e m o n s t r a t i o n. On v´ erifie sans peine que ces surfaces sont connexes.

6. L’alg` ebre involutive A

q,C

. Dans ce paragraphe, on suppose k = C, q r´ eel > 1 et on prend C = 1; on ´ ecrit A au lieu de A

q,C

.

6.1. D´ efinition. On munit A d’une structure d’alg` ebre involutive en posant

(6.1) X

^∗

= −qZ, Z

^∗

= −q

⁻¹

X, Y

^∗

= Y.

Il est en effet imm´ ediat que cette op´ eration est compatible avec les relations (1.1).

6.2. R e m a r q u e. Expliquons le choix de cette involution. Notons (e

1

, e

2

, e

3

) la base canonique de C

³

; il est bien clair que l’action naturelle de so(3, R) dans C

³

conserve le sous-espace vectoriel r´ eel engendr´ e par e

1

, e

2

, e

3

; celui-ci correspond ` a l’automorphisme involutif antiholomorphe θ du groupe de Lie C

³

d´ efini par

θ(x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

) = x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

.

A l’isomorphisme so(3, C) → sl(2, C) mentionn´e au §1, correspond un iso-

morphisme entre la repr´ esentation naturelle de so(3, C) dans C

³

et la repr´ e-

(10)

sentation de dimension 3 de sl(2, C); cet isomorphisme est donn´e par e

1

→ v

2

− v

₀

, e

2

→ −i(v

₂

+ v

0

), e

3

→ v

₁

; il transforme θ en l’automorphisme τ suivant :

τ (x

0

v

0

+ x

1

v

1

+ x

2

v

2

) = −x

2

v

0

+ x

1

v

1

− x

₀

v

2

.

A cet automorphisme τ correspond l’involution * sur l’alg` ebre des fonctions polynˆ omiales sur C

³

donn´ ee par f

^∗

(v) = f (τ (v)), soit encore

X

^∗

= −Z, Z

^∗

= −X, Y

^∗

= Y, et ceci explique le choix de (6.1).

6.3. Repr´ esentations involutives irr´ eductibles de A. On appelle repr´ esentation involutive de A tout morphisme d’alg` ebres involutives de A dans l’alg` ebre L(E) des op´ erateurs born´ es d’un espace hilbertien complexe E.

Nous poserons, pour tout entier positif k, α

k

= 1 − q

^−4k−4

1 − q

⁻⁴

1/2

.

Proposition. (i) La repr´ esentation χ

α,β

de dimension 1 (cf. §4) est involutive si et seulement si l’on a β = −q

⁻¹

α.

(ii) Soit λ un nombre r´ eel non nul ; soit E un espace hilbertien muni d’une base orthonorm´ ee (e

0

, e

1

, . . .). On d´ efinit une repr´ esentation involutive irr´ eductible π

λ

de A dans E en posant

π

λ

(Y ) · e

k

= λq

^−2k

· e

_k

,

π

λ

(X) · e

k

= λq

^1/2

α

k−1

· e

k−1

pour k > 0, π

λ

(X) · e

0

= 0,

π

λ

(Z) · e

k

= λq

^−1/2

α

k

· e

_k+1

.

(iii) Les repr´ esentations ci-dessus sont deux ` a deux in´ equivalentes, et toute repr´ esentation involutive irr´ eductible de A est ´ equivalente ` a l’une d’entre elles.

D ´ e m o n s t r a t i o n. (a) (i) est trivial.

(b) On v´ erifie imm´ ediatement que les formules donn´ ees sont compatibles avec les relations (1.1) et (6.1). De plus, π

λ

(Y ) ´ etant diagonal avec coefficients deux ` a deux distincts, tout op´ erateur commutant avec π

λ

est diagonal;

commutant avec π

λ

(X), il est scalaire.

(c) Les repr´ esentations correspondant ` a des valeurs distinctes de λ sont

in´ equivalentes parce que λ est l’unique valeur propre de plus grande valeur

absolue de π

λ

(Y ).

(11)

(d) Soit % une repr´ esentation involutive irr´ eductible de A dans un espace F de dimension > 1. Comme Ker %(Y ) est stable par %(A) et que toute repr´ esentation irr´ eductible annulant Y est de dimension 1, on voit que Ker %(Y ) est nul.

Montrons d’abord qu’il existe un r´ eel non nul λ

0

tel que le spectre de

%(Y ) soit contenu dans l’ensemble des q

^2k

λ

0

, k ∈ Z. On peut reprendre la d´ emonstration de [9], Proposition 3.1; supposons le contraire; il existe alors λ

1

et λ

2

∈ sp%(Y ) et un ouvert U contenant λ

₁

, ne contenant pas λ

2

, et stable par multiplication par q

²

. Le projecteur spectral de %(Y ) correspondant ` a U commute ` a %(A) et est distinct de 0 et de 1. Contradiction.

