Prace Kazimierza ›orawskiego z teorii iteracji

Maªgorzata Stawiska-Friedland (Ann Arbor)

Prace Kazimierza ›orawskiego z teorii iteracji

Streszczenie. Przedstawiamy prace Kazimierza ›orawskiego doty- cz¡ce iteracji  pierwsze prace z tej tematyki autorstwa matematyka polskiego.

2010 Klasykacja tematyczna AMS (2010): 01A55, 30-03, 37-03.

Sªowa kluczowe: matematyka polska, teoria iteracji, funkcje wymierne.

1. Przypadaj¡ca w tym roku sto pi¦¢dziesi¡ta rocznica urodzin Kazimierza ›orawskiego (18661953) to dobra okazja, aby przedstawi¢

pewne maªo znane osi¡gni¦cia tego wybitnego matematyka polskiego.

Posta¢ i dorobek ›orawskiego nie s¡ caªkowicie zapomniane. W kilku publikacjach ([25], [26], [33]) omówiono jego wyniki naukowe, zwªasz- cza w dziedzinie geometrii ró»niczkowej i mechaniki, które to rezultaty od pocz¡tku cieszyªy si¦ uznaniem mi¦dzynarodowym. Przypomniano te» jego zasªugi dla rozwoju matematyki na ziemiach polskich, przede wszystkim w Krakowie ([7], [8], [14]). Mo»na nawet powiedzie¢, »e ›o- rawski zaistniaª w szerszej ±wiadomo±ci publicznej  do±¢ cz¦sto pisze si¦

o nim poza kontekstem matematycznym jako o niedoszªym narzeczonym Marii Skªodowskiej (pó¹niejszej Curie; 18671934), która przez kilka lat pracowaªa jako nauczycielka domowa jego mªodszego rodze«stwa (pu- blikacjom [16], [28], [31] udaªo si¦ przy tym unikn¡¢ tonu sensacyjnego b¡d¹ sentymentalnego)

. Dot¡d jednak nie zwracano uwagi na fakt, »e

›orawski jest autorem pierwszych polskich prac dotycz¡cych iteracji.

Paulin Kazimierz Stefan ›orawski pochodziª ze ±rodowiska ziemia«- skiego. Urodziª si¦ w 1866 roku w miejscowo±ci Szczurzyn

([11], [34])

1

Autorem tekstu [31] jest wnuk Kazimierza ›orawskiego.

2

W niektórych pracach nazwa jest bª¦dnie podawana jako Szczuczyn. Bª¡d ten

powtarza strona internetowa MacTutor History of Mathematics, [21], która miejsce

urodzin ›orawskiego lokuje na dzisiejszej Biaªorusi, poprzez uto»samienie z miejsco-

wo±ci¡ Szczuczyn le»¡c¡ w rejonie Grodna.

w powiecie ciechanowskim na Mazowszu. W latach 18841888 studio- waª matematyk¦ na Cesarskim Uniwersytecie Warszawskim (z rosyj- skim j¦zykiem wykªadowym)

. Studia kontynuowaª na uniwersytetach w Lipsku i Getyndze. W 1891 roku uzyskaª w Lipsku doktorat na podstawie pracy Über Biegungsinvarianten. Eine Anwendung der Lie- schen Gruppentheorie, której promotorem byª Sophus Lie (18421899).

Praca zostaªa opublikowana w czoªowym  równie» i dzi±  czasopi±mie

Acta Mathematica ([35]). W 1892 roku ›orawski otrzymaª habili- tacj¦ w Szkole Politechnicznej we Lwowie. W 1893 roku obj¡ª katedr¦

matematyki elementarnej (I Katedr¦ Matematyki) na Uniwersytecie Ja- giello«skim, w 1895 roku zostaª profesorem nadzwyczajnym, a w 1898 roku  profesorem zwyczajnym. W roku akademickim 1917/1918 peªniª funkcj¦ rektora Uniwersytetu Jagiello«skiego, a w 1919 roku powróciª do Warszawy, gdzie pracowaª jako profesor najpierw tamtejszej Poli- techniki, a od 1926 roku Uniwersytetu. Byª czªonkiem zaªo»ycielem Polskiego Towarzystwa Matematycznego, prezesem Towarzystwa Na- ukowego Warszawskiego, czªonkiem Akademii Umiej¦tno±ci i innych or- ganizacji i towarzystw naukowych. Na emerytur¦ przeszedª w 1935 roku.

Zmarª w 1953 roku w Warszawie.

›orawski miaª znaczny dorobek naukowy. Artykuª biograczny au- torstwa jego ucznia Wªadysªawa ‘lebodzi«skiego ([33]) wylicza 67 prac.

Najwa»niejsze z nich po±wi¦cone s¡ zagadnieniom z teorii form ró»nicz- kowych, teorii niezmienników caªkowych, kinematyki, równa« ró»nicz- kowych i geometrii ró»niczkowej. Iteracji dotycz¡ bezpo±rednio dwie prace: [36] i [37]. Zostaªy one napisane w pocz¡tkach kariery naukowej

›orawskiego, który pó¹niej nie wracaª ju» do tej tematyki. W dalszej cz¦±ci niniejszej noty omówimy tre±¢ tych prac i ich miejsce w±ród lite- ratury ko«ca dziewi¦tnastego wieku po±wi¦conej podobnej tematyce.

