Ćwiczenie 23. Pokazać, że grafy [digrafy] są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy moż- na tak ponumerować wierzchołki, by dostać równe macierze sąsiedztwa.

Paweł Tarasiuk, 151021

Ćwiczenie 23.

Pokazać, że grafy [digrafy] są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy moż- na tak ponumerować wierzchołki, by dostać równe macierze sąsiedztwa.

Rozwiązanie

1. Jeżeli grafy [digrafy] są izomorficzne, to można tak ponumero- wać wierzchołki, by dostać równe macierze sąsiedztwa.

Niech para (α, β) będzie izomorfizmem grafów [digrafów] G i H (ozna- czenia jak w materiale wykładowym).

Oznaczmy wierzchołki grafu G jako v₁, v2, . . . , vn, gdzie n = |V_G|. Niech M będzie taką macierzą sąsiedztwa dla grafu G, że M = [m_ij]_i,j¬n i m_ij zawsze oznacza liczbę krawędzi łączących wierzchołek v_i z wierzchołkiem v_j [biegnących od v_i do v_j].

Wówczas wystarczy budować macierz połączeń P dla grafu H w taki sposób, aby przy oznaczeniu P = [p_ij]_i,j¬n wartości komórek p_ij oznaczały odpowiednio liczby krawędzi łączących wierzchołek α(v_i) z wierzchołkiem α(v_j) [biegnących od α(v_i) do α(v_j)]. Tak zdefiniowana macierz P jest z de- finicji macierzą sąsiedztwa dla grafu H, gdyż kolejność (α(v₁), . . . , α(v_n)) stanowi pewien sposób uporządkowania wszystkich wierzchołków grafu H, zaś z definicji izomorfizmu - liczba krawędzi łączących wierzchołek α(v_i) z α(v_j) [biegnących z α(v_i) do α(v_j)] w grafie H jest równa liczbie krawędzi łączących wierzchołek v_i z v_j [biegnących z v_i do v_j] w grafie G. Zatem P jest macierzą sąsiedztwa dla grafu H i P = M , co (ze względu na dowolność grafów [digrafów] G, H) kończy dowód.

2. Jeżeli można ponumerować wierzchołki pewnych dwóch grafów [digrafów] w taki sposób, by dostać równe macierze sąsiedztwa, to są to grafy izomorficzne.

Niech graf [digraf] G z wierzchołkami ponumerowanymi jako (v₁, v₂, . . . , v_n).

Załóżmy, że w grafie [digrafie] H udało się ponumerować wierzchołki jako (w₁, w₂, . . . , w_n) w taki sposób, że macierze sąsiedztwa grafów G i H są sobie równe.

Rozważmy funkcję α : V_G → V_H określoną wzorem α(v_i) = w_i dla i = 1 . . . n. Zauważmy, że z równości macierzy sąsiedztwa wynika, że dla każdej pary wierzchołków v_i, v_j, zachodzi równość |E_vivj| = |E_wiwj| = |E_α(v

i)α(vj)|.

Z równoliczności zbiorów (przyjmujemy, że zbiory krawędzi są skończone) wynika, że zawsze istnieje pewna bijekcja β_vivj : E_vivj → E_α(vi)α(vj).

Możemy zatem zdefiniować funkcję β : E_G → E_H, która dowolnej kra- wędzi k ∈ E_Głączącej wierzchołki v_p oraz v_q [biegnącej od v_p do v_q] przypo-

1 / 2

Paweł Tarasiuk, 151021

rządkowuje krawędź β_vpvq(k), gdzie β_vpvq : E_vpvq → E_α(vp)α(vq) jest bijekcją, której istnienie zostało wyjaśnione powyżej.

Zauważmy, że definiując funkcje α i β w opisany powyżej sposób, doszli- śmy do wniosku że przy dowolności wyboru k ∈ E_G, jeżeli k łączy wierzchołki vii v_j [biegnie od v_ido v_j] w grafie G, to β(k) łączy wierzchołki α(v_i) i α(v_j) [biegnie od α(v_i) do α(v_j)] w grafie H. Taki zbiór [para] końców krawędzi β(k) mógł powstać jedynie z krawędzi k o końcach opisanych powyżej (wy- nika to z bijektywności α), więc prawdziwa jest także implikacja w drugą stronę. Zatem opisana para (α, β) stanowi izomorfizm grafów G i H.

Zatem dla dowolnej pary grafów [digrafów] G i H o równych macierzach sąsiedztwa udało się wskazać izomorfizm, co stanowi dowód, że są one izo- morficzne.

Podsumowanie

Koniunkcja 1. i 2. stanowi dowód równoważności, który należało wyko- nać.

2 / 2