(e) Il r´ esulte de (d) que sp%(Y ) est form´ e de valeurs propres, toutes de mˆ eme signe, plus ´ eventuellement 0; soient λ la valeur propre de plus grande valeur absolue, e

0

un vecteur propre correspondant; posons, pour k > 0,

e

k

= (−λq

^−1/2

)

^−k

(α

0

, . . . , α

k−1

)

⁻¹

· %(Z)

^k

· e

₀

. On a trivialement

%(Z) · e

k

= −λq

^−1/2

α

k

· e

k+1

;

utilisant la relation ZY − q

²

Y Z = 0, on voit par r´ ecurrence que

%(Y ) · e

k

= λq

^−2k

· e

k

.

La relation Y X − q

²

XY = 0 entraˆıne %(X) · e

0

= 0; enfin, la relation ZX − XZ − Y

²

= 0 implique par r´ ecurrence que tous les e

k

sont non nuls, et que l’on a

%(X) · e

k

= λq

^1/2

α

k−1

· e

_k−1

pour k > 0.

Le sous-espace vectoriel engendr´ e par ces vecteurs est stable par %(A), donc

´

egal ` a E, et % est ´ equivalente ` a π

λ

.

6.4. R e m a r q u e. Divers auteurs ont ´ etudi´ e des alg` ebres involutives A qui sont des d´ eformations d’alg` ebres de fonctions sur des vari´ et´ es M (voir par exemple [8] et [9]); on dispose alors, comme dans le cas pr´ esent, d’un automorphisme involutif τ et d’une structure de Poisson sur M , et l’on constate qu’il existe une correspondance bijective entre les repr´ esentations involutives irr´ eductibles de A, et certaines feuilles symplectiques. La situation pr´ esente semble moins agr´ eable; en effet, parmi les feuilles symplectiques d´ ecrites ` a la proposition 5.5, sont invariantes par l’automorphisme τ :

• les points (X, 0, Z) avec Z = −X, qu’on peut ´ evidemment mettre en correspondance avec les repr´ esentations involutives de dimension 1;

• les surfaces S

_k

d´ efinies par Y 6= 0, 4XZ −Y

²

= K, o` u K est un nombre r´ eel; mais alors la feuille S

0

ne semble correspondre ` a aucune repr´ esentation.

Par ailleurs, l’ensemble des points τ -invariants de S

k

n’est non vide que

si K < 0, et on n’obtiendrait de cette fa¸ con que la moiti´ e des repr´ esentations

π

λ

. . .

(12)

Addenda. 1) L’alg` ebre A

q,C

est isomorphe ` a une des q-oscillator algebras ´ etudi´ ees dans la litt´ erature physicienne; voir, par exemple, l’article de Burban et Klimyk, Lett. Math. Phys. 29 (1993), 13–18, et sa bibliographie.

2) (Compl´ ement ` a la proposition 4.5). On d´ emontre (communication

´

ecrite de M. Van den Bergh) que toute d´ eformation plate d’une alg` ebre de Koszul est encore de Koszul pour toute valeur g´ en´ erique du param` etre de d´ eformation.

3) N

^◦

5.4; on peut simplifier le calcul de e Π(x) en remarquant que l’on a Π(x) e

i,j

= {x

i

, x

j

} = µ

1

(x

i

, x

j

) − µ

1

(x

j

, x

i

).

4) (Compl´ ement ` a la proposition 5.3). On peut calculer explicitement les applications µ

n

et constater que ce sont des op´ erateurs bidiff´ erentiels;

en fait, on d´ emontre (communication ´ ecrite de G. Pinczon) que c’est un ph´ enom` ene g´ en´ eral; toute d´ eformation formelle d’une alg` ebre de polynˆ omes est ´ equivalente ` a un ∗-produit, i.e. ` a une d´ eformation formelle telle que tous les µ

n

soient des op´ erateurs bidiff´ erentiels.

5) N

^◦

6.4; en fait, on obtient quand mˆ eme une correspondance bijective si l’on observe que l’ensemble des points τ -invariants de S

K

, pour K < 0, est une sph` ere priv´ ee d’un grand cercle, et, par suite, admet deux composantes connexes.

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Centre de Math´ ematiques Ecole Polytechnique ´ 91128 Palaiseau, France

E-mail: guich@orphee.polytechnique.fr

Re¸ cu par la R´ edaction le 1.9.1995