2. Trzeba zaznaczy¢, »e iteracja nie jest ±cisªym terminem ma- tematycznym (Iteracj¡ nazywamy...), a raczej metaterminem oznacza- j¡cym wielokrotne wykonywanie okre±lonej operacji (poprzez skªadanie funkcji lub operatora, stosowanie instrukcji programowania), przy czym wynik poprzedniego kroku sªu»y jako argument nast¦pnego. Wiele nu- merycznych metod rozwi¡zywania równa« ma charakter iteracyjny  wyniki kolejnych kroków iteracji stanowi¡ coraz lepsze przybli»enia roz- wi¡zania, je±li ci¡g iteracji jest zbie»ny do odpowiedniej granicy. W dru-

3

W okresie studiów ›orawskiego profesorami matematyki na Cesarskim Uniwer-

sytecie Warszawskim byli m.in. Piotr Siergiejewicz Nazimow (18511901), Paweª

Osipowicz Somow (18521919) i Mikoªaj Jakowlewicz Sonin (18491915); por. [24],

[22], [12].

giej poªowie dziewi¦tnastego wieku nast¡piª znaczny rozwój bada« nad iteracjami funkcji jednej zmiennej zespolonej, gªównie w zwi¡zku z za- interesowaniem zbie»no±ci¡ metody Newtona przybli»onego rozwi¡zy- wania równa« algebraicznych. Chodziªo o wyznaczenie obszarów pªasz- czyzny zespolonej zªo»onych z punktów, dla których ci¡g iteracji funk- cji f(z) = z −

jest zbie»ny do jednego z pierwiastków równania F (z) = 0 , gdzie F jest wielomianem zespolonym stopnia co najmniej drugiego. Zagadnienie zbie»no±ci metody Newtona dla równania kwa- dratowego pierwszy rozstrzygn¡ª Arthur Cayley (18211895). On te»

postawiª w 1879 roku problem wyznaczenia obszarów zbie»no±ci me- tody Newtona dla równa« wy»szych stopni. Problem Cayleya zajmo- waª uwag¦ kilku matematyków, takich jak Ernest Schröder (18411902), Jules (Gyula) Farkas (18471915), Gabriel Koenigs (18581931) i inni ([1], [2], [3], [23])

.

W pracy O zbie»no±ci iteracyj ([36]) ›orawski nawi¡zuje do me- tody Newtona i problemu Cayleya oraz wyników wymienionych wy»ej matematyków uzyskanych przy okazji pracy nad tym problemem.

Z literatury, zbie»no±ci iteracyi dotycz¡cej, zacytowa¢ nale»y przedewszystkiem prac¦ Schrödera z II-go tomu czasopisma:

Mathematische Annalen. Znajdujemy tam twierdzenie: Je-

»eli γ jest pierwiastkiem równania z = f(z) i |f

(γ)| < 1 , natenczas pierwiastek ten posiada pewien ci¡gªy obszar zbie»no±ci iteracyi, t. j. wszystkie punkty z, znajduj¡ce si¦

w pewnym otoczeniu pierwiastka γ, maj¡ t¦ wªasno±¢, »e

n=∞

lim f

(z) = γ . Nie daje wszak»e Schröder sposobu, za pomoc¡ którego mo»naby znale¹¢ granice owego otoczenia pierwiastka γ; o ile mi wiadomo, zagadnienie to dotychczas nie jest rozwi¡zane. Wprawdzie Farkas w pracy Sur les fonc- tions iteratives podaje jedno ogólne twierdzenie, dotycz¡ce takiego ci¡gªego obszaru zbie»no±ci, twierdzenie to wszak»e ma charakter wi¦cej opisowy i bezpo±rednio przynajmniej nie doprowadza do »adnej metody ogólnej wyznaczania gra- nic tego obszaru ([36], s. 272, tu i we wszystkich pozostaªych cytatach pisownia oryginalna).

›orawski przyznaje, »e w zastosowaniach metod iteracyjnych do roz- wi¡zywania równa« znajomo±¢ ci¡gªych obszarów zbie»no±ci (w dzi-

4

Dzi± równie» rozwa»a si¦ istotne problemy matematyczne zwi¡zane z metod¡

Newtona, np. w [15].

siejszej terminologii  basenów przyci¡gania pierwiastków)

ma zna- czenie, w swoim artykule jednak chce zwróci¢ uwag¦ na inne aspekty zbie»no±ci iteracji funkcji zmiennej zespolonej. Praca podzielona jest na cztery cz¦±ci; w ka»dej z nich jest omówione inne zagadnienie maj¡ce pewien zwi¡zek ze zbie»no±ci¡ metody Newtona.

