Asymptotyczna normalnośc i asymptotyczna efektywność estymatorów Definicja 1. Estymator ˆg(X1, . . . , Xn) wielkości g(θ) jest asymptotycznie normalny, jeżeli
∀θ∈Θ ∃σ2(θ) √
n(ˆg(X1, . . . , Xn) − g(θ)) −→dN (0, σ2(θ)), n −→ ∞,
tzn. rozkład statystyki ˆg(X1, . . . , Xn) jest (dla dużych n) zbliżony do rozkładu N (g(θ),σ2n(θ)).
Ozn. ˆg(X) ∼ AN (g(θ),σ2n(θ)). Wielkość σ2n(θ) nazywamy asymptotyczną wariancją esty- matora ˆg(X1, . . . , Xn).
Twierdzenie (Metoda delta) Jeżeli dla ciągu zmiennych Tn mamy √
n(Tn− µ) −→d N (0, σ2) przy n −→ ∞ i h : R −→ R jest funkcją różniczkowalną w punkcie µ, to
√n (h(Tn) − h(µ)) −→dN (0, σ2· (h0(µ)2).
Definicja 2. Jeżeli ˆg jest asymptotycznie normalnym estymatorem g(θ). Wówczas asymptotyczną efektywność estymatora określamy jako
as.ef(ˆg) = (g0(θ))2n
σ2(θ)In(θ) = (g0(θ))2 σ2(θ)I1(θ).
Jest to modyfikacja ’zwykłej’ efektywności: rolę wariancji estymatora nieobciążonego przejęła asymptotyczna wariancja estymatora normalnego.
Definicja 3. Estymator ˆg nazywamy asymptotycznie efektywnym, jeżeli
∀θ∈Θ as.ef(ˆg) = 1.
1
