Niezależne zmienne losowe X1, X2, X3 mają rozkład wykładniczy z parametrem 1

Zadania RP 1, seria V. Termin oddania: 11.5.2020 Prosz¸e wybrać dwa zadania.

Zadanie 1. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1. Czy niezależne są następujące pary zmiennych:

(a) max{X, Y } i min{X, Y }?

(b) max{X, Y } i1X<Y?

Zadanie 2. Czy prawdą jest, że dla zmiennych losowych X1, X2, Y zachodzi implikacja:

Jeśli X1⊥ Y, X2⊥ Y, to wektor losowy (X1, X2) ⊥ Y ? Symbol X ⊥ Y oznacza, że zmienne losowe (wektory losowe) X, Y są niezależne.

Zadanie 3. Niezależne zmienne losowe X1, X2, X3 mają rozkład wykładniczy z parametrem 1. Wykazać, że:

(a) zmienne X1/X2 i X1+ X2 są niezależne;

(b) trójka zmiennych losowych

X1

X₁+ X₂, X1+ X2

X₁+ X₂+ X₃, X1+ X2+ X3

jest niezależna

Zadanie 4. Rzeczywista zmienna losowa X ma taką własność, że E|X|ⁿ¬ 2008ⁿ, dla n = 1, 2, . . .. Wykaż, że istnieje taka liczba M , że P(|X| ¬ M ) = 1.

Zadanie 5. Niezależne zmienne losowe X1, X2, . . . , Xnmają rozkład jednostajny na [0, 1]. Definiujemy zmienne losowe X₍₁₎, X₍₂₎, . . . , X_(n) przez warunek

X₍₁₎ ¬ X₍₂₎¬ . . . ¬ X_(n),

przy czym {X1(ω), . . . , Xn(ω)} = {X1(ω), . . . , Xn(ω)} dla każdego ω ∈ Ω. Wykazać, że wektor losowy (X(1), X(2), . . . , X(n)) ma rozkład jednostajny na zbiorze ∆ = {(x1, . . . , xn) : 0 ¬ x1¬ x2¬ . . . ¬ xn¬ 1}.

Zadanie 6. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny (a) na trójkącie T = {(x, y) : x, y ­ 0, x + y ¬ 1},

(b) na brzegu trójkąta T , tj. na ∂T = {(x, 0) : x ∈ [0, 1]}∪{(0, y) : y ∈ [0, 1]}∪{(x, y) : x+y = 1, x, y ­ 0}.

Znajdź rozkłady zmiennych losowych X,X − Y oraz kowariancję Cov(X, Y ).