W cz¦±ci pierwszej ›orawski analizuje zbie»no±¢ iteracji funkcji li- niowych uªamkowych, tj. odwzorowa« homogracznych f(z) =

z ad−bc = 1. Zdaje sobie spraw¦ z tego, »e podane przez niego rezultaty mo»na traktowa¢ jako znane, poniewa» wynikaj¡ w prosty sposób ze znanych wªasno±ci odwzorowa« homogracznych. Usprawiedliwia jed- nak zamieszczenie tych analiz nast¦puj¡co: rezultaty te zamieszczam raz dlatego, »e nigdzie ich nie spotkaªem wyra¹nie wypowiedzianych, powtóre za± dlatego, »e Schröder kwesty¦ zbie»no±ci iteracyi funkcyi li- niowej traktuje zupeªnie faªszywie ([36], s. 274). Zwi¡zek tych analiz z metod¡ Newtona zostaje przywoªany w ostatniej cz¦±ci pracy.

W cz¦±ci drugiej ›orawski rozwa»a (jak sam podkre±la, po raz pierw- szy w literaturze) pewne szczególne zbiory punktów, dla których ci¡g iteracji jest zbie»ny do danego punktu staªego γ funkcji f. U»ywa- j¡c dost¦pnych dzi± poj¦¢ i terminologii, powiedzieliby±my, »e s¡ nimi przeciwobrazy poprzez f punktu γ, ró»ne od γ. ›orawski nazywa je

osobnymi punktami zbie»no±ci 1-go rz¦du nale»¡cymi do pierwiastka γ

 ([36], s. 277). Podobnie wprowadza punkty osobne kolejnych rz¦- dów: wszystkie punkty osobne n-tego rz¦du nale»¡ce do pierwiastka γ

s¡ wszystkimi tymi pierwiastkami równania: f

(z) = γ

, które nie czyni¡ zarazem zado±¢ równaniu: f

(z) = γ

 ([36], s. 278). Mówi te» o sumie mnogo±ciowej wszystkich kolejnych przeciwobrazów danego punktu staªego jako o szeregu punktów osobnych i zauwa»a, »e sze- regi odpowiadaj¡ce dwóm ró»nym punktom staªym nie zawieraj¡ punk- tów wspólnych.

W trzeciej cz¦±ci pracy zajmuje si¦ ›orawski iteracjami funkcji f(z) = z

, gdzie r jest dowolnym wykªadnikiem caªkowitym ró»nym od +1, 0, −1.

Przy dodatnim wykªadniku r wnioskuje, »e we wszystkich punktach z le»¡cych wewn¡trz koªa |z| = 1 iteracya jest zbie»na i daje pierwia- stek γ

= 0 , punkty le»¡ce na obwodzie tego koªa ci¡gle na nim po- zostaj¡, a w punktach z le»¡cych zewn¡trz koªa |z| = 1 rezultatem iteracyi jest ∞ ([36], s. 279). Mówi¡c dzisiejszym j¦zykiem, wyznacza zbiór Julii funkcji f(z) = z

oraz baseny przyci¡gania punktów staªych

5

Nie ma ustalonych standardów polskiej terminologii dotycz¡cej iteracji funkcji

zespolonych. Najobszerniejsz¡ wspóªczesn¡ pozycj¡ w j¦zyku polskim z tej tematyki

jest [27].

0 i ∞. Wyznacza te» punkty osobne odpowiadaj¡ce pierwiastkom γ

(i = 0, ..., r − 2) równania z

= 1 (tj. punktowi staªemu z = 1), szacuje odlegªo±ci mi¦dzy nimi i na podstawie tych oblicze« stwierdza,

»e wprost z rozªo»enia punktów osobnych na kole |z| = 1 wynika, »e bior¡c za n liczb¦ dostatecznie wielk¡, do ka»dego punktu, poªo»onego na kole |z| = 1, znale¹¢ mo»na dowolnie blizkie punkty osobne ka»dego z pierwiastków γ

 (s. 280).

Dalej ›orawski analizuje przypadek ujemnego wykªadnika r. For- muªuje (przy s = −r) nast¦puj¡c¡ obserwacj¦: Poniewa» z

= z

, wi¦c w punktach le»¡cych wewn¡trz i zewn¡trz koªa |z| = 1 iteracya jest rozbie»n¡, bo ka»dy punkt poªo»ony wewn¡trz tego koªa po wy- konaniu na nim dziaªania f przechodzi w punkt le»¡cy zewn¡trz tego koªa i odwrotnie. Punkty le»¡ce na obwodzie koªa |z| = 1 ci¡gle na nim pozostaj¡. Iteracya nie posiada zatem ci¡gªych obszarów zbie»no±ci, ale posiada osobne punkty zbie»no±ci; wszystkie one le»¡ na kole |z| = 1 (...) ([36], s. 281)

. Podobnie jak w przypadku r dodatniego, dowodzi,

»e punkty osobne s¡ g¦ste w |z| = 1.

W czwartej cz¦±ci ›orawski uogólnia obserwacje z cz¦±ci trzeciej na przypadek funkcji wymiernych z

zmiennej z

speªniaj¡cych równanie

az

+ b

cz

+ d =  az

+ b cz

+ d



przy ustalonym caªkowitym r ró»nym od +1, 0, −1 i  tak jak w cz¦±ci pierwszej  przy ustalonych a, b, c, d speªniajacych równo±¢ ad − bc = 1 (czyli rozwa»a funkcje sprz¦»one z funkcj¡ pot¦gow¡ poprzez funkcj¦ ho- mograczn¡). Wykorzystuj¡c wªasno±ci odwzorowa« homogracznych pªaszczyzny zespolonej, wyci¡ga wnioski dotycz¡ce ci¡gªych obszarów zbie»no±ci i wykonuje geometryczn¡ konstrukcj¦ punktów osobnych, które równie» s¡ g¦ste na odpowiednim okr¦gu. Na zako«czenie za- uwa»a, »e funkcja opisuj¡ca metod¦ Newtona dla równania kwadra- towego o dwóch ró»nych pierwiastkach jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej speªniaj¡cej równanie powy»szego typu (i »e dla rów- nania o pierwiastku podwójnym metoda sprowadza si¦ do iteracji funkcji homogracznej). Korzystaj¡c z otrzymanych wyników, przeprowadza analiz¦ zbie»no±ci metody Newtona w tym przypadku (r = 2). Pod dziaªaniem odpowiedniej funkcji homogracznej okr¡g |z| = 1 prze- chodzi w okr¡g osobliwy, a dokªadnie w symetraln¡ odcinka, którego ko«cami s¡ pierwiastki równania, co pozwala zastosowa¢ wcze±niejsze

6

Zbiór taki, jak {|z| = 1} dzi± nazywamy okr¦giem, a nie koªem.

rezultaty. ›orawski stwierdza, »e otrzymuje rozwi¡zanie zgodne z po- danym wcze±niej przez Cayleya.

Oczywi±cie samo wyznaczenie obszarów zbie»no±ci metody Newtona dla równania kwadratowego nie byªo niczym nowym  przed ›orawskim zrobili to Schröder (przez sprowadzenie do przypadku odpowiadaj¡cego równaniu z

− 1 = 0 ) i Cayley (przez szczegóªow¡ analiz¦ kolejnych kro- ków iteracji; [2], [23]). Rozwi¡zanie ›orawskiego jest jednak szczególnie proste i eleganckie, a przy tym antycypuje pewne metody rozwini¦te pó¹niej przez innych matematyków i prowadz¡ce do ogólniejszych pro- blemów i wyników. Oryginalnym pomysªem ›orawskiego wydaje si¦

rozwa»anie funkcji wymiernej wyst¦puj¡cej w metodzie Newtona jako sprz¦»onej z funkcj¡ pot¦gow¡ g(z) = z

o wykªadniku naturalnym r ≥ 2 . Ju» Schröder wykorzystywaª sprz¦»enia funkcji do analizy itera- cji, jednak rozwa»aª on tylko sprz¦»enie z funkcj¡ liniow¡ az lub z trans- lacj¡ z + b i pojawiaj¡ce si¦ w tym kontek±cie równania funkcyjne ([2]).

Dopiero pó¹niej Lucjan Emil Böttcher (18721937) w pracach [5], [6]

zaj¡ª si¦ ogólnym problemem wyznaczenia funkcji, dla których lokalnie istnieje sprz¦»enie z funkcj¡ pot¦gow¡. Sformuªowaª równanie F ◦f(z) = (F (z))

z niewiadom¡ funkcj¡ F i naszkicowaª metod¦ jego rozwi¡za- nia

w przypadku funkcji analitycznej f maj¡cej w otoczeniu punktu x rozwini¦cie postaci f(z) = x +

f

(x) +

f

(x) + ... . Przypomnijmy, »e Böttcher znaª prac¦ [36] i cytowaª j¡ w swojej roz- prawie doktorskiej [4], równie» powstaªej w Lipsku pod opiek¡ Sophusa Liego. Böttcher zwróciª te» uwag¦ na przeciwobrazy punktów staªych (i ogólniej  okresowych) w teorii iteracji funkcji zmiennej zespolonej i nazwaª takie punkty punktami ›orawskiego.

Prosta obserwacja ›orawskiego dotycz¡ca g¦sto±ci przeciwobrazów punktu staªego z = 1 funkcji f(z) = z

w okr¦gu |z| = 1 równie» wydaje si¦ oryginalna (Schröder zauwa»yª g¦sto±¢ obrazów punktów w prostej bed¡cej brzegiem dwóch basenów przyci¡gania w metodzie Newtona).

Jak ju» wspomniaªam, jest to bardzo szczególny przypadek nast¦puj¡cej wªasno±ci, któr¡ w ogólnej postaci udowodnili niezale»nie Gaston Julia (18931978) i Pierre Fatou (18781929), odpowiednio w 1918 i 1920 roku ([2]; podane sformuªowanie wedªug [27], Stwierdzenie 1.4):

Z wyj¡tkiem co najwy»ej dwóch punktów (zwanych punk- tami wyj¡tkowymi) w dopeªnieniu zbioru Julii J(f) funkcji wymiernej f (stopnia d ≥ 2) do sfery Riemanna ˆC, dla do-

7

Równanie takie zwane dzi± jest równaniem Böttchera, a jego rozwi¡zanie F 

funkcj¡ Böttchera. Szerzej o tym napisano w pracach [9], [30].

wolnego z ∈ ˆC \ {punkty wyj¡tkowe}, zachodzi

cl

∞

[

n=0

f

({z}) ⊇ J (f ).

Je±li z ∈ J(f), to cl S

f

({z}) = J (f ) .

Wªasno±¢ ta bywa wykorzystywana w grace komputerowej do przy- bli»onego wyznaczania zbioru Julii danej funkcji wymiernej, a w szcze- gólno±ci do wyznaczania brzegów basenów przyci¡gania punktów sta- ªych przyci¡gaj¡cych (brzegi te zawarte s¡ w zbiorze Julii), na co nie pozwalaªy metody stosowane przez Schrödera i Farkasa.

W pracy [37] z 1895 roku jedynym nawi¡zaniem do gªównego nurtu teorii iteracji jest wzmianka o pracach Schrödera dotycz¡cych poszuki- wania takich algorytmów, aby dla ka»dego jednokrotnego pierwiastka danego równania algebraicznego iteracja funkcji F opisuj¡cej algorytm

miaªa ci¡gªy obszar zbie»no±ci

. Przedmiotem i celem tej pracy nie jest jednak studium teoretyczne, a pewne zastosowanie metod iteracyj- nych. Dokªadniej, ›orawski stosuje metod¦ iteracji do dowodu twier- dzenia o odwracaniu szeregów pot¦gowych

. Twierdzenie to udowod- niª Joseph Louis Lagrange (17361813) w 1770 roku. Znane s¡ ró»ne dowody, tak dla funkcji analitycznych, jak i dla szeregów formalnych (zob. [13], [17], [29]). W wersji ›orawskiego wygl¡da ono nast¦puj¡co (zaªo»enia i notacja ze stron 240242 [37]):

Niech b¦dzie dane równanie f(z) = ζ, gdzie f jest funkcj¡

analityczn¡ zmiennej zespolonej z. Niech z

= ϕ(ζ) b¦dzie t¡ gaª¦zi¡ wielowarto±ciowej funkcji z zmiennej ζ, która od- powiada pierwiastkowi c równania f(z) = γ. Zaªó»my, »e f odwzorowuje pewne otoczenie punktu c konforemnie na oto- czenie punktu γ (a zatem f

(c) 6= 0 ). Wówczas w otoczeniu punktu γ funkcj¦ ϕ mo»na rozwin¡¢ w nast¦puj¡cy szereg pot¦gowy: z

= ϕ(ζ) = c + P

k=1 (ζ−γ)^k

k!

d^kz dζ^k

z=c

.

8

Wykazanie nieistnienia globalnych metod czysto iteracyjnych rozwi¡zywania równa« algebraicznych jest bardzo nietrywialnym wynikiem. Uzyskaª go Curtis McMullen (ur. 1958)  laureat Medalu Fieldsa z 1998 roku, który zagadnieniu temu po±wi¦ciª kilka znakomitych prac: [10], [19], [20].

9

Zastosowanie iteracji do dowodu twierdzenia o funkcji odwrotnej (dla funkcji

gªadkich, niekoniecznie analitycznych) staªo si¦ standardem po udowodnieniu przez

Stefana Banacha (18921945) twierdzenia o punkcie staªym, nosz¡cego dzi± jego

imi¦.

Kolejne przybli»enia rozwini¦cia wyznacza ›orawski poprzez iteracj¦

funkcji F (u, ζ) = c+(ζ−γ)

. Bior¡c u

tak, aby warto±¢

byªa sko«czona, i iteruj¡c u

(z) = F (u

, ζ), ..., u

(z) = F (u

, ζ) , otrzymuje on (por. s. 248) zwi¡zek u

− z

= (ζ − γ)

σ

(c, u

, γ − ζ) , w którym σ

jest szeregiem pot¦gowym zbie»nym w pewnym kole, roz- wini¦tym wedªug pot¦g ró»nicy ζ − γ, ze wspóªczynnikami zale»nymi od c i u

.

3. Dyskusja nad pracami ›orawskiego byªaby niepeªna bez wy- szczególnienia pewnych ogranicze« poj¦ciowych. Ograniczenia te s¡ ty- powe dla prac z wczesnej fazy rozwoju teorii iteracji funkcji zmiennej zespolonej (dynamiki holomorcznej), a zostaªy przezwyci¦»one dopiero po 1918 roku, po zastosowaniu przez Pierre'a Fatou i Gastona Juli¦ na szerok¡ skal¦ poj¦cia rodzin normalnych (wprowadzonego przez Paula Montela; 18761924) do bada« nad iteracjami. Teoria rodzin normal- nych staªa si¦ swego rodzaju paradygmatem

dla bada« nad iteracjami funkcji wymiernych zmiennej zespolonej, nadzwyczaj trafnym i twór- czym od samego pocz¡tku. Mi¦dzy innymi umo»liwiªa Fatou i Ju- lii (niezale»nie) wyznaczenie obszarów zbie»no±ci metody Newtona dla równania stopnia trzeciego ([2]). Jakie ograniczenia (z punktu widze- nia pó¹niejszego paradygmatu) przejawiaj¡ si¦ w pracach ›orawskiego, gªównie w [36]? Po pierwsze, ›orawski, omawiaj¡c iteracje funkcji po- t¦gowych o wykªadniku ujemnym, wnioskuje (prawidªowo) o ich roz- bie»no±ci. Ale w uj¦ciu pochodz¡cym od Fatou i Julii nie ma istotnej ró»nicy mi¦dzy opisem iteracji funkcji pot¦gowej o wykªadniku dodat- nim i wykªadniku ujemnym, poniewa» brane s¡ pod uwag¦ podci¡gi ci¡gu iterat danej funkcji i ich zachowanie w otoczeniu danego punktu.

W przypadku funkcji f(z) = z

w otoczeniu ka»dego punktu le»¡cego w kole |z| < 1 znajduj¡ si¦ punkty, dla których ci¡g iterat funkcji za- wiera podci¡g zbie»ny; podobnie dla punktów na zewn¡trz tego koªa.

Zatem okr¡g |z| = 1 stanowi zbiór Julii funkcji f(z) = z

, a koªo otwarte |z| < 1 i jego zewn¦trze |z| > 1 s¡ skªadowymi spójnymi zbioru Fatou, dokªadnie tak samo, jak w przypadku funkcji f(z) = z

. Po drugie, wskazuj¡c na bª¡d popeªniony przez Schrödera w ogólnym wy- ra»eniu na n-t¡ iterat¦ funkcji homogracznej, argumentuje ›orawski nast¦puj¡co: Ten bª¡d rachunkowy doprowadza autora do wniosku,

10

Do lozoi nauki poj¦cie paradygmatu wprowadziª Thomas Kuhn (19221996),

w pracy [18]. Poj¦cie to ma raczej ograniczone zastosowanie do teorii matematycz-

nych, ze wzgl¦du na specyk¦ matematyki. Mo»na jednak mówi¢ o paradygmacie

w lu¹niejszym sensie, odnosz¡c si¦ do podstaw teoretycznych i zestawu poj¦¢ i re-

zultatów wytyczaj¡cych dalsze kierunki i ramy rozwoju danej teorii.

»e lim

z

jest pewn¡ liniow¡ funkcy¡ zmiennej z, który sprzeciwia si¦ temu zasadniczeniu twierdzeniu o iteracyach, »e granic¡ iteracyi nie mo»e by¢ »adna funkcya zmiennej z, tylko wielko±¢ staªa, pierwiastek równania z = f(z) (s. 275, przypis). Otó» w czasach ›orawskiego nie byªo takiego twierdzenia. Po wprowadzeniu rodzin normalnych mo»na byªo pyta¢ bardziej precyzyjnie o to, czy dla funkcji wymiernej istniej¡ skªadowe zbioru Fatou, w których pewne podci¡gi iterat d¡»¡

do funkcji ró»nej od staªej. Nieistnienie takich obszarów osobliwych

staªo si¦ hipotez¡ badawcz¡, w której prawdziwo±¢ wierzyª Julia. Fa- tou z jednej strony udowodniª warunek wystarczaj¡cy na nieistnienie

obszarów osobliwych (trudny do sprawdzenia praktycznego), z drugiej strony za± wiele wªasno±ci, jakie musiaªyby mie¢ takie obszary, ale to nie wystarczyªo do udowodnienia tak postawionej hipotezy. W 1940 roku rozstrzygn¡ª j¡ negatywnie Carl Ludwig Siegel (18961981), po- daj¡c warunki konieczne i wystarczaj¡ce na istnienie obszarów zwanych dzi± dyskami Siegela oraz konkretne przykªady funkcji speªniaj¡cych te warunki ([3]).

Jak wida¢, niektóre problemy rozwa»ane przez matematyków pra- cuj¡cych nad teori¡ iteracji funkcji zespolonych pod koniec dziewi¦tna- stego wieku byªy nietrywialne. Na odpowiednie narz¦dzia do ich rozwi¡- zania trzeba byªo czeka¢ do 1918 roku. Dlatego mimo pewnych (zreszt¡

niewielkich i maj¡cych charakter interpretacyjny) niezgodno±ci z pó¹- niejszymi rezultatami prace ›orawskiego maj¡ trwaª¡ warto±¢.

Podzi¦kowania: Dzi¦kuj¦ Danucie Ciesielskiej za zach¦t¦ do napi- sania niniejszego artykuªu i owocn¡ dyskusj¦ nad jego form¡. Dzi¦kuj¦

równie» Stanisªawowi Domoradzkiemu za pomoc w dotarciu do wielu materiaªów wykorzystanych przy pisaniu, w szczególno±ci do omawia- nych tutaj prac ›orawskiego.

Literatura

[1] M. Abate, À la recherche des racines perdues (In search of lost roots) [tekst an- gielski], [w:] Imagine Math 3. Between culture and mathematics (Michele Em- mer, red.), Springer, ChamHeidelbergNew YorkDordrechtLondon 2015, 253261, MR 3380511.

[2] D.S. Alexander, A history of complex dynamics. From Schröder to Fatou and Julia, Aspects of Mathematics, E24. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1994, MR 1260930, Zbl 0788.30001.

[3] D.S. Alexander, F. Iavernaro, A. Rosa, Early days in complex dynamics. A hi-

story of complex dynamics in one variable during 19061942, History of Ma-

thematics, vol. 38, American Mathematical Society, London Mathematical

Society, London 2012, MR 2857586, Zbl 1244.37002.

[4] L.E. Böttcher, Beiträge zu der Theorie der Iterationsrechnung, [praca doktor- ska], Oswald Schmidt, Leipzig 1898.

[5] L.E. Böttcher, Zasady rachunku iteracyjnego (cz¦±¢ pierwsza i cz¦±¢ druga),

Prace Matematyczno-Fizyczne 10 (18991900). 65101.

[6] L.. Bether, Glavn+$ ixe zakony shodimosti iterac$ i i prilo-

ene ih k analizu , ,,Izv+st Fiziko-Matematiqeskago Obwestva pri Imperatorskom Kazanskom Universitet+. Vtora ser, tom

XIII [ L.É. Bether", Glavnej²íe zakony shodimosti iteracíj i priloºeníe ih"

k" analizu, Izvestíâ Fiziko-Matemati£eskago Obsestva pri Imperatorskom"

Kazanskom" Universitete". Vtoraâ seríâ, tom" XIII] [L. E. Boettcher: Les principals lois de convergence des itérations et leurs applications á l'analyse,

Bulletin de la Societe Physico-Mathématique de Kasan. Deuxième série, tome XIII] (1, 1903), 137, XIV (2, 1904), 155200, XIV (3, 1904), 201234, JFM 35.0398.01, Zbl 35.0398.01.

[7] K. Ciesielski, Z. Pogoda, On mathematics in Kraków through the centuries, European Mathematical Society, Newsletter 86 (2012), 1924, MR 3012347, Zbl 1263.01021.

[8] S. Domoradzki, The growth of mathematical culture in the Lvov area in the au- tonomy period (18701920), History of Mathematics 47, MatfyzPress, Prague 2011, MR 3088512, Zbl 1289.01011.

[9] S. Domoradzki, M. Stawiska, Lucjan Emil Böttcher and his mathematical le- gacy, [w:] Mathematics without boundaries. Surveys in pure mathematics (P.

Pardalos, T. Rassias, red.), Springer, New York 2014, 127161, MR 3330699, Zbl 1322.01040.

[10] P. Doyle, C. McMullen, Solving the quintic by iteration, Acta Mathematica

163 (1989), no. 3-4, 151180, MR 1032073, Zbl 0705.65036.

[11] R. Duda, Matematycy XIX i XX wieku zwi¡zani z Polsk¡, Wydawnictwo Uni- wersytetu Wrocªawskiego, Wrocªaw 2012.

[12] R. Duda, Matematyka, [w:] Nauki przyrodnicze i ±cisªe na Uniwersytecie War- szawskim (Andrzej Kajetan Wróblewski, red. naukowy), Wydawnictwa Uni- wersytetu Warszawskiego, Warszawa 2016.

[13] I.M. Gessel, Lagrange inversion, Journal of Combinatorial Theory, Series A, Volume 144 (2016), 212249, MR 3534068, Zbl 1343.05021.

[14] S. Goª¡b, Zarys dziejów matematyki w Uniwersytecie Jagiello«skim w XX wieku [w:] Studia z dziejów katedr Wydziaªu Matematyki, Fizyki, Chemii Uni- wersytetu Jagiello«skiego (S. Goª¡b, red.), Kraków, Uniwersytet Jagiello«ski 1964.

[15] J. Hubbard, D. Schleicher, S. Sutherland, How to nd all roots of complex po- lynomials by Newton's method, Inventiones Mathematicae 146 (2001), no. 1, 133, MR 1859017, Zbl 1048.37046.

[16] T. Kaczorowska, Pobyt Marii Skªodowskiej-Curie w Szczukach (18861889), [strona autorska Teresy Kaczorowskiej], dost¦pne pod adresem http:

//www.kaczorowska.com/index.php?numer=8&nr=2&idpr=8, data dost¦pu:

16.11.2016.

[17] S.G. Krantz, H.R. Parks, The implicit function theorem. History, theory, and applications, reprint of the 2003 edition, Modern Birkhäuser Classics, Birkhäu- ser/Springer, New York 2013, MR 2977424, Zbl 1269.58003.

[18] Th. Kuhn, The Structure of Scientic Revolutions, University of Chicago Press, Chicago 1962, polski przekªad: Struktura rewolucji naukowych, tªum.

H. Ostrom¦cka, wyd. I: PWN, Warszawa 1968, wyd. II: Wydawnictwo Funda- cji Aletheia, Warszawa 2001.

[19] C. McMullen, Families of rational maps and iterative root-nding algorithms,

Annals of Mathematics (2) 125 (1987), no. 3, 467493, MR 0890160, Zbl 0634.30028.

[20] C. McMullen, Braiding of the attractor and the failure of iterative algori- thms, Inventiones Mathematicae 91 (1988), no. 2, 259272, MR 0922801, Zbl 0654.58023.

[21] J.J. O'Connor, E.F. Robertson, Kazimierz Zorawski, [w:] MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland, dost¦pne pod adresem: http://www-history.mcs.

st-andrews.ac.uk/Biographies/Zorawski.html, data dost¦pu: 16.11.2016.

[22] J.J. O'Connor, E.F. Robertson, Osip Ivanoviq Somov(Osip Ivanovich So- mov), [w:] MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland, dost¦pne pod adresem:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Somov.

html, data dost¦pu: 16.11.2016.

[23] H.O. Peitgen, D. Saupe, F. von Haeseler, Cayley's problem and Julia sets,

The Mathematical Intelligencer 6 (1984), no. 2, 1120, MR 0738904, Zbl 0549.68101.

[24] [br. aut.], Peter S. Nazimov, [w:] Russian Information Network, dost¦pne pod adresem: http://persona.rin.ru/eng/view/f//24871/nazimov-peter-s, data dost¦pu: 16.11.2016.

[25] A. Pelczar, Równania ró»niczkowe w Polsce. Zarys historii do poªowy lat sie- demdziesi¡tych XX wieku, Annales Societatis Mathematicae Polonae Series II,

Wiadomo±ci Matematyczne 37 (1991), 63118, MR 1889871.

[26] Z. Pogoda, Pocz¡tki geometrii ró»niczkowej w Polsce, Annales Societatis Ma- thematicae Polonae Series VI, Antiquitates Mathematicae 1 (2007), 115129, MR 2604766.

[27] F. Przytycki, J. Skrzypczak, Wst¦p do teorii iteracji funkcji wymiernych na sferze Riemanna, [preprint IMPAN], 1993, dost¦pne pod adresem: https:

//www.impan.pl/~feliksp/PSskrypt.pdf, data dost¦pu: 15.11.2016.

[28] S. Quinn, Marie Curie: A life, Perseus Books, Boston, MA 1996.

[29] A.D. Sokal, A ridiculously simple and explicit implicit function theorem,

Séminaire Lotharingien de Combinatoire, 61A (2009/11), Art. B61Ad., MR 2529395, Zbl 1182.30006.

[30] M. Stawiska, Lucjan Emil Böttcher (18721937)  the Polish pioneer of holo-

morphic dynamics, Technical Transactions 111 (2014), NP1, 233243.

[31] S. Suszczy«ski, Kazimierz ›orawski, [w:] Wybitni polscy matematycy, In- stytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk, dost¦pne pod adresem:

https://www.impan.pl/Great/Zorawski/Zorawski-pl.html, data dost¦pu:

16.11.2016.

[32] W. ‘lebodzi«ski, Kazimierz ›orawski, Annales Societatis Mathematicae Polo- nae Series II, Wiadomo±ci Matematyczne 11 (1969), 4964, Zbl 0299.01027.

[33] W. ‘lebodzi«ski, L'oeuvre scientique de Kazimierz ›orawski, Colloquium Mathematicum 4 (1956), 7488, MR 0076700, Zbl 0070.24418.

[34] W. Wójcik, Kazimierz ›orawski, [w:] Polski wkªad w przyrodoznawstwo i tech- nik¦. Sªownik polskich i zwi¡zanych z Polsk¡ odkrywców, wynalazców oraz pio- nierów nauk matematyczno-przyrodniczych i techniki, (Bolesªaw Orªowski, red.

naukowa), tom IV S›, Instytut Historii Nauki im. L. i A. Birkenmajerów Pol- skiej Akademii Nauk, Instytut Pami¦ci Narodowej, Komisja ‘cigania Zbrodni przeciwko Narodowi Polskiemu, Warszawa 2015.

[35] K. ›orawski, Über Biegungsinvarianten. Eine Anwendung der Lieschen Grup- pentheorie, Acta Mathematica 16 (1892), 167, JFM 24.0737.03.

[36] K. ›orawski, O zbie»no±ci iteracyi, Rozprawy Akademii Umiej¦tno±ci. Wy- dziaª Matematyczno-Przyrodniczy, Serya II, Tom VI, 1893, 271288, JFM 25.0376.03.

[37] K. ›orawski, Iteracje i szeregi odwracaj¡ce, Rozprawy Akademii Umiej¦tno±ci.

Wydziaª Matematyczno-Przyrodniczy, Serya II, Tom IX, 1895, 240249, JFM 26.0266.04.

Kazimierz ›orawski's works on iteration Maªgorzata Stawiska-Friedland

Abstract. We present Kazimierz ›orawski's works on iteration  the

rst works on this topic by a Polish mathematician.

2010 Mathematics Subject Classication: 01A55, 30-03, 37-03.

Key words and phrases: Polish mathematics, theory of iteration, ra- tional functions.

Maªgorzata Stawiska-Friedland Mathematical Reviews

416 Fourth St.

Ann Arbor, MI 48103, USA.

E-mail: stawiska@umich.edu

Communicated by: Danuta Ciesielska

(Zgªoszona: 9 wrze±nia 2016; Wersja ko«cowa: 5 grudnia 2016)